BAB II LANDASAN TEORI
D. Aliran lalu lintas dan kepadatan lalu lintas
Apa variabel lalu lintas yang membuat pengamat dengan mudah menghitung pertambahan kecepatan mobil? Pengamat tetap pada posisi tertentu sepanjang
28
Jalan sehingga dapat menghitung jumlah mobil yang melewati posisi tersebut pada waktu tertentu. Pengamat dapat menghitung rata-rata jumlah mobil yang lewat tiap jam. Jumlah ini disebut sebagai aliran lalu lintas yang dilambangkan dengan . Andaikan penghitungan berikutnya diambil pada suatu tempat dalam interval setengah jam:
Gambar 2-6 (Data banyaknya mobil yang lewat pada suatu waktu) data diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265
Sebagai contoh, aliran lalu lintas terbesar terjadi pada periode 7:30-8.00 pagi hari. Jadi aliran bergantung pada waktu, , seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-7. Pada posisi yang berbeda sepanjang jalan, alirannya bisa berbeda. Jadi aliran juga bergantung pada , dan kita tulis .
29
Gambar 2-7 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265
Dengan menghitung aliran lalu lintas sepanjang interval setengah jam, kita tidak dapat membedakan variasi dalam aliran yang terjadi selama waktu yang lebih pendek. Sebagai contoh, kita tidak dapat memberitahukan bahwa periode dari 7:45-8:00 AM bisa jadi memiliki lalu lintas yang lebih padat dari pada dari 7:30-7:45 AM. Penghitungan dari aliran lalu lintas dapat diambil bahkan dengan interval waktu yang lebih pendek. Tetapi, jika penghitungan dibuat dalam interval yang sangat singkat, sebagai contoh dalam interval detik, maka data yang ditemukan akan seperti ini:
30
Pada penghitungan ini, catat bahwa aliran yang dihitung berfluktuasi liar seperti fungsi pada waktu. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita asumsikan bahwa ada penghitungan interval seperti:
1. Interval cukup panjang sehingga banyak mobil yang melewati pengamat dalam interval penghitungan ( menghilangkan fluktuasi liar);
2. Interval cukup pendek sehingga variasi dalam aliran lalu lintas tidak mulus rata-ratanya untuk periode waktu yang panjang.
Jika penghitungan seperti ini ada, maka kurva untuk aliran lalu lintas, Gambar 2- 7, dapat diperkirakan dengan fungsi kontinu dari waktu yang diilustrasikan dalam Gambar 2-8.
31
Gambar 2-8 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi kontinudari waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266
Penghitungan lalu lintas standar lainnya terjadi pada waktu yang tetap. Jumlah mobilyang berada di antara dua titik dapat dihitung, sebagai contoh, dengan menggunakan foto; seperti yang digambarkan pada Gambar 2-9. Prosedur sistematik yang digunakan tidak dapat menentukan secara pasti mobil itu berada pada daerah yang mana pada suatu waktu yang tetap. Dalam menentukan letak mobil sebaiknya menggunakan estimasi dari potongan mobil atau diasumsikan mobil dapat dihitung hanya jika tengah mobil berada pada daerah tersebut. Penghitungan ini yakni jumlah mobil pada suatu panjang jalan yang diberikan, yang dapat dikonversi menjadi jumlah mobil per mil, jumlahnya disebut kepadatan dari mobil dan diberi lambang . Di sini semua kendaraan diperlakukan sama, kata “mobil” digunakan untuk menampilkan kendaraan apapun.
Jika kepadatan lalu lintas dihitung setiap mil dari jalan pada waktu yang tetap, maka tipe penghitungannya menjadi:
32
Gambar 2-9 (Kepadatan lalu lintas sama dengan invers dari jarak) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266
Sebagai contoh lain, bayangkan sebuah situasi di mana mobil berjarak sama. Untuk kenyamanan sekarang diasumsikan bahwa semua kendaraan mempunyai panjang yang sama, . Untuk menggunakan satu unit panjang dalam masalah lalu lintas, dihitung dalam kilometer dan bukan meter. Jika jarak antar mobil adalah ( jarak disebut ruang), seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2-10, maka kepadatannya, jumlah mobil per kilometer adalah
ρ =
. (2.4.1)
Gambar 2-10 (Jarak dua mobil dan panjang mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 267
33
Seperti aliran lalu lintas, ada kesulitan dengan kepadatan lalu lintas jika penghitungan dibuat pada interval yang terlalu pendek. Andaikan jarak yang digunakan untuk penghitungan kepadatan sangatlah pendek
kilometer ; maka situasi lalu lintas yang masuk akal digambarkan pada Gambar 2-11. Penghitungan data (menggunakan perkiraan potongan mobil) menjadi:
Gambar 2-11 (Penghitungan data menggunakan potongan mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268
Jika kepadatan lalu lintas digambarkan sebagai fungsi posisi (pada waktu yang tetap), maka kita mendapat Gambar 2-12. Penghitungan kepadatan ini adalah fungsi yang sangat diskontinu. Di sisi lain, jika penghitungan kepadatan diambil hanya pada jarak yang besar (sebagai contoh mil), maka hanya rata-rata kepadatan yang dihitung. Variabel real lokal dari kepadatan lalu lintas tersebut menjadi mulus.
34
Gambar 2-12 (Kepadatan lalu lintas sebagai fungsi posisi) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268
Jika kita berharap untuk memperkirakan kepadatan sebagai fungsi kontinu dari , kita mendapat Gambar 2-13 dan kepadatannya harus dihitung sepanjang interval yang jaraknya tidak terlalu pendek dan tidak terlalu panjang. Jika jarak penghitungannya terlalu panjang, maka rata-rata kepadatannya yang dihitung tidak tepat untuk diambil sebagai variasi kepadatan. Di sisi lain, jika jarak penghitungan terlalu kecil, maka variabel panjang dari data lalu lintas terlalu halus. Jarak penghitungan harus cukup panjang untuk banyak mobil yang termasuk di dalamnya, tapi cukup pendek sehingga variasi kepadatannya dapat dihitung.
Gambar 2-13 (Contoh signifikan interval hitungan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269
35
Mari kita mengilustrasikan dengan contoh signifikan dari interval penghitungan. Anggap
mil dari bagian jalan, ke depannya akan dibagi menjadi seratus interval yang lebih kecil dengan panjang yang sama, dengan batas dari sampai . Andaikan sebuah foto diambil dan dari situ kita menentukan bahwa mobil berada pada posisi berikut:
1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9,20.1,21.5,23.5,
25.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1,43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,
51.6,53.3,54.8,56.6,58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,
66.6,69.5,72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3.
Setiap mobil diilustrasikan dalam Gambar 2-14 sabagai “dot”.
Gambar 2-14 (Diagram jarak-jarak mobil) Gambar diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269
Dari data atau diagram kita melihat bahwa dekat dengan tanda mobil diperkirakan terpisah interval. Sepanjang jalan mobil menyebar ke sekitar unit terpisah (dekat tanda ) sebelum menjadi dekat kembali antara tanda dan (jarak terpisah menjadi sekitar unit terpisah). Kita akan menghitung kepadatan pada tanda ke- sepanjang jalan. Untuk mudahnya, mari kita bayangkan mobil mempunyai panjang nol. Mobil dekat tanda ke- sedikit
36
lebih besar dari pada unit terpisah dan oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya kurang dari 1 mobil tiap unit panjang. Kepadatan lalu lintas kurang dari mobil tiap mil, karena tiap tanda adalah
dari dari suatu mil. Untuk lebih jelasnya mari kita melihat bagaimana menghitung kepadatan pada tanda ke- bergantung pada interval penghitungan. Jika kita menggunakan panjang suatu jalan dari unit dipusatkan sekitar tanda ke- , maka kepadatan pada ditetapkan menjadi jumlah mobil antara dan dibagi dengan panjang . Dengan dasar ini kita dapat membuat bagan penghitungan kepadatan:
Ini lebih jelas diilustrasikan dengan menggambar kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dari interval penghitungan, seperti pada Gambar 2-15. Untuk penghitungan yang lebih berarti, banyak mobil harus berada dalam interval penghitungan, tetapi tidak terlalu banyak karena dapat menyebabkan hilangnya rata-rata lokal. Tiga mobil terlalu sedikit, tetapi untuk mendapatkan mobil memerlukan jarak yang panjang. Interval antara dan unit panjang sepertinya cocok untuk masalah ini, hasilnya kepadatannya antara dan
37
mobil per mil. Untuk interval penghitungan yang pendek, akan terjadi fluktuasi yang kasar. Dengan meningkat, akhirnya mobil ditemukan dan rata-rata kepadatan meningkat secara dramaatis. Kepadatannya lalu berkurang secara bertahap (dengan meningkatnya) kembali hingga mobil selanjutnya ditemukan. Amplitudo dari fluktuasi berkurang dengan interval penghitungan yang semakin panjang. Untuk jarak penghitungan yang sangat panjang.
Gambar 2-15 (Kepadatan lalu lintas dengan interval yang besar) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 271
38
Aliran sama dengan kepadatan dikali kecepatan
Pada bagian sebelumnya kita mendiskusikan tiga variabel dasar lalu lintas: kecepatan, kepadatan, aliran. Kita akan menunjukkan bahwa ada hubungan yang dekat antara tiga variabel tersebut. Pertama-tama kita perhatikan satu dari kemungkinan paling sederhana dari situasi lalu lintas. Andaikan pada jalan yang sama, lalu lintas bergerak dengan kecepatan konstan dengan kepadatan konstan , seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-16. Karena setiap mobil bergerak pada kecepatan yang sama, jarak antara mobil masih konstan.
Gambar 2-16 (Pergerakan mobil dari pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273
Oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya tidak berubah. Apakah aliran mobil itu? Untuk menjawab itu, perhatikan pengamat menghitung aliran lalu lintas ( jumlah mobil per jam yang melalui pengamat). Dalam jam setiap mobil bergerak sejauh ( bergerak dengan kecepatan konstan, jarak yang ditempuh sama dengan kecepatan dikalikan dengan waktu), jadi jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam adalah jumlah mobil dalam jarak , lihat Gambar 2-17. Karena adalah jumlah mobil per kilometer dan ada kilometer,
39
Gambar 2-17 (Banyaknya mobil yang melalu pengamat dalam jam) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273
maka adalah jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam. Jadi jumlah mobil per jam yang kita miliki disebut aliran lalu lintas, adalah
Meskipun ini telah diturunkan dari kasus yang telah disederhanakan, kita akan menunjukkan bahwa ini adalah hukum dasar. Aliran lalu lintas=(kepadatan lalu lintas)(medan kecepatan). Jika variabel lalu lintas bergantung pada dan sebagai contoh , lalu kita masih menujukkan bahwa
(2.4.2)
Langkah yang mudah untuk menunjukkan ini adalah untuk memperhatikan jumlah mobil yang melalui dalam waktu yang sangat kecil, sebagai contoh antara dan . Dalam waktu yang kecil mobil tidak dapat berjalan jauh dan karenanya (jika dan adalah fungsi kontinu dari dan ) dan
dapat diperkirakan sebagai konstan, nilai mereka pada dan . Dalam waktu kecil , mobil yang menempati ruang yang kecil, kira-kira
, akan melalui pengamat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-18. Jumlah mobil yang melewati kira-kira . Aliran lalu lintasnya
40
diberikan pada persamaan (2.4.2). Jadi hasil untuk konstan dan tidak memerlukan modifikasi untuk dan yang tak seragam. Karenanya, tiga variabel dasar lalu lintas, kepadatan , kecepatan dan aliran
, terhubung dalam persamaan (2.4.2).
Gambar 2-18 (Dalam waktu yang kecil mobil akan melalu pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 274