Metode ini dijelaskan dengan menggunakan asumsi respon struktur dan
bearing seluruhnya yang linear. Pada kenyataannya tidak selalu ada kasusnya pada
struktur. Umumnya, dari beberapa elemen non- linear digunakan sistem sebagai hasil
yaitu keras dan tegang. Sistem isolasi adalah sebuah desain dengan memperkecil
gerakan superstruktur, maka pelaksanaan pada percobaan- percobaan adalah secara
respon linear; dimana sebuah base isolator akan berhasil jika adanya suatu gerakan
terjadi pada base isolator tersebut. Hasil ini membuat respon struktur lebih sulit lagi
untuk di analisa perhitungannya, dan kurva prategang yang tidak linear dan panjang
tentu sulit untuk dianalisa hasilnya. Dan kompensasi jawaban non- linear adalah
sebuah kekakuan yang efektif akan dijabarkan dengan analisa perhitungan deformasi
linear elastis sebagai hasil dan deformasi elastis dihitung setelah limit hasil akan
dianalisa kembali. Nantinya akan dipelajari hal yang lebih kompleks dari non- linear
Analisa yang lebih baik yaitu dijelaskan dengan teliti dengan menggunakan
non- linear respon struktur sebagai solusi. Untuk memulainya, akan digunakan
persamaan (2-5) dan (2-6) yaitu:
(3-1)
(3-2)
3.1. Metode Hilber’s
Persamaan- persamaan linear ini tidaklah cukup, ketika non- linear
diperhitungkan di dalam respon struktur. Ada modifikasi dari persamaan bearing-
bearing yang sulit untuk diperhitungkan di dalam non- linear. Salah satu dari banyak
modifikasi adalah Metode Newmark, dimana modifikasi dengan kekakuan dari
struktur, dan prakiraan respon yang maksimum yaitu dengan menggunakan waktu step
by step. Metode Newmark dijelaskan dengan damping numeric, hal ini digunakan
pada kerusakan (damping) sebagai dampak- dampak dari model struktur yang tinggi.
Hillber (1977) memodifikasi metode Newmark dengan proteksi yang digunakan
Persamaan Hillber’s adalah aplikasi persamaan (3-2), dengan menggunakan waktu
.
(3-3)
Rumus yang sama dapat diaplikasikan dengan waktu yaitu:
(3-4)
Dengan formulasi waktu secara perlahan dapat disubstitusikan ke persamaan (3-4) dari
persamaan (3-3). Dengan memasukan waktu diperoleh persamaan yaitu:
(3-5)
Dimana:
(3-6)
(3-7)
3.2. Metode NewMark’s
ß
Sekarang persamaan iteratif (pengaruh) telah dituliskan dengan perhatian
kepada displacement, kecepatan, dan percepatan pada struktur. Metode Newmark’s
dapat digunakan dalam perhitungan pada kecepatan dan displacement dari suatu
struktur bangunan dengan menggunakan langkah waktu . Menelusuri persamaan
Metode Newmark’s (Hillber’s 1977) sebagai aplikasi dari kecepatan pada bearing dan
displacement.
(3-8)
(3-9)
Dimana:
Faktor perhitungan allogaritma atau damping numeric.
Parameter- parameter ini memberi suatu nilai dengan metode yang berbeda – beda
untuk mendapatkan hasil perhitungan yang lebih akurat. Jika faktor adalah lebih
kecil dari ½, maka damping diperoleh adalah negatif. Jika faktor adalah ½ , maka
tidak dihitung damping/kerusakan dan dijelaskan dengan metode yang digunakan
dengan peraturan trapezoidal. Jika faktor adalah lebih besar dari ½, maka
penjelasannya adalah damping positif. Juga penempatan apabila sama dengan nilai
nol, maka metode adalah percepatan konstan. Penempatan adalah nilai ¼, maka
metode adalah percepatan secara pukul rata. Penempatan adalah nilai 1/6, maka
metode adalah percepatan linear.
Perhatikan persamaan (3-8) dan (3-9), adalah penambahan dengan determinan
dari persamaan (3-5), maka persamaan ini adalah proteksi dari displacement ,
kecepatan dan percepatan. Ditinjau kembali persamaan (3-8), maka diekspresikan
menjadi:
Persamaan ini adalah penambahan dengan menggunakan rumus sebelumnya dan
penambahan nilai perubahan kecepatan maksimum dengan interval waktu , dan
sama dengan persamaan (3-7):
(3-10)
Persamaan (3-9) dikembangkan pada persamaan tambahan. Pertama sekali cukup
rumit di dalam suatu group displacement, dan akhirnya percepatan tambahan diperoleh
sebagai berikut:
Kemudian dengan menggunakan persamaan (3-7) diaplikasikan dengan penambahan-
penambahan diperoleh persamaan tambahan yaitu:
(3-11)
Dengan substitusi persamaan (3-10) dan (3-11) ke persamaan (3-5), maka diperoleh
Persamaan ini masih membutuhkan penyederhanaan. Kumpulan dari penambahan
percepatan bearing diperoleh hasil yaitu :
Persamaan ini dapat disederhanakan dengan identifikasi yang banyak yaitu:
(3-12)
(3-13)
(3-14)
Dengan penambahan persamaan Hillber’s maka diperoleh sebagai berikut:
Persamaan (3-15) dapat memberikan solusi tambahan dengan menggunakan vektor
percepatan dan banyak cara lain yang berbeda yang bisa diperoleh yaitu dari
:
(3-16)
Persamaan (3-16) ada 2 vektor yang belum diketahui yaitu.
1. Vektor maka gambaran hubungan variabel dengan persamaan
(3-16) akan diperoleh percepatan tambahan pada base .
2. Vektor , maka gambaran hubungan diperoleh dengan variabel.
Adapun dari kesimpulan persamaan- persamaan dipergunakan determinan
percepatan tambahan pada lantai pertama.
Asumsi gesekan pada lantai diabaikan dulu dan superstruktur diteliti secara
linear.Persamaan- persamaan pada lantai pertama dengan getaran konstan merupakan
solusi aplikasi non- linear. Dan solusi percepatan pada lantai pertama dapat digunakan
(3-17)
Persamaan (2-58) diperoleh tepat pada persamaan (2-5). Dan sebagai catatan bahwa
dengan penambahan adalah cara terbaik ke persamaan (3-17), maka sesuai dengan
matriks yang dikembangkan.
Perbedaan persamaan (3-17) sudah tampak, maka pengembangan harus ada
perubahannya. Dengan kembali ke displacement diperoleh nyata banyak permodelan
dari displacement pada persamaan (2-13), dan dengan penambahan dari ruas
sebelah kanan kemudian diperoleh persamaan menjadi:
Persamaan ini terlihat pada analisa persamaan (2-56), dan diteruskan ke persamaan (3-
17), maka dapat persamaan dengan menggunakan waktu yaitu:
Pada metode linear analisis yang digunakan untuk tambahan solusi, maka dengan
metode percepatan linear akan digunakan persamaan (2-60) dan akan diaplikasikan
dari formulasi non- linear, kemudian koefisien percepatan bearing dianalisa pada
persamaan (3-18) yaitu:
(3-19)
Pada analisa ini cukup baik bahwa persamaan diteliti dengan nilai yang belum
diketahui dari dan menjadi suatu solusi yaitu:
(3-20)
Dimana:
(3-21)
(3-22)
Dari persamaan (3-16) dianalisa dengan 2 variabel yang belum diketahui yaitu:
1. Percepatan pada level bearing
2. Dan percepatan pada lantai pertama.
Persamaan (3-20) adalah persamaan yang digunakan pada fungsi yang lain, kemudian
dilanjutkan ke percepatan level bearing dengan banyak permodelan percepatan pada
lantai pertama. Adapun penggunaan 2 persamaan ini dengan variabel yang belum
diketahui, dan analisanya akan memberikan suatu solusi. Dengan kembali ke
persamaan (3-16), kemudian disederhanakan memungkinkan memberikan definisi
secara vektor dan matriks yaitu:
(3-24)
(3-25)
(3-27)
(3-28)
Dari persamaan (3-16) diperoleh yaitu:
(3-29)
Dengan permodelan superposisi, dan persamaan (3-29) didapat:
(3-30)
Dengan definisi yang identik didapat:
(3-31)
(3-32)
Substitusi dari persamaan (3-30) dan persamaan (3-32) ke dalam persamaan (3-20)
diperoleh yaitu:
(3-33)
Dengan penyatuan dan penambahan percepatan pada sisi kiri kemudian persamaan
menjadi :
Defenisi yang identik pada persamaan (3-34) disederhanakan menjadi:
(3-35)
(3-36)
(3-37)
(3-38)
Sekarang persamaan (3-34) menjadi:
(3-39)
Dengan memasukan nilai n ke persamaan, yaitu n= 1, 2, dan 3
(3-40)
(3-41)
(3-42)
(3-43)
Persamaan (3-43) dapat di tulis kembali yaitu:
(3-44)
Persamaan (3-44) dapat memberikan solusi, dan sisi ruas sebelah kiri yang belum
diketahui hasilnya . Dari analisa yang sulit ini adalah rumusan yang aktual dari respon
non- linear yang sama dengan respon linear. Suatu perbandingan persamaan yaitu
persamaan (3-44) dengan (2-74) dapat diambil kesimpulan adanya perubahan yang
sederhana dari parameter- parameter yang diperoleh, dan perhitungan yang diteliti
memperoleh nilai hasil, dan dengan metode non- linear solusi tidak semua benar
khususnya pada peletakan yang menggunakan metode linear.
Kemudian pada kenyataannya dengan analisa linear sangat mudah memperoleh
suatu solusi dari iterasi dengan nilai hasil yang didapat dengan kesetimbangan statis.
Di dalam proses iterasi non- linear untuk kriteria prosesnya adalah dengan
menggunakan penambahan waktu yaitu perubahan di dalam kekakuan yang efektif
pada level bearing, . Perbedaan pada kekakuan akan lebih efektif, maka akan
Penyelesaian persamaan non- linear analisis akan diperoleh suatu catatan/ data
sebagai pilihan parameter non- linear, maka akan diperoleh dampak yang akurat
sebagai suatu solusi. Dimana sebelum menggunakan metode- metode ini yang paling
penting adalah dengan menunjukan metode Hilber (1977) dengan nilai variabel yang
diprioritaskan. Dan itu selalu memberikan catatan sebagai suatu solusi dengan
memprioritaskan non- linear, dan diperoleh solusi nyata pada respon struktur.
3.3. Prakiraan Solusi
Analisa solusi dari teks ada beberapa prosedur yaitu dengan menggunakan
metode numerik akan diperoleh proses yaitu:
1. Menyeleksi nilai 3 parameter menggunakan metode Hilber’s (1977) sebagai
modifikasi dari Metode Newmark’s , , . Hillber menggunakan nilai
dari - 0,1 ; 0,3025 ; 0,6 secara teliti.
2. Penggunaan matriks massa sebagai suatu analisa solusi. Dengan menggunakan
3. Dengan determinan kekakuan pada level bearing diperoleh displacement
secara tersendiri dan pergerakan diikuti oleh bearing yang lain. Kemudian
kekakuan diperoleh secara kombinasi pada bearing.
4. Solusi umum dari nilai Eigen untuk menyelesaikan masalah yang diperlihatkan
pada persamaan (2-14) akan di determinan dengan model shape pada lantai 1.
5. Pada matriks diperlihatkan pada persamaan- persamaan (3-38) dan (3-39).
Pada vektor ditunjukan pada persamaan (3-35) kemudian diteruskan (3-
37) dan (3-39).
6. Solusi persamaan (3-44) dengan determinan didapat nilai inisial dengan
permodelan percepatan dari lantai pertama. Penggunaan model superposisi
adalah dengan determinan pada percepatan lantai pertama dari persamaan (2-
13).
7. Substitusi nilai dari pada persamaan (3-30) di determinan pada
kecepatan level bearing dan displacement dari persamaan (3-10) dan (3-11)
secara analisa.
8. Determinan dari displacement, velocity, dan percepatan pada waktu pada
nilai yang nyata dan nilai yang tidak terhingga.
9. Substitusi nilai displacement pada level bearing, kecepatan, dan percepatan,
selama percepatan pada lantai pertama, maka pada persamaan (3-3) pada
determinan yang belum diketahui pada gaya vektor .
10.Dari displacement pada level bearing, maka diperoleh determinan dari
displacement pada bearing yang lain secara tersendiri. Dan akan diperoleh
displacement bearing dari determinan pada gaya yang bekerja dekat bearing.
Jika suatu bearing mempunyai solusi, maka gaya lateral haruslah di redam
dengan nilai hasil diantara redaman dengan adanya penjumlahan pada gaya
vektor .
11.Determinan dari persamaan (3-6), kemudian akan digunakan waktu
12.Matriks kekakuan adalah yang efektif pada bearing. Perbandingan nilai yang
ditunjukan adalah dengan menggunakan waktu yang juga suatu solusi. Jika
perbedaan ini adalah tidak berarti, maka proses kemudian adalah penambahan
waktu yang berawal pada langkah ke- 4 dari prosedur ini. Dan yang lain
kembali ke step – 5 dengan iterasi yang lain yaitu dengan analisa perhitungan-
perhitungan yang tepat dengan penggunaan langkah waktu.