ÕVî - +yVî+—= - Naskah Buku Matek I

sehingga akar1akar persamaan karakteristiknya? 5lihat subbab 7.'6

î:,-=−y6£ y_-Õ^-^−ËÕ—

$.1.2.a !istem eredam 7urang (

$.1.2.a !istem eredam 7urang (underdamped underdamped ))

,Íy-−ËÕ—<0 Î

Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang 5underdamped 6 didapatkan jika

−4<0

( dimana akar1akar persamaan karakteristik adalah?

W,=−6£4−_2 ^

persamaan solusinya adalah? 5lihat pembahasan pada subbab 7.'6

z=¡_=¬:_{3;/Ô)@}¬

 ð

)_{ ×¡¹º}+¡- ¬

3 ð

)( y¬„



Ú„

=−y/-Õ ,

= u 4−_2 ^⁾

 +Ø ºÉ„

)

bentuk satu sinuscosinus persamaan di atas adalah?

=" 3;/Ô)@#$

 −')

"=u Q+S

M5 '=

S

Q

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Waktu(t) Gê^r a k Bê n dâ y ( t )

<ambar )8 3silasi pada <erak Benda Bebas Teredam -urang Program $#T%#B untuk <ambar ); sebagai berikut?

%gerak benda bebas teredam kurang %gerak benda bebas teredam kurang %R=2^0.5, alfa=-2, beta=8 teta=pi/4 %R=2^0.5, alfa=-2, beta=8 teta=pi/4 clear

clear allall;; close close allall;; clc; clc;

t=(0:0.01:2); t=(0:0.01:2); yt=2^0.5*e

yt=2^0.5*exp(-2*t).*(cxp(-2*t).*(cos(8*t-pi/4os(8*t-pi/4)))) plot(t,yt,

plot(t,yt,'k''k',,'linewidth''linewidth',3),3) hold

hold onon

amp1=2^0.5*exp(-2*t) amp1=2^0.5*exp(-2*t) plot(t,amp

plot(t,amp1,1,'r''r',,'linewidth''linewidth',2),2) hold

hold onon

amp2=-2^0.5*exp(-2*t) amp2=-2^0.5*exp(-2*t) plot(t,amp

plot(t,amp2,2,'r''r',,'linewidth''linewidth',2),2) xlabel(

xlabel( 'Waktu(t)''Waktu(t)',,'fontsize''fontsize',14),14) ylabel(

Faktor kosinus

¡¹º

 −')

menyebabkan osilasi bernilai antara L+ dan 1+. Perioda osilasi jika dilihat pada <ambar ); bukan perioda asli atau sering disebut sebagai perioda bayangan 5quasi-period 6 atau perioda teredam 5damped-period 6( didefinisikan sebagai?

ã;=2



é = 2



u 4−_2 )^{= 4}_{u 4−}



 _₎

Frekuensi dinyatakan sebagai frekuensi bayangan 5quasi frequency 6 atau teredam 5damped-frequency 6( yaitu

;=





 . Sedangkan

¬3;/Ô)@

disebut amplitudo teredam 5damped-amplitude6.

$.1.2.b !istem eredam 7ritis (

$.1.2.b !istem eredam 7ritis (critically damped critically damped ))

,Íy-=ËÕ—Î

Pada sistem teredam kritis

=4

sehingga akar1akar persamaan karakteristik sama yaitu? 5lihat pembahasan pada subbab 7.'6

W,=−2

Persamaan solusinya ?

z=¡:+¡- ) ¬w3;Ôx

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 waktu (t) Gê r a k Bê n dâ y ( t )

<ambar ,* <erak Benda pada Sistem <erak Bebas Teredam -ritis 5c+( c)positif6

%gerak benda teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %gerak benda teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=1:5:25; -d/2m=-2

%c1=2; c2=1:5:25; -d/2m=-2

clear clear allall;; close close allall;; clc; clc; t=(0:0.01:4); t=(0:0.01:4); for for c2=1:5:25 c2=1:5:25 y1=2*(exp( y1=2*(exp(-2*t));-2*t)); y2=c2*t.*( y2=c2*t.*(exp(-2*t));exp(-2*t)); yt=y1+y2 yt=y1+y2 plot(t,yt,

plot(t,yt,'b''b',,'linewidth''linewidth',2),2) hold

hold onon

end end

xlabel(

xlabel( ' waktu (t)'' waktu (t)',,'fontsize''fontsize',14),14) ylabel(

ylabel( 'Gerak Benda y(t)''Gerak Benda y(t)',,'fontsize''fontsize',14),14)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 waktu (t) G^e r a k B^e n d a y ( t )

<ambar ,+ <erak Benda pada Sistem <erak Bebas Teredam -ritis 5c)negatif6 Program $#T%#B untuk <ambar ,* sebagai berikut?

%gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=-20:4:-2; -d/2m=-2

clear clear allall;; close close allall;; clc; clc; t=(0:0.01:4); t=(0:0.01:4); for for c2=-20:4:-2 c2=-20:4:-2 y1=2*(exp( y1=2*(exp(-2*t));-2*t)); y2=c2*t.*( y2=c2*t.*(exp(-2*t));exp(-2*t)); yt=y1+y2 yt=y1+y2 plot(t,yt,

plot(t,yt,'b''b',,'linewidth''linewidth',2),2) hold

hold onon

end end

xlabel(

xlabel( ' waktu (t)'' waktu (t)',,'fontsize''fontsize',14),14) ylabel(

ylabel( 'Gerak Benda y(t)''Gerak Benda y(t)',,'fontsize''fontsize',14),14)

$.1.2.; !istem eredam Lebi' (

$.1.2.; !istem eredam Lebi' (overdamped overdamped ))

,Íy->4Î

Pada sistem teredam lebih

>4

sehingga akar1akar persamaan karakteristik adalah? 5lihat pembahasan pada subbab 7.'6

î:,-=−y6£ y_-Õ^-^−ËÕ—

Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebih adalah?

z)=¡ :¬î:+¡-¬î-

Pada kenyataannya nilai

î:,-<0

sehingga untuk

nê

maka

z)=

.. ika

)

kita turunkan( yaitu?

z

′

)=¡ :î:¬î:+¡-î-¬î-

=¬î:Í¡:î:+¡-î-¬î-3î:)Î

maka

zH)=

hanya jika

Í¡:î:+¡-î-¬î-3î:)Î=

adi secara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebih mempunyai perilaku yang sama dengan sistem teredam kritis( yaitu

nê

maka

z)=

dan hanya memiliki satu titik puncak maksimum dan minimum pada

>0

seperti ditunjukkan pada <ambar )8 dan <ambar ,*.

=ontoh kasus Pengaruh Peredaman?

Sebuah sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan oleh persamaan berikut?

+V+=0

0)=B

(



′

0)=0

ika d@+( ) dan 7( tentukan persamaan gerak bendaJ Bagaimana pengaruh perubahan nilai konstanta peredaman d pada gerak bendaQ

Penyelesaian?

persamaan karakteristik dari model persamaan sistem adalah?

W+VW+B=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=−6£₂ ^⁻⁴

a. ika d@+(

−4<0

disebut sistem teredam kurang #kar1akar persamaan karakteristik adalah?

W,=−B26£ A2

solusi umum persamaan gerak benda?

=3;/Ô)@ Q#$

 +S $5

)

=3/)@T Q#$£

A2

 +S $5 £

A2

U

subsitusi y



)=

+( didapatkan?

=_{=Q#$ 0 =B n Q=B}w3x@T Q#$£ A2 +S $5 £ A2U

subsitusi yU



)=

*( didapatkan?

H=−B23/)@T Q#$£ A2 +S $5 £ A2U

+3/)@T−Q£ A2$5£ A2 +S £ A2#$£ A2U

0=−B2 Q#$0)+TS£ A2#$ 0U

Matematika Teknik I Hal- 89

0=−B2B)+TS£ A2U n S= B£ A

maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kurang adalah?

=3/)@T#$£ A2 + B£ A $5£ A2U

bentuk satu sinuscosinus?

=

2 £ A

3/)@

T#$

£ A

2  −



U

b. ika d@)(

−4=0

disebut sistem teredam kritis #kar1akar persamaan karakteristik adalah?

W,=−B

solusi umum persamaan gerak benda?

=+ ) 3@

subsitusi y



)=

+( didapatkan?

0)= + 0) 3&n=B

subsitusi

H0)=0

(( didapatkan?

H0)=  3&−+ 0) 3&

0=−n=B

maka solusi khusus gerak benda sistem teredam kritis adalah?

=B+ ) 3@

c. ika d@7(

−4>0

disebut sistem teredam lebih #kar1akar persamaan karakteristik adalah?

W,=−6£₂ ^⁻⁴

=−-6 £ ó

solusi umum persamaan gerak benda?

)= íŠ@+í!@

=3£ )@+33£ )@

subsitusi y



)=

+( didapatkan?

B=Í3£ Î&+Í33£ Î&

B=+

subsitusi yU



)=

*( didapatkan?

0=WíŠ&+Wí!&

0=−2+ £ A)+−2+ £ A)

dari dua persamaan konstanta yaitu?

+=BÀ`Z−2+ £ A)+−2+ £ A)=0

diperoleh

=2+£ A_{2£ A}

=−2+£ A_{2£ A}

maka solusi khusus gerak benda sistem teredam lebih adalah?

z=-+£ ó_{-£ ó ¬}3-£ ó)+−-+£ ó_{-£ ó ¬}3-3£ ó)

Pengaruh konstanta redaman d pada sistem gerak benda dijelaskan sebagai berikut?

• d@+ maka gerak benda

) n0

menurut fungsi

¬3VÈ

• d@) maka gerak benda

) n0

menurut fungsi

¬3

• d@7 maka gerak benda

) n0

menurut fungsi

¬3-3£ ó)=¬3Vó

disimpulkan bahwa pada d@) 5teredam kritis6 gerak benda paling cepat ke posisi setimbangy5t6@*( sedang paling lama pada d@7 5teredam lebih6. /al ini juga dapat dilihat pada <ambar '.+*

Matematika Teknik I Hal- 91 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Waktu(t) Gê r a k Bê n dâ y ( t )

<ambar ,) <erak Benda Pada 9ariasi 2ilai -onstanta 4edaman 5d6 %atihan Soal?

Tentukan komponen amplitudo( frekuensi dan sudut fasa pada model sistem gerak benda berikutJ <ambarkan dengan $#T%#B persamaan gerak benda1nyaJ

BV )=4 3@#$2−



)

2V )=A 3@#$ w£ A−



Ax

AV )=L 3@#$ w−



x

4V )=A 3@#$L−



)

Tentukan apakah gerak benda berikut diklasifikasikan dalam sistem teredam kurang5underdamped 6( teredam kritis 5critically damped 6 atau teredam lebih 5over damped 6J

LV HH+4=0

V HH−2H+=0

*V HH+4H+4=0

[V HH+2H+=0 (  >0

\V 

HH

+2

H

+



=0 (  >0 M5 



=



B0V HH+2H+=0 (  > M5 <0

$.2 3ang%aian Listri% $.2 3ang%aian Listri%

Subbab berikut akan menjelaskan pemodelan rangkaian listrik beserta penyelesaiannya. /al penting adalah dua fenomena fisik berbeda 5yaitu? sistem gerak benda pada pegas dan rangkaian listrik6 menghasilkan model persamaan matematika dan solusi yang sama.

$.2.1 3ang%aian L8 seri $.2.1 3ang%aian L8 seri

4angkaian %= seri dengan sumber baterai E "olt digambarkan pada <ambar ,). !engan hukum Tegangan -irchoff didapatkan model persamaan pada <ambar ,)( yaitu?

9%L9=@E

dengan? 9% adalah tegangan pada induktor % yaitu

‡;¼;@

9= adalah tegangan pada kapasitor = yaitu

¦}¤

diketahui bahwa

¤=;?;@

dengan  adalah muatan dalam =oulomb. Sehingga model persamaan dapat dituliskan?

‡¤+B¢l¤=¥

untuk menghilangkan tanda integral( persamaan dideferensialkan( maka?

‡h¤i+B¢l¤= ¥)_‡¤+B¢¤=¥)

$odel persamaan untuk <ambar ,, dapat juga dinyatakan dalam muatan 5t6( yaitu?

‡¤+B¢l¤=¥

‡hi+B¢l=¥

‡^+B¢=¥

7asus 4.

7asus 4. ika sumber baterai E@ *

w;;@¥)=0x

$odel persamaan rangkaian dinyatakan sebagai?

‡^¤

_atau

+B¢¤=0

¤+ B¢‡¤=0

penyelesaian persamaan homogen orde1) di atas adalah persamaan karakteristik dari P! di atas?

W+ B¢‡=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=6q B¢‡

sehingga penyelesaian umum P! 5lihat bahasan subbab 7.'6

=

α dengan

 ð

)+ ,

,Q,S=#5$M5M( W= 3 ð

)=Q

#$

 +S

6 

 $5

β β



maka?

)=Q #$q B¢‡+S $5q B¢‡

contoh kasus %=+?

Tentukan kuat arus I5t6 rangkaian %= seperti <ambar ,) jika %@ +* henry( =@*(**7 farad( E@* "olt J

Matematika Teknik I Hal- 94

$odel persamaan rangkaian %=( dengan %@ +* henry( =@*(**7 farad( E@*?

¤+2L¤=0

persamaan karakteristik dari P!?

W+2L=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=6L

penyelesaian P!?

¤)=Q #$ L+S $5 L

%atihan Soal?

Tentukan kuat arus I5t6 pada rangkaian %= seperti <ambar ,) jika? +. %@*() henry( =@*(*' farad( E@ * "olt

). %@*() henry( =@*(+ farad( E@ * "olt ,. %@*() henry( =@*(*' farad( E@ +** "olt 7. %@*() henry( =@*(+ farad( E@ +** "olt

'. %@+* henry( =@*(*' farad( E@ * "olt( I5*6@*( 5*6@ &. #pa yang dapat disimpulkan dari jawaban soal +17Q 7asus B.

7asus B. ika sumber baterai E@ konstanta

$enentukan kuat arus I5t6 untuk kasus ini berdasarkan model persamaan diferensial 5t6( selanjutnya I5t6 didapatkan dari hubungan

¤)= ;?;@

. $odel persamaan rangkaian untuk  5t6 dinyatakan sebagai?

‡^

_atau

+B¢=¥

+ B¢‡=¥‡

persamaan di atas adalah P! tak homogen orde1)( penyelesaiannya disebut penyelesaian leng%ap

penyelesaian leng%ap terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen.

Penyelesaian /omogen?





persamaan karakteristik dari P! di atas?

W+ B¢‡=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=6q B¢‡

penyelesaian homogen?

ô)=Q #$q B¢‡+S $5q B¢‡

Penyelesaian Takhomogen?

+ B¢‡=¥‡

dengan menggunakan metode koefisien taktentu 5subbab 7.;.+6

)= ¥‡nõ)=÷ &

substitusi



)=

pada P!( yaitu?

B¢‡÷&=¥‡

÷&=¥¢

jadi penyelesaian tak homogen adalah



õ

)=¥¢

Penyelesaian lengkap

)= ô)+õ)=Q #$q B¢‡+S $5q B¢‡+¥¢

=ontoh kasus %=)?

ika pada contoh kasus %=+ di atas diketahui( E@)'* "olt( arus I5*6@* dan muatan 5*6@* tentukan solusi khusus I5t6

Penyelesaian?

model persamaan rangkaian menggunakan fungsi 5t6( karena jika dipakai model fungsi I5t6 maka substitusi 5*6 untuk mendapatkan solusi khusus( yaitu dengan integrasi solusi umum I5t6 akan menghasilkan konstanta baru( sehingga solusi khusus I5t6 tidak dapat ditentukan.

$odel persamaan rangkaian %= seri dalam fungsi 5t6?

+ B‡¢=¥‡

+2L=2L

Penyelesaian model persamaan di atas disebut solusi lengkappenyelesaian lengkap yang terdiri atas dua solusi P!( yaitu solusi homogen dan solusi takhomogen

Solusi /omogen?

+2L=0

persamaan karakteristik dari P!?

W+2L=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=6L

penyelesaian P! homogen?

ô)=Q #$ L+S $5 L

Solusi takhomogen?

")=2Ln õ)=÷ &

substitusi _p



)=

-* ke model P! didapatkan?







+2L=2L

0+2L÷&=2Ln÷ &=B

penyelesaian khusus takhomogen

õ)=B

solusi umum lengkap 5solusi homogenLsolusi tak homogen6?

)=B+Q #$ L+S $5 L

substitusi nilai awal

0)=B+Q #$ 0+S $5 0=0nQ=−B

¤==−LQ $5 L+LS#$ L

¤0)=−LQ $5 0+LS#$ 0=0nS=0

adi solusi khusus lengkap?

)=B− #$ L

Matematika Teknik I Hal- 97

¤)= =L $5 L

7asus 8.

7asus 8. ika sumber baterai E@ E* cos Ct

$odel persamaan rangkaian untuk  5t6 dinyatakan sebagai?

‡^+B¢=¥& #$ %

atau





+ B¢‡=¥& #$ %‡

Penyelesaian model persamaan di atas adalah penyelesaian lengkap muatan fungsi waktu( terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen.

Penyelesaian /omogen?

+ B¢‡=0

persamaan karakteristik dari P! di atas?

W+ B¢‡=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=6q B¢‡

penyelesaian homogen?

ô)=Q #$q B¢‡+S $5q B¢‡

_atau

ô)=¢ #$ ¶q B¢‡−'·

jika

%&= ¦¨

( maka

ô)=¢ #$%&−')

Penyelesaian Takhomogen?



+

B

¢‡=

¥& #$ %

‡

dengan menggunakan metode koefisien taktentu 5subbab 7.;.+6

¥& #$ %_{‡ n}_õ_{)=÷#$ % + j$5 %}

õH)=−%÷$5 %+%j#$ %

õHH)=−% ÷#$ %−%j$5 %

substitusi_

,

_

HH

ke persamaan didapatkan?

−%÷#$ %−%j$5 %+ B¢‡÷#$ % + j$5 %)=¥& ‡#$ %

hB¢‡÷−%÷i#$ %+hj¢‡−%ji$5 %=¥& ‡#$ %

dengan menyamakan koefisiennya maka?

TB−¢‡%_{¢‡ U÷=¥}^ & ‡n÷= ¥_{B−¢‡%}& ¢ _₎

jadi solusi takhomogen adalah?

õ)= ¥_{B−¢‡%}& ¢ __{)#$ % æ¢‡æ¢‡}

= ¥&

‡B¢‡−%)

#$ %

jika didefinisikan

%&= ¦¨

( sehingga?

õ)= ¥‡%&&−%)#$ %

Penyelesaian lengkap?

)= ô)+õ)=¢ #$%&−')+ ¥‡%&&−%)#$ %

-eluaran ini menggambarkan superposisi dua gelombang cosinus dengan frekuensi selaras yang disebut sebagai frekuensi dasaralamiah 5natural freVuency6 besarnya

&=1





QÔàý=¨1!«31!)=« ¨

 dengan

=_1_!₃₁_!₎

 disebut faktor resonansi

#mplitudo maksimum ini tergantung pada

%&,%

dan akan terjadi jika jika

%&=%

5disebut resonansi6.

0123456 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 frekuensi f a k t o^r r e s o n a n s i^p

<ambar ,7 Faktor 4esonansi Program $#T%#B untuk <ambar ,,

%faktor resonansi %faktor resonansi clear

clear allall;; close close allall;; clc; clc; wo=3 wo=3 w=(0:0.1:6); w=(0:0.1:6); p=(wo^2-w. p=(wo^2-w.^2).^-1;^2).^-1; plot(w,p,

plot(w,p,'b''b',,'linewidth''linewidth',3),3) grid

grid onon

axis axis equalequal

hold hold onon

xlabel(

xlabel( 'frekuensi''frekuensi',,'fontsize''fontsize',14),14) ylabel(

ylabel( 'faktor resonansi p''faktor resonansi p',,'fontsize''fontsize',14),14)

ika terdapat kondisi awal yaitu 5*6@* dan G5*6@* maka persamaan lengkap menjadi?

ntuk kondisi awal 5*6@*?

)=¢ #$%&−')+ ¥‡%&&−%)#$ %

0=¢ #$0−')+ ¥‡%&&−%)#$ 0

¢ #$')=− ¥‡%&&−%)

ntuk kondisi awal G5*6@*

H)=−¢ %&$5%&−')+ ¥‡%&&−%)% $5 %

0=−¢ %&$50−')+ ¥‡%&&−%)% $5 0

¢ $5')=0

Sehingga jika?

¢ #$%&−')=¢#$%& #$'+¢$5% & $5'

dengan substitusi

¢ #$')=−¨1!«31!)

dan

¢ $5')=0

¢ #$%&−')=− ¥‡%&&−%) #$%&

sehingga?

)=¢ #$%_{=− ¥}&−')+ ¥_& ‡%&&−%)#$ %

‡%&−%) #$%& + ¥‡%&&−%)#$ %

= ¥‡%&&−%) #$ %−#$%&)

jika

#$ Q−#$ S= 2 $5







 $5



3





5buktikanJ6 maka7

)= 2¥‡%&−%& )$5%^&+%2  $5%&−%2

<ambar berikut mengilustrasikan osilasi 5t6 jika selisih C dengan C* kecil 5<ambar ,7 1,&6?

0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) M^u a t aⁿ Q ( t ) <ambar ,' 3silasi

)=

1-.!31 !)

$5

11



0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) M^u a t aⁿ Q ( t )

<ambar ,& 3silasi

)=6

1-.!31 !)

$5

131



0 10 20 30 40 50 60 70 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 sumbu waktu (t) M^u a t aⁿ Q ( t )

Program $#T%#B <ambar ,&

%Arus pada Rangk LC seri E=Eo sin (wo-w) %wo-w = kecil clear all; close all; clc; E0=10; L=1; W0=1; W=0.84; A=(W0+W)*2^-1; B=(W0-W)*2^-1; t=(0:0.01:80); I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)) plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=-2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)).*sin(t.*(B)); plot(t,I,'k','linewidth',4)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14)

!ari <ambar ,7 menunjukkan osilasi 5t6 lebih cepat daripada osilasi 5t6 pada <ambar ,'. <ambar ,& adalah hasilkali persamaan <ambar ,7 dan ,' yang merupakan penyelesaian lengkap rangkaian %= dengan

8≠7&

. . Fenomena fisik model persamaan ini dapat dirasakan pada proses penalaan nada sistem akustik dimana akan terdengar gejala naik turun suara pada saat frekuensi dua sumber suara mendekati sama.

7asus D.

7asus D. ika sumber baterai E@ E* cos Ct dengan

8=9



:

Matematika Teknik I Hal- 103

‡^+B¢=¥& #$ %

atau

+%=¥& #$ %_‡

Penyelesaian /omogen?



+%



=0

persamaan karakteristik dari P! di atas?

W+%=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=6%

penyelesaian homogen?

ô)=Q #$ %+S $5 %

`d` u u

ô)=¢ #$%−' )

Penyelesaian Takhomogen?

+%=¥& #$ %_‡

dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular 5lihat subbab 7.;.+6

Ý)=÷#$ % + j$5 %)

ÝH)=÷#$ %−%÷$5 %+j$5 %+%j#$ %

ÝHH)=−%÷$5%−%÷$5 %−%_−%__{j$5 %} ÷#$ %+%j#$ %+%j#$ %

=−2%÷$5%−% ÷#$ %+2%j#$ %−% j$5 %

substitusi 

,

_

HH

ke persamaan didapatkan?

−2%÷$5%−% ÷#$ %+2%j#$ %−%j$5 %

+8-÷#$ % + j$5 %)= . ¡¹º 8

2%j)#$ %+−2%÷)$5 %=.



¡¹º 8

dengan menyamakan koefisiennya maka?

2%j =. nj=. 2%

−2%÷=0n÷=

jadi solusi takhomogen adalah?

Ý)=÷#$ % + j$5 %) = . -8 ºÉ„ 8

Penyelesaian lengkap?

)= ú)+Ý)= ú)=



¡¹º%&−



)+ .



-8 ºÉ„ 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 sumbu waktu (t) M^u a t^aⁿ Q ( t )

<ambar ,; Solusi Partikular untuk -asus

8=9 :8

Program $#T%#B <ambar ,: sebagai berikut?

%Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5t

%Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5tdenan

8=9 :8

clear clear allall;; close close allall;; clc; clc; t=(0:0.01:4); t=(0:0.01:4); I=10*t.*sin(5*t); I=10*t.*sin(5*t); plot(t,I,

plot(t,I,'b''b',,'linewidth''linewidth',2),2) xlabel(

xlabel( 'sumbu waktu (t)''sumbu waktu (t)',,'fontsize''fontsize',14),14) ylabel(

$.2.2 3ang%aian 3L8 seri $.2.2 3ang%aian 3L8 seri

4angkaian 4%= seri dengan sumber baterai E "olt digambarkan pada <ambar ,;. $odel persamaan rangkaian didapatkan dengan hukum Tegangan -irchoff( yaitu?

94L9%L9=@E

dengan? 94 adalah tegangan pada resistor 4 yaitu 4I 9% adalah tegangan pada induktor % yaitu

‡;¼;@

9= adalah tegangan pada kapasitor = yaitu

¦}¤

diketahui bahwa

¤=;?;@

dengan  adalah muatan dalam =oulomb.

<ambar ,8 4angkaian 4%= seri $odel persamaan rangkaian dapat dinyatakan sebagai?

"¤+‡ ¤+B¢l¤=¥

untuk menghilangkan tanda integral( persamaan dideferensialkan( maka?

"¤+‡h¤i+B¢l¤= ¥)

y^-Êy-+yÊy+:



Ê= yy.)

$odel persamaan untuk <ambar ,; dapat juga dinyatakan dalam muatan 5t6( yaitu?

"¤+‡ ¤+B¢l¤=¥

"+‡hi+B¢l=¥

Matematika Teknik I Hal- 106

y^-y-+yy+:



=.

7asus 4.

7asus 4. ika sumber baterai E@ E*

wyy.)=x

$odel persamaan rangkaian dinyatakan sebagai?

‡^¤+"¤+B¢¤=0

penyelesaian persamaan homogen orde1) di atas adalah persamaan karakteristik dari P! di atas?

‡W+"W+ B¢=0

akar1akar persamaan karakteristik?

W,=−"6u"_2‡^^−4‡/¢

sehingga penyelesaian umum P! 5lihat bahasan subbab 7.'6 Terdapat tiga kemungkinan akar1akar nilai ?

+. ika

u -−Ë/



>0

( maka

W,

adalah dua akar 4eal yang berbeda dengan

W,

∈ 4 maka solusi umumnya?

z=¡:¬î:+¡-¬î-

). ika

u -−Ë/



=0

( maka

W=W=W

dengan

,

∈ 4( maka solusi umumnya?

z=¡

:

¬

î

+¡

-{ ¬

î

,. ika

u -−Ë/



<0

( maka

W,

@ α ± iβ dengan α(β ∈ 4 maka solusi umumnya?

z=¡:¬

 ð

)+¡- ¬

3 ð

)

dengan rumus Euler( yaitu

¬Ö= ¡¹º +É ºÉ„ 

maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan?

z=¡:¬

 Ö

)+¡- ¬

3 Ö

)

=¡:¬

 ¡¹º

 +É ºÉ„

)+¡-¬

¾ −¡¹º

d EÉ ºÉ„

d)( −¡¹º

d= ¡¹º

d

=¡:+¡-)¬

 ¡¹º

d)+É¡:−¡-)¬

¾ ºÉ„

d)

=×¬

¾¡¹º

d +Ø¬

¾ ºÉ„

d ,×,Ø Ù —¹„ºÚ„Ú ÛÉÜV—¹ÕÝÜ¬—º

7asus B.

7asus B. ika sumber baterai yaitu

y

Matematika Teknik I Hal- 107

$odel persamaan rangkaian dinyatakan sebagai?

‡^¤+"¤+B¢¤=¥& #$ %

Penyelesaian model persamaan di atas terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen.

ntuk penyelesaian homogen sama dengan penyelesaian pada kasus #. Penyelesaian Tak/omogen?

‡

¤

+"

¤

+

B

¢¤=¥& #$ %

dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular 5lihat subbab 7.;.+6

ÊÝ)=÷#$ % + j$5 %

ÊÝH)=−%÷$5 %+%j#$ %

ÊÝHH)=−% ÷#$ %−%j$5 %

substitusi_

,

_

HH

ke persamaan didapatkan?

‡−%÷#$ %−%j$5 %)+"−%÷$5 %+%j#$ %)

+:



÷#$ % + j$5 %)=.¡¹º 8

h%"j+h :



−%‡i÷i#$ %+h−%"÷+hB¢−%‡iji$5 %=. ¡¹º 8

dengan menyamakan koefisiennya maka?

−%"÷+h B¢−%‡ij=0NNNV)

j= %"wB¢−%‡x÷= "wB%¢−%‡x÷

ika didefiniskan reaktansi

−ç=w 1¦−%‡x

maka

j=−"ç÷

%"j+h :



−%‡i÷=. NNNÉÉ)

ika kedua ruas dibagi dgn ( maka

"j+h :%



Matematika Teknik I Hal- 108

"−"ç÷−$÷= .% 

−T"_{ç +çU÷=.}^ % R−T" ^^+çç U÷=.^ % ^



= −._8_-_+çç_-₎



=−ç



= ._8_-_+ç _-₎

adi penyelesaian takhomogen adalah?

ÊÝ)= ] −.



8-+



-)_¡¹º 8 + ] .8-+



-)_ºÉ„ 8

=ontoh +?

Tentukanlah muatan  dan I sebagai fungsi watku t dalam rangkaian 4%= seri jika@ +& A( @ *(*) /( '@ )W+*17 F dan E @ +)volt . #nggaplah pada saat

t@ *( arus I @ * dan muatan kapasitor  @ * Penyelesaian?

Persamaan yang digunakan untuk menyelesaikan kasus ini?

‡;!?;@!+ ";?;@+ ¦=¥)

!engan substitusi @ +& A( @ *(*) /(' @ )W+*17 F dan E @ +) volt ( maka diperoleh?

0,02



+ B + B2

B03G)=B2

+ [00 + 2L0V000 =00

Penyelesaian Persamaan /omogen

• Persamaan karakteristik r) L ;** r L )'*.*** @ *( mempunyai akar1 akar?

W,=¸3



&& 6£ ÞG&V&&&3V&&&V&&&»_

@ 17** X ,** i • Sehingga penyelesaian homogen?

ô= 3G&&@ ¢B#$ A00+ ¢$5A00)

Penyelesaian Tak/omogen

• !engan menggunaan metode koefisien taktentu 5subbab 7.;.+6( maka?

= Q,

;?



;@ = 0,

;!?



Matematika Teknik I Hal- 109 • Substitusi

= Q, ;?



;@ = 0, ;!?



;@! = 0

ke dalam persamaan ?

+ [00  + 2L0V000 =00

$enghasilkan

=2,4

B03

-arena itu penyelesaian lengkap adalah(

)= 2,4

B03+ 3G&&@ ¢#$ A00+ ¢$5A00)



)

diperoleh dengan diferensiasi

)

didapatkan?

¤)=

;?

;@ =−400+ 3G&&@3G&&@ −A00¢ ¢#$ A00+ ¢$5A00+A00¢ $5 A00) #$ A00)

¤)= 3G&&@ ´−400¢+ A00¢) #$A00+−A00¢− 400¢) $5A00µ

Bila diberlakukan syarat awal( t @ *( I @ *(  @ *( maka?

0=2,4

B0+ ¢n¢= −2,4

B0

0= −400¢+ A00¢ n ¢=4¢A = −A,2

B0

adi penyelesaian lengkap muatan listrik adalah 5t6 @ +*1, Y)(7 Z e17**t 5)(7 cos ,**t L ,() sin ,**t6[ =ontoh )?

Suatu induktor ) henry( resistor +& ohm dan kapasitor *(*) farad dihubungkan secara seri dengan sutu baterai dengan ggl.3 @ +** sin ,t . Padat @* muatan dalam kapasitor dan arus dalam rangkaian adalah nol. Tentukanlah 5a6 muatan dan 5b6 arus padat N*.

Penyelesaian?

$isalkan Qdan 4 menyatakan muatan dan arus sesaat pada waktu t ( berdasarkan /ukum -irchhoff( maka diperoleh persamaan?

)

;ˆ;@

L +&4 L

?&,&

@ +** sin ,t

#tau karena4=dQ"dt,

;!?;@!

L ;

;?;@

L )'Q @ )* sin ,t

Selesaikan ini terhadap syaratQ@ *(dQ"dt = :padat @ *( kita memperoleh hasil akhir?

5a6Q @;2

½

5) sin ,t Z , cos ,t 6 L^2;

½

5b64 =

;?;@

@^<;

½

5) cos ,t L , sin ,t 6 1^2;

½

e17t

5+: sin ,t L & cos ,t 6

Suku pertama adalah arus stabil (steady-state! dan suku kedua( yang dapat diabaikan untuk waktu yang bertambah( dinamakan arustransien1

!O4L!O4L !O4L!O4L

+. Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana @+/( ' @+F dan E@+** volt J #nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

). Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana@+/(' @*()'F dan E@,* sin tvolt J#nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

,. Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana@+*/(' @+8*F dan E@+* cos )tvolt J#nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

7. Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana@+*/(' @*(+F dan E@+*t volt J #nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

'. Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana@)('/(' @+*1,F dan E@+*t⁾ volt J #nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

&. Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana@+/(' @+F dan E@+

volt jika *\t\+ dan E@* jika tN+J#nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

:. Tentukan arus l5t6 dalam rangkaian %= seri dimana @+/( ' @+F dan E@+1e1tvolt jika *\t\] dan E@* jika tN]J#nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

;. Tentukan arus steady statedalam rangkaian 4%= seri dimana =7 A(

@+/( '=)+*17F dan E@ ))* volt J #nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@*( dan muatan kapasitor @*.

8. Tentukan arus steady statedalam rangkaian 4%= seri dimana@)* A(

@+*/(' @+*^1,F dan E@+** cos tvolt J#nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@*( dan muatan kapasitor @*.

+*. Tentukan arus transien dalam rangkaian 4%= seri dimana =)** A(

@+**/( ' @*(**'F dan E@'** sin t volt J #nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

++. Tentukan arus transien dalam rangkaian 4%= seri dimana =)* A(

@'/(' @+*¹⁾F dan E@;' sin 7tvolt J #nggaplah bahwa pada saat t@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+). Tentukan arus lengkap dalam rangkaian 4%= seri dimana @;* A(

@)*/(' @+*1) F dan E@+**volt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+,. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian 4%= seri dimana @+&* A(

@)*/(' @)+*1, F dan E@7;+ sin +*tvolt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+7. Tentukan arus dalam rangkaian 4%= seri dimana@& A( @+/(' @*(*7 F dan E@)7 cos 'tvolt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+'. Tentukan arussteady state dalam rangkaian 4%= seri dimana@'* A(

@,*/(' @*(*)' F dan E@)** sin 7tvolt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+&. Tentukan arus transien dalam rangkaian 4%= seri dimana @)* A(

@7/(' @*(' F dan E@+* sin +*tvolt1#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+:. Tentukan aruslenkapdalam rangkaian 4%= seri dimana@; A(@)/(

' @*(+)' F dan E@+* sin 'tvolt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+;. Tentukan arus transien dalam rangkaian 4%= dimana @+' A( @'/(

' @+()'+*1) F dan E@+' sin 7t volt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

+8. Tentukan arus steady statedalam rangkaian 4%= seri dimana @; A(

@7/(' @*(+)' F dan E@) sin )tvolt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

)*. Tentukan arus lenkap dalam rangkaian 4%= seri dimana @)'* A(

@+)'/(' @*(**) F dan E@)'* sin ,tvolt J#nggaplah bahwa pada saat +@*( arus l@* dan muatan kapasitor @*.

Dalam dokumen Naskah Buku Matek I (Halaman 91-120)

ÕVî - +yVî+—=

î:,-=−y6£ y-Õ-−ËÕ—

,Íy-−ËÕ—<0 Î

−4<0

W,=−6£4−2 

z=¡=¬:3;/Ô)@¬

 ð

) ×¡¹º+¡- ¬

3 ð

)( y¬„

Ú„

=−y/-Õ ,

= u 4−2 )

 +Ø ºÉ„

)

=" 3;/Ô)@#$

 −')

"=u Q+S

M5 '=

S

Q

¡¹º

 −')

ã;=2

é = 2

u 4−2 )= 4u 4−

 )

;=



¬3;/Ô)@

,Íy-=ËÕ—Î

=4

W,=−2

z=¡:+¡- ) ¬w3;Ôx

,Íy->4Î

>4

î:,-=−y6£ y-Õ-−ËÕ—

z)=¡ :¬î:+¡-¬î-

î:,-<0

nê

z)=

)

z

)=¡ :î:¬î:+¡-î-¬î-

=¬î:Í¡:î:+¡-î-¬î-3î:)Î

zH)=

Í¡:î:+¡-î-¬î-3î:)Î=

nê

z)=

>0

+V+=0

0)=B



0)=0

W+VW+B=0

W,=−6£2 −4

−4<0

W,=−B26£ A2

=3;/Ô)@ Q#$

 +S $5

)

=3/)@T Q#$£

A2

 +S $5 £

A2

U



)=

==Q#$ 0 =B n Q=Bw3x@T Q#$£ A2 +S $5 £ A2U



)=

H=−B23/)@T Q#$£ A2 +S $5 £ A2U

+3/)@T−Q£ A2$5£ A2 +S £ A2#$£ A2U

0=−B2 Q#$0)+TS£ A2#$ 0U

0=−B2B)+TS£ A2U n S= B£ A

=3/)@T#$£ A2 + B£ A $5£ A2U

=

2

£ A

3/)@

î:,-=−y6£ y_-Õ^-^−ËÕ—

W,=−6£4−_2 ^

z=¡_=¬:_{3;/Ô)@}¬

)_{ ×¡¹º}+¡- ¬

= u 4−_2 ^⁾

u 4−_2 )^{= 4}_{u 4−}

 _₎

î:,-=−y6£ y_-Õ^-^−ËÕ—

W,=−6£₂ ^⁻⁴

=_{=Q#$ 0 =B n Q=B}w3x@T Q#$£ A2 +S $5 £ A2U

W,=−6£₂ ^⁻⁴

=2+£ A_{2£ A}

=−2+£ A_{2£ A}

z=-+£ ó_{-£ ó ¬}3-£ ó)+−-+£ ó_{-£ ó ¬}3-3£ ó)

‡h¤i+B¢l¤= ¥)_‡¤+B¢¤=¥)

‡^+B¢=¥

‡^¤