LANDASAN TEORI
3.13. Algoritma Wagner-Within
10Algoritma Wagner and Within adalah metode yang menggunakan prosedur optimasi yang didasari model program dinamis, yaitu suatu model yang matematis yang solusinya menjamin hasil perhitungan tersebut merupakan hasil yang optimum. Tujuan metode ini untuk mendapatkan strategi pemesanan
10 Nasution, Hamidah. Analisis Pengendalian Persediaan Produk Untuk Meminimumkan Biaya Persediaan Dengan Algoritma Wagner-Within. 2015. KARISMATIKA. ISSN : 2443 – 0366
optimum dengan jalan meminimasi ongkos pemesanan dan ongkos simpan.
Adapun kelebihan dari Algoritma Wagner and Within adalah sebagai metode yang memberikan solusi yang optimal dan tidak terlalu banyak memerlukan persyaratan matematika dalam penyelesaian masalah yang dinamis-deterministik dan kekurangan dari algoritma Wagner and Within yaitu metode ini membutuhkan banyak waktu dan usaha perhitungan pada pengendalian persediaan.( Sadjadi, 2009)
Algoritma Wagner-Within ini memberikan solusi optimum bagi persoalan ukuran pemesanan dinamis deterministik pada suatu kurun waktu tertentu dimana kebutuhan pada seluruh periode harus terpenuhi. Metode ini ditentukan dengan menggunakan programa linier untuk memperoleh segi pemesanan yang optimum pada seluruh kebutuhan bersih sehingga semua kemungkinan pemesanan lot dihitung ongkos totalnya. Metode ini dikatakan metode yang paling optimum karena perhitungan penentuan ukuran lot-nya didasarkan pada programa dinamis, yaitu suatu model yang matematis yang solusinya menjamin hasil perhitungan tersebut merupakan hasil yang optimum. Prosedur perhitungannya terdiri dari 3 langkah, yaitu
1. Hitung matriks ongkos total variabel untuk seluruh alternatif pemesanan yang dapat dilakukan selama kurun waktu yang terdiri dan N periode. Ongkos total variabel ini meliputi ongkos pemesanan dan ongkos simpan. Definisikan Zce sebagai ongkos total variabel pada periode c hingga e sebagai akibat melakukan pemesanan pada periode c yang akan memenuhi kebutuhan pada periode c hingga e. Dimana:
C = Ongkos pemesanan per sekali pesan F = Persentase ongkos simpan per periode
P = Ongkos pembelian per unit
Rk = Tingkat kebutuhan pada periode k
2. Definisikan fe sebagai ongkos minimum yang mungkin terjadi pada periode 1 hingga e, dimana tingkat persediaan pada akhir periode e adalah nol.
Algoritma dimulai dengan fe = 0, kemudian hitung f1, f2,…,fN berturut-turut. fe dihitung pada urutan yang menaik dengan menggunakan rumus: fe = min (Zce – f c-1)
Untuk c = 1,2,…, e Artinya, pada setiap periode seluruh kombinasi dari alternatif pemesanan dengan strategi fe dibandingkan. Kombinasi terbaik yaitu yang memberikan ongkos terendah dinyatakan sebagai strategi fe untuk memenuhi kebutuhan pada periode 1 hingga e. Nilai fN adalah ongkos dari jadwal pemesanan yang optimal.
3. Terjemahkan solusi optimum (fN) yang diperoleh dari algoritma ini untuk menentukan ukuran pemesanan sebagai berikut: fN = ZwN + f w-1;
Pemesanan terakhir terjadi pada periode w dan dapat memenuhi kebutuhan pada periode w hingga N. fN = Zv(w-1) + f v-1;
Pemesanan yang mendahului pemesanan terakhir terjadi pada periode v dan dapat memenuhi kebutuhan pada periode v hingga (W-1). fN = Z1(u-1) + f 0
Pemesanan pertama terjadi pada periode 1 dan memenuhi kebutuhan pada periode 1 hingga (u-1)
11 Masalah ukuran lot dinamis yang dijelaskan dalam Bagian 3.3.6 relatif mudah dipecahkan dengan tepat. Pendekatan yang paling umum adalah menggunakan Pemrograman Dinamis. Ini pertama kali disarankan oleh Wagner dan Whitin (1958) dan solusinya biasanya dilambangkan dengan algoritma Wagner-Whitin. Mari kita perkenalkan notasi berikut:
fk = biaya minimum selama periode 1,2, ... , k, i.e., ketika kita mengabaikan
karena pengiriman terakhir harus terjadi dalam beberapa periode dalam solusi optimal. Juga jelas bahwa fo = 0 dan bahwa fl = fl, l = A. Hal ini terjadi karena hanya dengan satu periode kita mendapatkan biaya setup tetapi tidak ada biaya penyimpanan. Ingatlah bahwa permintaan periode diasumsikan terjadi pada awal periode.
Asumsikan sekarang kita mengetahui fl.1 untuk beberapa t > O. kenudian diperoleh fk .1 for k t sebagai
fk,t = f t- 1 + A + h(dt+1 + 2dt+2 + ... + (k - t)dk )
11 Op.cit. Axsater, Sven. Inventory Control.2000. International Series In Operations Research &
Management Science. Stanford University
Karena kita memiliki pengiriman dalam periode t, biaya minimum untuk periode 1,2, ..., t - 1 harus ft-l. Biaya pada periode t adalah biaya setup A. Ingat kembali bahwa permintaan diasumsikan terjadi pada awal periode. Ini berarti bahwa dl tidak akan menimbulkan biaya penyimpanan. Permintaan pada periode t + 1 menimbulkan biaya penyimpanan hdt + 1 karena kuantitas dt + 1 disimpan dalam persediaan selama periode t. Permintaan pada periode t + 2 juga disimpan dalam stok selama dua periode, t dan t + 1, dan menimbulkan biaya penyimpanan 2hdt + 2, dan lain-lain
Asumsikan sekarang kita sudah tahu fl' f2 ... fk-1 , i.e., yang kami telah pecahkan masalahnya 1.2, .... k - 1 periods. Kami kemudian dapat menentukan fk,l
, for l t k from (3.23). Selanjutnya kita menerapkan (3.22) untuk mendapatkan fk dan masalahnya juga diselesaikan untuk periode k. Setelah itu kita siap menggunakan prosedur yang sama untuk periode k + 1, dll. Dari kesimpulan kedua kita di Bagian 3.3.6 kita tahu bahwa jika h(j - t)dj > A kita tidak perlu menentukan fk,t untuk k j ketika menerapkan (3.23). Lebih jauh, jelas bahwa kita hanya perlu mempertimbangkan k T.
Setelah melalui semua periode T didapatkan solusi optimal sebagai berikut. Pertama kita pertimbangkan (3.22) untuk k = T. Nilai minimum adalah biaya optimal, dan meminimalkan t adalah periode pengiriman terakhir. Sebutkan meminimalkan t dengan t '. Karena pengiriman terakhir berada di periode t ', solusi untuk periode 1, 2, ..., t'- 1 juga harus optimal. Jadi kita dapat kembali mempertimbangkan (3.22) untuk k = 1'- 1. Pengiriman terakhir yang optimal untuk masalah ini, katakanlah t = t ", adalah pengiriman terakhir kedua untuk total
masalah. Selanjutnya kita pertimbangkan (3.22) untuk k = t "- 1 dan kami melanjutkan cara ini sampai meminimalkan t sama dengan satu, karena kita telah memperoleh semua periode dengan pengiriman.
Algoritma Wagner-Whitin digeneralisasikan ke kasus backlogging oleh Zangwill (1966). Contoh metode terbaru yang sangat efisien untuk memecahkan masalah ukuran lot dinamis diberikan dalam Federgruen dan Tzur (1991, 1994, 1995) dan Wagelmans et al. (1992). Dalam praktiknya, sangat umum untuk mempertimbangkan masalah ukuran lot dinamis dalam lingkungan cakrawala yang berputar. Setiap periode kami ingin menentukan ukuran lot di periode pertama. Cakrawala yang sebenarnya tidak terbatas tetapi kami menganggap cakrawala yang terbatas sebagai perkiraan. Pertanyaan yang kemudian muncul adalah apakah mungkin untuk mengganti horizon tak hingga dengan cakrawala hingga yang cukup panjang sehingga kita masih mendapatkan solusi optimal pada periode pertama. Beberapa hasil horizon perencanaan seperti itu telah diturunkan.
Lihat misalnya, Wagner dan Whitin (1958), Kunreuther dan Morton (1973), Lundin dan Morton (1975), dan Federgruen dan Tzur (1994, 1995). Secara umum, cakrawala perencanaan seperti itu cukup panjang.
IV-1