PDF 數學考科

(1)

【試題‧答案】依據大考中心公布內容

本書內容同步刊載於翰林我的網

出版 / 民國一〇〇年七月

發行所 / 7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號編輯部 / 7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 - 1 號電話 /（06) 2619621 # 314

臺南女中 / 高孟鍬老師

數學考科

E-mail / periodical@hanlin.com.tw 翰林我的網 http://www.worldone.com.tw 發行人 / 陳炳亨

總召集 / 周耀琨總編輯 / 蔣海燕主編 / 陳俊龍

校對 / 李忠穎‧吳崇欽‧黃秉璿美編 / 黃素美

NO.00843

(2)

臺南女中高孟鍬老師

　　民國 95 年正式實施『普通高級中學課程暫行綱要』，簡稱『九五暫綱』。今年的指考剛好是課綱實行以來的第三年，對於數學乙考題來說，一如往常的平實，除了證明題外，

應該沒有讓考生感覺特別刁難的題型。

! 各單元命題比例分配

今年度的試題依舊是分四大題：單選題、多選題、選填題與非選擇題。配分也與往年差不多，僅比去年多了一題多選題，所以多選題配分較多，但因為今年已實施不倒扣的措施，所以對於考生的成績較有幫助。

單　　元題數與配分合計（分）

1 多項式選填 A.（8 分） 8 2 指數與對數多選5（8 分） 8 3 向　量選填 C.（8 分） 8 4 排列組合單選2（6 分） 6

5 機率與統計

單選1（6 分）

多選3（8 分）

多選4（8 分）

多選6（8 分）

選填 B.（8 分）

38

6 矩　陣非選擇題2（12 分） 12 7 不等式選填 D.（8 分）

非選擇題1（12 分） 20

@ 試題內容特色

1 今年的考題，均符合大考中心公布的考試範圍內，雖然選填 C，似乎與向量有關係，但其解題的方式應為基本能力，所以也滿足大考中心公布的所需要的能力內，

所以整體來說，難度偏易。

2 今年的非選擇題中，首度出現基本觀念證明題，因為 2 階矩陣內的元素有四個字母取代學生熟悉的數字，讓考生望之怯步，其實只要觀念正確，又敢動手下筆去做，

應該都會有分數可得。

一、前言一、前言

二、試題分析

(3)

3 指數與對數單元，連三年都在多選題出現觀念性題目，如同筆者在三月分發行的

『指考趨勢分析』中提到，以了解指數與對數的圖形特性為主要測驗目標。

4 今年的考題中與去年相同，機率統計的部分還是依舊占大部分的比例，另外線性規劃部分也出現次高的比重，可見在釋放出『機率統計與線性規劃』在大學學習中很重要的訊息，需要多加注意。

# 總　結

　　綜觀 100 年指考數學乙考題，命題的狀況很好，有鑑別度，也都沒有超出範圍的題

目，更沒有複雜的計算量出現。可以讓學生知道，數學的學習要著重於『基本觀念』，而不是『特殊的難題解法』。如同筆者三月分的『指考趨勢分析』中的結論所提的，指定考科是在協助大學校系選材，所以關於線性規劃、機率統計與排列組合等單元上，需要多費心思，今年度也都再度讓這些單元有顯著的比重出現，其重要性不容忽視。另外，證明題的出現，更讓大家再度了解，社會組的小孩學習數學不是只要會計算數字就好，基本的證明能力還是要具備才行！

　　諺語說：『機會是給準備好的人！』，平時就踏實的儲備能力，相信時間到了，就會有豐厚的果實收成。

(4)

臺南女中高孟鍬老師

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（12 分）

說明：第1題至第2題，每題 5 個選項，其中只有 1 個是正確的選項，畫記在答案卡之「解答欄」。各題答對得 6 分，未作答、答錯、或畫記多於 1 個選項者，該題以零分計算。

1 符號 P（C）代表事件 C 發生的機率，符號 P（C｜D）代表在事件 D 發生的條件下，事件 C 發生的機率。今設 A，B 為樣本空間中的兩個事件，已知

P（A）=P（B）=0.6。請選出正確的選項。

1 P（AkB）=1 2 P（AjB）=0.2

3 P（A｜B）=1 4 P（A｜B）=P（B｜A） 5 A，B 是獨立事件

^答 ^案 4

^出 ^處選修（Ⅰ）第一章　機率與統計（Ⅱ）

^測驗目標機率的定義與條件機率的基本定義

^解 ^析從已知的條件中只能知道 P（AkB）=P（A）+P（B）-P（AjB）21

! P（AjB）30.2 所以無法得知 P（AkB）與 P（AjB）之正確值，所以也無法知道 A，B 是否為獨立事件。

但因為 P（A｜B）= P（AjB）

P（B） = P（AjB）

P（A） =P（B｜A），故選4 ^{難易度} 易

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 63 頁範例 1

《指考關鍵 60 天‧數學乙》第 60 頁練習 1

2 如圖，平面上五個大小相同的圓圈用四根長度相同的線段連接成十字形，其中任意兩相鄰線段均互相垂直。今欲將其中兩個圓圈著上藍色，其他圓圈著上紅色，並規定在著好色之後將圖形繞十字形的中心旋轉產生的各種著色法均視為同一種，試問共有幾種著色法？

1 3 2 6 3 10 4 20 5 32

^答 ^案 1

(5)

^出 ^處第四冊第二章　排列與組合

^測驗目標重複排列與環狀排列

^解 ^析先選一個顏色圖中間的圓圈，在將其他的兩紅色兩藍色圖在十字形的端

點且視為環狀排列，所以 C12* 4!

2!2!

4 =3 種方式，故選1 ^{難易度} 中

《指考關鍵 60 天‧數學乙》第 48 頁練習 5 二、多選題（32 分）

說明：第3題至第6題，每題有 4 個選項，其中至少有 1 個是正確的選項。選出正確選項，畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定。所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4 分；所有選項均未作答或答錯多於 1 個選項者，該題以零分計算。

3 某種疾病有甲、乙、丙三種檢測方法。若受檢者檢測反應為陽性，以符號「+」

表示，反之則記為「-」。一個受檢者接受三種檢測方法呈現之結果共有 A1，

⋯，A8八種不同的可能情況，例如事件 A1表示該受檢者以三種方法檢測反應皆為陽性，其餘類推（如下表）：

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

方法甲 + + + - + - - -

方法乙 + + - + - + - -

方法丙 + - + + - - + -

以 P（A1），⋯，P（A8）分別代表事件 A1，⋯，A8發生之機率。請問下列哪些選項是正確的？

1 P（A1kA2）=P（A1）+P（A2）

2以方法乙檢測結果為陽性的機率是 P（A1）+P（A2）+P（A4）+P（A6） 3以方法甲與方法乙檢測，結果一致的機率是 P（A1）+P（A2）

4以方法甲、乙、丙檢測，結果一致的機率是 P（A1） ^答 ^案 12

^出 ^處第四冊第三章　機率與統計（1） ^測驗目標機率的基本定義與性質

^解 ^析由題意可以知道 P（Ai）=1

8，i=1，2，⋯ 8。 1 P（A1kA2）=2

8=P（A1）+P（A2）

(6)

P（A1）+P（A2）+P（A4）+P（A6）

3 由表格中可以得到，方法甲與方法乙檢測得到相同結果的機率為 P（A1）+P（A2）+P（A7）+P（A8）

4 由表格中可以得到，方法甲、乙、丙檢測得到相同結果的機率為 P（A1）+P（A8）

故選12 ^{難易度} 易

4 某訓練班招收 100 名學員，以報到先後順序賦予 1 到 100 的學號。開訓一個月之後，班主任計畫從 100 位學員中抽出 50 位來參加時事測驗。他擬定了四個抽籤方案：

方案一：在 1 到 50 號中，隨機抽出 25 位學員；同時在 51 到 100 號中，也隨機抽出 25 位學員，共 50 位學員參加測驗

方案二：在 1 到 60 號中，隨機抽出 32 位學員；同時在 61 到 100 號中，也隨機抽出 18 位學員，共 50 位學員參加測驗

方案三：將 100 位學員平均分成 50 組；在每組 2 人中，隨機抽出 1 人，共 50 位學員參加測驗

方案四：擲一粒公正的骰子：如果出現的點數是偶數，則由學號是偶數的學員參加測驗；反之，則由學號是奇數的學員參加測驗

請選出正確的選項。

1方案一中，每位學員被抽中的機率相等 2方案二中，每位學員被抽中的機率相等 3方案三中，每位學員被抽中的機率相等 4方案四中，每位學員被抽中的機率相等 ^答 ^案 134

^出 ^處第四冊第三章　機率與統計（Ⅰ）

^測驗目標抽驗的機率問題

^解 ^析 1 方案一中，每一個學員被抽中的機率相等

2 方案二中，1 到 60 號的每一個學員被抽中的機率大於 61 到 100 號的每一個學員，所以機率不相等

3 方案三中，每一個學員被抽中的機率相等

4 方案四中，因為奇數點與偶數點出現的機率相等，所以每一個學員被抽中的機率相等

故選134

(7)

^{難易度} 中

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 57 頁單選 1，2

5 設（pcr）為函數 y=log2x 圖形上之一點，其中 p 為圓周率，r 為一實數。請問下列哪些選項是正確的？

1（rcp）為函數 y=2^x圖形上之一點

2（-rcp）為函數 y=

（

¹₂

）

^x^{圖形上之一點}

3

（

p¹cr

）

^為函數^y⁼^log¹²^x^{圖形上之一點}

4（rc2p）為函數 y=4^x圖形上之一點 ^答 ^案 123

^出 ^處第二冊第一章　指數與對數

^測驗目標指數函數與對數函數圖形上點的幾何意義

^解 ^析 1 ∵（pcr）為函數 y=log²x 圖形上一點　∴ r=log²p! 2^r=p

!（rcp）在圖形 y=2^x上

2 ∵r=log2p ! 2^r=p ! p=

（

¹₂

）

^-^r^!^（-^r^c^p^）在圖形^y⁼

（

¹₂

）

^x^上

3 ∵r=log2p=log2^-1p^-¹=log¹₂

（

p¹

）

^!

（

p¹cr

）

^在圖形^y⁼^log¹²^x^上

4 ∵r=log2p ! 2^r=p !（2^r）²=p²! 4^r=p²_2p 故選123

^{難易度} 中

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 20 頁範例 1 之類題 2

6 某校數學復習考有 400 位同學參加，評分後校方將此 400 位同學依總分由高到低排序：前 100 人為 A 組，次 100 人為 B 組，再次 100 人為 C 組，最後 100 人為 D 組。校方進一步逐題分析同學答題情形，將各組在填充第一題（考排列組合）

和填充第二題（考空間概念）的答對率列表如下：

A 組 B 組 C 組 D 組

第一題答對率 100 % 80 % 70 % 20 % 第二題答對率 100 % 80 % 30 % 0 % 請選出正確的選項。

1第一題答錯的同學，不可能屬於 B 組

2從第二題答錯的同學中隨機抽出一人，此人屬於 B 組的機率大於 0.5 3全體同學第一題的答對率比全體同學第二題的答對率高 15 %

4從 C 組同學中隨機抽出一人，此人第一、二題都答對的機率不可能大於 0.3

(8)

0

^出 ^處第四冊第三章　機率與統計（Ⅰ）

^測驗目標機率的基本定義

^解 ^析 1 B 組的第一題答對率為 80 %，所以第一題答錯可能屬於 B 組 2 機率為 0.2

0.2+0.7+1=0.105<0.5

3 第一題答對的比率為 100+100*0.8+100*0.7+100*0.2

400 =0.675

第二題答對的比率為 100+100*0.8+100*0.3+100*0

400 =0.525

所以 0.675-0.525=0.15=15 %。

4 在 C 組中，第一題與第二題都答對的機率會小於或等於 Min{0.7c0.3}，所以不可能大於 0.3

故選34 ^{難易度} 中

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 58 頁單選 5 三、選填題（32 分）

說明：第 A 至第 D 題為選填題，請在答案卡的「解答欄」之列號（7-15）中標示答案。每一題完全答對得 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設 f（x）=x⁵-x³+2x²-2x-4，g（x）=x⁴+x³+x²+3x+2，h（x）為 f（x）與 g（x）的最高公因式且最高次項係數為 1，則 h（1）與 h（2）的乘積為　78　。 ^答 ^案 7 4　8 8

^出 ^處第一冊第三章　多項式 ^測驗目標多項式的最高公因式 ^解 ^析利用輾轉相除法，

可以得到最高公因式為 h（x）=x³+x+2 ! h（1）h（2）=4×12=48 ^{難易度} 易

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 8 頁範例 5 之類題 1

《指考關鍵 60 天‧數學乙》第 12 頁練習 1

(9)

B. 為講解信賴區間與信心水準，數學老師請全班 40 位同學使用老師提供的亂數表模

擬投擲均勻銅板 16 次。模擬的過程如下：隨機指定給每位同學亂數表的某一列，

該列從左到右有 16 個數字；如果數字為 0，1，2，3，4 時，對應投擲銅板得到正面；而數字為 5，6，7，8，9 時，對應投擲得到反面。某同學拿到的一列數字依序為： 0612　9683　4251　9138

該同學計算銅板出現正面的機率在 95 %信心水準下的信賴區間：

〔

^}^p^-² ^}^p^（¹^-_n ^}^p^） ^]^c^}^p⁺² ^}^p^（¹^-_n ^}^p^）

〕

。則該同學所得到的結果中，

2 }p（1-}p）

n =　9A0

32 　。（化為最簡根式）

^答 ^案 9 3 0 7

^出 ^處第四冊第四章　機率與統計（Ⅰ）

^測驗目標信賴區間

^解 ^析根據數列的數字，可以知道 16 次中有 9 次為正面，所以 }p= 9 16，代入公式中可以得到：

2 9

16

（

¹^-16⁹

）

16 =2

4 63

16² =Q6W3

32 =3Q7 32 ^{難易度} 易

C. 坐標平面上有一面積為 40 的凸四邊形，其四個頂點的坐標按逆時針方向依序為

（0c0），（4c2），（xc2x）及（2c6），則 x=　qw　。 ^答 ^案 9 1 0 0

^出 ^處第三冊第二章　向量 ^測驗目標計算凸 n 邊形的面積 ^解 ^析利用公式 1

2

︱

⁰

^︱

⁰⁴²^2x^x²⁶⁰⁰

^︱︱

⁼⁴⁰^!^｜^（^8x⁺^6x^）^-^（^2x⁺^4x^）^｜=⁸⁰

! x=r10，但因為題目中表明四個頂點為逆時針方向排列，且四邊形為凸四邊形，所以（xc2x）不為第三象限的點，所以 x=10

^{難易度} 易

D. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點 A（0c30），B（18c27），

C（20c0），D（2c3）所圍成的平行四邊形及其內部。已知目標函數 ax+by（其中 a，b 為常數）在 D 點有最小值 48，則此目標函數在同個可行解區域的最大值為　ert　。

(10)

^出 ^處選修（Ⅰ）第三章　不等式 ^測驗目標線性規劃求極值

^解 ^析因為 ax+by=k 為斜率-a

b 的直線，所以當在 D 點有最小值時，表示在 B 點會有最大值

因為 2a+3b=48 ! 18a+27b=9（2a+3b）=9*48=432 ^{難易度} 中

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 109 頁範例 7 第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號

（一、二）與子題號（1、2），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每題配分標於題末。

一、設 a，b 為實數。已知坐標平面上滿足聯立不等式　x+yM0

　x+yN6 　2x-yM0

!@

@#

$$

%yMax-b 的區域是一個菱形。

1 試求此菱形之邊長。（4 分） 2 試求 a，b。（8 分）

^答 ^案 1 2Q5　2 a=2　b=3Q1W0 ^出 ^處第一冊第一章　數與式選修（Ⅰ）第三章　不等式

^測驗目標不等式解的圖形範圍與平面上點的距離 ^解 ^析 1 由右圖可以知道，菱形邊長為

A（S0S-S2S）S²S+S（S4S-S0S）²=Q2W0=2Q5 2 由右圖可以知道，

直線 y=ax-b 與直線 2x-y=0 平行，

所以 a=2。

藉由菱形每邊等長可以得到

2Q5=Z

（

^0C^-^b₃

）

²⁺

（

⁰⁺^b₃

）

²⁼^A2S₃^b²

! b=r3Q1W0，

但由圖形可以得到，

直線 y=ax-b 與 y 軸的交點為（0，-b）!b>0　∴ b=3Q1W0

(11)

^{難易度} 中

《指考關鍵 60 天‧數學乙》第 130 頁範例 1 二、設 A=

〔

^a_c　^bd

〕

^{為二階實係數方陣。}

1 當 A 為轉移矩陣時，試敘述實數 a，b，c，d 須滿足的條件。（6 分）

2 試證：當 A 為轉移矩陣時，A²也是轉移矩陣（式中 A²代表 A 與 A 的乘積）。

（6 分）

^答 ^案詳見解析

^出 ^處選修Ⅰ第二章矩陣

^測驗目標轉移矩陣的基本定義與矩陣乘法運算

^解 ^析 1 a，b，c，d 均為小於或等於 1 的非負實數且 a+c=1、b+d=1。 2 ∵A 為轉移矩陣且 A²= a　b

c　d

a　b

c　d = a²+bc　ab+bd ac+cd　bc+d² ∴a²+bc>0，ab+bd>0，ac+cd>0，bc+d²>0 且

（a²+bc）+（ac+cd）=a（a+c）+c（b+d）=a+c=1，

（ab+bd）+（bc+d²）=b（a+c）+d（b+d）=b+d=1

另外 a²+bc-1=a²+b（1-a）-1=（a+1）（a-1）-b（a-1） =（a-1）（a+1-b）20

! a²+bc21

ac+cd=1-（a²+ad）21

同理可以得到 bc+d²21 且 ab+bd21 所以 A²也是轉移矩陣。

^{難易度} 難

^{類似題} 《大滿貫復習講義‧數學乙》第 92 頁重點整理 1

《指考關鍵 60 天‧數學乙》第 104 頁範例 1

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臺南女中 / 高孟鍬 老師

數學考科

一、前言 一、前言

二、試題分析

二、試題分析

（

）

（

）

（

）

（

）

（

）

（

）

〔

〕

（

）

︱

︱

︱ ︱

（

）

（

）

〔

〕

臺南女中 / 高孟鍬老師

一、前言一、前言

^︱

^︱︱