2 . QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
DT 7 Các bài toán vận dụng, thực tiễn
Ví dụ 21. Năm2010, dân số ở một tỉnhDlà1 038 229người. Tính đến năm2015, dân số tỉnh đó là1 153 600người. Cho biết dân số của tỉnh D được ước tính theo công thứcS(N) =AeNr(trong đóA là dân số của năm lấy làm mốc,Slà dân số sauN năm,rlà tỉ lệ tăng dân số hàng năm được làm tròn đến hàng phần nghìn). Tốc độ gia tăng dân số (người/năm) vào thời điểm sauNnăm kể từ năm2010 được xác định bởi hàm sốS′(N). Tính tốc độ gia tăng dân số của tỉnhDvào năm2023(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị người/năm), biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.
Ví dụ 22. Một chất điểm chuyển động theo phương trìnhs(t) = 1
3t3−3t2+8x+2, trong đót>0, t tính bằng giây,s(t)tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểmt =5(s).
Ví dụ 23. Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy làx(đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra làP(x) =−200x2+12800x−74000(nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất1200sản phẩm.
A C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Tính đạo hàm của các hàm số sau y=−3x2
2 +2 x+x3
3;
a) y= (x+1)2 x2−1
; b)
y= x2−2x x2+x+1 ;
c) y= 1−2x
x+1 ; d)
y=xe2x+1;
e) f) y= (2x+3)32x+1;
y=xln2x;
g) y=log2 x2+1
. h)
2 Cho hàm số f(x) =3x3−4√
x. Tính f(4), f′(4), f a2
, f′ a2
(alà hằng số khác0).
3 Tính đạo hàm của các hàm số sau y= x
sinx−cosx;
a) y= sinx
x ; b)
y=sinx−1 3sin3x;
c) d) y=cos(2 sinx).
4 Cho hàm số f(x) = x
√
4−x2 vàg(x) = 1 x+ 1
√x+x2. Tính f′(0)−g′(1).
5 Cho hàm số f(x) =4 sin2
2x−π 3
. Chứng minh rằng |f′(x)| ≤8 với mọi x∈R. Tìm x để f′(x) =8.
6 Biếtylà hàm số củaxthoả mãn phương trìnhxy=1+lny. Tínhy′(0).
7 Giải phương trình f′(x) =0, biết f(x)được cho bởi công thức sau:
f(x) =x3−3x2+2;
a) b) f(x) =x4−4x2+2;
f(x) = x2+3x+3 x+1 ;
c) f(x) = (x−1)√
2x+1;
d) f(x) =sinx−√
3 cosx;
e) f) f(x) =sin2x−x.
8 Cho hàm sốy= 1
3x3−2x2−6x−8. Giải bất phương trìnhy′≤0.
9 Cho hàm số f(x) = 1
3x3+mx2+ (m+6)x+1. Tìm tham sốmsao cho f′(x)>0, ∀x∈R.
10 Cho hàm sốy=3mx3−2x2+ (3−m)x. Tìm tham số mđể phương trìnhy′=0có hai nghiệm trái dấu.
2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
11 Cho hàm sốy=x2+3xcó đồ thị(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C)tại điểm có Hoành độ bằng−1;
a) b) Tung độ bằng4.
12 Cho hàm sốy= x−3
x+2có đồ thị(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C)trong mỗi trường hợp sau
d song song với đường thẳngy=5x−2;
a)
d vuông góc với đường thẳngy=−20x+1.
b)
13 Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trìnhs=100+2t−t2trong đó thời gian được tính bằng giây vàsđược tính bằng mét.
Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng0?
a)
Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại tời điểmt=3s.
b)
14 Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy làx(đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra làP(x) =200(x−2) (17−x)(nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất3000sản phẩm.
15 Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là v0 (m/s) (bỏ qua sức cản của không khí) thì độ cao hcủa vật (tính bằng mét) saut giây được cho bởi công thức h=v0t−1
2gt2(glà gia tốc trọng trường). Tìm vận tốc của vật khi chạm đất.
16 Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức s(t) = 10+
√2 sin
4πt+π 6
, trong đó stính bằng centimét vàt tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt saut giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
17 Một mạch dao động điện từLC có lượng điện tích dịch chuyển qua tiết diện thẳng của một dây xác định bởi hàm sốQ(t) =10−5sin
2 000t+π 3
, trong đót >0,t tính bằng giây,Qtính bằng Coulomb. Tính cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểmt = π
1 500 (s). Biết I(t) =Q′(t).
18 Một tài xế đang lái xe ô tô, ngay khi phát hiện có vẫn cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc ô tô để lại vết trượt dài20,4m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trìnhs(t) =20t−5
2t2, trong đós(m)là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh,t (s) là thời gian tính từ lúc bắt đầu phanh (0≤t≤4).
a) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh. Hãy cho biết xe ô tô trên có chạy quá tốc độ hay không, biết tốc độ giới hạn cho phép là70km/h.
b) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm?
A D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho u =u(x),v=v(x),v(x)̸=0. Hãy chọn khẳng địnhsai?
A. (u+v)′=u′+v′. B. (ku)′=ku′.
C.
Å1 v
ã′
=−v′
v. D. (uv)′=u′v+uv′. Câu 2. Hàm số y = x4 có đạo hàm trên
(−∞;+∞)là
A. y′=3x3. B. y′=4x4. C. y′=3x4. D. y′=4x3.
Câu 3. Đạo hàm của hàm sốy=5x3−x2−1 là
A. 15x2−2x. B. 15x2−2x.
C. 15x2−2x−1. D. −2x.
Câu 4. Hàm sốy=sinxcó đạo hàm là A. y′= 1
cosx. B. y′=cosx.
C. y′=−cosx. D. y′=−sinx.
Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2x .
A. y′=−cos 2x. B. y′=−2 cos 2x.
C. y′=cos 2x. D. y′=2 cos 2x.
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y = 2018x.
A. y′=x·2018x−1. B. y′= 2018x
ln 2018. C. y′=2018x·ln 2018.
D.y′=2018x.
Câu 7. Đạo hàm của hàm số f(x) = log2x là
A. xln 2. B. ln 2
x . C. 1
xln 2. D. x ln 2. Câu 8. Đạo hàm của hàm sốy=log3(4x+1) là
A. y′= 4
(4x+1)ln 3. B. y′= 1 (4x+1)ln 3. C. y′= ln 3
4x+1. D. y′= 4 ln 3 4x+1. Câu 9. Cho hàm sốy=lnx. Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng(0;+∞).
A. y′= 1
xln 10. B. y′=x.
C. y′= 1
x. D. y′=−1 x.
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = e2x−3.
A. f′(x) =2·ex−3. B. f′(x) =e2x−3. C. f′(x) =−2·e2x−3. D. f′(x) =2·e2x−3.
Câu 11. Đạo hàm của hàm số y= √
x2−5x là
A. y′= 2x−5 2√
x2−5x. B. y′= 1 2√
x2−5x. C. y′= 2x−5
√
x2−5x. D. y′=− 2x−5
√
x2−5x. Câu 12. Tìm đạo hàm của hàm số y =
2x−1 x+2
A. y′= −5
(x+2)2. B. y′= 2 (x+2)2. C. y′= 3
(x+2)2. D. y′= 5 (x+2)2. Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y =
x2+2x−3 x+2 .
A. y′=1+ 3
(x+2)2. B. y′= x2+6x+7 (x+2)2 . C. y′=x2+4x+5
(x+2)2 . D. y′= x2+8x+1 (x+2)2 . Câu 14. Đạo hàm của hàm số y= x3−2x22
bằng
A. 6x5+16x3. B. 6x5−20x4+4x3. C. 6x5−20x4+16x3. D. 6x5−20x4−16x3.
Câu 15. Cho hàm số f(x) =log3(2x+1). Tính giá trị của f′(0).
A. 2 ln 3. B. 2
ln 3. C. 0. D. 2.
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2x
x−1 tại điểmx=−1.
A. f′(−1) =1. B. f′(−1) =−1 2. C. f′(−1) =−2. D. f′(−1) =0. Câu 17. Cho hàm số f(x) = cosx
1−sinx.Tính giá trị biểu thứcP= f′
π 6
−f′
−π 6
. A. P= 4
3. B. P= 4
9. C. y= x−3
x+4. D. P= 8 3.
Câu 18. Cho hàm số y=3x3+x2+1, có đạo hàm lày′. Đểy′≤0thìxnhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A.
ï
−2 9; 0
ò . B.
ï
−9 2; 0
ò .
2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
C.
Å
−∞;−9 2 ò
∪[0;+∞).
D.
Å
−∞;−2 9 ò
∪[0;+∞).
Câu 19. Cho hàm số f(x) =x4−2x2+1. Tìm xđể f′(x)>0.
A. x∈(−1; 0)∪(1;+∞).
B. x∈R.
C. x∈(−∞;−1)∪(0; 1).
D.x∈(−1; 1).
Câu 20. Cho hai hàm số f(x) = 3x3−3x2+ 6x−1 và g(x) =x3+x2−2. Bất phương trình
f′′(x)−f′(x) +g′(x)−8≥0có tập nghiệm là A.
Å 1;10
3 ã
. B. (−∞; 1]∪
ï10 3 ;+∞
ã . C.
ï 1;10
3 ò
. D.(−∞; 1)∪
Å10 3 ;+∞
ã .
Câu 21. Cho hàm số f(x) =ln 3x−x2 . Tìm tập nghiệmScủa phương trình f′(x) =0.
A. S=∅. B. S=
ß3 2
™ . C. S={0; 3}.
D.S= (−∞; 0)∪(3;+∞).
Câu 22. Cho hàm số f(x) =√
−5x2+14x−9.
Tập hợp các giá trị củaxđể f′(x)<0là A.
Å7 5;9
5 ã
. B.
Å7 5;+∞
ã . C.
Å
−∞;7 5
ã
. D.
Å 1;7
5 ã
. Câu 23. Cho hàm số f(x) = √
x2−2x. Tập nghiệm Scủa bất phương trình f′(x)≥ f(x) có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 24. Cho hàm số y = sinπ 3−x
2
. Giải phương trìnhy′=0.
A. x= π
3−kπ, k∈Z. B. x= π
3+k2π, k∈Z. C. x=−π
3+k2π, k∈Z. D.x=−π
3+kπ, k∈Z.
Câu 25. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 3x−2
2x−1 tại điểm có hoành độ2là A. 3
2. B. −1. C. 1
9. D. 1 3. Câu 26. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy=−2x4+x2+3tại điểmM(1; 2)là
A. y=−6x+8. B. y=−6x+6.
C. y=−6x−6. D. y=−6x−8.
Câu 27. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) =x3−2x2+3x+1tại điểm có hoành độx0=2.
A. y=−x−7. B. y=7x−14.
C. y=7x−7. D. y=−x+9.
Câu 28. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x4+2x2+2tại điểm có tung độ bằng2là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Câu 29. Cho hàm số y=−x3+3x−2 có đồ thị(C). Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tại giao điểm của(C)với trục tung.
A. y=−2x+1. B. y=2x+1.
C. y=3x−2. D. y=−3x−2.
Câu 30. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x3+3x2−8x+1 song song với đường thẳng (d):y=x+28là
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 31. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy=−x3+2x2song song với đường thẳng y=x?
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 32. Tiếp tuyến với đồ thị hàm sốy=x3− 3x2+2vuông góc với đường thẳngx−3y+1=0 có phương trình là
A. x−3y+3=0. B. 3x−y−3=0.
C. 3x+y−3=0. D. 3x+y−1=0.
Câu 33. Cho đường cong(C)có phương trình y = 2x+1
x+1 . Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳngd:y=−4x+3.
A. y= 1 4x−7
4. B. y= 1
4x+3
4 vày=1 4x+5
4. C. y= 1
4x+5
4 vày=1 4x+13
4 . D.y= 1
4x+5 4.
Câu 34. Một vật chuyển động theo quy luật s=−1
2t2+20t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động vàs(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểmt=8giây bằng bao nhiêu?
A. 152m/s. B. 40m/s.
C. 22m/s. D. 12m/s.
Câu 35. Một chất điểm chuyển động có phương trìnhs=2t2+3t(ttính bằng giây,stính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểmt0=2(giây) bằng
A. 11(m/s). B. 9(m/s).
C. 22(m/s). D. 19(m/s).
Câu 36. Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy làx(đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra làP(x) =−200x2+12800x− 74000 (nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 2000 sản phẩm.
A. 12000. B. -67200.
C. -787200. D. 4800.
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x(x−1)(x−2)· · ·(x−2018)tại điểmx=0.
A. f′(0) =0. B. f′(0) =−2018!.
C. f′(0) =2018!. D. f′(0) =2018.
Câu 38. Cho hàm số f(x) = (2018 + x)(2017+2x)(2016+3x)· · ·(1+2018x). Tính
f′(1).
A. 1009·20192018. B. 2018·10092019. C. 2018·20191009. D. 2019·20181009. Câu 39. Cho hàm số f(x) = ln2018x
x+1 . Tính tổngS= f′(1) +f′(2) +· · ·+f′(2018).
A. S=ln 2018. B. S=1.
C. S=2018. D. S= 2018 2019.
Câu 40. Tính tổngS=1+2·2+3·22+4·23+
· · ·+2018·22017.
A. S=2017·22018+1.
B. S=2018·22018+1.
C. S=2019·22018+1.
D. S=2017·22018.