PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
Tujuan Instruksional:
•
Mampu memahami konsep PD !inier
•
Mampu memahami konsep ketakbebasan linier, determinan 'ronski
dan superposisi
•
Mampu memahami metode penyelesaian PD "omogen orde-(
•
Mampu memahami metode penyelesaian PD takhomogen
Bentuk umum P! %inier orde1n adalah
M&))+M)3)+ N+M 3)
′+M)=)
P! yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. =ontoh?
;
!
;!+A;;−2=$5
adalah P! %inier orde )
;!;!+w;;x−=3
adalah P! Tak1%inier orde )Selanjutnya pembahasan penyelesaian P! %inier orde1n dalam buku ajar ini dimulai pada P! %inier 3rde1)( yang kemudian dibuat kasus umum untuk penyelesaian P! orde1n.
ika F56 pada persamaan P! %inier orde1n sama dengan nol maka P! disebut P! homogen atau tereduksi atau komplementer. ika F56O* maka P! disebut P! lengkap atau P! tak homogen.
=ontoh?
;!;!+A;;−2=0
adalah persamaan tereduksihomogen. ika ao56( a+56( ....( an56 adalah konstanta maka P! disebut P! %inier dengan koefisien konstanta( jika tidak disebut P! %inier koefisien "ariabel.Bentuk
;;
,
;!;!
,N,
;Ì;Ì
( dapat dituliskan dengan lambang !y( !)y( ...( !ny( dengan !( !)(... disebut operator diferensial. Sehingga persamaan P! %inier orde1n dapat dinyatakan sebagai?ÍM&)†)+M)†3)+ N+M
atau3)†+M )Î=) b)
5!6y @ F56
dengan 5!6@
M&)†)+M)†3)+ N+M 3)†+M )
dan disebutoperator suku banyak dalam 6. %atihan Soal?
ntuk P! berikut klasifikasikan apakah P! homogennonhomogen( koefisien "ariabelkonstanta( liniernonlinierJ +.
′′+
′−=$5
).
′′+
′−=B
,.
′′+$5 )
′−=
7.
′′+Í
′Î=0
'.
′′+Í
′Î
+2=B
&. Buktikan†+A†+2 )G=†+B)†+2) G=†+2)†+B) GJ
#pa yang dapat disimpulkanQ
:. Tunjukkan bahwa
†+B M5 †−2
tidak komutatifJ ".1 eorema Dasar Persamaan Diferensial Linier ".1 eorema Dasar Persamaan Diferensial Linier ntuk menyelesaikan P! %inier berbentuk5!6y @ F56 dengan F56 O*(
kita misalkan Rc56 adalah solusi umum P! homogen dari 5!6y@*( maka penyelesaian umum P! %inier adalah dengan menjumlahkan penyelesaian umum P! homogen dan penyelesaian khusus( yaitu?
y 9 :
y 9 :;;(<) = :(<) = :pp(<)(<) =ontoh?
Solusi umum P! homogen? 5!)1,!L)6y@* adalah y@c+eLc)e) dan solusi khusus P! ? 5!)1,!L)6y@7) adalah ))L&L:( maka solusi umum P! lengkaptak homogen dari 5!)1,!L)6y@7) adalah
y@ c+eLc)e)L))L&L: ".2 7eta%bebasan Linier
".2 7eta%bebasan Linier
/impunan n fungsi y+56( y)56( ( yn56 dikatakan takbebas linier pada suatu selang jika ada n konstanta c+( c)( ( cn yang tidak semua nol( sehingga berlaku?
c+ y+56L c) y)56L L cn yn56 @ * jika tidak maka himpunan fungsi tersebut dikatakan bebas linier.
=ontoh?
)e,( 'e,(e17 takbebas linier pada suatu selang karena dapat ditentukan konstanta c+( c)( c, yang tidak semua nol sehingga?
c+5)e,6L c)5'e,6Lc,5e176 @ * dengan c+@1'( c)@)( c,@* =ontoh?
e dan e adalah bebas linier karena c+5e6L c)5e6@* hanya jika c+@*( c)@*
%atihan soal?
+. Tunjukkan bahwa himpunan fungsi berikut bebas linierJ
M) $5 ,#$ b) ,
) $5 ,$5 )
$5 ,
3
$5
) $5 ,#$ ) $5 ,3$5
). Tunjukkan bahwa himpunan fungsi berikut tak1bebas linierJ
M) 2,− b) ,4
". Determinan >rons%i ". Determinan >rons%i
/impunan fungsi y+56( y)56( ( yn56 5yang mempunyai turunan6 adalah bebas linier pada suatu selang jika determinan?
Ï,,N,)=Ð N
′) )
′) N ) N
′))
3) N3) NN N3)Ð≠0
!eterminan tersebut dinamakan determinan >ronski. =ontoh?
Tentukan determinan >ronski 5>ronskian6 untuk fungsi1fungsi berikut?
M) •$5 A,#$ A€ b) •,,€
Penyelesaian?
M) Ï)= Ñ$5 A #$ AA#$ A −A$5 AÑ=−A$5A−A#$ A=−A
b) Ï)= Ò B2A
0 2
Ò=B2+0+2 −0− −=2
=ontoh?
Tunjukkan himpunan fungsi
•B−,B+,B−A €
adalah takbebas linier untuk semua nilai JPenyelesaian?
5a6 kita dapat menunjukkan dengan memilih konstanta c+( c)( c, yang tidak semuanya nol sehingga c+5+16Lc)5+L6Lc,5+1,6@*( jika ditentukan c+@+( c)@1+( c,@* maka +11+1L*@*( sehingga himpunan fungsi
•B−
,B+,B−A €
adalah takbebas linier.5b6 kita juga dapat menghitung determinan >ronski1nya( yaitu?
Ï)= ÒB− B+ B−A−B B −A0 0 0 Ò=0
terbukti bahwa >ronskian @* berarti himpunan fungsi
•B−,B+,B−A €
tak bebas linir untuk semua Soal %atihan?
+. Buktikan himpunan fungsi berikut bebas linierJ
M) #$ ,$5
b) ,,
) #$ 2),#$ 2)
). $isalkan5a6 Buktikan bahwa determinan >ronskinya
B)
dan2)
adalah penyelesaianÏ=
′′+^)
′+
′+Ó)=0
′=}3~;
"." Prinsip !uperposisi "." Prinsip !uperposisi
ika y+56( y)56( ( yn56 adalah n penyelesaian bebas linier dari persamaan linier orde1n( 5!6y@* maka solusi umumnya?
y 9 ;
y 9 ;11yy11(<) = ;(<) = ;22yy22(<) = ?= ;(<) = ?= ;nnyynn(<)(<) dgn c+( c)( ( cn@ konstanta.
=ontoh?
ika
)
dan)
adalah solusi persamaan diferensial homogen
′′+)
′+)=0
maka kombinsi linier ) + )
juga solusi persamaan diferensial.Bukti?
)
dan)
solusi
′′+
′+=0
maka
′′+
′+=0
dan
′′+
′+=0
dari solusi
= +
( maka?
′=
′+
′
′′=
′′+
′′substitusi ke persamaan diferensial diperoleh?
′′+)
′+)=0
′′+
′′+
′+
′)+ + )=0
′′+
′′+
′+
′+ + =0
′′+
′+)+
′′+
′+)=0
V0+ V0=0
".$ Penyelesaian PD Linier Homogen dengan %oefisien %onstanta ".$ Penyelesaian PD Linier Homogen dengan %oefisien %onstanta P! %inier /omogen orde1) dengan koefisien konstan adalah?
M
′′+b
′+=0 M,b,=#5$M5M
dimisalkan solusi umum P!?
=Ô
sehingga jika kita substitusi ke dalam P! maka?M
′′+b
′+=0
R MÔ+b Ô+Ô=0
RM+b+ ) Ô=0
Matematika Teknik I Hal- 55
adi
z=¬
Õ{
menjadi solusi P! jikaM
+b+=0
5disebut PersamaanPersamaan 7ara%teristi%7ara%teristi%6
#kar1akar Persamaan -arakteristik adalah?
,=−b6£b2M−4M
Terdapat tiga kemungkinan akar1akar nilai m pada Persamaan =iri? +. ika
£b−4M>0
( maka,
adalah dua akar 4eal yang berbeda dengan,
∈ 4 maka solusi umumnya?z=¡:¬Õ:{+¡-¬Õ-{
). ika
£b−4M=0
( maka=
dengan,
∈ 4( maka solusi umumnya?z=¡:¬Õ{+¡-{ ¬Õ{
,. ika
£b−4M<0
( maka,
@ α ± iβ dengan α(β ∈ 4 maka solusi umumnya?z=¡:¬
α Ö
β){+¡- ¬
α3 Ö
β){
dengan rumus Euler ( yaitu
¬Ö{= ¡¹º {+É ºÉ„ {
maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan?z=¡
:
¬
α Ö
β){
+¡
-{ ¬
α3 Ö
β){
=¡:¬
α{ ¡¹º
β{ +É ºÉ„
β{)+¡-¬
α{ −¡¹º
β{ EÉ ºÉ„
β{)( −¡¹º
β{= ¡¹º
β{
=¡:+¡-)¬
α{ ¡¹º
β{)+É¡:−¡-)¬
α{ ºÉ„
β{)
=׬
α{¡¹º
β{ +ج
α{ ºÉ„
β{ ,×,Ø Ù —¹„ºÚ„Ú ÛÉÜV—¹ÕÝܬ—º
=ontoh?Tentukan solusi umum persamaan difrensial berikut?
′′+L
′−=0
Penyelesaian?
#kar1akar Persamaan -arakteristik pada P! di atas adalah?
+L−=0
−B)+)=0
=B M5 =−
dua solusi bebas linier P! adalah ?
)=
dan
Matematika Teknik I Hal- 56
adi solusi umum P! adalah?
)= +3Þ
Penyelesaian menggunakan Program $#T%#B?
>> syms x >> syms x
>> y=dsolve('D2y+5*Dy-6*y=0') >> y=dsolve('D2y+5*Dy-6*y=0') y =C2*exp(t)
y =C2*exp(t) + C4/exp(6+ C4/exp(6*t)*t)
=ontoh?
Selesaikan persamaan diferensial berikut?
′′−=0 ,0)=B,
′0)=0
Penyelesaian?
#kar1akar Persamaan -arakteristik pada P! di atas adalah?
−B=0
−B)+B)=0=B ( =−B
dua solusi bebas linier P! adalah ?
)=
D)= 3
adi solusi umum P! adalah?
)= +3
masalah nilai awal
0)=B,0)=B n
′0)=0 + =B
′
0)=0 n=B2 , − =B2 =0
adi solusi khusus P! adalah?
)= B2 +B2 3
Penyelesaian menggunakan Program $#T%#B?
>> syms x >> syms x >> y=dsolve(
>> y=dsolve( 'D2y-y=0''D2y-y=0',,'y(0)=0''y(0)=0',,'Dy(0)=1''Dy(0)=1')) y =exp(t)/2
y =exp(t)/2 - 1/(2*exp(- 1/(2*exp(t))t))
=ontoh?
Tentukan penyelesaian umum P!
′′
+4
′
Penyelesaian?
#kar1akar Persamaan -arakteristik pada P! di atas adalah?
+4+4=0
+2)+2)=0=−2
!iperoleh akar1akar yang sama( sehingga solusi umum P! mestinya adalah?
)= 3
karena P! orde ) akan memberikan dua solusi bebas linier dengan dua "ariabel konstanta maka solusi kedua dapat ditentukan dengan metode 3edu%si Orde3edu%si Orde PD
PD ( yaitu?
bentuk umum P! homogen orde1)?
′′+M
′+b=0
akar1akar persamaan karakteristik jika
£b−4M=0
(==−ßà
satu solusi P!?
)= 3á!â
bentuk persamaanreduksi ordeyaitu?
=v) 3 ßà
′=v
′) 3 ßà− b2M v) 3 ßà
′′=Tv
′′)− bM v
′)+ b4M v)U 3 ßà
substitusi,
′,
′′ ke P!
′′+M
′+b=0
( maka?MTv
′′)− bM v
′)+ b4M v)U3 ßà+bhv
′) − b2M v) i3 ßà+v)3 ßà=0
kedua ruas dibagi
3á!â
( maka?MTv
′′)− bM v
′)+ b4M v)U+bhv
′) 3 ßà− b2M v) i+v)=0
R Mv
′′)− Tb4M −Uv)=0
R Mv
′′)− Tb−4M4M Uv)=0
karena
b−4M=0
maka persmaan menjadi?v
′′)=0
Matematika Teknik I Hal- 58
v)= +
jadi satu solusi lain
)
adalah) =v) 3á!â= +)3á!â
karena satu solusi P! telah diketahui yaitu
) = 3á!â
maka solusi lain yang dimaksud adalah
) = 3á!â
untuk kasus contoh soal di atas penyelesaian umum P! menjadi?
)= 3+3
=ontoh?
Tentukan penyelesaian umum P! berikut?
′′+2
′+4=0
Penyelesaian?
akar1akar persamaan karakteristik?
+2+4=0
,=−26£ −B22 =−B6 £ A
karena α@1+ dan β@
£ A
maka penyelesaian umum P!?z=׬ 3{¡¹º£ A{ +ج3{ ºÉ„£ A{
%atihan Soal? Selesaikan P! berikut?BV
′′=0
2V
′′−
′=0
AV
′′−A
′+2=0
4V
′′+2
′+=0
LV 4
′′−4
′+=0
V
′′−4
′+*=0
*V A
′′+4
′+\=0
[V
′′−4
′+4=0,0)=B,
′0)=B
\V 4
′′−4
′−A=0,0)=0,
′0)=B
B0V
′′−4
′+BA=0,0)=B,
′0)=0
BBV
′′+2
′+2=0,0)=B,
′0)=0
B2V ã5cM5 –M =5M5 # Wc$ #W ^MM
J ′′−2
′+=0
BAV ã5cM5
5M5 # Wc$ #W ^MM
′′+B0
′+2L=0
–M =3½
JB4V MM äMbMW B\ MbMWM5 $#mc$
′MmMMå cMmM
′ÓcMmMv 5McW # $#mc#5)MW †æ MWM5 W MMmMå MMW−MMW ^W$VMWMW$HH+bH+=0 ,
ç#mc$ bWM$MWM5 MMW ^W$VMWMW$ WbM MM$ [ M$c$ bWbM,
Mcæ
B)V W<0 M5 W<0
2)V W<0 M5 W=0
A)V W=0 M5 W=0
4)V W=0 M5 W>0
L)V W>0 M5 W>0
)V W,W=è6é è<0)
*)V W,W=è6é è=0)
[)V W,W=è6é è>0)
M)V M$c$ M5 M5MMå c5c nê $#mc$ MM5 5M 5#më
b)V M$c$ M5 M5MMå c5c nê $#mc$ MM5 5M MbWå5Më
)V M$c$ M5 M5MMå c5c nê $#mc$ì #$mM$ WMë
)V M$c$ M5 M5MMå c5c nê $#mc$ì #$mM$ M WMë
"., PD Linier Homogen orde2 Persamaan 8au;'y-uler "., PD Linier Homogen orde2 Persamaan 8au;'y-uler Bentuk umum persamaan =auchy1Euler1orde) adalah?
M+b )HH+MM+b )H+M&=0
M≠0,b,M ,M& =#5$M5M åc$c$
Penyelesaian persamaan =auchy1Euler1orde) adalah?
misal solusi P!
=í@
dengan=m5M+b)
( makaH,HH
adalah?H=V=Wí@V MM+b
HH=Vhi+ V= MM+b )Wí@− MM+b )Wí@
Substitusi
,H,HH
pada P! didapatkan ?M+b )HH+MM+b )H+M&=0
M+b )² MM+b )Wí@− MM+b )Wí@³+MM+b )IWí@V MM+b J+M&í@=0
´MWí@−MWí@µ+MMWí@+M&í@=0
¸MW−MW +MMW+M &»í@=0
´MW+MM−M)W+M&µí@=0
sehingga persamaan karaktristik1nya?
MW+MM−M)W+M&=0
#kar1akar Persamaan -arakteristik adalah?
W,=−MM−M)6u M2MM−M)−4MM&
Terdapat tiga kemungkinan akar1akar nilai m pada Persamaan =iri?
+. ika
u MM−M)−4MM&>0
( makaW,
adalah dua akar 4eal yang berbeda maka solusi umumnya?z=¡:Ú{+Û )î:+¡-Ú{+Û )î
-). ika
u MM−M)−4MM&>0=0
( makaW=W
maka solusi umumnya?z=Ú{+Û )î:´¡:+¡-Ü„Ú{+Û )µ
,. ika
u MM−M)−4MM&<0
( makaW,
@ α ± iβ maka solusi umumnya?z=Ú{+Û )
α¸¡:¡¹ºÍ
βÜ„Ú{+Û )Î+¡-ºÉ„
βÜ„Ú{+Û ))»
Matematika Teknik I Hal- 61
Tentukan persamaan karakterisik pada persamaan =auchy1euler jika a@+ dan b@*J
Penyelesaian?
persamaan =auchy1Euler?
M+b )HH+MM+b )H+M&=0
jika a@+ dan b@*( persamaan menjadi?
M)HH+MM)H+M&=0
persamaan karakteristik?M
W
+M
M−M
)W+M
&
=0
MW+MM−B)W+M&=0
=ontoh?Tentukan penyelesaian P! berikut?
HH−4H+=0
Penyelesaian?
misal solusi umum P!
=í@
dengan=m5
persamaan karakteristik?
W−LW+=0,W =2,W=A
penyelesaian umum P!?
=+
=ontoh?
Tentukan penyelesaian P! berikut?
′′+A
′+ B=0
Penyelesaian?misal solusi umum P!
=í@
dengan=m5
persamaan karakteristik?
W+2W+B=0,W ,=−B
penyelesaian umum P!?
=3´+m5)µ
=ontoh?
Tentukan penyelesaian P! berikut?
A2−L) HH−2−L) H+2=0
Penyelesaian?
misal solusi umum P!
=í@
dengan=m52−L)
persamaan karakteristik?
W
2
penyelesaian umum P!?
=2−L)+ 2−L)/Þ
%atihan Soal?
Tentukan solusi umum P! =auchy1Euler berikut?
BV HH−BH− A=0
2V HH+H−=0
AV HH−*H+B=0
4V 4HH+B2H+A=0
LV HH+AH+L=0
V HH+B,2L=0
*V +2) HH−+2) H+=0
[V +B) HH+L+B) H+A=0
\V 2−A) HH+*2−A) H+4=0
B0V B−) HH−B−) H+=0
BBV 2B−2) HH+BB2−B) H−2=0
".0 PD Linier Homogen orden d
".0 PD Linier Homogen orden dengan 7oefisien 7onstanengan 7oefisien 7onstan
Persamaan !iferensial %inier /omogen orde1n dengan koefisien konstan mempunyai bentuk umum?
M)+M33)+ N+M H+M& =0 , M ≠0
ika
,,N,
adalah penyelesaian khusus P! %inier homogen( maka kombinasi liniernya juga penyelesaian P! %inier homogen( dirumuskan?
=+ + N+ =ïðñ ðð , , ,N, =#5$M5M
Penyelesaian P! %inier homogen orde1n dengan substitusi
=í
sehingga didapatkan persamaan karakteristik?MW+M3W3+ N+M W +M&=0
ntuk selanjutnya dengan teknik faktorisasi dapat ditentukan akar1akar persamaan karakteristik( yaitu?
MW+M3W3+ N+M W +M&=MW−W)W−W)NW−W )=0
#kar1akar persamaan karakteristik di atas dapat bernilai sama atau disebut akar rangkap 5multiplicity 6. !ua kasus akar rangkap untuk solusi P! %inier /omegen orde1n( yaitu?
-asus I. ika #kar rangkap adalah r@bilangan riil( terdapat k penyelesaian bebas linier.
k solusi bebas linier?
¬î{,{¬î{,N,{ —3:¬î{ ( —ò :
solusi umumnya?
z=¡:¬î{+¡-{¬î{+ N+¡ —{—3:¬î{
= #5$M5M −
-asus II. ika #kar rangkap adalah r@bilangan komplek 5r@α±iβ6. terdapat k penyelesaian bebas linier.
k solusi bebas linier?
¬¬
α α{{¡¹ººÉ„
β β{,{¬{,{¬
α α{{¡¹ººÉ„
β β{,N,{{,N,{—3:—3:¬¬
α α{{¡¹ººÉ„
β β{,{
solusi umumnya?
z=¬+{
α{—3: ¸¡¡:¡¹º—3:
β¡¹º{+¡
β{+¡-ºÉ„—
βºÉ„{)+{¡
β{)µ 󡹺
β{+¡ËºÉ„
β{)+±
=ontoh?
Selesaikan persamaan diferensial berikut?
½)−AG)+A
′′′−
′′=0
Penyelesaian?
persamaan karakteristik?
W½−AWG+AW−W=0
akar1akar persamaan karakteristik
W=W=0,W=WG=W½=B
solusi bebas linier?
&,&,,,
adi solusi umumnya?
=+ ++G+½)
=ontoh?
Tentukan penyelesaian P! berikut?
′′′−2
′′−
′+2=0
persamaan karakteristik?
W−2W+W+2=0
akar1akar persamaan karakteristik
W=−B,W=B,W=2
Matematika Teknik I Hal- 64
3,,
adi solusi umumnya?
=3++
=ontoh?
Tentukan penyelesaian P! berikut?
G)−4
′′′+B4′
′−20
′+2L=0
persamaan karakteristik?
WG−4W+B4W−20W+2L=0
akar1akar persamaan karakteristik
W=W=B+2,W =WG=B−2
solusi bebas linier?
#$2),#$2),$52),$52)
adi solusi umumnya?
=#$2)+#$2)+$52)+G$52)
%atihan Soal?
Tentukan penyelesaian umum P! berikut?
BV
′′′−
′=0
2V G)−L′
′+4=0
AV G)−=0
4V
′′′+A
′
′+A
′+=0
LV
′′′−A
′′+A
′−=0
V G)+2
′′′+A
′′+2
′+=0
ntuk soal berikut tentukan solusi P! dengan syarat awal berikut?
*V
′′′−
′=0, 0)=4,
′0)=0,
′′0)=\
[V G)−=0, 0)=L,
′0)=2,
′′0)=−B,
′′′0)=2
\V G)+A
′′−4=0 ,0)=0 ,
′0)=−B,
′′0)=−L,
′′′0)=−B
B0V
′′′−A
′′+4
′−2=0, 0)=B,
′0)=0,
′′0)=0
". Persamaan Diferensial Linier a% Homogen ". Persamaan Diferensial Linier a% Homogen Prosedur umum penyelesaian P! %iner Tak /omogen adalah %angkah I ? $enentukan solusi umum P! %inier /omogen(
ô)
%angkah II ? $enentukan solusi umum P! %inier Tak1/omogen(
%angkah III ? $enentukan solusi umum P!(
= ô)+ õ)
=ontoh?
Tentukan solusi umum P! berikut?
HH+=B
%angkah I ? $enentukan solusi umum P! %inier /omogen.
HH+=0
solusi umum?
ô
=
#$ +
$5
%angkah II ? $enentukan solusi umum P! %inier Tak1/omogen.
HH+=B
solusi umum?
õ=B
%angkah III ?
= ô)+ õ)= #$ +$5 +B
"..1 #etode 7oefisien a% entu "..1 #etode 7oefisien a% entu
#walnya metode ini diterapkan pada P! linier tak homogen orde1) yang berbentuk
M
′′+b
′+ = W), M,b, =#5$M5M
selanjutnya metode ini juga berlaku untuk orde yang lebih tinggi.
-unci metode ini adalah yp adalah suatu ekspresi yang mirip dengan r56( yang terdapat koefisien1koefisien yang tidak diketahui yang dapat ditentukan dengan mensubstitusikan yppada persamaan.
4turan untu% #etode 7oefisien a% entu 4turan untu% #etode 7oefisien a% entu 4.
4. 4turan 4turan DasarDasar. ika r56 adalah salah satu fungsi yang ada dalam Tabel ,.+( pilih fungsi ypyang bersesuaian dan tentukan koefisien tak tentunya dengan mensubstitusikan yp pada persamaan.
B
B. 4turan #odifi%asi.4turan #odifi%asi. ika r56 sama dengan solusi P! homogen( kalikan yp
yang bersesuaian dalam tabel dengan 5atau ) jika r56 sama dengan solusi akar ganda P! /omogen6
8.
8. 4turan 4turan Penjumla'an.Penjumla'an. ika r56 adalah jumlah fungsi1fungsi yang terdapat dalam Tabel pada kolom pertama( yp adalah jumlah fungsi pada baris yang bersesuaian
Matematika Teknik I Hal- 66
abel 1
abel 1 #etode 7#etode 7oefisien a% oefisien a% entuentu !u%usu%u
!u%usu%u dalam dalam r(<) r(<) Pili'an Pili'an untu% untu% yypp
ö ¢ö
÷5=0,B,N) ÷+÷33+±+÷ +÷&
#$ % MMc $5 % ÷#$ % + j$5 %
-esimpulan?
• $etode -oefisisen Taktentu digunakan penyelesaian khusus P! linier takhomogen dengan koefisien konstanta
• ntuk dapat menentukan pemisalan yang sesuai harus dicari terlebih dahulu solusi persamaan homogennya.
• $etode -oefisisen Taktentu hanya dapat digunakan jika fungsi f56 di ruas kanan adalah berupa polinom( fungsi trigono( fungsi eksponen atau penjumlahanperkalian dari ketiga fungsi kolom pertama dalam Tabel +. =ontoh? P!
HH+=M5
tidak dapat diselesaikan dengan metode koefisien taktentu karenaM5
bukan termasuk ketiga fungsi dalam Tabel +8onto' Penerapan 4turan Dasar 8onto' Penerapan 4turan Dasar Selesaikan P! takhomogen berikut?
′′
+4=[
Penyelesaian?
%angkah +. $enentukan solusi P! homogenakar1akar persamaan karakteristik?persamaan karakteritik?solusi umum
ô=Q#$ 2+S$5 2+4=0HH+4=0=2, =−2
%angkah ). $enentukan solusi P! Tak /omogen
HH+4=[
)=[
sehingga dari Tabel +(Hõ=2÷+÷õ=÷+÷ +÷&
HHõ=2÷
substitusi
õ, Hõ, HHõ
ke persamaan didapatkan?2÷
+4÷
+÷
+÷
&
)=[
dengan menyamakan koefisien1koefisien yang berpangkat sama diperoleh?
4÷=[
4÷=0
2÷+4÷&=0
perolehan konstanta?÷=2, ÷&=−B, ÷=0
solusi umum P! takhomogen?
õ=2−B
%angkah ,. $enentukan solusi P!
= ô)+ õ)=Q#$ 2+S$5 2+2−B
8onto' penerapan 4turan #odifi%asi 8onto' penerapan 4turan #odifi%asi Tentukan solusi P! berikut?
z
′′−óz
′+-z=¬ {
Penyelesaian?
%angkah +. $enentukan solusi P! homogensolusi umumpersamaan karakteritik?akar1akar persamaan karakteristik?
ô= ¬{+ ¬−A+2=0-{zHH−ózH+-z==B, =2
%angkah ). $enentukan solusi P! Tak /omogen
z
HH
−óz
H
+-z=¬
{
)=¬{
sehingga dari Tabel +(õ=¬{
karena)=¬{
adalah solusi P! homogen pada %angkah + maka sesuai #turan B(õ=¬{
sehingga
Hõ=¬{+¡{¬{, HHõ=2¬{+¡{¬{
substitusi
õ, Hõ, HHõ
ke persamaan didapatkan?2¬{+¡{¬{−A¬{+¡{¬{)+2¬ {)=¬{
dengan menyamakan koefisien1koefisien yang berpangkat sama diperoleh konstanta c@1+
solusi umum P! takhomogen?
õ=−
%angkah ,. $enentukan solusi P!
Matematika Teknik I Hal- 68
8onto' Penerapan 4turan Penjumla'an 8onto' Penerapan 4turan Penjumla'an Tentukan penyelesaian umum P! berikut?
z
′′−-z
′+z=¬ {+{
Penyelesaian?
%angkah +. $enentukan solusi P! homogenpersamaan karakteritik?akar1akar persamaan karakteristik?solusi umum
−2+B=0zHH−-zH+z== =B
ô
=
¬
{
+
¬
{
%angkah ). $enentukan solusi P! Tak /omogen
zHH−-zH+z=¬ {+{
)=¬{+{
sesuai Tabel +(õ=¬{+¡-{+¡ó
suku pada
)
yaitu¬{
adalah solusi ganda P! homogen solusi umum P! homogen menjadiõ=¬{+¡-{+¡ó
sehingga
Hõ
′′=2¬{+¬{+¡- ,
õ=2¬{+-{¬{+2¬{+¬{
substitusi
õ, Hõ, HHõ
ke persamaan didapatkan?2¬{+Ë{¬{+¡+ó=¬¬{{+{−22¬{+¬{+¡-)+¬{+¡-{
R 2¬{+¡-{−2¡-+¡ó=¬{+{
dengan menyamakan koefisien1koefisien yang berpangkat sama diperoleh konstanta ?
=B/2
(=B
(=2
solusi umum P! takhomogen?
õ=¬{+¡-{+¡ó
=B2¬{
+{+-%angkah ,. $enentukan solusi P!
= ô)+ õ)= ¬{+ ¬{+B2¬{
+{+-Tentukan penyelesaian P! berikut?
′′+2
′+L=B +$5 2
Penyelesaian?
%angkah +. $enentukan solusi P! homogenpersamaan karakteritik?
HH+2H+L=0
akar1akar persamaan karakteristik?
=−B+2 =−B −2
solusi umum
ô=¬3{Q#$ 2+S$5 2)
%angkah ). $enentukan solusi P! Tak /omogen
′′+2
′+L=B +$5 2
)=B+$5 2
sesuai Tabel +(õ=¬{+÷#$ 2+j$5 2
substitusi
õ, Hõ, HHõ
ke persamaan didapatkan?[
+−4÷+4j+L÷)#$ 2+−4÷−4j+Lj)$5 2=B+$5 2
dengan menyamakan koefisien1koefisien yang berpangkat sama diperoleh konstanta ?
=2
(÷=−4/B*
(j=B/B*
solusi umum P! takhomogen?
õ=¬{+÷#$ 2+j$5 2
=2¬{− 4B*#$ 2+ BB*$5 2
%angkah ,. $enentukan solusi P!
= ô)+ õ)
=¬3{Q#$ 2+S$5 2)+2¬{− 4B*#$ 2+ BB*$5 2
%atihan soal
Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut?
BV HH+4H=
2V HH+H−2=A−
AV HH+= +A
4V HH−H−2=
LV HH+H= $5 2
V HH−AH+2= $5
*V HH+H=2, 0)=B , H0)=2
[V HH+H−2=2, 0)=0, H0)=B
\V HH−LH+= 2−A), 0)=B, H0)=A
<ambar )* $etode -oefisien Taktentu pada P! %inier Tak /omogen orde1) "..2 #etode +ariasi Parameter
"..2 #etode +ariasi Parameter
$etode "ariasi parameter adalah metode untuk menentukan penyelesaian khusus P! linier takhomogen dengan koefisien "ariabel. Prinsip metode ini adalah mengubah "ariabel konstanta
dengan "ariasi parameterv)
. $isal pada P! takhomogen orde1) konstanta
dan
pada solusi umum P! homogenô=)+)
diubah dengan "ariasi parameterv)
danLangkah 3. Menentukan solusi umum PD TakHomo Langkah 3. Menentukan solusi umum PD TakHomo gengen
solusi umum:
= å+ ^
MKK + bK+ = )
MKK+ bK+ = 0
Langkah 1. Menentukan solusi umum PD Ho Langkah 1. Menentukan solusi umum PD Ho mogenmogen
solusi umum:
å= BB)+ 22)
MKK+ bK+ = )
Langkah 2. Menentukan solusi PD TakHomogen Langkah 2. Menentukan solusi PD TakHomogen
• lihat bentuk f(x) sesuaikan dengan abel 4!1 kolom"1 dan lihat kesamaan bentuk dg solusi #$ homogen • tentukan solusi umum:
^
% abel 4!1 kolom"2sesuaikan dg f(x)"n&a
• substitusi
^, K^, KK ^
'ada #$ takhomogen • tentukan solusi khusus^
METODE KOEFISIEN TKTENT! METODE KOEFISIEN TKTENT! PD PD LINIE"
v)
sehingga solusi khusus P! takhomogenõ=v))+v ))
. $etode ini lebih umum daripada metode koefisien taktentu.<ambar )+ Prinsip $etode 9ariasi Parameter pada P! %inier Tak/omogen orde1)
P! linier takhomogen orde1) dengan koefisien "ariabel yang diselesaiakan dengan metode 9ariasi Paramatr mempunyai bentuk umum?
z
′′
+Ý{)z
′
+ø{)z=î{)
Penyelesaian P! di atas adalah?
%angkah +. $enentukan penyelesaian P! homogen. Penyelesaian P! homogen persamaan di atas?
′′ô+^)=)+
′+Ó)=0)
%angkah ). $enentukan penyelesaian P! takhomogen dengan metode "ariasi parameter.
• $enentukan solusi umum?
zÝ=ù:{)z:{)+ù-{)z-{)
• $enentukan turunanzÝ
õH=vH))+v)H)+v H))+v )H)
• $enentukan persamaan syarat7
P%insi& Meto'e (a%iasi Pa%amete%
P%insi& Meto'e (a%iasi Pa%amete%
PD PD LINIE"
PD PD LINIE" TKHOMO#EN O"DE$2TKHOMO#EN O"DE$2
zKK−Ý{)zK+ø{)z=î{)
zú=¡:z:{)+¡-z-{)
zÝ=ù:{)z:{)+ù-{)z-{)
v
sehinggaH))+vH))=0
õH=v)H)+v)H)
õHH=v)HH)+vH)H)+v)HH)+vH)H)
• Substitusiõ,õH,õHH
pada P!?´v)HH)+v+^)´vH)H)+v)H)+v)HH))+vH)µH)H)µ
+Ó)´v))+v))µ=W)
v)´HH)+^)+v+vH)´)H)+Ó)HHH)+v)+^)H))µHH)+Ó))=W) )µ
karenaHH)+^)H)+Ó))=0
danHH)+^) H)+Ó) )=0
• maka hasil Substitusi
õ,õH,õHH
pada P!?vH)H)+v H)H)=W)
• $enentukan
vH))+vvH))
dan)=0v)
vH)H)+v H)H)=W)
dari dua persamaan di atas maka?
ù:H{)=− z-{)Vî{)
û
n ù:{)=l− z-{)Vî{)
û
ù-H{)= z:{)Vî{)û n ù-{)=l z:{)Vî{)û
Ï=)H)−H) )
adalah >ronskian),)
jadizÝ=ù:{)z:{)+ù-{)z-{)
=l−z-{)Vî{)û )+l z:{)Vî{)û )
%angkah ,. solusi umum P!
= ô+ zÝ
=)+)+v))+v ))
=ontoh penerapan metode 9ariasi Parameter? Tentukan penyelesaian umum P! berikut?
′′+
′=$
Penyelesaian?
%angkah +. $enentukan penyelesaian P! homogen.
′′+
′=0
persamaan karakteristik
+B=0
( akar1akarnya,=6
ô=#$)+ $5)
%angkah ). $enentukan penyelesaian P! takhomogen dengan metode "ariasi parameter.
• solusi umum?
zÝ=ù:{) ¡¹º {+ù-{) ºÉ„ {
• persamaan syarat?vH))+vH))=0nv H) #$ +vH)$5 =0
• hasil Substitusi
õ,õH,õHH
pada P!?vH)H)+vH)H)=W)
−vH) $5 +vH)#$ =0
• $enentukanvH) #$ +vvH))$5 =0
danv)
−vH) $5 +vH)#$ =0
v
H
)=−M5 nv)=m5 #$
vH)=B nv )=
jadiõ=v=m5 #$ #$ + $5 ) #$ +v) $5
%angkah ,. solusi umum P!
Matematika Teknik I Hal- 74
<ambar )) $etode 9ariasi Parameter pada P! %inier Tak/omogen orde1) %atihan Soal
Tentukan penyelesaian P! tak homogen berikut dengan metode "ariasi parameter?