GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
C. GÓC NỘI TIẾP
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Định nghĩa 1. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai cạnh của nó cắt đường tròn.
Trong hình mình họa bên, ta thấyABC[ là góc nội tiếp chắn cung AbC¯ (viết tắt là˜AC và được hiểu là cung˜ACkhông chứa điểm B).
BCA[ là góc nội tiếp chắn cung˜BA.
CAB[ là góc nội tiếp chắn cungCB.ˆ
A
B
C a
Định lí 1: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
O A
B
C a
Ta có minh họaABC[ = 1
2sđ˜AC = 1 2AOC.[
Hệ quả 1. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn thì bằng nhau.
Ta có minh học với các điểm A, A1, A1ở cùng một phía vớiBC.
BAC[ =BA\1C=BA\2C = 1 2sđBCˆ
[AEB =CFD[ ⇔˜AB=˜CD⇔ AB=CD. O A1
A2 A
B
C a
Hệ quả 2. Góc nội tiếp chắc nửa đường tròn là góc vuông.
Ta có minh họa:
BAC[ =90◦
BClà đường kính(O ∈ BC).
Hệ quả 3. Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá90◦ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Ta có minh họa sau
ABC[ = 1 2AOC.[
O A
B C
II. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. Giải bài toán định lượng
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng
VÍ DỤ 1: Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?
VÍ DỤ 2: Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.
VÍ DỤ 3: Cho4ABC. Đường tròn(I)nội tiếp tam giác tiếp xúc vớiBC, AC,BAtheo thứ tự tạiD,E,F. Cho biếtBAC[ =EDF. Tính số đo của góc[ BAC.[
DẠNG 2. Giải bài toán định tính
VÍ DỤ 1: Cho đường tròn tâmO, đường kính ABvàS là một điểm nằm bên ngoài đường tròn.SA vàSBlần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BMvà AN. Chứng minh rằngSHvuông góc với AB.
VÍ DỤ 2:
Cho đường tròn(O), đường kínhAB, điểmDthuộc đường tròn.
GọiElà điểm đối xứng với AquaD. GọiKlà giao điểm củaEB với đường tròn(O)vàHlà giao điểm củaBDvàAK.
1. 4ABElà tam giác gì?
2. Chứng minh rằngEH vuông góc vớiAB.
3. Chứng minh rằngODvuông góc với AK. A O B
H D K
E
VÍ DỤ 3: Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:
MA2 = MB·MC.
VÍ DỤ 4: Cho4ABCcó ba góc nhọn. Đường tròn(O)có đường kínhBCcắt AB, ACtạiD, E. GọiI là giao điểm củaBEvàCD.
1. Chứng minh rằng AI ⊥BC.
2. Chứng minh rằng IAE‘ = IDE.‘
3. ChoBAC[ =60◦, chứng minh4DOElà tam giác đều.
VÍ DỤ 5: Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn(O). Từ điểm chính giữa M của cung ABvẽ dây MN song song với dâyBC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh rằng SM=SC vàSN =SA.
VÍ DỤ 6: Cho đường tròn (O) và (O0) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt đường tròn(O)và(O0)lần lượt tạiCvàD.
1. Chứng minhAC = AD.
2. Tìm quỹ tích trung điểm McủaCDkhi cát tuyếnCBDquay quanhB.
VÍ DỤ 7: Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn.
QuaMvẽ một cát tuyến cắt đường tròn ởAvàB. Chứng minh rằng tíchMA·MBkhông phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.
1. Bài tập tự luyện
BÀI 1: Cho nửa đường tròn(O)có đường kính ABvàClà một điểm bên ngoài đường tròn. Nối CA,CBgặp đường tròn theo thứ tự ở M, N. GọiHlà giao điểm củaBMvàAN.
1. Chứng minh rằng AH ⊥ AB.
2. Cho ACB[ =60◦, chứng minh4OMNlà tam giác đều.
BÀI 2: Cho hai đường tròn bằng nhau(O)và(O0)cắt nhau tại AvàB. Vẽ đường thẳng quaAcắt (O)tạiMvà(O0)tạiN(Anằm giữa MvàN). Hỏi MBNlà tam giác gì? Tại sao?
BÀI 3: Hai đường tròn(O;R)và(O0;r)cắt nhau tại AvàB. Từ Avẽ đường kínhAOCvàAO0D.
1. Chứng minh ba điểm B,C, Dthẳng hàng vàABvuông góc vớiCD.
2. BiếtR ≥rvàCD=a, hãy tính BCvàBD.
BÀI 4: Cho4ABC. Hai đường tròn đường kính ABvàACcắt nhau tại một điểm thứ hai là D.
1. Chứng minh ba điểm B,D,Cthẳng hàng.
2. Đường thẳngACcắt đường tròn đường kính ABtạiE, đường thẳngABcắt đường tròn đường kínhACtại F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,BE,CFcùng đi qua một điểm.
BÀI 5: Cho đường tròn(O)và hai dây AB,CDbằng nhau cắt nhau tạiM(điểmCnằm trên cung nhỏAB, điểmBnằm trên cung nhỏ(CD)).
1. Chứng minh AC =DB.
2. Chứng minh4MAC=4MDB.
3. Tứ giác ACBDlà hình gì? Chứng minh.
BÀI 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB. GọiOlà điểm chính giữa của nửa đường tròn vàM là một điểm bất kì của nửa đường tròn đó. Tia AM cắt đường tròn (O;OA) tại điểm thứ hai là N.
Chứng minh rằngMN = MB.
BÀI 7: Cho đường tròn(O)và hai dâyMA, MBvuông góc với nhau. Gọi IvàKlần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏMAvàMB. GọiPlà giao điểm củaAK vàBI.
1. Chứng minh ba điểm A,O, Bthẳng hàng.
2. Chứng minh rằng Plà tâm đường tròn nội tiếp của4MAB.
3. Giả sử MA=12cm,MB =16cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp4MAB.
BÀI 8: Cho đường tròn tâmOđường kính ABvà một điểmCchạy trên một nửa đường tròn. Vẽ một đường tròn(I) tiếp xúc với đường tròn(O)tại Cvà tiếp xúc với đường kính ABtại D, đường tròn này cắtCAvàCBtại các điểm thứ hai làMvàN. Chứng minh rằng:
1. Ba điểm M, I, Nthẳng hàng.
2. ID ⊥ MN.
3. Đường thẳngCDđi qua điểm cố định.
4. Nếu cách dựng đường tròn(I)nói trên.
BÀI 9: Cho4ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường tròn(O), đường caoAH. Kẻ đường kínhAE.
1. Tính [ACE.
2. Chứng minh rằng BAH[ =OAC.[
3. GọiKlà giao điểm củaAH với đường tròn(O). Tứ giácBCEKlà hình gì?
BÀI 10: Cho4ABCnội tiếp đường tròn(O). Tia phân giác góc Acắt đường tròn tại M.
1. Chứng minh rằng4BMClà tam giác cân.
2. Chứng minh rằng BMC[ = [ABC+ACB.[
3. GọiDlà giao điểm của AMvàBC. Chứng minh rằngAB·AC = AD·AM.
BÀI 11: Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung BC. Trên tia AM lấy điểmDsao cho MD= MB.
1. 4MBDlà hình gì? So sánh hai tam giác4BDAvà4BMC.
2. Chứng minh rằng MA = MB+MC.
BÀI 12: Cho nửa đường tròn đường kínhAB,Klà điểm chính giữa của cung AB. Vẽ bán kínhOC sao choBOC[ =60◦.
1. Gọi Mlà giao điểm của ACvàOK. Chứng minh rằngMO =MC.
2. Cho AB=2R, tínhMCtheoR.