ضﺮﻋو داﺪﻋإ أ :
د . ﻲﻨھﺬﻟا ﺔﺒﯿﺒﺣ . ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻲﻤﻠﻌﻟا ءﺎﻘﻠﻟا
١
لوﺎﺣ ﻦﻣ لوأ
ﻟﺎﺑ فﺮﻌﯾ ﺎﻣ جﺎﺘﻨﺘﺳا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ
ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا ﺔﯿﺋﺰﺠﻟا هداز ﻲﻔﻄﻟ ﻢﻟﺎﻌﻟا ﻮھ
ضﻮﺨﻧ نأ ﻞﺒﻗو .
ﻟا ﺺ ﺨﯾ ﺎﻣ ﺾﻌﺑ ﻞﯿﺻﺎﻔﺗ ﻲﻓ ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻤ
ﻰ ﻟإ ﺮﯿﺸ ﻧ نأ ﺐ ﺤﻧ ؛ﺔﯿﺑﺎﺒﻀ ﻟا ﺔ ﯿﺋﺰﺠﻟا نأ
ﻦ ﻣ ﺐ ﻧﺎﺟ ﺎ ﯿﺣ
ﻢﻟﺎ ﻌﻟا اﺬ ھ ة .
ﻓ ﻲﻧاﺮﯾإ ﻞﺻأ ﻦﻣ ﻲﻛﺮﺗ ﻢﻟﺎﻋ ﻮھ هداز ﻲﻔﻄﻠ ﺑأ نﺎﻛ .
ﺔﯿﺳور لﺎﻔﻃأ ﺔﺒﯿﺒﻃ ﮫﻣأو ﺎﯿﻔﺤﺻ ﻞﻤﻌﯾ هﻮ ناﺮﯾإ ﻰﻟإ ﺮﺟﺎھ .
ةﺮﺘﻓ ﺎﮭﯿﻓ شﺎﻋو ﺔ ﯿﻧاﺮﯾﻹا تﺎ ﻌﻣﺎﺠﻟا ىﺪ ﺣإ ﻦ ﻣ ﺔﺳﺪﻨﮭﻟا ﻢﺴﻗ ﻦﻣ ﮫﺟﺮﺨﺗ ﻰﺘﺣو ةﺮﺷﺎﻌﻟا ﻦﻣ ًءاﺪﺘﺑا ةﺮﻤﻋ ﻦﻣ
.
ﺮﯿﺘﺴﺟﺎﻤﻟا ﺔﺟرد لﺎﻨﯿﻟ ﺎﯿﻠﻌﻟا ﮫﺘﺳارد ﺎﮭﯿﻓ ﻞﻤﻛأ ﻲﺘﻟاو ﺔﯿﻜﯾﺮﻣﻷا ةﺪﺤﺘﻤﻟا تﺎﯾﻻﻮﻟا ﻰﻟإ ﺎھﺪﻌﺑ ﺮﺟﺎھ هارﻮﺘﻛﺪﻟاو
.
ةﺰ ﯿﻤﺘﻤﻟا ﺔ ﻟاﺪﻟا نأ هداز ﻲ ﻔﻄﻟ ﻆ ﺣﻻ ؛ةﺮ ﺘﻔﻟا هﺬ ھ لﻼ ﺧو )
characteristic function ﻊ ﻣ ﻞ ﻣﺎﻌﺘﺗ (
ﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ {0,1}
يوﺎﺴﺗ ﺚﯿﺣ ﻟا ﻰﻟإ ﻲﻤﺘﻨﯾ ﺮﺼﻨﻌﻟا نﺎﻛ اذإ 1
ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ يوﺎﺴﺗو
ﻰ ﻟإ ﻲ ﻤﺘﻨﯾ ﻻ ﺮﺼ ﻨﻌﻟا نﺎﻛ اذإ 0
ﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ .
ﺑ ﻊ ﻘﺗ ﻲ ﺘﻟا ﻢﯿ ﻘﻟا ﺔ ﯿﻘﺑ لﻮ ﺣ ﮫﻟؤﺎﺴ ﺗ ترﺎ ﺛأ ﺔ ﻈﺣﻼﻤﻟا هﺬھ ﻦﯿ
و 0 1 ﺎ ﮭﻨﻣ ةدﺎﻔﺘ ﺳﻻا ﻦ ﻜﻤﯾ ﻞ ھ . ةدﺎ ﻋﻹ
ﻦﯿ ﺑ ﻢﯿﻘﻟا ﻊﯿﻤﺟ ﻊﻣ ﻞﻣﺎﻌﺘﺗ ةﺪﯾﺪﺟ ﺔﯿﺿﺎﯾر ﺔﺒﯿﻛﺮﺗ ﻢﯾﺪﻘﺗ ﻞﻗﻷا ﻰﻠﻋ وأ ةﺰﯿﻤﺘﻤﻟا ﺔﻟاﺪﻟا ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺔﻏﺎﯿﺻ و 0
ﻲ ﺘﻟاو 1
ةﺮﺘﻔﻟا ﻲﻓ ﺎھﺮﺼﺣ [0,1]
؟
ةﺮﺘﻔﻟا ﻰﻠﻋ ﺎﮭﻤﯿﻤﻌﺗ لوﺎﺣو ضوﺮﻔﻟا ﺾﻌﺑ ﻊﺿو ﻞﻌﻔﻟﺎﺑو [0,1]
ﻟا ﻲﻓ ﺔﯿﻌﻗاﻮﻟا ﺔﻠﺜﻣﻷا ﺾﻌﺑ لﻼﺧ ﻦﻣ ﻰﻠﻋ ؛ةﺎﯿﺤ
لﺎﺜﻤﻟا ﻞﯿﺒﺳ :
ﺔﻨﯿﻌﻣ ﺔﺟرﺪﺑ لﻮﻃ ﻞﻜﻟ ﺰﻣﺮﺗ ةﺪﯾﺪﺟ ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ نﻮﻛ ﺚﯿﺣ ،ﺔﻔﻠﺘﺨﻤﻟا لاﻮﻃﻷا يوذ لﺎﺟﺮﻟا ﻦﻣ ﺔﻧﻮﻜﻤﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا - ﻦﯿﺑ ةرﻮﺼﺤﻣ و 0
1 .
ﮫﺗﺎﺟردو ﺮﻤﺣﻷا نﻮﻠﻟا ﻦﻣ ﺔﻧﻮﻜﻤﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا - .
ﺑو ﻢﺘﮭﻣ ﻞﻜﻟ ﮫﯿﻋاﺮﺼﻣ ﺢﺘﻓ بﺎﺒﻟ ﺎﺣﺎﺘﻔﻣ ﻞﺜﻤﺗ هداز ﻲﻔﻄﻟ ﻦﻣ تﻻوﺎﺤﻤﻟا هﺬھ ﺖﻧﺎﻛ ﻦ ﻋ ﺞﺘ ﻨﻓ ؛لﺎﺠﻤﻟا اﺬھ ﻲﻓ ﺚﺣﺎ
ﻟا مﻮﮭﻔﻤﻟ ﺔﯿﺿﺎﯾﺮﻟا ﺔﺒﯿﻛﺮﺘﻟا ﻚﻟذ ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ
ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا .
ﻟا ﻦ ﻣ ﺔ ﻓﺮﻌﻣ ﺔ ﻟاد ةﺰ ﯿﻤﺘﻤﻟا ﺔ ﻟاﺪﻟا نأ ﺪ ﺠﻧ ةﺰ ﯿﻤﺘﻤﻟا ﺔﻟاﺪﻟا ﻒﯾﺮﻌﺘﺑ ﺔﺒﯿﻛﺮﺘﻟا هﺬھ ﺔﻧرﺎﻘﻣ ﺪﻨﻌﻓ ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻤ
ﺔﻠﻣﺎﺸ ﻟا u
ﻰ ﻟإ ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦ ﻣ نﻮ ﻜﺘﺗ
{0,1}
ﻟا ﺎ ﻤﻨﯿﺑ ؛ ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻤ ﻤﻟا ﺔ ﻟاﺪﻟا ﺔ ﻟﻻﺪﺑ فﺮ ﻌﺗ ﺔﯿﺑﺎﺒﻀ ﻟا
ﺔﻛرﺎﺸ ﻲ ﺘﻟاو - ﺎ ﮭﻟ ﺰ ﻣﺮﯾو
ﺔﻟاﺪﻟﺎﺑ )
A(x µ ﻟا ﻰﻠﻋ فﺮﻌﺗ ﻲﺘﻟاو - ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ
ﺔﻘﻠﻐﻤﻟا ةﺮﺘﻔﻟا ﻰﻟإ ﺔﻠﻣﺎﺸﻟا [0,1]
ﻲﻟﺎﺘﻟا ﻮﺤﻨﻟا ﻰﻠﻋ :
ﻦﻜﺘﻟ نﺈﻓ ؛ﺔﻠﻣﺎﺸﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻞﺜﻤﺗ u
] 1 , 0 [ :u→ µA
∈
∉
=
sure.
not but to belongs possible
if ) 1 , 0 (
1
0 ) (
A x
A x
A x
A x µ
ﻞﻜﻟ ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻰﻟإ ﻲﻤﺘﻨﯾ x A
.
ضﺮﻋو داﺪﻋإ أ :
د . ﻲﻨھﺬﻟا ﺔﺒﯿﺒﺣ . ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻲﻤﻠﻌﻟا ءﺎﻘﻠﻟا
٢
ﺔﻠﺜﻣأ :
١ نأ ضﺮﻔﺑ- ﺔﻠﻣﺎﺸﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا
يوﺎﺴﺗ u
} , , , ,
{x1 x2 x3 x4 x5 u=
و }
, , {x2 x3 x5 A=
ﺗ ﺎﻨﻨﻜﻤﯾ ﮫﻧﺈﻓ ﺮﻌ
ﯾ ﻟا ﻒ ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ ﻲﻟﺎﺘﻟﺎﻛ ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا
:
)}
1 , ( ), 0 , ( ), 1 , ( ), 1 , ( ), 0 ,
{(x1 x2 x3 x4 x5
Aµ =
٢ ﺔ ﯿﻌﯿﺒﻄﻟا داﺪ ﻋﻷا ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻣ يوﺎﺴ ﺗ ﺔﻠﻣﺎﺸﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا نأ ضﺮﻔﺑ- N
دﺪ ﻋ ﺮﻐ ﺻأ ﻦ ﻋ ﺮ ﺒﻌﺗ ﺔﻛرﺎﺸ ﻤﻟا ﺔ ﻟاﺪﻟاو
ﺒﻃ ﻟا نﺈﻓ ﻲﻌﯿ ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ
ﻔﯾﺮﻌﺗ ﻦﻜﻤﯾ ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا ﮭ
ﻲﻟﺎﺘﻟﺎﻛ ﺎ :
),...}
0 , 6 ( ), 0 , 5 ( ), 2 . 0 , 4 ( ), 4 . 0 , 3 ( ), 6 . 0 , 2 ( ), 1 , 0
={(
Aµ
ﺾﻌﺑ
ﻟا ﻰﻠﻋ ﺔﻄﯿﺴﺒﻟا تﺎﯿﻠﻤﻌﻟا
تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا ﺔﯿﺋﺰﺠﻟا
:
ﻦﻜﺘ ﻟ Aµ µ و نﻼﺜ ﻤﺗ B ﻦﯿﺘﻋﻮ ﻤﺠﻣ ﯿﺘﯿﺋﺰ ﺟ
ﻦ ﯿﺘﯿﺑﺎﺒ ﺿ ﻦ و ﺔﻠﻣﺎﺸ ﻟا ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻦ ﻋ ﺮ ﻌﺗu ﺔ ﯿﻟﺎﺘﻟا صاﻮ ﺨﻟا نﺈ ﻓ
ﺔﺤﯿﺤﺻ ﺎﻤﺋاد :
١
µ -
µ B
A ⊆ ﻂﻘﻓ اذإو اذإ
) ( )
(x B x
Aµ µ µ
µ ≤
ﻞﻜﻟ ﻲﻓ x u .
٢
µ - ﻠﻟ ﺔﻠﻤﻜﻣ A ﺔﻋﻮﻤﺠﻤ Bµ
ﻂﻘﻓ اذإو اذإ
) ( 1
)
(x A x
Bµ µ µ
µ = −
ﻞﻜﻟ ﻲﻓ x u .
٣
µ -
µ A
A = .
٤ ﻟا ﻦﯿﺑ ﻊﻃﺎﻘﺘﻟا فﺮﻌﯾ- ﻦﯿﺘﻋﻮﻤﺠﻤ
Aµ µ و ﻲﻟﺎﺘﻟا ﻮﺤﻨﻟا ﻰﻠﻋ B :
)) ( ), ( min(
)
(x A x B x
B
Aµ µ µ µ µ µ
µ ∩ =
ﻞﻜﻟ ﻲﻓ x u .
٥ ﻟا ﻦﯿﺑ دﺎﺤﺗﻻا فﺮﻌﯾ- ﻦﯿﺘﻋﻮﻤﺠﻤ
Aµ µ و ﻲﻟﺎﺘﻟا ﻮﺤﻨﻟا ﻰﻠﻋ B :
)) ( ), ( max(
)
(x A x B x
B
Aµ µ µ µ µ µ
µ ∪ =
ﻞﻜﻟ ﻲﻓ x u .
٦
µ -
µ µ
µ B A B
A − = ∩
ﻞﻜﻟ ، ﻲﻓ x
u .
٧ - 1 ) ( , 0 )
(x = µu x =
µϕ ﻞﻜﻟ ﻲﻓ x u .
ضﺮﻋو داﺪﻋإ أ :
د . ﻲﻨھﺬﻟا ﺔﺒﯿﺒﺣ . ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻲﻤﻠﻌﻟا ءﺎﻘﻠﻟا
٣
يأ ﻰﻠﻋ ﺎﮭﻤﯿﻤﻌﺗ ﻦﻜﻤﯾ ﺔﻘﺑﺎﺴﻟا صاﻮﺨﻟا ﻞﻛ نأ ﻦﻣ ﻢﻏﺮﻟا ﻰﻠﻋو ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ
ﻰﻠﻋ ﺎﻧﺎﻤﺿ ﺎﻨﯿﻄﻌﯾ ﻻ اﺬھ نأ ﻻإ ﺎﻣ ﮫﻧأ
ﻰﻠﻋ ﻖﻘﺤﺘﯾ تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا
ﻦﻜﻤﯾ ىﺮﺧﻷا ﻰﻠﻋ ﮫﻘﯿﻘﺤﺗ
تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا
.
؛ﺮﺼﺤﻟا ﻻ لﺎﺜﻤﻟا ﻞﯿﺒﺳ ﻰﻠﻌﻓ ﺖﻧﺎﻛ اذإ
} , , {x1 x2 x3 E =
نﺈﻓ ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ ﻊﯿﻤﺟ ﻞﺜﻤﺗ ﻲﺘﻟا ىﻮﻘﻟا
تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا
ﻲﻟﺎﺘﻟﺎﻛ ﻰﻄﻌﺗ ﺔﯿﺋﺰﺠﻟا :
} }, , { }, , { }, , { }, { }, { , { )
(E x1 x2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 E
P = φ
و 23
| ) (
|P E =
ﻰﻠﻋ مﻼﻜﻟا ﻲﺗﺄﯾ ﻦﯿﺣ ﻦﻜﻟو تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا
نﺈﻓ ؛ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا ﺎﻣﺎﻤﺗ ﻒﻠﺘﺨﯾ ﺮﻣﻷا
لﺎﺜﻤﻟا ﻞﯿﺒﺳ ﻰﻠﻋ ﺬﺧ ، :
} 1 2, ,1 0 { ) ( }, ,
{ 1 2 =
= x x x
E µA
نﺈﻓ
)}}.
1 , ( ), 1 , {(
)}, 1 , ( ), 5 . 0 , {(
,
)}
5 . 0 , ( ), 1 , {(
)}, 0 , ( ), 1 , {(
)}, 1 , ( ), 0 , {(
)}, 5 . 0 , ( ), 5 . 0 , {(
)}, 0 , ( ), 5 . 0 , {(
)}, 5 . 0 , ( ), 0 , {(
)}, 0 , ( ), 0 , {{(
) (
2 1 2
1
2 1 2
1 2
1 2
1
2 1
2 1 2
1
x x x
x
x x x
x x
x x
x
x x
x x x
x E
P =
و
32
| ) (
|
, 3
| ) (
| , 2
|
|
=
=
= E P
x
E µA
ﺔﻣﺎﻋ ةرﻮﺼﺑو :
ﺖﻧﺎﻛ اذإ
m x n
E|= , | A( )|=
| µ
نﺈﻓ mn
E P( )|=
|
ﻟا صاﻮﺧ
ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻠﻟ تﺎﻋﻮﻤﺠﻤ ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا ﺔﯿﺋﺰﺠﻟا
١
µ -
µ µ
µ B B A
A ∩ = ∩
٢
µ -
µ µ
µ B B A
A ∪ = ∪
٣ - ) (
)
(Aµ ∩Bµ ∩Cµ = Aµ ∩ Bµ ∩Cµ
٤ - ) (
)
(Aµ ∪Bµ ∪Cµ = Aµ ∪ Bµ ∪Cµ
٥
µ -
µ
µ A A
A ∩ =
٦ - ) (
) (
)
( µ µ µ µ µ µ
µ B C A B A C
A ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
٧ بﺮﺿ فﺮﻌﯾ- ﻦﯿﺘﻋﻮﻤﺠﻣ
ﯿﺘﯿﺑﺎﺒﺿ
µ ﻦ
µ B A . ﻲﻟﺎﺘﻟا ﻮﺤﻨﻟا ﻰﻠﻋ :
u x x x
x A B
B
A. ( )= µ( ). µ( ), ∀ ∈
µ µ µ
µ µ
ضﺮﻋو داﺪﻋإ أ :
د . ﻲﻨھﺬﻟا ﺔﺒﯿﺒﺣ . ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻲﻤﻠﻌﻟا ءﺎﻘﻠﻟا
٤
٨ ﻤﺟ فﺮﻌﯾ- ﻊ
ﻦﯿﺘﻋﻮﻤﺠﻣ ﯿﺘﯿﺑﺎﺒﺿ
µ ﻦ
µ B
A + ﻲﻟﺎﺘﻟا ﻮﺤﻨﻟا ﻰﻠﻋ :
u x x x
x x
x A B A B
B
A+ ( )= ( )+ ( )− ( ). ( ), ∀ ∈
µ µ
µ µ
µ µ µ µ µ
µ µ
ﺑ ﻲﻔﺘﻜﻧ ﺎﻨﻠﻌﻟو ﺔﯿﺋﺰﺠﻟا تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻰﻠﻋ ﺔﻌﯾﺮﺴﻟا تارﺎﺷﻹا هﺬﮭ
ﮭﺑ ﻖﻠﻌﺘﯾ ﺎﻣو ﺔﯿﺑﺎﺒﻀﻟا ؛صاﻮﺧ ﻦﻣ ﺎ
ﻞﺟأ ﻦﻣ ﺎﮭﺿاﺮﻌﺘﺳا ءﺎﺟ يﺬﻟاو ﺳا ﺖﺗﺎﺑ ﻲﺘﻟا تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا هﺬھ لﻮﺣ ﻢﯿﻠﺳ رﻮﺼﺗ ءﺎﻨﺑ
ﮭﺗﺎﻣاﺪﺨﺘ ﺎ ﺎﻘﯿﺒﻄﺗ ﻲﻓ ت
ﺢﻄﺴﻟا ﻰﻠﻋ ﻮﻔﻄﺗ ﺔﻔﻠﺘﺨﻤﻟا ﺔﯿﻠﻤﻌﻟا ةﺎﯿﺤﻟا .
