1 Monty Hall en intuïsie
Pieta van Deventer
In hierdie artikel word ’n lastige probleem wat belangrike waarskynlikheidsbeginsels na vore bring, bespreek. Hierdie probleem staan onder verskillende name bekend, maar die mees algemene naam daarvoor is die Monty Hall1-probleem.
Stel vir jouself drie deure, nl. A, B en C, voor. Agter die een deur is ’n skat. Daar is ’n bok agter elk van die ander twee deure. Die eerste persoon in hierdie beskrywing is die
skatbewaarder met die naam Bewaarder. Hy weet natuurlik agter watter deur die skat is. Die tweede persoon is Leek. Hy moet probeer om die skat te kry. Hy moet twee agtereenvolgende pogings aanwend deur elke keer ’n deur te kies. Na sy eerste keuse maak Bewaarder een van die deure oop wat nie deur Leek gekies is nie. Dit beteken byvoorbeeld dat as sy eerste keuse deur A is, die bewaarder óf deur B óf deur C moet oop maak. Veronderstel nou hy maak deur B oop. Natuurlik is die skat nie agter deur B nie. Nou mag leek sy keuse hersien. Hy kan nou kies tussen die twee ongeopende deure, A en C. Bewaarder móét dan Leek se wens uitvoer.
Nou vir die probleem: Leek weet die skat is agter deur A of deur C. Maak dit enige verskil aan die waarskynlikheid om die skat te wen deur te hou by sy oorspronklike keuse, nl. deur A, of deur sy keuse te wysig na deur B?
Die aannames vir hierdie probleem is belangrik en word in besonderhede neergeskryf:
1. Bewaarder móét ’n deur wat nie deur Leek gekies is nie oopmaak.
2. Bewaarder móét ’n deur waaragter daar geen skat is nie oopmaak.
3. Bewaarder móét Leek ’n kans gee om sy keuse te wysig indien hy wil.
4. Bewaarder móét by die tweede keuse Leek se versoek toestaan.
Voordat u verder lees, dink mooi hieroor na. Wat sou u sê oor die vraag? Is dit sinvol vir Leek om sy keuse te wysig? Hierdie eenvoudige probleem het die wiskundewêreld in beroering gehad en selfs van die beroemdste wiskundiges soos Paul Erdős2 wou aanvanklik nie glo dat sy intuïsie verkeerd is nie, totdat hy deur ’n simulasieproses oortuig is.3 My intuïsie, soos die meeste mense s’n, sê dat dit geen verskil sal maak nie. Die waarheid is egter vreemder as verdigsel. Ek het self ook die proses gesimuleer om myself te oortuig.
Die uitkomstes van die verskillende scenarios is in die volgende tabel opgesom wat feitlik net so oorgeneem is uit verwysing 3 hier onder:
Die tabel toon die drie moontlike rangskikkings vir die skat en twee bokke tesame met die resultate wanneer Leek met sy tweede keuse deure wysig of nie wysig nie. In hierdie geval is sy eerste keuse deur A.
1 https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
2 https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s
3 https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
2 Wat is
agter deur A?
Wat is agter deur
B?
Wat is agter deur
C?
Resultaat as sy
keuse by deur A bly Resultaat as hy sy keuse verander
Scenario 1 Bok Bok Skat Wen bok Wen skat
Scenario 2 Bok Skat Bok Wen bok Wen skat
Scenario 3 Skat Bok Bok Wen skat Wen bok
Leek wen net een keer uit die drie scenarios indien hy by sy aanvanklike keuse bly. Sou hy sy keuse by die tweede geleentheid verander, sou hy twee uit die drie keer wen, want …
1. Kies A, dan gaan deur B oop, verander, wen skat, maar verander nie, wen bok.
2. Kies A, dan gaan deur C oop, verander, wen skat, maar verander nie, wen bok.
3. Kies A, dan gaan óf B óf C oop, verander, wen bok, maar verander nie, wen skat.
Let op dat as Leek se eerste keuse op ’n bok-deur val, Bewaarder verplig is om die
oorblywende bok-deur oop te maak, wat beteken dat as Leek sy keuse nou verander hy die skat móét wen. Dit is die beginsel waarop die argument berus. Dit beteken dat indien hierdie proses baie keer herhaal sal word, Leek gemiddeld twee uit elke drie keer ’n bok-deur sal kies wat tot gevolg het dat hy die skat in tweederdes van die pogings sal wen, want hy sal
gemiddeld twee uit elke drie keer by eerste keuse ’n deur kies wat nie die skat bevat nie.
Beskou nou weer die tabel hier bo en u sal waarneem dat dit presies is wat daar gebeur.
Om u self te oortuig kan u nou hierdie proses herhaal met verskillende keuses van waar die skat is met eerste keuse B en C. Herhaal dan hierdie tabelle ook met ander eerste keuses, weer met verskillende posisies vir die skat. Die uitkoms in totaal sal elke keer dieselfde wees.
Deur die keuse te verander is die waarskynlikheid in totaal 2/3 om die skat te wen indien hy sy keuse by die tweede geleentheid verander en indien die keuse nie verander word nie is die waarskynlikheid 1/3 om die skat te wen. Dit beteken dat as die proses menige kere herhaal word met verskillende posisies vir die skat en verskillende eerste keuses, die proporsie kere wat Leek sal wen indien hy elke keer sy tweede keuse wysig dan na verwagting tweederdes van die aantal eksperimente is. Soos reeds gesê, wou my eie intuïsie dit ook nie glo nie. Ek het al voorheen genoem ’n mens moet lig loop vir jou intuïsie.
Kan die bostaande reël statisties gestaaf word? Die antwoord is positief en behels ’n
toepassing van voorwaardelike waarskynlikhede wat onder andere lei tot Bayes4 se reël met sy a priori en a posteriori waarskynlikhede. Ons benodig slegs die begrip van voorwaardelike waarskynlikheid, maar omdat Bayes se reël so belangrik is, gee ek tog die volledige afleiding vir diegene wat belangstel. Dit omvat meer as wat ons nodig het, maar ek glo dis goed om
4 https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes
Bayes was ’n Engelse Presbiteriaanse predikant wat die sg. stelling van Bayes ontwikkel het. Hierdie stelling het die statistiekwêreld op sy kop gedraai, soveel so dat statistici dikwels praat van die frekwentiste vs die Bayesiane. Die algemene benadering wat ons volg is frekwentisties van aard, maar daar is baie gevalle waar die Bayesiaanse benadering meer toepaslik is en gebruik kan word.
Die Bayesiaanse benadering is ongelukkig dikwels heelwat lastiger om mee te werk.
3 iets hiervan te weet en te verstaan. (Sommige wiskundiges dring daarop aan om Bayes se reël te gebruik om die oplossing te bepaal, maar dit maak dit onnodig gekompliseerd. Ons
benodig slegs doodgewone logika.) Bayes se reël is so belangrik in die wêreld van statistiek dat ek dit tog redelik volledig aantoon. Die reël of stelling maak gebruik van sg.
voorwaardelike waarskynlikhede, d.w.s. inligting wat reeds bekend is word in die
berekenings ingesluit, sg. a priori inligting. Die beginsel is reeds intuïtief hier bo gebruik. Die tweede keuse en gepaardgaande waarskynlikheid gebaseer op die kennis van die eerste gekose deur saam met die deur wat na die eerste keuse oopgemaak is en die reëls van die spel speel ’n rol in die beredenering. Aan die einde van hierdie artikel volg ’n toepassing as voorbeeld.
Voorwaardelike waarskynlikhede en Bayes se reël:
Ons skop af deur die volgende berekening te beskou: Die waarskynlikheid van ’n rooi kaart en nog ’n rooi kaart uit ’n pak van 52 kaarte waarvan 26 kaarte rooi is, sonder terugplasing na die eerste trekking, is
(
rooi by 1ste trekking rooi by 2de trekking)
P ∩
( ) ( )
(
1 2) ( )
1(
2 1)
rooi by 1ste trekking rooi by 2de trekking gegee dat rooi kaart by die 1ste trekking gekry is 26 25.
52 51
’n P
P r r P r P r r
= ⋅
= ∩ = = ⋅
Hieruit volg dat
( )
2 1(
1( )
2)
1P r r P r r
P r
= ∩ , wat bekend staan as die reël vir voorwaardelike
waarskynlikheid of die algemene produkreël vir waarskynlikhede in die vorm
(
1 2) ( ) (
1 2| 1)
P r r∩ =P r P r r
of in meer algemene terme vir gebeurtenisse AenB
( ) ( ) (
|) ( ) (
|)
P A B∩ =P A P B A =P B P A B en op soortgelyke wyse dat
( ) ( ) (
|)
P A B∩ =P A P B A .
Dan is dit maklik om met ’n Venndiagram aan te toon dat
P B
( )
=P A B P A B(
∩)
+(
∩)
=P A P B A P A P B A( ) (
|)
+( ) ( | ).
Laasgenoemde uitdrukking staan bekend as die reël vir totale waarskynlikheid en word beter toegelig met drie gebeurtenisse, E E1 2, en E3, soos hier onder aangetoon.
Die reël vir totale waarskynlikheid, tesame met die produkreëls, lei direk na Bayes se formule of reël. Beskou die skets:
4 Dis duidelik dat gebeurtenisse E E1 2, en E3 onderling uitsluitend is, maar ook dat
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
(onderling uitsluitend)
| | | .
B B E B E B E
P B P B E P B E P B E
P E P B E P E P B E P E P B E
= ∩ ∪ ∩ ∪ ∩
∴ = ∩ + ∩ + ∩
= + +
Dit volg nou dat
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1 1 2 2 3 3
1 1
1 1 2 2 3 3
, (wat volg uit )
P E B
P E B P A B P A P B A
P B
P E B
P E P B E P E P B E P E P B E P E P B E
P E P B E P E P B E P E P B E
= ∩ ∩ =
= ∩
+ +
= + +
| |
| | |
|
| | |
Hierdie uitdrukking staan bekend as Bayes se reël. Verder onder toe volg ’n voorbeeld van ’n toepassing van hierdie stelling.
Terug na die Monty Hall-probleem: Indien ’n deur op ewekansige wyse deur Leek gekies word, is
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 , verder 3
wen skat een van die twee deure met die bok word aanvanklik gekies 1 wen skat die deur met die skat word aanvanklik gekies 1
2 P A P B P C
P P
= = =
=
=
.
Veronderstel die skat is agter deur A. Indien nou in ag geneem word dat Leek sy keuse ná die oopmaak van die deur verander, lyk die waarskynlikhede soos volg:
E
1E
2E
3B
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
kies deur B met bok wen skat kies deur met bok wen skat kies deur met bok 1 1 1
3 3
kies deur C met bok wen skat kies deur met bok wen skat kies deur met bok 1 1 1
3 3
kies deur A met skat wen bok kie
P P P
P P P
P P
∩ = ⋅
= ⋅ =
∩ = ⋅
= ⋅ =
∩ =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s deur met skat wen bok as deur C geopen word 1 1 1
3 2 6
kies deur A met skat wen bok kies deur met skat wen bok as deur B geopen word 1 1 1
3 2 6
P
P P P
⋅
= ⋅ =
∩ = ⋅
= ⋅ =
Gegewe dus dat die skat agter deur A is, kan hierdie waarskynlikhede soos volg in ’n boomdiagram voorgestel word:
Hieruit is dit nou duidelik dat as Leek sy keuse verander, die waarskynlikheid dat hy die bok sal wen 1 1 2 1
6 6 6 3+ = = is, en die waarskynlikheid dat hy die skat sal wen 1 1 2 3 3 3+ = is, so vreemd soos dit mag klink. Dit beteken dus dat die verandering van keuse die aangewese manier van doen is om die waarskynlikheid om die skat te wen te maksimeer. Verras u
Kies deur A 1/3
Kies deur C 1/3
Deur C gaan oop, kies A: 1/3 x 1 = 1/3 om skat te wen
Deur B gaan oop, kies A: 1/3 x 1 = 1/3 om skat te wen Kies deur B
1/3
Deur B gaan oop;
kies C en wen bok:
1/3 x 1/2 = 1/6
Deur C gaan oop;
Kies B en wen bok:
1/3 x 1/2 = 1/6
1/2 1/2 1 1
Skat agter A
6 vriende met hierdie probleem en kyk hoeveel van hulle u glo. Ek vermoed dat die
waarskynlikheid groot is dat hulle jou nie sonder meer sal glo nie.
Hier volg die beloofde voorbeeld van ’n toepassing van Bayes se reël:
’n Konstruksiemaatskappy het drie verkoopsingenieurs in diens. Die drie ingenieurs, genommer as 1, 2 en 3, doen die kosteberamings van die maatskappy. Ingenieur 1 is verantwoordelik vir 30% van die kosteberamings, ingenieur 2 is vir 20% van die kosteberamings verantwoordelik en ingenieur 3 is vir 50% van die kosteberamings verantwoordelik. Vir i=1,2,3, definieer Ai as die gebeurtenis dat ’n beraming deur ingenieur i gedoen word en definieer E as die gebeurtenis dat ’n ernstige fout in die kosteberaming gemaak word. Die “fout”-koerse van die ingenieurs se beramings is gemiddeld 0.01, 0.03 en 0.02 vir ingenieur 1, ingenieur 2 en ingenieur 3 onderskeidelik.
• Wat is die waarskynlikheid van ’n foutiewe kosteberaming, ongeag deur watter ingenieur? Dis ’n voorbeeld van die reël vir totale waarskynlikheid.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
11 | 1)
2( ) (
2 |3 2) ( ) (
3 | 3)
0.3 0.01 0.2 0.03 0.5 0.02 0.019
P E P A E P A E P A E
P A P E A P A P E A P A P E A
= ∩ + ∩ + ∩
= + +
= × + × + ×
=
• Gestel ’n foutiewe kosteberaming kom voor. Wat is die waarskynlikheid dat dit ingenieur 2 is wat die kosteberaming gedoen het?
( ) ( ) ( )
2
( )
22
| |
0.20 0.03 0.019 0.3157
P A P E A P A E
= P E
= ×
=
• Gestel die kosteberaming vir ’n tender was foutloos. Wat is die waarskynlikheid dat ingenieur 2 die beraming gedoen het?
( ) ( ) ( )
2
( )
22
| |
0.2 0.97 1 0.019 0.19775
P A P E A P A E
= P E
= ×
−
=
7 Ek vertrou u het hierdie besondere probleem met sy uitsonderlike antwoord geniet. Wees nie bevrees nie, wees ook nie bang nie, daar is nog meer in die pyplyn.
