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4 ．万有引力理论的成就

1 ．若不考虑地球 __________ 的影响，地面上的物体所受的

________ 等于地球对它的万有引力．

自转 重力

2 ．在地面或地面附近的物体到地心的距离，可以近似看做 ______________地球的半径 ．

3 ．两个物体间的万有引力大小为

F

_{，若两物体间的距离增} 大为原来的 2 倍，则此时两物体间的万有引力的大小为 ( )

A ． 2

F

B. ¹

F

2 C ． 4

F

D. ¹

F

4

D

4 ．下列关于万有引力定律的说法，正确的是 ( )

A ．天体间的万有引力与它们的质量成正比，与它们之间 的距离成反比

B

B ．任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物 体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比

C ．万有引力与质量、距离和万有引力常量都成正比

D ．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体 不适用

知识点 计算天体的质量和密度

2012 年 8 月，美国国家航空航天局宣布在距地球 4 900 光 年处发现了一个新的类太阳系，并在其网站上展示了模拟图片 和视频．该类太阳系的核心为两颗恒星，两者互为中心转动，

天文学上称作双子星体系．据报道，其中一颗恒星的大小与太 阳相近，亮度为太阳的 84% ；另一颗则尺寸约为太阳的三分之 一，但亮度还不足太阳的 1%.

该发现最令人兴奋的还在于它同时拥有两个环绕行星，它 们围绕着共同的“动态目标”进行公转．这表明能够超过一颗 行星在双子星强大的引力下形成天体系统，反映出天体系统存 在的多样性．

科学家介绍说，内层的行星叫做开普勒－ 47b ，公转周期不 超过 50 天，不过可能由于其过热的大气层内有甲烷燃烧而导致 覆盖着一层浓雾，无法直接观测到；外层的行星叫做开普勒－

47c ，公转周期约 303 天，轨道占据在所谓的适居带上，使得该 行星表面温度适宜，能够稳定存有液态水，存在孕育生命的条件．

图 6 － 4 － 1 讨论：

(1) 在该类太阳系中，简述星体的运动情况．

提示：两颗恒星绕着它们共同的质量中心转动，且周期、

角速度一样；两颗行星各自在离两颗恒星较远的不同轨道上，

环绕着两颗恒星进行公转．

(2) 结合万有引力定律，分析星体的运动情况．

提示：由

F

_＝

G m r

₁

m

₂

2 可知，虽然各星体之间存在万有引力，

但由于行星的质量远小于恒星的质量，所以行星受到两颗恒星 的万有引力远大于受到另一颗行星的万有引力，前者为行星公 转提供了向心力；又由于两颗恒星之间的距离远小于行星到两 颗恒星的距离，所以行星对两颗恒星的万有引力相对于两颗恒 星之间的万有引力，可以忽略不计，一颗恒星对另一颗恒星的 万有引力提供了另一颗恒星绕中心转动的向心力．

1 ．基本方法：把天体 ( 或人造卫星 ) 的运动看成匀速圆周运 动，其所需的向心力由万有引力提供．

2 ．解决天体做圆周运动问题的两条思路：

(1) 在地面附近，万有引力近似等于物体的重力，有

F

_引＝

【例 1 】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量

M

. 已知地球的半径

R

_＝ 6.4×10⁶ m ，地球的质量

m

_＝ 6×10²⁴ kg ， 日地中心的距离

r

＝ 1.5×10¹¹ m ，地球表面的重力加速度

g

＝ 10 m/s² ， 1 年约为 3.2×10⁷ s ，试估算目前太阳的质量

M

.( 保留一位 有效数字，引力常数未知 )

解：设

T

为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和 动力学知识得

【触类旁通】

1 ．某行星绕太阳的运动可近似看做是匀速圆周运动，已知

行星运动的轨道半径为

R

_，周期为

T

_{，引力常数为}

G

_{，则该行星} 的线速度为多大？太阳的质量为多少？

【例 2 】假设在半径为

R

的某天体上发射一颗该天体的卫 星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为

T

₁ ，已知 引力常数为

G

，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距该天体 表面的高度为

h

，测得在该处做匀速圆周运动的周期为

T

_{2 ，则} 该天体的密度又可表示为什么？

【触类旁通】

2 ．“神舟”六号飞船在预定圆轨道上飞行，每绕地球一圈需

要的时间为 90 min ，每圈飞行的路程为 L _＝ 4.2×10⁴ km. 试根据以 上数据估算地球的质量和密度． ( 地球的半径 R _约为 6.37×10³ km ， 引力常量 G 为 6.67×10 ^{－ 11} N·m²/kg² ，结果保留两位有效数字 )

双星问题

天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗 恒星称为双星，双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中 两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．

【例 3 】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某 一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为

T

_{，两颗恒星之间的} 距离为

r

，试计算这个双星系统的总质量． ( 引力常量为

G

)

解：设两颗恒星的质量分别为

m

₁ 、

m

₂ ，做圆周运动的半径 分别为

r

_{1 、}

r

_{2 ，角速度分别是}

ω

_{1 、}

ω

₂. 根据题意有

ω

_{1 ＝}

ω

_2①

r

_{1 ＋}

r

_{2 ＝}

r

_②

根据万有引力定律和牛顿运动定律，有

【触类旁通】

3 ．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动 可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒

A

和

B

与土星中心的距 离分别为

r

_A ＝ 8.0×10⁴ km 和

r

_B ＝ 1.2×10⁵ km. 忽略所有岩石颗 粒间的相互作用．求： ( 结果可用根式表示 )

(1) 岩石颗粒

A

和

B

的线速度之比；

(2) 岩石颗粒

A

_和

B

_{的周期之比．}

解： (1) 设土星的质量为

M

_{0 ，岩石颗粒的质量为}

m

_，岩石颗 粒距土星中心的距离为

r

_{，线速度为}

v

，根据牛顿第二定律和万

自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有 G——

“ 黄金代换”的理解与运用

若已知星球表面的重力加速度 g _{和星球的半径} R _{，忽略星球} Mm

R²

＝ mg _，所以 GM _＝ gR² ，此式是在有关计算中常用到的一个替换关 系，称为“黄金代换”．

(1) 若物体绕星球表面 ( 忽略物体离星球表面的高度 ) 做匀速圆 周运动，则轨道半径近似地认为是星球半径 R _{，重力加速度为星} 球表面的重力加速度 g _；

(2) 若物体在离星球表面 h _处 (h _不能忽略 ) 绕星球做匀速圆周运 动，则轨道半径为 r _＝ R _＋ h _，高度为 R _＋ h _{处的重力加速度为} g′.

【触类旁通】

4 ．一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的 15 倍，

地球半径

R

_＝ 6 400 km ，试估算此卫星的线速度．

G Mm

² ＝

m r

v

²

r

^①

r

_＝ 15

R

_＋

R

_＝ 16

R

②

解：设人造地球卫星的质量为

m

，地球的质量为

M

，

r

为 人造地球卫星绕地球做圆周运动的轨道半径，根据万有引力定 律有