BAB II LANDASAN TEORI
E. Konservasi jumlah mobil
Pada bagian ini, kita akan memformulasikan model deterministik dari aliran lalu lintas. Andaikan bahwa densitas dan medan kecepatan diketahui untuk suatu aliran lalu lintas yang tak terhingga panjangnya. Dapatkah kita memprediksi densitas dan kecepatan pada masa depan? Sebagai contoh jika lampu hijau menjadi merah dan sesaat kemudian menjadi hijau, lalu apakah pola lalu lintasnya dapat diprediksi?
Kita dapat menganggap variabel dasar lalu lintas adalah dan
. Tetapi andaikan kita tahu kepadatan lalu lintasnya adalah dan kecepatan lalu lintasnya untuk setiap waktu . Maka pergerakan dari setiap mobil akan memenuhi persamaan diferensial:
41
dengan
Menyelesaikan persamaan ini dapat menentukan di mana posisi mobil-mobil beberapa saat kemudian. Pada beberapa waktu kemudian, kita dapat menghitung densitas. Jadi kepadatan lalu lintas masa depan dapat dihitung dengan mengetahui kecepatan lalu lintas. (meskipun dalam penghitungan tidaklah sederhana dan harus menggunakan komputer).
Kita ingin menentukan bagaimana densitas dapat dihitung dengan mudah dengan mengetahui kecepatannya (nantinya kita akan menyelesaikan di mana kecepatannya juga tidak diketahui). Dengan mengikuti mobil, kita menganggap jumlahnya tidak berubah. Tetapi kita telah dikenalkan dengan variabel lalu lintas berupa densitas, kecepatan dan aliran, jadi kita tidak harus mengikuti mobil satu per satu. Mari kita mencoba untuk „mengawetkan‟ mobil dengan menggunakan variabel pada lalu lintas.
Pada beberapa interval jalan antara dan , jumlah mobil
adalah integral dari kepadatan lalu lintas:
∫ (2.5.1)
Jika tidak ada tempat masuk dan keluar pada jalan ini,maka jumlah mobil antara
dan masih bisa berubah dalam waktu. Jumlahnya berkurang saat mobil meninggalkan dan jumlahnya bertambah pada saat mobil masuk daerah . Asumsikan bahwa tidak ada mobil yang masuk dan keluar, maka perubahan pada jumlah mobil hanya dari penyeberangan antara dan .
42
Jika jumlah aliran mobil adalah mobil perjam pada tetapi aliran pada
adalah perjam, maka jelas jumlah mobil antara dan
bertambah mobil per jam. Kita dapat mengumumkan hasil ini pada situasi di mana jumlah mobil yang lewat tidak konstan setiap waktu. Nilai dari perubahan jumlah mobil, , sama dengan jumlah per unit waktu melewati
dikurangi jumlah mobil per unit waktu pada atau
(2.5.2)
karena jumlah mobil per unit waktu adalah
Perbedaan jumlah mobil antara waktu dan
sama dengan jumlah mobil yang melewati antara dan di mana untuk kecil sekitar dikurangi jumlah mobil yang melewati
antara dan di mana untuk kecil adalah Jadi,
( )
Dibagi dengan dan mengambil limit dari persamaan ( . Kita mengembangkan turunan yang terakhir dengan mengeliminasi yang diperlukan dengan menggunakan perkiraan. Perhatikan perbedaan antara jumlah mobil pada
dan . Persamaan pasti diperlukan untuk jumlah mobil yang melewati
antara dan . Karena adalah jumlah mobil yang
melewati tiap waktu tertentu, maka ∫ adalah jumlah mobil yang melewati antara dan . Pada turunan, , dekat dengan
43
∫ -∫ = ∫
Bagi persamaan ini dengan dan ambil limit dari terhadap . Ambil turunan ke . Karena tidak bergantung pada , kita mendapatkan
∫
Dari teorema dasar kalkulus akan menunjukkan bahwa,
Karena , dapat berada pada sembarang waktu, diganti dengan notasi , jadi persamaan (2.5.2) diturunkan kembali.
Menggabungkan persamaan (2.5.1) dan (2.5.2), hasilnya
∫ – (2.5.3)
Persamaan ini menunjukkan fakta bahwa perubahan jumlah mobil karena aliran yang melalui batas. Dalam batas tersebut tidak ada mobil yang datang maupun pergi tanpa melalui batas. Jumlah mobil yang berada pada batas tersebut dikekalkan. Ini bukan berarti jumlah mobil antara dan adalah konstan. (jika benar maka ( ) atau . Persamaan (2.5.3) disebut hukum konservasi dalam bentuk integral atau lebih tepatnya hukum konservasi integral. Hukum ini menunjukkan sifat dari lalu lintas yang panjangnya berhingga di antara
44
Sebagai contoh, perhatikan jalan layang yang sangat panjang di mana kita memodelkan sebagai jalan yang tak terhingga panjangnya. Mari kita asumsikan bahwa aliran mobil menuju ke nol dengan menuju ,
Dari persamaan (2.5.3), akan mengikuti
∫ Mengintegralkan persamaan ini
∫
Yang menyatakan bahwa jumlah mobilnya konstan sepanjang waktu. Konstan bisa dievaluasi jika salah satu jumlah dari mobil atau densitas yang diketahui:
∫ ∫
Hukum konservasi integral akan disebut sebagai hukum konservasi lokal, yang valid pada setiap posisi di jalan. Kita akan melakukannya pada 3 cara yang ekuivalen. Pada 3 cara itu, titik akhir pada bagian jalan, dan dianggap sebagai variabel tak bebas tambahan. Jadi turunan terhadap waktu harus diganti dengan turunan parsial,
∫ (2.5.4a)
Karena turunan persamaan (2.5.3) asumsikan bahwa posisi dan adalah tetap dalam waktu. Pada sisi lain
45
dengan waktu. Pada turunan pertama, kita menginvestigasi bagian kecil pada jalan. Pendekatan kasar telah dibuat, di mana memberikan hasil yang tepat. Setelah itu persamaan pertama akan ditingkatkan turunannya.
(1) Perhatikan integral konservasi dari mobil pada interval kecil dari suatu jalan layang dari ke . Jadi dari persamaan (2.5.4a),
∫
Dibagi dengan - dan ambil limit :
∫ 2.5.4b
Pada sisi kanan dari persamaan (2.5.4b) adalah pengertian dari turunan ke
. Pada sisi kiri persamaan (2.5.4b) limitnya dapat ditampilkan
dengan 2 cara yang ekuivalen:
(a) Integral adalah daerah di bawah kurva antara dan
. karena kecil , integralnya dapat diperkirakan dengan satu pangkat. Jumlah mobil antara dan dapat diperkirakan dengan panjang jalan
dikali kepadatan lalu lintas pada Jadi,
∫
Pada turunan subsekuennya, (2), kita menunjukkan bahwa errornya hilang karena ,
46
(x,t)+ =0
(b) Pada sisi lain, memperkenalkan fungsi ̅ , jumlah mobil pada jalan antara sembarang fix posisi dan posisi variabel ̅,
̅ ∫
Lalu rata-rata jumlah mobil per mil antara dan adalah
∫
=
Dalam limit , pada sisi kanan adalah – . Dengan menggunakan definisi dari dari dasar teorema kalkulus,
Jadi sisi kiri dari persamaan (2.5.4b) sama dengan –(
.
Dengan metode baik a maupun b, persamaan (2.5.5a) mengikuti. Karena persamaan (2.5.5a) memegang semua nilai dari , akan lebih baik untuk mengganti dengan , [ ] ( 2.5.5b) atau sederhananya (2.5.5c)
Ini adalah persamaan diferensial parsial. Ini menunjukkan hubungan antara kepadatan lalu lintas dan aliran lalu lintas yang diturunkan dengan menganggap bahwa jumlah mobil adalah tetap, di mana tidak ada mobil
47
yang datang maupun pergi tanpa melalui batas. Ini valid di manapun (semua ) dan untuk sepanjang waktu. Ini disebut persamaan konservasi mobil.
(2) Persamaan konservasi mobil dapat diturunkan lebih jauh. Perhatikan hukum konservasi integral, persamaan (2.5.4a), untuk sembarang bagian berhingga dari suatu jalan, . Sekarang ambil turunan parsial terhadap . (persamaan ini menyebabkan dibagi dengan dan diambil limitnya
). Jadi,
( )
Karena menampilkan sembarang posisi di jalan, maka digantikan dengan , berdasarkan persamaan konservasi mobil, persamaan (2.5.5)
(3) Turunan alternatif untuk jalan dengan panjang yang berhingga
berdasarkan dari mengikuti hubungan yang sangat jelas pada sisi kanan persamaan (2.5.4a)
∫ [ ] Jadi dari persamaan (2.5.4a),
∫ [
] (2.5..6)
Persamaan 2.5.5 langsung mengikuti dengan mengambil turunan dengan terhadap , dan sudah selesai pada turunan (2). Tetapi mari kita mendiskusikan argumen yang kuat dan berbeda. Persamaan (2.5.6) menyatakan bahwa nilai integral dari beberapa jumlah selalu nol untuk setiap nilai dari berbagai limit yang bebas dari
48
integral. Satu-satunya fungsi yang integralnya adalah nol untuk setiap interval adalah fungsi nol. Jadi persamaan (2.5.5) mengikuti.
Dengan tiga metode yang ekuivalen, kita telah menunjukkan bahwa
(2.5.7)
Ini pasti valid jika tidak ada jalan masuk ataupun keluar di antara jalan tersebut. Persamaan (2.5.7) valid dalam banyak situasi tapi tidak melakukan apa-apa terhadap lalu lintas. Secara umum, jika adalah sembarang jumlah lokal yang dipadatkan dan jika adalah aliran dari jumlah yang melaluli batasan, maka dapat ditunjukkan menggunakan argumen yang sama yang telah kita kembangkan, bahwa persamaan (2.5.7) valid. Tetapi untuk masalah lalu lintas, kita tahu dari subbab sebelumnya bahwa
Jadi konservasi pada mobil dapat ditulis sebagai
(2.5.8)
Persamaan diferensial parsial ini menghubungkan kepadatan lalu lintas dan kecepatan.