Naskah Buku Matek I

PENGANTAR

PENGANTAR

Ketua Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik UB

Ketua Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik UB

Proses pembelajaran melalui transfer ilmu pengetahuan dan teknologi merupakan faktor penting dalam mewujudkan keberhasilan mahasiswa untuk memahami suatu bidang keahlian tertentu. Proses pembelajaran yang efektif dan efisien dapat dicapai dengan pengembangan bahan ajar yang dimiliki dan dibuat oleh dosen pengampu matakuliah.

Saat ini masih sangat minim buku matematika yang ditulis oleh penulis dengan latar belakang Teknik Elektro. Buku matematika Teknik I ini merupakan buku ajar yang ditulis oleh dosen Teknik Elektro Fakultas Teknik B. ntuk itu tentunya gagasan penerapan ilmu dasar matematika pada bidang Teknik Elektro akan lebih baik dan sesuai dengan kebutuhan materi keilmuan Teknik Elektro.

!engan diterbitkannya buku ini diharapkan mahasiswa Teknik Elektro lebih tertarik dan termoti"asi mempelajari dan memahami materi matematika teknik. Buku #jar $atematika Teknik I ini tersajikan secara sistematis sehingga memudahkan mahasiswa untuk mempelajari buku ini. Buku #jar $atematika Teknik I ini memuat Persamaan !iferensial dan aplikasinya di bidang Teknik Elektro beserta cara praktis penyelesaiannya dengan program $#T%#B &.' sesuai dengan silabus kurikulum Teknik Elektro B.

$alang( )& $ei )*+,

-etua urusan Teknik Elektro B ttd

PENGANTAR

PENGANTAR

!engan mengucap syukur #lhamdulillahirobbil 0aalamiin akhirnya Buku #jar $atematika Teknik I dapat tersusun. Buku ini disusun mengacu pada buku Pedoman Silabus $ata -uliah $atematika Teknik I di urusan Teknik Elektro ni"ersitas Brawijaya tahun )*++

Buku ini tersusun dalam lima bab( dimana semua bab difokuskan pada pembahasan Persamaan !iferensial dan aplikasinya di bidang Teknik Elektro. Beberapa contoh penyelesaian Persamaan !iferensial dengan menggunakan program $#T%#B &.' juga disertakan.

Buku ini menjadi bahan ajar bagi penulis dalam kuliah $atematika Teknik I di urusan Teknik Elektro B. $ahasiswa akan lebih mudah mempelajari buku ini dengan memahami terlebih dulu tentang integral parsial dan turunan. $udah1 mudahan buku ini dapat memberi manfaat untuk pembaca dan mahasiswa khususnya.

#khirnya segala masukan demi perbaikan buku ini sangat kami harapkan dan untuk itu kami ucapkan terima kasih

$alang( 23PE$BE4 )*+) Penulis

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

PENGANTAR Ketua Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik UB ... i

PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

DAFTAR GAMBAR ... "

DAFTAR TABEL ..."ii BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL ... + +.+ !efinisi ... + +.) %inieritas dan /omogenitas. ... , +., Solusi 5Penyelesaian6 P!B ... , +.7 $etode Penyelesaian. ... ' +.' Pembentukan Persamaan !iferensial ... & BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU ... 8

).+ Penyelesaian P!B 3rde Satu dgn Integrasi %angsung ... 8

).) Penyelesaian P!B 3rde Satu !engan Pemisahan 9ariabel ... ++ )., Persamaan /omogen substitusiy=vx ... +7

).7 Persamaan !iferensial %inier dalam bentuk

/ + = 

... +' ).' Persamaan Bernoulli berbentuk

/ +  =  



... +: ).& Persamaan !iferensial Eksak ... +; ).: Persamaan !iferensial Tak1Eksak ... )* ).; $enentukan Faktor Itegrasi ... )) BAB III Penerapan PDB orde satu ... )' ,.+ Trayektori 3rtogonal ... )' ,.) 4angkaian %istrik ... ,, ,.).+ 4#2<-#I#2 4% ... ,7

,.).) 4angkaian 4= ... 7+

BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ... '* 7.+ Teorema !asar Persamaan !iferensial %inier ... '+ 7.) -etakbebasan %inier ... ') 7., !eterminan >ronski ... ') 7.7 Prinsip Superposisi ... '7

7.& P! %inier /omogen orde1)? Persamaan =auchy1Euler ... &* 7.: P! %inier /omogen orde1n dengan -oefisien -onstan ... &) 7.; Persamaan !iferensial %inier Tak /omogen ... &7 7.;.+ $etode -oefisien Tak Tentu ... &' 7.;.) $etode 9ariasi Parameter ... :* BAB V APLIKASI PD TINGKAT DUA ... :&

'.+ Sistem <erak... :& '.+.+ Sistem <erak Bebas Takteredam ... :; '.+.) Sistem <erak Bebas Teredam

)=0 , ≠0)

... ;, '.+.).a Sistem Teredam -urang 5underdamped 6

,



_{−4<0 )}

... ;, '.+.).b Sistem Teredam -ritis 5critically damped 6

,



=4)

... ;' '.+.).c Sistem Teredam %ebih 5overdamped 6

,



>4)

... ;: '.) 4angkaian %istrik ... 8) '.).+ 4angkaian %= seri ... 8) '.).) 4angkaian 4%= seri... +*' DAFTAR PUSTAKA ... ++) GLOSARIUM ... ++, INDEKS ... ++&

"

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR GAMBAR

<ambar + -eluarga -ur"a

=



... 7

<ambar ) -ur"a

=



+4

... ' <ambar , -eluarga -ur"a





_



_+2



_=

... +) <ambar 7 -eluarga -ur"ay = mx dan y 2 _{+ x} 2 _{= k} 2 ... )' <ambar ' Trayektori 3rtogonal -ur"a

=



dan

2



+ 



=

... ): <ambar & -ur"a





+



=2

dan





+



=

... )8

<ambar : -ur"a

=

dan Trayektori 3rtogonalnya ... ,+ <ambar ; -ur"a

=



!

dan Trayektori 3rtogonalnya ... ,) <ambar 8 4angkaian 4%= seri ... ,, <ambar +* 4angkaian 4% seri ... ,7

<ambar ++ =ontoh Soal 4angkaian 4% Seri ... ,: <ambar +) #rus pada 4angkaian 4% Seri(4@+*A( %@)/( E@7*9 ... ,; <ambar +, #rus pada 4angkaian 4% Seri(4@+*Ω( %@)/( E@)*e51,t6_{9 ... ,8}

<ambar +7 #rus pada 4angkaian 4% Seri( 4@+*Ω( %@)/( E@)** sin 't 9 ... 7*

<ambar +' 4angkaian 4= Seri ... 7+

<ambar +& #rus Pada 4angkaian 4= Seri( E@&* 9 ... 77

<ambar +: #rus Pada 4angkaian 4= Seri( E@+**te1)t _{9 ... 7&} <ambar +; #rus pada 4angkaian 4= Seri( E@+** cos )t 9 ... 7;

<ambar +8 Solusi #lamiah -ualitatif berdasarkan #kar Pers. -arakteristik ... '8

<ambar )* $etode -oefisien Taktentu pada P! %inier Tak /omogen orde1) .. :* <ambar )+Prinsip $etode 9ariasi Parameter pada P! %inier Tak/omogen orde1) .... :+ <ambar )) $etode 9ariasi Parameter pada P! %inier Tak/omogen orde1) ... :7

<ambar ), Sistem <erak Benda pada Pegas ... :: <ambar )7 #. Sistem <erak dengan Peredam B. Sistem <erak dengan Peredam dan <aya %uar F5t6 ... :: <ambar )' Ilustrasi <erak /armonik

)=" #$%

&

−')

... :8 <ambar )& Ilustrasi /ubungan c+( c)( 4 dan θ ... ;* <ambar ): Ilustrasi Sudut Fasa pada =ontoh -asus ... ;) <ambar ); /armonik Benda pada Pegas(

" =2(= 4

π

( '= *

π

4

... ;)

<ambar )8 3silasi pada <erak Benda Bebas Teredam -urang ... ;7 <ambar ,* <erak Benda pada Sistem <erak Bebas Teredam -ritis 5c+( c)positif6 ... ;'

<ambar ,+ <erak Benda pada Sistem <erak Bebas Teredam -ritis 5c) negatif6 ... ;&

<ambar ,) <erak Benda Pada 9ariasi 2ilai -onstanta 4edaman 5d6 ... 8+ <ambar ,, 4angkaian %= seri ... 8) <ambar ,7 Faktor 4esonansi ... 88 <ambar ,' 3silasi

)=

1

-.



!

31

!

)

$5

1



1



... +*+ <ambar ,& 3silasi

)=6

-.



1

!

₃₁

!

₎

_$5

1



31



_

... +*+ <ambar ,: Penyelesaian lengkap 5t6 untuk kasus C 1

7

&

kecil ... +*+ <ambar ,; Solusi Partikular untuk -asus

8=9

:8

... +*7 <ambar ,8 4angkaian 4%= seri ... +*'

DAFTAR TABEL

DAFTAR TABEL

BAB I

BAB I

KONSEP DASAR PERSAMAAN

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

DIFERENSIAL

Tujuan Instruksional:

•

Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial

•

Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial

•

Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan Diferensial

•

Mampu memahami pembentukan Persamaan Diferensial

1.1 Definisi 1.1 Definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan "ariabel1"ariabel tak bebas dan deri"atif1deri"atifnya terhadap "ariabel1"ariabel bebas. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial?

5+6



;

!

_

;

!

− 

;

;

_{= 0}

"ar. bebas @ x D "ar. takbebas @y

5)6



′

= 



_+$5

"ar. bebas @ x D "ar. takbebas @y

5,6

;

!

?;@

!

− A

;?;@

+B0 = 4

"ar. bebas @t D "ar. takbebas @Q

576

C

!

DC

!

+

C

!

DC

!

= 0

"ar. bebas @ x,y D "ar. takbebas @V

Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematika untuk rekayasa sebab banyak hukum dan hubungan fisik muncul secara matematis dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial 5disingkat P!6 diklasifikasikan dalam dua kelas yaitu biasa dan parsial.

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa 5ordinary differential equation6 disingkat P!B adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu "ariabel bebas. ikay 5 x 6 adalah suatu fungsi satu "ariabel( maka xdinamakan "ariabel

bebas dan y dinamakan "ariabel tak bebas. Persamaan 5+6( 5)6( 5,6 adalah contoh P!B.

Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan Diferensial Parsial 5disingkat P!P6 adalah suatu persamaan diferensial yang mempunyai dua atau lebih "ariabel bebas. Persamaan 576 adalah contoh P!P 5yang dibahas pada buku $atematika Teknik I jilid lanjutan6 Orde persamaan diferensial

Orde persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut( contoh?



;;

E 



= 0

adalah P!B orde satu



;

!

_;

_!

_{E }

_

_{$5  = 0}

adalah P!B orde dua

;

F

_;

_F

_{− }

_;;

_+

_G

_{= 0}

adalah P!B orde tiga Persamaan di atas dapat ditulis dg notasi lain yaitu?



H

E 



= 0

adalah P!B orde satu



H

E 



$5  = 0

adalah P!B orde dua



HHH

− 

H

+

G

= 0

adalah P!B orde tiga Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial

Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan tertinggi suatu persamaan diferensial( contoh?

B+I

;;

_J



_=A

;

!

_;

!

adalah P!B orde dua derajat satu



′′

)



+

′

)

G

−=0

adalah P!B orde dua derajat tiga Syarat tambahan pada persamaan diferensial( untuk satu nilai "ariabel bebas yang mempunyai satu atau lebih nilai syarat disebut syarat awal (syarat awal (initialinitial conditions

conditions)). P! dengan syarat awal dikatakan sebagai suatu masalah nilai awal 5initial-value problem6. ika syarat yang diberikan pada P! lebih dari satu nilai "ariabel bebas( disebut syarat batassyarat batas dan merupakan P! dengan masalah nilai batas 5boundary-value problem6.

=ontoh?

•

4KK+2AK=



(2)=B( 2)=L

yaitu @)

•

4KK+2AK=



(B)=B( 2)=L

adalah P! dengan masalah nilai batas karena dua syarat pada  yang berbeda yaitu @+ dan @)

1.2 Linieritas dan Homogenitas. 1.2 Linieritas dan Homogenitas.

Persamaan diferensial biasa orde1n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk?

M

&

_)

)

_+M



_)

3)

_{+ N+M}

3

_)

H

_+M



_{)=)}

dengan

M

&

_)≠0

ika tidak maka persamaan diferensial dikatakan tidak linier.

+. ika koefisien

M

&

),M



),N,M



)

konstan maka disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan( jika tidak disebut persamaan differensial linier dengan koefisien "ariable.

). ika

)=0

( maka disebut persamaan differensial linier homogen( jika

)≠0

disebut tidak homogen. =ontoh?

Persamaan !iferensial -lasifikasi Persamaan !iferensial

2

HHH

+L

H

+2=#$)

P! %inier( P! biasa (P!1orde)

2

HHH

+L

H

+2=#$)

P! non %inier

O

O

+OP

O

=#$P)

P! non %inier disebabkan adanya suku

cos(!

1. !olusi (Penyelesaian) PDB 1. !olusi (Penyelesaian) PDB

Beberapa jenis solusi P! akan dijabarkan sebagai berikut?

+. Solusi P! bentuk eksplisit yaitu solusi P! dengan fungsi yang mana "ariabel bebas dan "ariabel tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Solusi eksplisit dinyatakan dalam bentuk y @ f56. =ontoh solusifungsi eksplisit?

= 



+

L+4

). Solusi P! bentuki implisit yaitu solusi P! dengan fungsi yang mana "ariabel bebas dengan "ariabel tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Fungsi implisit ditulis dalam bentuk f5(y6 @ *. =ontoh solusifungsi implisit?





+



=2L

atau





+



−2L=0

Penyelesaian implisit dan penyelesaian eksplisit( keduanya secara singkat biasa disebut penyelesaian P!B.

+. Solusi mum 5Penyelesaian mum6? solusi P!B yang masih mengandung konstanta sebarang misalnyac .

=ontoh P!

;;

=



mempunyai penyelesaian umum

 =



.

). Solusi -hususPartikulir 5Penyelesaian -hususPartikulir6? solusi yang tidak mengandung konstanta "ariabel karena terdapat syarat awal pada suatu P!B.

=ontoh P!

;;

=A



dengan syarat

0)=4

( mempunyai penyelesaian khusus

=



₊₄

<ambar + -eluarga -ur"a

=



<ambar + dibuat dengan program $#T%#B sebagai berikut?

%Program MATLAB kurva y=cx^3 % %Program MATLAB kurva y=cx^3 % clc;

clc; clear clear allall;;

for for c=-5:1:5 c=-5:1:5 x = -5:0.01:5; x = -5:0.01:5; y = c*x.^3 y = c*x.^3;; plot(x,y,

plot(x,y,'r''r',,'linewidth''linewidth',2),2) axis([-2, 2,-10,10]) axis([-2, 2,-10,10]) xlabel(

xlabel( 'x''x')) ylabel( ylabel( 'y''y'))

title(

title( ' Gambar kurva y=cx^3'' Gambar kurva y=cx^3')) hold hold onon end end -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x y

,. Solusi Singular 5Penyelesaian Singular6? solusi yang tidak diperoleh dari hasil mensubstitusikan suatu nilai konstanta pada solusi umumnya. =ontoh?

=+



diketahui sebagai solusi umum dari P!B?



H

)



+

H

=

( tetapi disisi lain P!B tersebut mempunyai penyelesaian lain?

=−

G





( penyelesaian ini disebut sebagai penyelesaian singular.

<ambar ) -ur"a

=



+4

Program $#T%#B untuk <ambar ) sebagai berikut?

%Program MATLAB kurva y=x^3+4% %Program MATLAB kurva y=x^3+4% clc;

clc; clear clear allall;; x = -5:0.01:5; x = -5:0.01:5; y=x.^3+4 y=x.^3+4 plot(x,y,

plot(x,y,'b''b',,'linewidth''linewidth',2),2) axis([-2, 2,-10,10]) axis([-2, 2,-10,10]) xlabel(

xlabel( 'x''x')) ylabel( ylabel( 'y''y'))

title(

title( ' Gambar kurva y=x^3+4'' Gambar kurva y=x^3+4'))

1." #etode Penyelesaian. 1." #etode Penyelesaian.

$etode yang digunakan untuk mencari solusi 5menyelesaikan6 Persamaan !iferensial antara lain?

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x y

Matematika Teknik I Hal- 6

+. $etode #nalitik? $etoda ini menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit. ntuk masalah1masalah yang komplek metode analitik ini jarang digunakan karena memerlukan analisis yang cukup rumit. ). $etode -ualitatif? Solusi P!B didapatkan dengan perkiraan pada

pengamatan pola medan gradien. $etode ini memberikan gambaran secara geometris dari solusi P!B. $etode ini meskipun dapat memberikan pemahaman kelakuan solusi suatu P!B namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan metode ini tidak digunakan untuk kasus yang komplek. ,. $etode 2umerik. Solusi yang diperoleh dari metode ini adalah solusi

hampiran 5solusi pendekatanaproksimasi6. !engan bantuan program komputer( metode ini dapat menyelesaikan P!B dari tingkat sederhana sampai pada masalah yang komplek.

-etiga metode tersebut dapat diselesaikan dengan software $#T%#B. 1.$ Pembentu%an Persamaan Diferensial

1.$ Pembentu%an Persamaan Diferensial

Secara matematis( persamaan diferensial muncul jika ada konstanta sembarang dieliminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan.

=ontoh? Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut

 =  + Q

Penyelesaian?

 =  +

Q

 =  +Q

3

 = B − Q

3

_{= B − Q}



dari fungsi yang diberikan 5soal6 konstanta sembarang # adalah?

Q =  −  R Q =  − )

sehingga

 = B − Q

3

= B −  E )

_

_

= B −  E ) =  E  +  = 2 − 

sehingga





= 2 E 



R 



= 2 E 



 = Q



+ S

Penyelesaian?

 = 2Q + S







_

_{= 2Q R Q = B2}





_

substitusikan konstanta # ke?



 = 2Q + S

sehingga

 = 2B2



_

_

_{ + S =  }



_

_

_{+ S}

S =  − 







dengan mensubstitusikan # dan B pada persamaan?

 = Q



+ S

kita dapatkan?

 = B2











+ T − 







U

= B2









_

+  − 









_

= 



 −

B

2













/asil akhir penyelesaian di atas adalah persamaan diferensial orde dua. adi fungsi dengan satu konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde satu( sedangkan fungsi dengan dua konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Sehingga berlaku kaidah? &ungsi yang mempunyai n bua' %onstanta sembarang a%an &ungsi yang mempunyai n bua' %onstanta sembarang a%an meng'asil%an Persamaan Diferensial orde %en

meng'asil%an Persamaan Diferensial orde %en Lati'an !oal

Lati'an !oal

-lasifikasikan Persamaan !iferensial berikut sebagai? • P!B atau P!P

• P! %inier atau non1%inier

Matematika Teknik I Hal- 8

BV =A



2V 







+B0+=0

AV 2+B)−



+B)=0

4V 2+2=2

LV W

'

+WM5')=#$



')

V +=XYZ 2)

*V 

HH

−2

H

+=−XYZ )−A

@

[V −= 



\V L







+2+\=2#$ A)

B0V ]^_



=`a b−^)

BBV OcO+OcO+=0

B2V 

HH

+

H

)



+2



=0

BAV 

G)

_−=d−B

B4V OO+OO+



₌₀

BLV =B+A)

2−A)

ntuk Persamaan !iferensial berikut buktikan bahwa satu atau beberapa fungsi yang diberikan adalah solusi P!?

BV 

HH

−+B)

H

+ =0 ( 

_

)=



,

_

)=+B

B*V 2

HHH

+\

HH

+B2

H

+L=0 (  )=+B)

3

\

HH

B[V 4





HH

+[

H

+ =0 (  )=

_3

eZ )

B\V 

HH

=

H

−BA ( )=



fgX 2)

20V 

HH

+4= 



−A)XYZ2)( )=h−

B

B2



+

2L

A2ifgX2)+

B

B



XYZ 2)

BAB II

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU

SATU

Tujuan Instruksional:

•

Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde-1 dg integrasi

langsung, pemisahan variabel

•

Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Diferensial

!inier "omogen orde satu

•

Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan #ernaoulli

•

Mampu memahami dan menyelesaikan PD $ksak dan Tak-eksak

P!B orde satu dapat dinyatakan dalam bentuk

 = ,)

atau dalam bentuk

j,) +k,) =0

2.1 Penyelesaian PDB Orde !atu dgn *ntegrasi Langsung 2.1 Penyelesaian PDB Orde !atu dgn *ntegrasi Langsung

ika P!B dapat disusun dalam bentuk

;;

=  )

( maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

=ontoh

 = A



−  + L

maka

 = lA



−  +L) = 



− A



+L +

Penyelesaian menggunakan program $#T%#B sebagai berikut?

>> y=dsolve('Dy= 3*x^2-6*x+5','x') >> y=dsolve('Dy= 3*x^2-6*x+5','x')

y= x^3-3*x y= x^3-3*x^2+5*x+C1^2+5*x+C1 =ontoh?

 = L



+ 4

$aka

 = L



+ 4

sehingga

 = LA



_{+ 4m5  + }

Penyelesaian menggunakan program $#T%#B sebagai berikut?

>>

>> y=dsolve('x*y=dsolve('x*Dy= Dy= 5*x^3 5*x^3 + + 4','x')4','x') y=5/3*x^3+4

y=5/3*x^3+4*log(x)+C1*log(x)+C1

2ilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas diberi keterangan syarat 5sebuah nilai y untuk  tertentu6. Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c disebut solusi umumprimitif( sedangkan solusi disebut khusus jika nilai c dapat dihitung.

=ontoh?

Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y@, untuk @*?









= 4

Penyelesaian





_{ = 4 n  = 4}

3

maka

 = l4

3

 = −4

3

+ 

dengan mengetahui y@, untuk @* dapat dihitung nilai c yaitu

 = −4

3

+  R A = −4 +  ( = *

sehingga solusi khusus adalah?

 = l4

3

 = −4

3

+ *

Penyelesaian menggunakan program $#T%#B sebagai berikut?

>> y=dsolve('exp(x)*Dy=4','y(0)=3','x') >> y=dsolve('exp(x)*Dy=4','y(0)=3','x')

Matematika Teknik I Hal- 11

%atihan Soal?

Tentukan penyelesaian P! berikut?

BV  = −



2V  = 



+A

AV  = L



+4

4V  =XYZ +fgX

LV  = L



+4XYZ

V  =o

p

XYZ +fgX

Tentukan solusi P! dengan masalah nilai awal sebagai berikut?

*V  = −



( 0)=B

[V  = 



(0)=4

\V  = L



+4 ( 0)=B

B0V  =fgX ( 0)=B

BBV  = 4XYZ ( 0)=B

B2V  =o

p

XYZ +fgX (  0)=B

2.2 Penyelesaian PDB Orde !atu Dengan Pemisa'an +ariabel 2.2 Penyelesaian PDB Orde !atu Dengan Pemisa'an +ariabel

ika persamaan diferensial berbentuk

;;

= ,)

( yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi  dan fungsi y( maka penyelesaian P! dengan cara memisahkan "ariabelnya sehingga faktor GyG bisa kita kumpulkan dengan 0dyG dan faktor GG dengan 0dG.

=ontoh? Selesaikan P! berikut 5+6

;

Matematika Teknik I Hal- 12

Pisahkan berdasarkan "ariabelnya untuk mendapatkan

BB+)  =B+)

jika kita integrasikan kedua ruas menjadi?

l BB+)  = lB+)

m5B+) =  + B2



+ 

Penyelesaian menggunakan program $#T%#B sebagai berikut?

>>

>> y=dsolve('Dy y=dsolve('Dy = = (1+x)*(1+y)')(1+x)*(1+y)') y=C3*exp(t

y=C3*exp(t*(x + 1)) – *(x + 1)) – 11

5)6

\

;;

+4=0

dengan memisahkan "ariabelnya diperoleh?

\=−4

selanjutnya tiap ruas diintegralkan dan didapatkan solusi?

\2



=−2



+

\2



+2



= R 

_{2 +2}



_{\ =\}



=q h−4

\





+2

\

i

<ambar , -eluarga -ur"a





_



+2



=

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x y

Program $#T%#B untuk <ambar , sebagai berikut?

clear clear allall;; clc; clc; syms syms x x y y c c fx= fx= '(2*x^2)+(9/2*y^2)-c''(2*x^2)+(9/2*y^2)-c' for for c=-11:11 c=-11:11 ezplot(eval(fx)) ezplot(eval(fx)) axis

axis squaresquare

axis axis equalequal

hold hold onon grid grid onon end end title(

title( 'kurva f(x,y)=2x^2+9/2y^2-c''kurva f(x,y)=2x^2+9/2y^2-c'))

%atihan Soal?

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan memisahkan "ariabel1 "ariabelnya?

BV 

H

=



!

3

!

2V 

H

=

_



AV 

H

=−

4V 

H

_=+

LV 

H

₌

rst

_

_!

V 

H

=2u −B

*V 

H

=#$



)#$



2)

[V 

H

= 

_B+



_

₎

\V 

H

=2

3

#$

B0V 

H

=2+)

BBV 



+2)+ 



+B)=0

B2V 



+B)+



+B)=0

Matematika Teknik I Hal- 14

2. Persamaan Homogen substitusi 2. Persamaan Homogen substitusiy=vx y=vx Tinjau persamaan diferensial

 = +A2

Persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan "ariabelnya. !alam hal ini kita lakukan substitusiy =vx ( denganv adalah fungsi

x . Sehingga penyelesaiannya? dariy = vx dideferensialkan menjadi

 = v +  v

sehingga

 +A2 =B + Av2

Persamaan sekarang menjadi?

v + v = B + Av2

 v = B + Av2 −v = B + v2

_{2B+vv = B}

kedua ruas diintegrasikan menjadi?

l 2B+vv = l B

2m5B + v) = m5 + 

_B+v)

_

_{= V}

substitusiv=y"x didapatkan

B+



)



= V

atau

+)



= V



%atihan Soal?

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan substitusiy=vx

M) 



−A



)+2=0

b) E+w+ u 



+



x=0

) 2K−



+



=0

) K= +2



#$



)



Matematika Teknik I Hal- 15

2." Persamaan Diferensial Linier dalam bentu%

2." Persamaan Diferensial Linier dalam bentu%

yzy{

+|z = 

ntuk P! yang berbentuk

yzy{

+|z = 

dengan P dan  fungsi  atau konstanta penyelesaianny dapat diperoleh dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integrasi



}~;

=ontoh( selesaikan P!

 −  = 

Penyelesaian?

dari persamaan diperoleh# @ 1+ danQ @  faktor integrasinya



}~;

@



3

jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan



3

maka?



3

 E ) = 

3

)



3

 − 

3

V = 

3

V

•

3

€ = 

3

V

→



}~;

V‚ = 

}~;

V = 

}~;

V

sehingga penyelesaiannya

l

3

) = l 

3

V



3

_{V = −}

3

_{V + l}

3

_{ = −}

3

_{V − }

3

_{+ }

 = −−B +  /

3

dari contoh di atas jika faktor integrasi



}~;

= ƒ

( maka P! linier orde satu bisa dinyatakan dalam bentuk

ƒV) = ƒV

dengan bentuk di atas( penyelesaiannya menjadi?

ƒV = lƒ +  MMc V

}~;

= l

}~;

V  + 

%atihan soal?

Selesaikan P! linier berikut?

2V +2=A



AV −=



4V +=XYZ

LV += BB+



V +2=

*V +A



_=



[V +B= B



\V +=2

B0V fgX +$5 =B

BBV 



+=2

B2V #$ +$5=B

BAV +2



)



=

Tentukan Solusi P! untuk masalah nilai awal berikut?

B4V − =B (0)=B

BLV +2=



(B0)=B

BV −A=



(B)=4

B*V +2= (0)=B

B[V B+



)+



=0 (0)=B

2.$ Persamaan Bernoulli berbentu%

2.$ Persamaan Bernoulli berbentu%

yzy{

+ |z =  z

„

P! yang berbentuk

;;

+  =  



dengan P dan  fungsi  atau konstanta diselesaikan dengan cara?

Pertama( membagi kedua ruas dengan





sehingga persamaan menjadi



3

 +  

3

= 

-edua( misalkanlah

P = 

3

sehingga

P = 

_{ n P = B−5) }

3

₎

3

_

supaya suku pertama didapat

;…;

maka persamaan pertama dikalikan 5+1n6 didapat?

B−5)

3

 + B−5) 

3

= B−5)

P + 



VP = 



† ‡5W)

dengan #$ dan Q$ fungsi  atau konstanta. Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. Setelah diperoleh penyelesaian untuk H( dengn substitusi

P = 

3

kita dapatkan y.

contoh? selesaikan P! berikut?

 +  = V



penyelesaian

kedua ruas dibagi





menjadi



3

 +

_{ = }

3

misalkan

= 

3

( n@) sehingga

P= 

3

dan

;…;

= −

3;;

supaya suku pertama didapat

;…;

maka persamaan dikali 1+( diperoleh?

−

3

 −

_{ =−}

3

P −P = − n † ‡5W



}~;

= 

_}3;

= 

3ˆ

= 

ˆ

‰Š

=B

bentuk umum penyelesaian P! linier didapat?

ƒV = l

}~;

V  + 

sehingga



VP = }



V−)  +  n

…

= − + 

P=  − 



karena

P= 

3

maka



3

=  − 



n  =  − 



)

3

%atihan soal?

Selesaiakan P! Bernoulli berikut?

BV  + = V



2V  + = 



V

G

AV 2 + = −B) 



2., Persamaan Diferensial -%sa% 2., Persamaan Diferensial -%sa% P!B dalam bentuk?

j,) +k,) =0

dikatakan eksak jika terdapat fungsi 5(y6( sedemikian sehingga

‹?

‹

_{= j,)}

dan

‹?‹

_{= k,)}

. !engan mengingat diferensial total dari fungsi 5( y6( maka disimpulkan bahwa persamaan

j,) +k,) =0

eksak jika dan hanya jika?

ŒjŒ =ŒkŒ

%angkah1langkah untuk menyelesaikan P! Eksak adalah sebagai berikut? %angkah +. Tuliskan P! dalam bentuk diferensial ?

j,) +k,) =0

%angkah ). ji ke1eksak1an P!?

%angkah ,. ika eksak( integralkan%terhadap xatau&terhadapy . $isal dipilih

% ( maka ?

,) =lj,) +)

%angkah 7. TurunkanQterhadapydan samakan hasilnya dengan 25(y6

k,)= ŒŒhlj,)i +

H

)

%angkah '. Integralkan g5 y6 untuk memperoleh g5y6

%angkah &. Tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk implisit?

Q(( x y )) @'.

%angkah :. Tentukan' jika diberikan kondisi awal tertentu. =ontoh? Selesaikan P!B

;;

= −

3



!

_3

( y5*6@, Penyelesaian?

%angkah +. Bentuk diferensial P! adalah ?

−2 )+



−2) = 0

%angkah ). ji ke1 eksak1an P! ini?

ŒjŒ = −2 ( ŒkŒ = −2

%angkah ,. $isal dipilih%untuk diintegralkan( maka ?

,) =lj,) +)

= l−2) +)

= B2



− 2 + )

%angkah 7. $enyamakan turunan 5(y6 terhadap y dengan 25(y6?

ŒŒhB2



− 2 + )i= 



−2

0−2 + 

H

) =



−2



H

) =



) = BA



%angkah &. Penyelesaian umum dalam bentuk implisit 5(y6@c?

B2



− 2 + BA



= 

%angkah :. !engan kondisi awal y ((*)) @ ,( diperoleh ' @ 8( sehingga penyelesaian khususnya adalah ?

B

2





− 2 + B

A





= \

%atihan soal?

ji ke1eksakan persamaan diferensial berikut dan selesaikan?

BV =−+2





+2

2V =−A

2





+4

+2 ,0)=A

AV \



+−B )−4− )=0

4V = fgX

XYZ−



LV 



−



)−



+)=0

V 



$5−2$5 )+



#$+2#$ )=0

*V 



−2)−



−2+B )=0

;. Tentukan 25(y6sehingga

−



+)+k,)=0

eksakJ 8. Tentukan $5(y6 shg

j,)+XYZ+eZ−



_)=0

eksakJ 2.0 Persamaan Diferensial a%-%sa%

2.0 Persamaan Diferensial a%-%sa% ika suatu P! orde satu berbentuk

j,) +k,) =0

mempunyai sifat?

ŒjŒ ≠ŒkŒ

maka P! tersebut disebut P! Tak1Eksak. Suatu P! tak eksak dapat diubah ke P! eksak dengan mengalikan persamaan dengan suatu faktor yang tepat( yang disebut fa%tor pengintegralanfa%tor pengintegralan 5interatin factor 6. Pada bagian sebelumnya(

kita mengenal faktor integral:faktor integral:

ƒ)=

}~);

untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier order satu dalam bentuk?

yzy{ +|{)z = {)

Faktor integral

ƒ)=

}~);

akan membawa persamaan diferensial linier order satu berbentuk

;;

+) = )

menjadi P! eksak. Secara umum suatu faktor integral adalah faktor K(( x  y )) dapat mengubah persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak.

=ontoh? Tunjukkan bahwa x dyL (()yM xex))dx@ * tidak eksak( tetapi dengan mengalikan dengan faktor K @ x P! tersebut menjadi eksak. -emudian selesaikanJ

Penyelesaian ? ji ke1eksak1an(

ŒŒ2−



)=2 M5 ŒŒ)=B

adi P! adalah tidak eksak. !engan mengalikan faktor integral xdiperoleh?





+2−







)=0n † $M

ŒjŒ=Œ2−

_{Œ =2 ( ŒkŒ =Œ}



_



₎



_)Œ=2

dari langkah1langkah penyelesaian P! eksak( maka?

,)=



−







+2



−2



+)

jika diketahui?

ŒŒ,)=k,)

maka





+

H

)=



n

H

)=0n)=0

jadi solusi P! adalah?

Matematika Teknik I Hal- 22

2. #enentu%an &a%tor *tegrasi 2. #enentu%an &a%tor *tegrasi

ika

j,) +k,) =0

P! tak eksak dan

ƒ,)

faktor integrasi( maka

ƒ,)j,) +ƒ,)k,) =0

adalah P! eksak( sehingga

ŒƒjŒ=ŒƒkŒ

_atau

ŒƒŒj+ŒjŒƒ=ŒƒŒk+ŒkŒƒ

hŒjŒ−ŒkŒiƒ=ŒƒŒk−ŒƒŒj

ƒ=−hŒƒŒj−ŒƒŒki

_{hŒjŒ−ŒkŒi}

ada beberapa kasus( yaitu?

5+6

,)=ƒ)

( faktor integrasi hanya fungsi ( maka?

ƒ =−hŒƒŒj−ŒƒŒki

_{hŒjŒ−ŒkŒi}

=−w0−ŒƒŒkx

_{hŒjŒ−ŒkŒi}

ŽŒjŒ−ŒkŒ=kƒŒƒŒ

ŽBƒ Œƒ=h

ŒjŒ−ŒkŒi

k 

Žm5ƒ=l hŒjŒ−ŒkŒi

_{k }

Žƒ=

}h‹‹3‹‹i



;

Sehingga jika

w

‘’‘“

3



‘”‘

x

menghasilkan fungsi  saja maka

ƒ,)=ƒ)

. 5)6

ƒ,)=ƒ)

( faktor integrasi hanya fungsi y( dengan analisis spt 5+6

maka?

ƒ=

}h‹‹3‹‹i

_{ ;}

Sehingga jika

w

‘’‘“

3

‘”‘

x



menghasilkan fungsi y( maka

ƒ,)=ƒ)

. 5,6

ƒ,)=ƒ)

( jika

w

3

‘’‘“

3

‘”‘

x

menghasilkan fungsi



576

ƒ,)=ƒ+)

( jika

w

‘’‘“

3

3

‘”‘

x

menghasilkan fungsi

+

5'6

ƒ,)=ƒ−)

( jika

w

‘’‘“



3

‘”‘

x

menghasilkan fungsi

−

5&6

ƒ,)=ƒ



+



)

( jika



w

‘’‘“

3

‘”‘

x

menghasilkan fungsi





+



-esimpulan? Faktor integrasi ditentukan dengan menghitung

‹‹

−

‹‹

kemudian membaginya sehingga diperoleh fungsi yang mandiri.

=ontoh?

ji ke1eksakan Persamaan !iferensial

 +2−



) =0

Tentukan faktor integral1nya dan berikan solusi P!1nyaJ Penyelesaian?

j,)=2−



)

dan

k,)=

ŒjŒ=Œ2−



)

Œ =2 ( ŒkŒ=B –M ŒjŒ ≠ ŒkŒ † M$M)

ŒjŒ−ŒkŒ=2−B=B n ƒ=

};

=

dari sini seperti contoh sebelumnya dapat ditunjukkan dengan mengalikan  pada persamaan dihasilkan P! eksak. !an solusi P! seperti dibahas pada contoh sebelumnya didapatkan?





−







+2



−2



=

%atihan soal?

Tunjukkan bahwa P! berikut takeksak( kemudian tentukan faktor integrasi serta uji ke1eksakannya( selanjutnya dapatkan solusi umum P!J

BV 2+A+2



)=0

2V A−2)+



−B)=0

AV 



+A+2 )+



+ +B) =0

4V −2



)− B−  )=0

BAB III

BAB III

Penerapan PDB orde satu

Penerapan PDB orde satu

Tujuan Instruksional:

•

Mampu memahami dan menyelesaikan trayektori orthogonal

•

Mampu memahami pembuatan model Persamaan Diferensial pada

rangkaian %! dan %& seri

•

Mampu menyelesaiakan model PD pada rangkaian %! dan %& seri

.1 raye%tori Ortogonal .1 raye%tori Ortogonal Definisi

Definisi

ika diketahui keluarga kur"a pada bidang )*yang dinyatakan oleh persamaan

 5 x (y (k 6@ * dengank@ konstanta "ariabel. -ur"a yang memotong tegak lurus kur"a1kur"a tersebut dinamakan traye%tori ortogonaltraye%tori ortogonal dari kur"a .

=ontoh?

!iberikan keluarga kur"ay @ mxdan y ) _{L x} ) _{@ k} ) _{yang disajikan pada satu}

sistem koordinat kartesius seperti tampak pada <ambar 7.

Terlihat bahwa grafik fungsi garis berpotongan dengan kur"a lingkaran. -ur"a lingkaran dan grafik garis berpotongan saling tegak lurus atau ortogonal( karena itu kedua kur"a dikatakan ortogonal di titik potongnya. !engan kata lain garis lurusy@mxadalah trayektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut. Sebaliknya dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari garisy@mx .

Prosedur menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kur"a 5 x (y (k 6 @ * adalah?

anka $. Turunkan persamaan gariskur"a( sehingga didapatkan

persamaan diferensial orde1+ untuk keluarga kur"a( yaitu. 5 x (

y (k 6 @ *

anka 2. Substitusikan k @  5 x ( y 6 pada . 5 x ( y ( k 6 @ * untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi  5 x ( y 6 @ * berbentuk

 = ,)

anka /. Buat persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal menjadi bentuk berikut?

 = − B ,)

anka 0. Selesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya

adalah keluarga trayektori ortogonal. =ontoh

Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kur"a berikut ini?

y@cx )_.

Penyelesaian

%angkah I Persamaan diferensial untuk keluarga kur"ay@cx ) _yaitu

 = 2

%angkah ) !isubstitusikan

 =



!

untuk memperoleh persamaan diferensial implisit?

 = 2



 = 2

 = − B ,) = −B2 = −2

%angkah 7 Selesaikan persamaan diferensial baru

 = −2 n 2 = −

l2 = l− n



= −B2



+B

2



+ 



=

adi( persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kur"ay@cx

)

adalah?

2



_{+ }



_=

<ambar ' Trayektori 3rtogonal -ur"a

=



dan

2



+



=

Program $#T%#B untuk <ambar ' sebagai berikut?

%Program MATLAB untuk kurva

%Program MATLAB untuk kurva

-z

-

+ {

-

=—

dan y = cx dan y = cx 22

% % clear

clear allall;; clc; clc; syms syms x x y y k k f1= f1= 'k*x^2-y''k*x^2-y' for for k=1:1:10 k=1:1:10 ezplot(eval(f1)),axis

ezplot(eval(f1)),axissquaresquare,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end for

for k=-10:1:-1 k=-10:1:-1

ezplot(eval(f1)),axis

ezplot(eval(f1)),axissquaresquare,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end

f2= f2= '2*y^2+x^2-k^2''2*y^2+x^2-k^2' -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 x y

for

for k=-8:1:8 k=-8:1:8

ezplot(eval(f2)),axis

ezplot(eval(f2)),axissquaresquare,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end

title(

title( 'keluarga kurva 2*y^2+x^2-k^2 dan k*x^2-y''keluarga kurva 2*y^2+x^2-k^2 dan k*x^2-y'))

=ontoh?

Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kur"a berikut ini.





+



=2

Penyelesaian?

%angkah I P! untuk keluarga kur"a





_+



_=2

yaitu

2+2=2 R  = −

%angkah ) mensubstitusikan

 =



!



!



untuk memperoleh persamaan diferensial implisit?

 = 



−



2

%angkah , Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu

 = − B ,) = − 2



−



˜`Z™š`› 4 œoZoeoX`Yš`Z žŸ

;;

=

_



_!

_3

_!

jika y@u. maka

;;

=

;;

+c

sehingga?

c+c= 2Vc)





−c







= 2cB−c



R c =Bh 2cB−c



−ci

R c =BVT2c−c+c

B−c





U

R c =BVTc+c

B−c





U

untuk penyelesaian konstannya?

BVTc+c



B−c



U=0,c+c



= 0 n c=0

jadi y@u. @ *

Matematika Teknik I Hal- 29

c =BVTc+c



B−c



U

R TB−c

_c+c





U c =BV

dengan integrasi fungsi parsial didapatkan?

l]Bc− 2cB+c



_c=l B

m5c)−m5c



+B)=m5)+

cB+c



_{=,≠0}

dengan substitusi y@u. atau u@y( didapatkan?





+



=

Penyelesaian implisit P! di atas dan u@* atau y@* merupakan trayektori ortogonal kur"a





+



=2

.

<ambar & -ur"a





+



=2

dan





+



=

Program $#T%#B untuk <ambar & sebagai berikut?

-6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 x y

%Program MATLAB kurva

%Program MATLAB kurva

z

-

+{

-

=-¡{

dan dan

z

-

+{

-

=—z

% % clear

clear allall;; clc; clc; syms syms x x y y k k f1= f1= 'y^2+x^2-2*k*x''y^2+x^2-2*k*x' for for k=-3:0.1:3 k=-3:0.1:3 ezplot(eval(f1)),axis

ezplot(eval(f1)),axissquaresquare,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end for

for k=3:-0.1:-3 k=3:-0.1:-3

ezplot(eval(f1)),axis

ezplot(eval(f1)),axissquaresquare,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end

f2=

f2= 'x^2+y^2-k*y''x^2+y^2-k*y'

for

for k=-5:1:5 k=-5:1:5

ezplot(eval(f2)),axis

ezplot(eval(f2)),axissquaresquare,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end

title(

title( 'keluarga kurva y^2+x^2-2kx dan 'keluarga kurva y^2+x^2-2kx dan x^2+y^2-ky'x^2+y^2-ky'))

=ontoh Penyelesaian dengan Program $#T%#B?

Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kur"a

=

>> syms x y k; >> syms x y k; >> y=k*x >> y=k*x y =k*x y =k*x >> >> dy=diff('k*dy=diff('k*x','x')x','x') dy =k dy =k >> k=solve('dy=k','k') >> k=solve('dy=k','k') k =dy k =dy >> edif=subs('y-k*x=0','k',k) >> edif=subs('y-k*x=0','k',k) edif =y - dy*x = 0 edif =y - dy*x = 0 >> edif_ortog=subs(edif,'dy','-1/Dy') >> edif_ortog=subs(edif,'dy','-1/Dy') edif_ortog =y + x/Dy = 0 edif_ortog =y + x/Dy = 0 >> Dy=solve(edif_ortog,'Dy') >> Dy=solve(edif_ortog,'Dy') Dy =-x/y Dy =-x/y >> y_ortog=dsolve('Dy =-x/y','x') >> y_ortog=dsolve('Dy =-x/y','x') y_ortog = y_ortog = 2^(1/2)*(C3 - x^2/2)^(1/2) 2^(1/2)*(C3 - x^2/2)^(1/2) -2^(1/2)*(C -2^(1/2)*(C3 3 - - x^2/2)^(1/2)x^2/2)^(1/2) >> figure,for C3=1:6,ezplot(eval(y_ortog(1)),[-3,3]),… >> figure,for C3=1:6,ezplot(eval(y_ortog(1)),[-3,3]),… axis square,axis equal,hold on,grid on,end

axis square,axis equal,hold on,grid on,end >> for C3=1:6,ezplot(eval(y_ortog(2)),[-3,3]),… >> for C3=1:6,ezplot(eval(y_ortog(2)),[-3,3]),… axis square,axis equal,hold on,grid on,end axis square,axis equal,hold on,grid on,end

>> for k=-1.25:0.25:1.25,ezplot(eval(y),[-3,3]),hold on, grid >> for k=-1.25:0.25:1.25,ezplot(eval(y),[-3,3]),hold on, grid on,end

on,end

<ambar : -ur"a

=

dan Trayektori 3rtogonalnya =ontoh Penyelesaian dengan Program $#T%#B?

Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kur"a

=



!

>> syms x y k >> syms x y k >> y=k/(1+x^2) >> y=k/(1+x^2) y =k/(x^2 + y =k/(x^2 + 1)1) >> >> dy=diff('k/dy=diff('k/(1+x^2)','x'(1+x^2)','x')) dy =-(2*k*x)/(x^2 + 1)^2 dy =-(2*k*x)/(x^2 + 1)^2 >> >> k=solve('dyk=solve('dy=-(2*k*x)/(x=-(2*k*x)/(x^2 ^2 + + 1)^2','k')1)^2','k') k =-(dy*(x^2 + k =-(dy*(x^2 + 1)^2)/(2*x)1)^2)/(2*x) >> edif=subs('y-k/(1+x^2)=0','k',k) >> edif=subs('y-k/(1+x^2)=0','k',k) edif =y + (dy*(x^2 + 1))/(2*x) = 0 edif =y + (dy*(x^2 + 1))/(2*x) = 0 >> edif_ortog=subs(edif,'dy','-1/Dy') >> edif_ortog=subs(edif,'dy','-1/Dy') edif_ortog =y - (x^2 + 1)/(2*Dy*x) = 0 edif_ortog =y - (x^2 + 1)/(2*Dy*x) = 0 >> Dy=solve(edif_ortog,'Dy') >> Dy=solve(edif_ortog,'Dy') Dy =(x^2 + Dy =(x^2 + 1)/(2*x*y)1)/(2*x*y) >> y_ortog=dsolve('Dy =(x^2 +

>> y_ortog=dsolve('Dy =(x^2 + 1)/(2*x*y)'1)/(2*x*y)','x'),'x') y_ortog = y_ortog = 2^(1/2)*(C1 2^(1/2)*(C14 + 4 + log(x)/2 + x^2/4)^(1/2)log(x)/2 + x^2/4)^(1/2) -2^(1/2)*(C14 + log(x)/2 + x^2/4)^(1/2) -2^(1/2)*(C14 + log(x)/2 + x^2/4)^(1/2) >> edif_y_ortog=subs(y_ortog,'x',abs(x)) >> edif_y_ortog=subs(y_ortog,'x',abs(x)) edif_y_orto edif_y_ortog g == -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Matematika Teknik I Hal- 32

2^(1/2)*(a

2^(1/2)*(abs(x)^2/4 + bs(x)^2/4 + C14 + C14 + log(abs(x))log(abs(x))/2)^(1/2)/2)^(1/2) -2^(1/2)*(a

-2^(1/2)*(abs(x)^2/4 + bs(x)^2/4 + C14 + C14 + log(abs(x))log(abs(x))/2)^(1/2)/2)^(1/2) >>

>> figure,figure,for for k=-1.25:0.25:1.25,ezplot(eval(y),[-3,3]),hold k=-1.25:0.25:1.25,ezplot(eval(y),[-3,3]),holdonon, grid, gridonon,,end end

>>

>> for for C12=1:6,ezplot(eval(edif_y_ortog(1)),[-3,3]),axis C12=1:6,ezplot(eval(edif_y_ortog(1)),[-3,3]),axis

square

square,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end end

>>

>> for for C12=1:6,ezplot(eval(edif_y_ortog(2)),[-3,3]),axis C12=1:6,ezplot(eval(edif_y_ortog(2)),[-3,3]),axis

square

square,axis,axis equalequal,hold,hold onon,grid,grid onon,,end,end, title( title( 'keluarga kurva'keluarga kurva y=k/(1+x^2

y=k/(1+x^2) dan trayek) dan trayektori ortogotori ortogonalnya'nalnya'))

<ambar ; -ur"a

=



!

dan Trayektori 3rtogonalnya %atihan Soal?

Tentukan Trayektori 3rtogonal pada persamaan kur"a berikut( kemudian gambarkan grafik kur"a1kur"a tersebut?

+.





+−¢)



=



).





=



,.





=+

7.

=2+¢

'.

=−







+¢

&.

=eZ )+¢

:.





+2



=¢

;.





_{+−¢)}



_=



-3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x keluarga kurva y =k/(1+x 2

8.

=¢



+*.

=¢

++.





−



=



+).

=¢

F!

+,.

=¢£ 

+7.





+−¢



) =B+



.2 3ang%aian Listri% .2 3ang%aian Listri%

4angkaian listrik sederhana 5<ambar 86 adalah rangkaian seri. 4angkaian ini terdiri atas?

+. suatu baterai atau generator yang menghasilkan tenaga gerak listrik 5electromotive forceatau e1m1f  tegangan atau potensial6 sebesar E "olt ). suatu penghambat 5resistor6 dengan pembatas sebesar 4 ohm

,. suatu induktor dengan induktansi sebesar % henry. 7. suatu kapasitor dengan kapasitansi sebesar = farad

#rus I yang diukur dalam #mpere adalah laju perubahan sesaat muatan  pada kapasitor yang diukur dalam coulomb terhadap waktu( yaitu I@ddt.

<ambar 8 4angkaian 4%= seri !ari prinsip dasar kelistrikan( kita memperoleh?

5a6 Potensial yang dihasilkan pada resistor adalah( E4@ I.4

5b6 Potensial yang dihasilkan pada induktor adalah( E% @ %. dIdt

5c6 Potensial yang dihasilkan pada kapasitor adalah( E= @ =(

karena?

¤) =

;?;@

maka

¥

¦

=

¦

} ¤)

@&

/ukum -irchoff

a. umlah aljabar arus yang mengalir ke dalam suatu simpangan adalah nol b. umlah aljabar potensial yang dihasilkan sepanjang suatu loop tertutup

adalah nol. .2.1 345674*45 3L .2.1 345674*45 3L

<ambar +* 4angkaian 4% seri

ntuk rangkaianseperti <ambar di atas dan berdasarkan hukum tegangan -irchoff serta 5a6 dan 5b6( diperoleh model persamaan?

‡¤ + "V¤ = ¥) )

7asus 4.

7asus 4. ika 3 5t 6 @ 3 * 5konstanta6( maka dari 5d6 diperoleh model

persamaan?

¤ + "‡V¤ = ¥

&

_‡

P! di atas P! %inier berbentuk

yzy{

+|z = 

5lihat subbab ).76( penyelesaian P! %inier tersebut yaitu dengan mengalikan faktor integrasi

µ @



}~;

pada persamaan

yzy{

+|z = 

menjadi?

ƒ] + _= ƒ

R 

}~;

] + _=

}~;



R ƒV)= ƒV

R ƒV)= ƒV 

ƒV = lƒV  +

= Bƒ]lƒV  +_

sehingga dari contoh kasus

¤)

dapat dinyatakan?

¤) = 

3}§¨;@

_hl¥

_{‡ }

&

_}§¨;@

_{ + i}

= 

3

§

¨@

_h¥

&

‡ V‡"

§

¨@

_{+ i}

= ¥

_{" + }

&

_3§¨@

ikat@ tak hingga maka



3

©ª

@

@ nol( sehingga4 5t 6 sama dengan nilai batas

3 * 4. Penyelesaian khusus untuk syarat awal4 5*6 @ * adalah

¤) = ¥

_"hB−

&

_3§¨@

_i

7asus B.

7asus B. ika3 5t 6 @3 * sinCt( maka dari 5d6 diperoleh model persamaan?

¤ +"‡V¤ = ¥

&

‡XYZ%

penyelesaian P! dengan faktor integral yaitu?

= Bƒ]lƒV  +_

µ @



}

©ª

;@

(y(x! = 4(t!, Q=

«



¨

$5%

( maka?

¤) = 

3}§¨;@

_hl¥

_{‡ XYZ%}

&

_}§¨;@

_{ + i}

¤) = 

3§ ¨@

_hl¥

_{‡ XYZ%}

&

_}§¨;@

_{ + i}

= ¬

3 

_h.

_{ l®¯°8¬}





_{y + —i}

}XYZ%

©ª

@



diselesaikan dengan integral parsial. 4umus baku integral parsial?

}c v=cVv −}v c

jika

c=XYZ%

dan

v=

©ª

@

( v=

¨§



©ª

@

( maka?

lXYZ%

§¨@

_{=XYZ%V ‡"}

§¨@

_−l‡"

§¨@

% fgX%

=±−%‡"l

§¨@

_{fgX% ( –M c= fgX% M5 v=}

§¨@

_{(v=‡" }

§¨@

=±−%‡"] ‡" 

§¨@

VfgX%+ %‡"lXYZ%

§¨@

_

untuk penyederhanaan misalkan

Q=}XYZ%

©ª

@



( maka?

Q=‡"

§¨@

_{XYZ%− %‡"] ‡" }

§¨@

_{VfgX%+ %‡" Q_}

=‡"

§¨@

XYZ%− %‡

_"







§¨@

VfgX%+ %

"





‡



Q

QTB−%

_"



‡





U =‡"

§¨@

XYZ%− %‡

"







§¨@

VfgX%

Q

= "

_"



−%





‡



²‡"

§¨@

XYZ%− %‡

"







§¨@

VfgX%³

= " ‡

_"



−%



‡





§¨@

XYZ%− %‡

"



−%





‡





§¨@

VfgX%

= 

§

¨

@

"



_−%



_‡



_{´"‡ XYZ %−%‡}



_{#$ %µ}

sehingga?

¤) = 

3§ ¨@

_h¥

_{‡ lXYZ%}

&

§¨@

_{ + i}

= ¥

_{‡ }

&

_{3§ ¨@}

_{¶ }

_"

_

_−%

§¨@

_

_‡

_

_{´"‡ XYZ %−%‡}



#$ %µ ·+ 

_{3§ ¨@}

=

_

_-

₃₈

.



_-

_

_-

¸ ®¯° 8−8 ¡¹º 8 » + — ¬

3

 



Suatu sistem listrik 5atau dinamis6 dikatakan berada dalam %eadaan stabil%eadaan stabil 5steady state6 jika peubah yang menjelaskan perilakunya merupakan fungsi periodik dari waktu atau konstan( sedangkan sistem dikatakan dalam %eadaan%eadaan perali'an

Matematika Teknik I Hal- 37

keadaan stabil. Peubah yang menggambarkan keadaan itu masing1masing disebut fungsi keadaan stabil dan fungsi peralihan.

Pada -asus #( fungsi 4E* merupakan fungsi atau penyelesaian keadaan stabil

sedangkan dalam -asus B penyelesaian keadaan stabilnya adalah suku pertama.

=ontoh?

4angkaian 4% seri diketahui 4@+* ohm( %@) henry( dengan sumber tegangan E( dihubungkan seperti pada <ambar ++. Pada t@* saklar ditutup dan arusnya I5t@*6@*. Tentukan I untuk tN* jika 5a6 E@7* 5b6 E@ )* e1,t_{( 5c6 E@'* sin'tJ}

<ambar ++ =ontoh Soal 4angkaian 4% Seri Penyelesaian?

Berdasarkan /ukum -irchoff( jumlah tegangan pada loop tertutup sama dengan nol sehingga

94L9%1E@*

B0¤+2 ¤−¥= 0

_{¤ + L¤ = ¥2}

penyelesaian P! di atas adalah?

5a6 ika E@7*( P! menjadi

;¼;@

+ L¤ = 20

( I5t@*6@* faktor integrasi

ƒ=

}~;@

=

½@

mengalikan



½@

dengan P!( maka?

;;@

´

½@

V¤µ= 

½@

V20



½@

V¤= }

½@

V20 

= 4

½@

+

¤ = 4 +

3½@

, ¤=0)=0 n 0 =4+ n  =−4

maka

¤ = 4 −4

3½@

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 sumbu waktu (t) A r u s I ( t ) I(t)=4-4e(-5t)

<ambar +) #rus pada 4angkaian 4% Seri(4@+*A( %@)/( E@7*9 Program $#T%#B <ambar +) sebagai berikut?

%Arus pada Rangk RL seri %Arus pada Rangk RL seri clear

clear allall;; clc; clc; t=(0:0.01:1); t=(0:0.01:1); I=4-4*exp(-t*5); I=4-4*exp(-t*5); plot(t,I,

plot(t,I,'r''r',,'linewidth''linewidth',3),3) xlabel(

xlabel( 'sumbu waktu (t)''sumbu waktu (t)',,'fontsize''fontsize',12),12) ylabel(

ylabel( 'Arus I(t)''Arus I(t)',,'fontsize''fontsize',12),12)

5b6 ika E @ )* e1,t_{( P! menjadi}

;¼;@

+ L¤ = B0 o

3¾

_{( ( I5t@*6@*}

faktor integrasi

ƒ=

}~;@

=

½@

mengalikan



½@

dengan P!( maka?

Matematika Teknik I Hal- 39



½@

]¤ + L¤_= B0 o

¾

´

½@

V¤µ= B0 o

¾



½@

V¤= }B0 o

¾



= L

@

+

¤ = L

3@

+

3½@

,¤ =0)= 0n 0= L+ n  =−L

= L

3@

−L

3½@

=L

3@

−

3½@

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sumbu waktu (t) A r u s I ( t )

<ambar +, #rus pada 4angkaian 4% Seri(4@+*Ω( %@)/( E@)*e51,t6₉

Program $#T%#B <ambar +, sebagai berikut?

%Arus pada Rangk RL seri

%Arus pada Rangk RL seri E=20 exp(-3t)E=20 exp(-3t) clear

clear allall;; clc; clc; t=(0:0.01:3); t=(0:0.01:3); I=5*(exp(-t*3)-exp(-t*5)); I=5*(exp(-t*3)-exp(-t*5)); plot(t,I,

plot(t,I,'r''r',,'linewidth''linewidth',3),3) xlabel(

xlabel( 'sumbu waktu (t)''sumbu waktu (t)',,'fontsize''fontsize',14),14) ylabel(

ylabel( 'Arus I(t)''Arus I(t)',,'fontsize''fontsize',14),14)

5c6 ika E @ )** sin 't( P! menjadi

;¼;@

+ L¤ = B00 $5 L

( I5t@*6@* faktor integrasi

ƒ=

}~;@

=

½@

mengalikan



½@

dengan P!( maka?