111 學年度學科能力測驗模擬試題
數學 A 考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘 選擇(填)題計分方式：
˙單選題：每題有 n 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。
各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，
該題以零分計算。
˙多選題：每題有 n個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之 選項獨立判定，所有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯 k 個 選項者，得該題n 2k
n
的分數；但得分低於零分或所有選項均未作
答者，該題以零分計算。
˙選填題每題有n個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。
◎註：此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，
作答方式仍以未來實際之測驗形式為準
第壹部分：選擇（填）題（占 85 分）
一、單選題（占 35分）
說明：第1題至第7題，每題5分。
1. 坐標平面上有兩向量
a,
b，其中
a＝ ( 1 , 2 )，若
a 在
b上的正射影為1 2
b,
b 在
a 上的正射影為
a，則滿足條件的
b有幾個？
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4
2. 坐標平面上有一梯形ABCD，其中A ( 0 , 0 )，B ( 10 , 5 )，C ( 10 , 10 )，若D ( m , n ) ( m , n≠0 )，滿足∠ADC＝90，則m＋3n＝？
(1) 5 (2) 10 (3) 20 (4) 35 (5) 55
3. 若已確定sinθ的值，則下列選項中何者必能確定唯一值？
(1) cosθ (2) tanθ (3) sin 2θ (4) cos 2θ (5) tan 2θ
4. 一次段考中，有10位學生數學科成績的算術平均數為70分、標準差為12，今若加入2位
分數皆為70分學生的成績，則新的標準差為下列哪一個選項？
(1) 10 (2) 120 (3) 11 (4) 12 (5) 14.4
5. 空間中有A ( 4 , 8 , 7 )，B ( 6 , 8 , 9 )，C ( 8 , 8 , 7 ) 三點，若P點滿足PA PB PC ，則所 有P點所形成的集合為下列何者？
(1)
6 8 7
x y z
＝
＝
＝
(2)
6 + 8 7 +
x t
y
z t
＝
＝
＝
，t∈ (3)
6 8 + 7
x
y t
z
＝
＝
＝
，t∈
(4) 6x＋8y＋7z＝0 (5) x＝6
6. 已知線性方程組 1
1
1 19
1 26
a x
ab b y
＝
－ 的解為 1
1
3 2 x y
＝ ，則方程組 2
2
1 3
1 2
b x
ab a y
－
－ ＝
的解 2
2
x y
＝？
(1) 3 2
(2) 17
3 29 19
(3) 2 3
(4) 26 19
(5) 19 26
7. 某經理決策事情時會先將初步方案( 簡稱A方案)詢問其秘書，此時秘書有0.8的機率贊
同；0.2的機率反對，若贊同則此方案適用；反對的話經理則會再提出B,C,…方案詢問其 秘書，秘書贊同與反對的機率與前述相同，並依此模式進行直到提出的方案適用為止，則 提出到E方案才被贊同的機率為下列哪一個選項？
(1) ( 0.8 )4 (2) ( 0.8 )5 (3) ( 0.2 )4 ( 0.8 ) (4) ( 0.8 )4 ( 0.2 ) (5) C45 ( 0.2 )4 ( 0.8 )
二、多選題（占 30分）
說明：第8題至第13題，每題5分。
8. 睿瞳與媽媽約定好段考的獎勵規則，若兩項條件達到其中一項即可獲得獎勵，條件如下：
①國文、英文、數學三科的平均高於80分
②國文、英文、數學其中兩科的平均高於83分
某次段考中，睿瞳的國文成績為80分，且「英文成績＜國文成績＜數學成績」，已知她 獲得獎勵，試選出正確的選項。( 各科分數為0～100間的整數)
(1) 睿瞳的英文成績可能為70分
(2) 睿瞳的數學成績可能為81分
(3) 睿瞳的「英文成績＋國文成績」低於159分
(4) 若睿瞳達成第二項條件但沒達成第一項條件，則她的英文成績必定低於74分
(5) 若睿瞳達成第一項條件但沒達成第二項條件，則她的「數學成績－英文成績」＜10分
9. 設 f (x)＝2x，g(x)＝log2x。試選出正確選項。
(1) f (x)的值恆大於0
(2) 存在一實數α，使得g(α)＝0 (3) 對所有的實數k，恆有f (g(k))＝k
(4) 若h1(x)＝f (x)－g(x)，則h1(x)＝0恰有一個實數解 (5) 若h2(x)＝f (x)．g(x)，則h2(x)＝0恰有一個實數解
10. 以恆想製造與心儀女生巧遇的機會，他打聽到對方一星期7天中有2天會出現在咖啡廳，
但不確定是星期幾，試選出正確選項。
(1) 若以恆選擇星期一去咖啡廳，則遇見心儀女生的機率是2
7
(2) 若以恆選擇星期二去咖啡廳，則遇見心儀女生的機率是 5
42
(3) 若以恆選擇星期一與星期二去咖啡廳，則皆未遇見心儀女生的機率是10
21
(4) 若以恆選擇星期一與星期二去咖啡廳，則兩天都遇見心儀女生的機率是 4
49
(5) 若以恆選擇星期一到星期六都去咖啡廳，則皆未遇見心儀女生的機率是0
11. 令多項式函數 f (x)＝x3－6x2－25x－18，試選出正確選項。
(1) f (x) 除以x＋1的餘式為12
(2) f (x) 在坐標平面上的圖形，可由g(x)＝x3－37x圖形平移而得 (3) f (x) 除以 ( x－2 )2的餘式為－37x－10
(4) f (x) 的圖形在y軸附近時，會近似於p(x)＝25x－18的圖形 (5) f (x) 的圖形與x軸恰有1個交點
12. 棒球比賽中，投手瑜謙將球投進好球帶的機率為0.6、未進好球帶的機率為0.4，且投出 的每球結果互相獨立。其中，若球進到好球帶，打者打成界外球的機率為0.3；若球未進 到好球帶，打者打成界外球的機率為p ( 0.2＜p＜0.5 )。試選出正確選項。
(1) 瑜謙投出一球，打者將球打成界外球的機率為0.18＋p
(2) 瑜謙投出一球，打者將球打成界外球的機率大於0.4
(3) 瑜謙投出一球，打者未將球打成界外球的機率為0.82－0.4p
(4) 瑜謙投出一球，若打者將球打成界外球，則打者是揮擊好球帶內的球之機率小於0.7
(5) 瑜謙投出兩球，打者皆未將球打成界外球的機率大於0.3
13. 坐標平面上，直線x＋y＝0經過下列哪些線性變換後，仍然是同一條直線？
(1) 0 1 1 0
(2) 1 1 1 1
(3) cos90 sin 90 sin 90 cos90
－
(4) cos180 sin180
sin180 cos180
－ (5) 1 2 2 1
三、選填題（占 20分）
說明：第14至17題，每題5分。
14. 數列〈an〉滿足a1＝ 2 3
2 3
a an
a
＝ ＝…＝n ，若此數列前100項的和S100＝7575，則a2＝
○
14 。15. 空間坐標中，滿足 ( x＋y＋z )2＋x2＝0之點 ( x , y , z )的集合為一直線L，設L的單位方向 向量為
L ( a , b , c )，則a＋b＋c＝
○
15 。16. 翊寧將房間平面坐標化(如示意圖)，房間內部為線段(牆壁)所圍
成之區域，且所有線段皆為鉛直線或水平線。今欲在房間內之原點 處架設一無線基地台，已知無線基地台所發出的訊號可涵蓋方圓r 單位之範圍，對應的價格為10r2，若此房間至少要購置價格P之 無線基地台，訊號方能涵蓋整個房間(假設訊號不會因為穿透牆壁 而減弱)，則P＝
○
16-1○
16-2○
16-3○
16-4 。17. 有一箏形ABCD滿足對角線的長度比為4：5，即5AC ＝ 4BD， 且cos∠ABC＋cos∠ADC＝0，則sin∠ABC＝
○
17-1○
17-2 。第貳部分：混合題或非選擇題（占 15 分）
說明：本部分共有1題組，每一子題配分標於題本，限在標示題號作答區內作答。非選擇題 請由左而右式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。
18-19題為題組
飲料店橘子水樣的店長觀察一整年每個月份的飲料銷售量(如下表所示)，發現6月的銷售量明 顯為最高峰；12月則為銷售的乾枯期，他更進一步發現飲料銷售杯數呈現週期性的浮動，以一 年為週期。根據上述，試回答下列問題。
月分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
銷售量
（杯） c1 4750 6500 8250 c5 10000 c7 8250 6500 4750 c11 3000 18. 若在坐標平面上以月分 (x) 為橫坐標，銷售量 (y) 為縱坐標，根據上表，月分與銷售量
的關係可大致上用函數 f (x)＝Asin ( kx＋α )＋B描述，其中 A , B＞0，k＞0，試選出正確 選項。 ( 多選題，5分 )
(1) A＝10000 (2) B＝6500 (3) α可為 2
(4) α可為3 2
(5)月分與銷售量的關係也可用函數 g(x)＝－Acos (kx)＋B描述
19. 試利用 f (x) 計算c1 , c5 , c7 , c11的值 ( 四捨五入至整數位 ) ( 3 ≅1.732 )；並計算一年12個 月分的平均銷售量。( 非選擇題，10分 )
※請同學們撕下此張作答聯作答
111 學年度學科能力測驗模擬試題 數學 A
第壹部分：選擇（填）題
1. (2) 2. (5) 3. (5) 4. (4) 5. (3) 6.
(1)(2) (3)(4)
(5) 7. (1)(2)
(3)(5) 8. (1)(2) (5) 9.
(1)(2) (3)(4)
(5) 10. (1)(2) (3)(4) 11. (2)(3)
(4)(5) 12. ± 13. 3 14. 9 15. 9 16. 0 17. 5 5
第貳部分：混合題或非選擇題 18.
19.
年 班 號 姓名
裁切線
