PDF 8 8 ý

(1)

1 2

10 8 指考

發行人∕陳炳亨出　版∕民國一〇八年七月

總召集∕陳彥良發行所∕70248 臺南市新樂路 76 號總編輯∕汪崇愛編輯部∕70252 臺南市新忠路 8 -1 號主　編∕王維芬電　話∕(06)2619621 #363

校　對∕張勝炫•鄭晉勛 E-mail∕[email protected] 美　編∕林琬晴•杜政賢翰林官網 https://www.hle.com.tw

本書內容同步刊載於翰林官網

【試題．答案】依據大考中心公布內容

家齊高中 / 黃峻棋老師

數學考科

Z X C V

^00843-23

(2)

前　言一

最近四年指考數學乙五標的比較表如下：

104指考數學乙五標 105指考數學乙五標

頂標前標均標後標底標頂標前標均標後標底標

69 58 44 30 21 87 78 60 36 25

106指考數學乙五標 107指考數學乙五標

頂標前標均標後標底標頂標前標均標後標底標

92 83 61 33 19 84 74 52 28 17

從這四年的分數來看，除了104 年的題目之外，大致上都符合數乙試題的特性

（中等偏易的題型）。

指考試題的難易度，我把它分成三類：

1　中等偏易的題型：

　　1　以104指考為例：單選1，多選 3、5、6，選填A、B。

　　2　以105指考為例：單選1、2、3，多選5、8，選填A，計算一。

　　3　以106指考為例：單選1、2，多選4、6，選填A，計算一。

　　4　以107指考為例：單選1、2，選填A、B。 2　中等的題型：

　　1　以104指考為例：多選4、7，計算二。

　　2　以105指考為例：多選4、6、7，選填B、C，計算二。

　　3　以106指考為例：單選3，多選 5、7，選填B、C，計算二。

　　4　以107指考為例：單選3，多選 4、5、7，選填C，計算一、二。

3　中等偏難的題型：

　　1　以104指考為例：單選2，選填 C，計算一。

　　2　以105指考為例：無。

　　3　以106指考為例：無。

　　4　以107指考為例：多選6。

個人認為一份最好的數乙試題，如果五標的分布是（85、75、60、45、25），這

試題分析試題分析

108 ^指考 108 ^ZX ^指考

家齊高中 / 黃峻棋老師

數學乙

(3)

數乙考試重點

二（

打★者是 104 指考考過的重點

）

　打★者是 105 指考考過的重點　打★者是 106 指考考過的重點　打★者是 107 指考考過的重點 1數與式

2多項式函數

3指數與對數函數

(4)

4排列、組合

5機　率

6數據分析

(5)

7直線與圓

8平面向量

9矩　陣

(6)

0機率統計

q極限與函數

(7)

108 大學指考數學乙試題分布三

題號題型命題出處考試重點（測驗目標）難易度

1 單選第一冊第一章　數與式循環小數的計算易

2 單選第三冊第二章　直線與圓二元一次不等式的圖形中偏易

3 單選第三冊第三章　平面向量、

第四冊第三章　矩陣

向量內積的定義、

矩陣的乘法運算中

4 多選第一冊第三章　指數與對數函數首數與位數的關係中偏難

5 多選第二冊第二章　排列、組合邏輯、集合與計數原理中

6 多選第二冊第二章　排列、組合邏輯、集合與計數原理中

7 多選選修數學乙（上）第一章　機率統計古典機率的定義與性質、

獨立事件、隨機試驗中

A 選填第二冊第三章　機率古典機率的定義與性質中偏易

B 選填第一冊第二章　多項式函數除法原理、餘式定理中偏易

C 選填選修數學乙（上）第一章　機率統計期望值中偏易

一計算第三冊第三章　平面向量向量的坐標表示法、面積

與二階行列式中偏易

二計算第三冊第二章　直線與圓線性規劃中

試題分析說明四

1　今年的試題較去年簡單一些。每一冊的配分如下：第一冊22分，第二冊24分，第三冊32分，第四冊6分，選修數乙16分。

2　比較難的題目是多選第4題，同學如果誤判題目，把它用一般的乘法、除法來解，大概只能猜答案了。多選第5題、第6題屬於邏輯、集合與計數原理的題型，閱讀量大且對於文字的意義必須充分理解才能完全答對。大部份的同學在這三題應該會有點卡住吧！

3　預估今年的分數會比去年高一些，頂標大概88∼90 分，前標大概75∼78 分，均標大

概55分。請同學參考看看。 F

(8)

試題解析試題解析

108 ^指考 108 ^指考

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分）

一、單選題（占 18 分）

說明：第1題至第3題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 設a、b為循環小數，a=0.12、b=0.01。則a-b的值是下列哪一個選項？

1 0.11　　　2 0.1111　　　3 1

9　　　4 10

99　　　5 100 999

答　　案 3

命題出處 第一冊第一章　數與式

測驗目標 循環小數的計算

難易度 易

類似題 《大滿貫複習講義—數學乙》第7頁題型2例題 2

詳　　解 由a=0.12=12

99， b=0.01= 1

99　∴a-b= 11 99 =1

9 故選3

2 坐標平面上，直線y=2x與直線y=-3x+5將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個選項中的點會和點（1﹐1）在同一個區域？

1（20﹐-56）　　　　　2（13﹐-33）　　　　　3（-1﹐1） 4（-15﹐-29）　　　　5（-20﹐-29）

答　　案 1

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 二元一次不等式的圖形

難易度 中偏易

類似題 《大滿貫複習講義-數學乙》第64頁題型2類題1

詳　　解 設L1：2x-y=0，L2：3x+y=5，作圖如右由圖形得知，（1﹐1）在聯立不等式

2x-yM0

3x+yN5 的圖形區域內

ZX

家齊高中 / 黃峻棋老師

數學乙

(9)

3 若向量aA=（a1﹐a2），向量aB=（b1﹐b2），且內積aA．aB=1，則矩陣乘積 a1 a2

a1 a2

b1

b2 等於下列哪一個選項？

1[1 1] 2[2 2] 3 1

1 4 2

2 5 1 1

1 1

答　　案 3

命題出處 第三冊第三章　平面向量第四冊第三章　矩陣

測驗目標 向量內積的定義、矩陣的乘法運算

難易度 中

類似題 《大滿貫複習講義-數學乙》第81頁題型2例題2

詳　　解 由題意知aA．aB=a1b1+a2b2=1

∴ a1 a2

a1 a2

b1

b2

= a1b1+a2b2

a1b1+a2b2

= 1 1 故選3

二、多選題（占 32 分）

說明：第4題至第7題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，

得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4 已知正整數a與正整數b的乘積是11位數，而a除以b的商之整數部分是2位數，則a可能為幾位數？

1 5位數 2 6位數 3 7位數 4 8位數 5 9位數

答　　案 23

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 首數與位數的關係

難易度 中偏難

類似題 《大滿貫複習講義-數學乙》第29頁題型4

詳　　解 〈解法一〉

設a是m位數，b是n位數，m、n為正整數且m>n log a=（m-1）+k1，log b=（n-1）+k2且0Nk1，k2<1 則a*b是11位數!log ab=10+t1，0Nt1<1

!log a+log b=10+t1!（m-1）+k1+（n-1）+k2=10+t1

∴m+n+k1+k2=12+t1

(10)

即m+n=12+t1-k1-k2………1 又 a

b 的商之整數部分是2位數!log a

b=1+t2，0Nt2<1

!log a-log b=1+t2!（m-1）+k1-（n-1）-k2=1+t2

!m-n=1+t2-k1+k2………．2 1+2得2m=13+（t1+t2）-2k1

又0Nt1+t2<2，0N2k1<2

!-2<（t1+t2）-2k1<2

!11<2m<15

∴m=6，7　∴a可能是6位數或 7位數故選23

〈解法二〉

10Nlog ab<11!10Nlog a+log b<11………1 1Nlog a

b<2!1Nlog a-log b<2………2 1+2得11N2 log a<13!5.5Nlog a<6.5

∴a可能是6位數或7位數故選23

5 考慮如下的九宮格：

1 2 3

4 5 6

7 8 9

編號1、3、7、9的四格稱為「角」，編號2、4、6、8的四格稱為「邊」，而編號5的格子稱為「中心」。在此九格中放入5個○及4個╳的記號，每一格只能放入一個○或一個×，且任一行（例如位置1、4、7）、任一列（例如位置4、

5、6）、以及任一對角線（對角線是指位置1、5、9或位置3、5、7）的三個記號不能完全相同（例如位置1、5、9不能全為○或全為×）。試選出正確的選項。

1若在中心放○，則可能有三個○放在邊上 2若在中心放○，則一定恰有兩個○放在角上 3若在中心放×，則一定恰有兩個×放在角上 4中心放○的方法共有8種

5中心放×的方法共有4種

(11)

答　　案 24

命題出處 第二冊第二章　排列、組合

測驗目標 邏輯、集合與計數原理

難易度 中

詳　　解 1*：若中心放○，且有3個○放在邊，則行或列必有3個○連成一線

（不合）

2○：中心放○，則邊和角都恰有兩個○，才不會連成一線 3*：中心放*，若兩個╳放邊，則1個*放角可成立

4○：　　　

　　　如上圖，共8種

5*：　　　

　　　如上圖，共8種故選24

6 某商店出售10種不同款式的公仔。今甲、乙、丙三人都各自收集公仔。試選出正確的選項。

1 若甲、乙兩人各自收集6款公仔，則他們兩人合起來一定會收集到這10款不同的公仔

2若甲、乙兩人各自收集7款公仔，則至少有4款公仔是兩人都擁有 3若甲、乙、丙三人各自收集6款公仔，則至少有1款公仔是三人都擁有 4若甲、乙、丙三人各自收集7款公仔，則至少有2款公仔是三人都擁有 5若甲、乙、丙三人各自收集8款公仔，則至少有4款公仔是三人都擁有

(12)

答　　案 25

命題出處 第二冊第二章　排列、組合

測驗目標 邏輯、集合與計數原理

難易度 中

詳　　解

1*：n（甲k乙）=n（甲）+n（乙）-n（甲j乙）N10 　　　∴6Nn（甲k乙）N10

2○：承1，n（甲j乙）M7+7-10=4 　　　∴4Nn（甲j乙）N7

3*： n（甲j乙j丙）=n（甲k乙k丙）-n（甲）-n（乙）-n（丙）

+n（甲j乙）+n（乙j丙）+n（丙j甲）

　　　又n（甲j乙j丙）不為負數

　　　當甲、乙、丙三人各自收集6款公仔時，6Nn（甲k乙k丙）N10 　　　且2Nn（甲j乙），n（乙j丙），n（丙j甲）N6

　　　∴0Nn（甲j乙j丙）N6，可能沒有1款公仔是三人都擁有 4*：承3，

　　　∴1Nn（甲j乙j丙）N7，至少1款公仔是三人都擁有 5○：承3，

　　　∴4Nn（甲j乙j丙）N8，至少4款公仔是三人都擁有故選25

(13)

7 某甲上班可採全程步行或全程騎腳踏車兩種方式通勤，其中步行的通勤時間為 60 分鐘，騎腳踏車的通勤時間以整數計時為T分鐘。其中30NTN40，且T分為五個區間，其出現在各區間的機率如下表：

通勤時間 30NT<32 32NT<34 34NT<36 36NT<38 38NTN40 機率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

例如：騎腳踏車通勤時間T滿足區間32NT<34的機率為0.2。假設甲每天通勤時間互相獨立。根據上述資料，試選出正確選項。

1 若甲某一天騎腳踏車上班，則其通勤時間少於35分鐘的機率是0.5

2 若甲某五天皆騎腳踏車上班，則這五天上班的通勤總時間一定會少於四天騎腳踏車另一天步行的通勤總時間

3 若甲某五天上班的通勤總時間為250 分鐘，則這五天中甲一定是三天步行，

兩天騎腳踏車

4 若甲每天投擲一公正銅板來決定步行或騎腳踏車上班，正面則步行，反面則騎腳踏車，則甲兩天的通勤總時間至少90分鐘的機率是0.75

5 若甲有兩天皆騎腳踏車上班，則甲這兩天的通勤總時間至少為76分鐘的機率是0.01

答　　案 34

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計

測驗目標 古典機率的定義與性質、獨立事件、隨機試驗

難易度 中

類似題 《大滿貫複習講義-數學乙》第44頁題型1例題2

詳　　解 1*：通勤時間在34NT<35之間的機率p不一定是0.2（0NpN0.4） 2*：五天騎腳踏車通勤時間最多為40*5=200（分鐘）

　　　四天騎腳踏車加1天步行通勤時間最少為30*4+60=180（分鐘）

　　　∴不一定少於四天騎腳踏車另一天步行的通勤總時間 3○：若五天步行（5*60=300>250）（不合）；

　　　若四天步行，一天騎腳踏車（4*60+30>250）（不合）；

　　　若三天步行，兩天騎腳踏車（3*60+2*35=250）（合）；

　　　若兩天步行，三天騎腳踏車（2*60+3*40<250）（不合）；

　　　若一天步行，四天騎腳踏車（60+4*40<250）（不合）

　　　故這五天甲一定是三天步行，兩天騎腳踏車

(14)

4○：兩天通勤總時間至少 90分鐘!至少有一天步行　　　∴ P（兩天通勤總時間至少90分鐘）

=P（正﹐反）+P（反﹐正）+P（正﹐正）

=

（

¹₂

）

²⁺

（

¹₂

）

²⁺

（

¹₂

）

²⁼³₄⁼^0.75

5*： P（兩天通勤總時間至少為76分鐘）

>P（兩天通勤時間均為38分鐘以上）=0.1*0.1=0.01 故選34

三、選填題（占 24 分）

說明： 1　第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8∼15）。

　　　 2　每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 從三位數中任選一數，寫成a*10²+b*10+c，其中a是1到9的整數，b和c 都是0到9的整數，則a+b+c=9的機率為 8

90 。（請化成最簡分數）

答　　案 1 20

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 古典機率的定義與性質

詳　　解 三位數：100∼999　∴n（S）=900（個）

a+b+c=9，a_0

a 1 2 3 4 …… 9

b 0∼8 0∼7 0∼6 0∼5 …… 0

c 8∼0 7∼0 6∼0 5∼0 …… 0

逐一討論n（A）=9+8+7+6+5+4+3+2+1=45

（

â^∴^{亦可用重複組合計算：}⁺ⁿ^（^b⁺Â^）^c⁼⁼⁹^H^{的非負整數解個數，但}³⁹^-^H²⁹⁼^C¹¹⁹^-^C¹⁰⁹⁼⁵⁵^-¹⁰â^_⁼⁰⁴⁵

）

∴P（A）= 45 900= 1

20

(15)

B. 已知實係數多項式 f（x）除以 x²+2的餘式為x+1。若x f（x）除以x²+2的餘式為ax+b，則數對（a﹐b）=（q﹐we）。

答　　案 （1﹐-2）

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 除法原理、餘式定理

詳　　解 由除法原理可知 f（x）=（x²+2）．Q（x）+x+1

!x f（x）=（x²+2）．xQ（x）+x²+x（∵除式二次，餘式最多一次）

=（x²+2）．xQ（x）+（x²+2）．1+x-2 =（x²+2）〔xQ（x）+1〕+x-2

∴x f（x）除以x²+2的餘式為x-2

∴a=1，b=-2!數對（a﹐b）=（1﹐-2）

C. 某遊戲的規則為同時擲兩顆公正骰子一次，若兩顆點數和為6或者至少有一顆

點數為 6，即可獲得獎金 36元，否則沒有獎金，則這個遊戲獎金的期望值為 rt元。

答　　案 16

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計

測驗目標 期望值

詳　　解 樣本空間個數n（S）=6²=36 1　至少有一顆點數為6：　 □□：56 *2=10（種）

　 6□□：6 1（種）

2　點數和為6：a+b=6

　 a 1 2 3 4 5

b 5 4 3 2 1

　共5種

∴n（A）=10+1+5=16

∴P（A）=16

36，故期望值E（A）= 16

36*36=16（元）

(16)

第貳部分：非選擇題（占 26 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。

一、考慮坐標平面上相異五點O、A、B、C、D。已知向量OCa=3aOA，aOD=3aOB，

且向量aAB的坐標表示為aAB=（3﹐-4），試回答下列問題。

　　1 試以坐標表示向量aDC。（5分）

　　2　若aOA=（1﹐2），試利用二階行列式與面積的關係，求△OCD的面積。（8分）

答　　案 1 （-9﹐12）；2 45平方單位

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量的坐標表示法、面積與二階行列式

類似題 《大滿貫複習講義-數學乙》第73頁題型1類題4、第76頁題型4例題1

詳　　解 1 設O是坐標原點，則aAB=aOB-aOA=（3﹐-4）　又aDC=aOC-aOD=3aOA-3aOB

　　　=3（aOA-aOB）=-3（3﹐-4）=（-9﹐12） 2 承1，aOA=（1﹐2）!aOC=（3﹐6）（∵aOC=3aOA）

　∴aOB=（3﹐-4）+aOA=（3﹐-4）+（1﹐2）=（4﹐-2）　∴aOD=（12﹐-6）（∵aOD=3aOB）

　∴△OCD的面積為 1

2│ 3 6

12 -6│=1

2│-18-72│=45（平方單位）

二、某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部25 萬元及汽車一部60萬元，訂購經費上限是5400萬元。

另此運輸公司共有100格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售1部重機可得淨利潤2.3萬元（即2萬 3千元），銷售1部汽車則可得淨利潤5萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。

　　1　試寫出此問題之線性規劃不等式及目標函數。（4分）

　　 2　在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。（3分）

(17)

答　　案 1

5x+12yN1080 x+2yN200 x，y為非負整數

，x，y 分別為重機和汽車的數量，

　目標函數 f（x﹐y）=2.3x+5y； 2 略；

3 訂購重機120部，汽車40部時有最大淨利潤476萬元

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 線性規劃

難易度 中

詳　　解 1 設訂購重機x（部），汽車y（部）

　∴

25x+60yN5400 x

2+yN100 x，y 為非負整數

!

5x+12yN1080 x+2yN200 x，y 為非負整數　目標函數 f（x﹐y）=2.3x+5y

2 作圖如下

3　由頂點法得知，f（x﹐y）的最大值產生在不等式區域的頂點上

（x﹐y）（0﹐0）（0﹐90）（200﹐0）（120﹐40）

f（x﹐y） 0 450 460 476

　∴訂購重機120部，汽車40部時，可得最大淨利潤476萬元 F

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1 2

10 8 指 考

10 8 指 考

家齊高中 / 黃峻棋 老師

數 學 考科

Z X C V

前 言 一

試 題 分 析 試 題 分 析

108 指考 108 ZX 指考

數 學 乙

數乙考試重點

二 （

）

108 大學指考數學乙試題分布 三

試題分析說明 四

試 題 解 析 試 題 解 析

108 指考 108 指考

ZX

數 學 乙

（

）

（

）

（

）

（

）

10 8 指考

10 8 指考

家齊高中 / 黃峻棋老師

數學考科

前　言一

試題分析試題分析

108 ^指考 108 ^ZX ^指考

數學乙

二（

108 大學指考數學乙試題分布三

試題分析說明四

試題解析試題解析

108 ^指考 108 ^指考

數學乙