2. 1. Rumus Single Degree Of Freedom
Persamaan gerakan pada gambar (a) adalah memberikan 3 prosedur dan dapat disimpulkan. Suatu kasus yang simple akan lebih mudah cara penggunaan rumusnya sebagai ekspresi persamaan dari semua gaya yang bekerja dengan massa. Pada gambar (b), gaya bekerja dari displacement degree of freedom diaplikasikan kepada beban p(t) dan kemudian 3 gaya datang dari arah gerakan getaran, gaya inersia (FI), gaya damping (FD) dan gaya elastis (FS). Persamaan getaran ini adalah ekspresi dari persamaan gaya- gaya tersebut, yaitu:
u
c
m
p(t) k
Gambar a : Komponen dasar
u
FD
FS
FI
p(t)
Gambar b. Keseimbangan gaya
Gambar 1 : Sistem SDOF ideal
FI + FD + FS = p(t) (a – 1)
Kembali pada gaya yang bekerja dari sisi sebelah kiri, persamaan ini yaitu suatu fungsi dari displacement u atau derivative ; Gaya – gaya bekerja yang positif akan memberikan pilihan respon dengan displacement negative, tentunya dengan beban yang positif pula.
Gaya elastis pertama. Ini memberikan hasil dari kekakuan dan displacement.
FS = k u (a – 2)
Sama dengan prinsip Alembert, yaitu Gaya Inersia adalah hasil dari massa dan percepatan:
Jika mekanisme viscous damping adalah suatu asumsi, maka Gaya damping adalah hasil dari damping konstan c dengan kecepatan.
FD = c ú (a – 4)
Persamaan (a – 2) adalah substitusi ke persamaan (a – 1), maka persamaan gerakan dari SDOF ini di peroleh yaitu:
m ü + c ú + k u = p (t) (a – 5)
2. 2. Struktur SDOF Tanpa Redaman
Gerakan dari sistem SDF, adalah gambaran dari idealnya single story dengan batasan pada sistem saat redaman, maka bagian utama dari gaya luar p(t) adalah suatu gambaran persamaan (a- 5). Dan gaya luar p(t) = 0 memberikan perbedaan persamaan dari getaran bebas, dimana sistem- sistem dengan damping (c = 0) adalah khusus untuk :
m ü + k u = 0 (a)
Getaran bebas adalah sistem yang tidak terganggu dari posisi keseimbangan statis seperti massa pada beberapa displacement u (0) dan velocity ú (0) dengan waktu nol, kemudian persamaan gerakan itu menjadi:
u = u(0) ú = ú(0) (b)
Ini adalah suatu inisial kondisi, yaitu solusi dari homogeneus, berbeda dengan persamaan yang menggunakan metode standard (coba dilihat persamaan sebelumnya):
u(t) =
u (0) cos n t + ú (0)n sin n t (c)
n = k/m (d)
Waktu untuk sistem tanpa redaman menjadi komplit dalam satu putaran pada gerakan bebas yaitu periode alami dari getaran pada sistem, ini kita sebut dengan Tn, dalam satuan detik. Dan ini adalah suatu relasi dari sirkulasi frekuensi alami pada getaran, n, dengan satuan radian per detik:
Tn = 2
/
n (e)Pada sistem yang lain menggunakan 1/ Tn yaitu putaran dalam 1 detik. Ini adalah gerakan frekuensi natural pada getaran yaitu sebagai berikut:
fn
=
1Tn (f)
Satuan dari fn adalah Hertz (Hz) [putaran per detik(cps)]; fn adalah suatu relasi gerakan ke n.
2. 3. Struktur SDOF Dengan Redaman
Gaya luar p(t) = 0 pada persamaan (a – 5) diperoleh persamaan diferensial dengan getaran bebas pada sistem SDF dengan damping yaitu:
m ü + c ú + k u = 0 (g)
Dengan dibagi massa maka diperoleh hasil yaitu:
ü + 2 n ú + n² u = 0 (h)
= c = c / ccr
(2m n) (i)
Kemudian diperoleh suatu persamaan lagi yaitu:
ccr = 2 m n = 2
√
k m = 2 k/
n (j)Solusi persamaan (g) dari sistem- sistem dengan c < ccr atau < 1 yaitu:
- n t
u (t) = e u (0) cos Dt + ú(0) + n u (0) sin Dt (k)
D
D = n
√
1 - ² (l)Pada persamaan (k) spesial dengan sistem tanpa redaman ( = 0) mulai dari persamaan (c).
Persamaan (k) pada grafik, akan diperlihatkan suatu respon getaran bebas pada sistem SDF dengan damping rasio ( = 0. 05 atau 5% ). Pada perbandingan suatu respon getaran bebas dengan sistem yang sama di luar dampingnya.
u ú(0)
e
Undamped structure
u(0) Damped structure
t
Tn = 2 / n
- n t Tn = 2 / D
- e
Gambar 2 : Dampak damping pada getaran bebas
Periode alami dari getaran kerusakan, TD = 2 / D, adalah suatu reaksi pada periode natural Tn di luar damping yaitu:
TD = Tn
√ 1 - ² (m)
Amplitudo dari displacement pada sistem tanpa redaman adalah sama pada semua proses getaran, tetapi sistemnya adalah redaman amplitudo, dan penambahan pada setiap gerakan dari getaran yaitu :
= [u(0)]² + ú (0) + n u (0) ² (n)
D
Solusi persamaan differensial (h) mendapatkan persamaan yaitu:
st
Dengan substitusi diperoleh:
st
( s² + 2 n s + n² ) e = 0 (p)
Dengan pengembangan pada semua nilai t apabila :
s² + 2 n s + n² = 0 (q)
Persamaan (q), yang mana telah diketahui pada persamaan karakteristik, di dapat dua arah:
s1, 2 = n (- ± i
√
1- ² )Secara umum diperoleh solusi: ( r )
s1t s2t
u (t) = A1 e + A2 e
Dimana dengan substitusi persamaan ( r ) ,maka diperoleh persamaan yaitu :
- i D t i D t -i D t
u (t) = e (A1 e + A2 e ) (s)
Dimana A1 dan A2 menjadi konstan yaitu:
D = n
√
1 - ² (t)Diteruskan dengan fungsi trigonometri yaitu: - i n t
u (t) = e (A cos D t + B sin D t ) (u)
Dimana A dan B adalah konstan sebelum dideterminan. Persamaan ini tampak pada kesatuan inisial kondisi dengan proses sepanjang garis- garis yaitu :
A = u (0)
B = ú (0) + n u (0) (w)
2.4. Analisa Sistem – Sistem Linear Single Degree Of Freedom
Jika suatu proses penggabungan adalah asumsi gaya pada percepatan üg(t), kemudian respon dari system SDOF Linear memberikan dukungan pada percepatan maka diperoleh persamaan:
ü + 2 ú + ² u = - üg (t) (b - 1)
Dimana u adalah displacement massa relatif dengan dukungan untuk bergerak.
2.5. Analisa Getaran Bebas
Pada pembahasan sebelumnya persamaan gerakan dari sistem SDOF diperoleh suatu kesatuan persamaan yaitu:
m ü (t) + c ú (t) + k u (t) = p (t) (b – 2)
Dengan mempelajari persamaan ini dapat digunakan suatu cara yaitu gambaran respon dari sistem yang simple. Dimana ini selalu diingat dan diperlihatkan sama dengan respon koordinat secara umum dari sistem yang kompleks yang telah diulangi pada sistem SDOF.
Solusi persaman (b – 2) memberi jawaban pertama dari persamaan homogeneus dengan sisi sebelah kanan adalah nol yaitu:
m ü (t) + c ú (t) + k u (t) = 0 (b – 3)
Menempatkan gerakan- gerakan dengan gambaran gaya terkumpul menjadi nol dinamakan adalah Free vibration (getaran bebas), yaitu respon getaran bebas ini diperoleh dari sistem dimana diperoleh suatu hasil saat ini.
Solusi persamaan (b – 3) adalah : st
u (t) = G e (b – 4) Substitusi pada persamaan (b – 3) adalah:
st
(m s² + c s + k) G e = 0 (b – 5)
st
Setelah dibagi m G e dan dapat mengubah notasi menjadi:
² = k/m (b – 6)
Persamaan (b – 5) menjadi:
s² + (c/m) s + ² = 0 (b – 7)
Nilai s akan memberikan nilai c dari ekspresi ; jadi tipe dari getaran kembali ke persamaan (b – 4) akan ditunjukan di dalam sistem damping.
2.5.1. Getaran Bebas Tanpa Redaman
Jika sistem diredam, maka c = 0, nilai ini pada s akan memberikan suatu persamaan pada (b – 7) adalah:
s = ± i
(b – 8)
Respon ini berpengaruh pada persamaan (b – 4) yaitu:
i t - i t
u (t) = G1 e + G2 e (b – 9)
Ada 2 tambahan jawaban dari 2 nilai yaitu s dan konstanta- konstanta G1 dan G2 dengan kembali pada getaran amplitudo. Persamaan (b – 9) dapat diletakan pada kumpulan gaya yang lain sebagai koreksi pada persamaan – persamaan Euler. ± i t
e = cos t ± i sin t (b – 10)
u (t) = A sin t + B cos t (b – 11) Pada konstanta A dan B diperoleh dengan penambahan inisial kondisi, sebagai contoh displacement u (0) dan kecepatan ú (0) pada waktu t = 0, dimana sistem getaran bebas memiliki nilai inisial. Dengan mudah dapat diperoleh u (0) = B dan ú (0) = A ; kemudian persamaan (b – 11) kembali:
u (t) = [ú(0) / ] sin t + u (0) cos t (b – 12) T = 2 /
u(t) ú(0)
u(0) t
/
Gambar 3 : Respon Getaran Bebas Tanpa Redaman
Frekuensi yang kembali ke - f , yaitu selalu kembali diperlihatkan pada getaran frekuensi yang memberikan :
f = / 2 (b – 13)
Dan perulangan kembali adalah Perioda T,
T = 2 / = 1/f (b – 14)
Dapat diekspresikan pada :
u (t) = cos ( t - ) (b – 15)
Getaran amplitudo adalah:
Pada phase penambahan adalah: = tan ¯ ¹ [ ú (0) / u (0)] (b – 17) Imaginary u(0) t Real t ú(0)/
Gambar 4 : Gambaran Vektor Rotasi dari Getaran Bebas
2.5.2. Getaran Bebas Dengan Redaman
Jika damping dipergunakan di dalam suatu sistem, didapat sebuah solusi dari persamaan (3 – 7) yaitu menjadikan suatu respon sebagai berikut:
s = - c / 2m ± (c / 2m)² - ² (b - 18)
+ Damping Kritis
Jika persamaan (b – 18) adalah kesatuan hasil yang diperoleh menuju nol, maka c/2m = , kemudian damping kritis dengan nilai Cc adalah:
Cc = 2 m (b – 19)
Kemudian nilai persamaan (b – 18) adalah :
s = - c = - (b – 20)
2m
- t
u (t) = (G1 + G2 t) e (b – 21)
Pada waktu inisial kondisi diperoleh hasil dari persamaan respon damping kritis yaitu:
- t u (t) = [ u (0) (1 + t) + ú (0) t ] e (b – 22) u(t) ú(0) u(0) t
Gambar 5 : Respon Getaran Bebas dengan Damping Kritis
+ Sistem- sistem di bawah redaman
Jika redaman dapat melewati batas kritis, maka kembali ke persamaan (b – 19) yaitu c < 2m dan dapat dilihat pada persamaan (b – 18) dan ini haruslah negatif. Evaluasi dari respon getaran bebas pada kasus ini, akan diekspresikan ke damping rasio yaitu dan damping kritis dengan nilai yaitu:
= C = C (b – 23) Cc 2 m
Kemudian ditelusuri dari Persamaan (b – 22) ke persamaan (b – 18) diperoleh:
Atau perubahan tanda arah yaitu dengan kembali menjadi suatu simbol baru D yaitu:
s = - ± i D (b – 24)
Dimana: D = 1 - ² (b – 25)
D = Frekuensi damping vibrasi
2.5.3. Respon pada Beban Harmonik
Respon pada beban harmonik ini akan memberikan suatu asumsi yang utama pada beban luar harmonik p (t) dari amplitudo po dan frekuensi sirkulasinya . Pada kasus ini persamaan differensial pada getaran menjadi:
m (t) + c ú (t) + k u (t) = po sin t (b – 26)
2.5.3.1. Sistem Tanpa Redaman
Sistem beban harmonic tanpa redaman, diperoleh persamaan getaran adalah:
m (t) + k u (t) = po sin t (b – 27)
Solusi yang sempurna dari persamaan ini adalah respon getaran bebas yaitu:
uc (t) = A sin t + B cos t (b – 28)
Respon pada beban harmonik dapat diasumsikan menjadi harmonik dan pase beban sebagai berikut:
u p(t) = G sin t (b – 28)
Dimana amplitudo G adalah sebagai suatu evaluasi. Substitusi Persamaan (b – 28) ke dalam pesamaan ( b – 27) adalah:
Dengan mengambil sin t (secara umum tidak sama dengan nol) dan k dan bukan k/m = ² diperoleh hasil yaitu:
G [1 - ( ² / ²) ] = po / k (b – 30) Respon amplitudo adalah:
G = po 1 (b – 31)
k (1 - ²)
Dimana adalah perbandingan rasio dari frekuensi beban alami dengan frekuensi getaran bebas yaitu:
= / (b – 32)
Secara umum diperoleh solusi hasil getaran hamonik dengan sistem tanpa redaman akan memberikan kombinasi sebagai solusi koplementari dan solusi partikuler, dimana diperoleh nilai dari G dengan persamaan (b – 31) yaitu:
u (t) = uc (t) + up (t) = A sin t + B cos t + (po/ k) [1 /(1- ²)]
sin t (b – 33)
Untuk sistem ini mulai dari masa tenggang pada inisial kondisi u(0) = ú(0) = 0, maka akan memudahkan untuk mengarahkan konstanta- konstanta dengan membagi suatu nilai yaitu:
A = - po 1 B = 0 (b – 34)
k (1- ²)
Dan kemudian memberikan respon kepada persamaan (b – 33) yaitu:
Dimana :
po/k = u st = displacement statis, contoh dimana displacement akan dihasilkan dari beban po aplikasi statis.
1/(1- ²) = faktor manifikasi (MF), kembali ke efek amplitudo dinamik dari aplikasi beban Harmonik.
Sin t = komponen respon pada frekuensi dari aplikasi beban = respon steady state, dan Kemudian relasi kepada beban.
sin t = komponen respon dari frekuensi getaran alami = efek getaran bebas yang dimasukan ke inisial kondisi.
2.5.3.2. Sistem Redaman
Kembali kepada persamaan dengan redaman persamaan (b – 27) dengan memasukan m, dan bukan c/m = 2 yaitu:
(t) + 2 ú (t) + ² u (t) = (po/m) sin t (b – 33) up MF t Tp = 2 /
uc
x MF
t
T = 2 /
Gambar 7 : Respon beban harmonik dari inisial kondisi pada situasi transient
u
t
Frekuensi rasio = 2/3
Gambar 8: Respon beban harmonik dari inisial kondisi pada situasi total R(t)
Asumsi dari struktur menuju damping kritis, adalah kasus dari semua struktur partikuler:
- t
uc (t) = e (A sin D t + B cos D t) (b – 34) Solusi partikuler pada beban harmonik adalah:
Dengan substitusi persamaan (b – 35) ke (b – 34) dengan menggunakan sin t ke cos t diperoleh hasil yaitu:
[- G1 ² - G2 (2 ) + G1 ²] sin t = (po/m) sin t (b – 36a) [- G2 ² + G1 (2 ) + G2 ²] cos t = 0 (b – 36b)
2.6. Respon Beban Dinamik Secara Umum Integral Duhamel Untuk Sistem Tanpa Redaman
Secara umum respon struktur pada durasi pendek dapat digunakan sebagai dasar dalam rumus evaluasi respon pada beban dinamik umum. Ini akan dituliskan secara hati- hati karena prosedur ini adalah masukan dari finite durasi, dan ini akan datang pada durasi beban menuju nol. Secara differensial interval waktu d , prosedur respon dari beban p( ) adalah cara yang tepat (untuk t > ):
du(t) = [p( ) d / m ] sin (t – ) (b – 37)
Di dalam ekspresi ini, du(t) kembali secara respon differensial pada kelebihan impuls differensial dan memberikan respon history untuk t > ; maka hasil ini tidak akan merubah nilai u selama interval waktu dt.
p(t)
p( )
t
(t – )
Response du(t)
Gambar 9: Derivative Integral Duhamel (tanpa redaman)
Untuk sistem linear elastis, total respon dapat diambil dengan cara pilihan dari semua respon differensial selama beban history, dengan integral persamaan (b – 37) adalah:
t
u(t) = 1/ m ∫o p( ) sin (t – ) d (b – 38)
Persamaan (b – 38) secara umum disebut Integral Duhamel dari sistem tanpa redaman. Ini boleh digunakan sebagai respon evaluasi dari SDOF tanpa redaman dengan kesatuan beban dinamik p(t), walaupun kasus ini adalah beban- beban secara evaluasi menjadi kesatuan secara numerik.
Persamaan (b – 38) akan diekspresikan pada kesatuan:
t
u(t) = ∫o p( ) h (t – ) d (b – 39)
Dimana dengan menggunakan simbol baru dapat didefinisikan yaitu:
h(t – ) (1/m ) sin (t – ) (b – 40)
Respon getaran bebas haruslah memberikan solusi, secara umum yaitu:
t
u(t) = ú(0)/ sin t + u(0) cos t + 1/m ∫o p( ) sin (t – )d (b – 41)
Persamaan Integral Duhamel diekspresikan pada respon dari sistem redaman pada beban dinamik umum adalah ekivalen dengan analisa tanpa redaman dengan respon getaran bebas dengan beban differensial p( ) d adalah subjektif pada eksponennya. Susunannya adalah u(0) = 0 dan kemudian ú (0) = [p( ) d ] /m pada persamaan sebelumnya yaitu:
- (t- )
du (t) = e [ p( ) d / m D sin D(t – ) ] t > (b – 42) Respon differensial dikembangkan lebih lagi pada interval beban dengan nilai yaitu:
t - (t – )
u (t) = (1/m D) ∫ 0 p( ) e sin D (t – ) d (b – 43) Perpaduan tersebut menunjukan persamaan (b – 43) dengan integral persamaan (b – 39) sebagai respon impuls dengan unit dan sistem redaman yaitu:
- (t – )
h(t – ) = (1/m D) e sin D (t – ) (b – 44) Dari evaluasi numerik pada respon sistem redaman diperoleh:
u (t) = A(t) sin Dt - B(t) cos D t (b – 45)
Dimana, pada kasus ini yaitu:
t A(t) = (1/m D) ∫ p(t) e cos D d 0 t e (b – 46) t B(t) = (1/m D) ∫ p(t) e sin D d 0 t e Integral pertama diperoleh:
A(t) = ( / m D) [ 1/ (t) ] (b – 47)
Rumus ini dapat diekpresikan dengan proses yang berbeda- beda yaitu: Dengan menggunakan ( = 1):
A A
(t) = [ (t – ) + p(t - ) cos D (t – ) exp (- ) (b – 48)
1 1
Dengan peraturan trapezoidal ( = 2) : A A
(t) = [ (t – )+ p(t - ) cos D(t – )]exp (- )+ p(t) cos Dt (b–49) 2 2
Dengan peraturan Simpson ( = 3) : A A
(t) = [ (t – ) + p(t - ) cos D (t – )]exp (- )
2 2 4p(t - ) cos D(t – )exp (- ) + p(t) cos Dt
(b – 50)
Tambahan B(t) memberikan ekspresi yang sama kepada fungsi- fungsi sinus.
2. 7. Multy Degree Of Freedom
Persamaan gerakan dapat diekspresikan pada keseimbangan gaya- gaya yang efektif dengan banyak derajat kebebasan. Secara umum ada 4 tipe dari gaya akan digabungkan yaitu beban sebagai aplikasi dari luar pi(t) dan dengan banyak gaya solusi dari gerakan yaitu, Inersia FIi, damping FDi, dan elastis FSi. Dari semua banyak derajat kebebasan keseimbangan dinamik dapat diekspresikan yaitu:
FI1 + FD1 + FS1 = p1(t)
FI2 + FD2 + FS2 = p2(t)
FI3 + FD3 + FS3 = p3(t) (c – 1)
Atau vektor gaya- gaya disatukan di dalam kumpulan matriks yaitu,
FI + FD + FS = p(t) (c – 2)
Dimana MDOF ekivalen dengan SDOF pada persamaan (a – 1)
Secara umum gaya elastis adalah kumpulan dari displacement dari semua struktur yaitu:
FS1 = k11 u1 + k12 u2 + k13 u3 + …+ k1n un (c – 3a) Hal yang sama, gaya elastis masuk ke dalam degree of freedom u2 adalah:
FS2 = k21 u1 + k22 u2 + k23 u3 + … + k2n un (c – 3b) Dan secara umum:
FSi = ki1 u1 + ki2 u2+ ki3 u3 + … + kin un (c – 3c) Di dalam matriks, secara komplit dari gaya elastis dapat dituliskan:
FS1 k11 k12 k13 … k1i … k1N u1
FS2 k21 k22 k23 … k2i … k2N u2
. = ……… .. (c – 4)
FSi ki1 ki2 ki3 … kii … kiN ui
. ……… .
Atau secara simbolis, FS = k u (c – 5)
Jika asumsi dari damping berhubungan dengan kecepatan, tipe redaman, gaya- gaya damping berhubungan dengan derajat kebebasan mungkin sebagai ekspresi dari damping untuk dituliskan. Sebagai penelusuran persamaan (c – 5), komplit dari gaya- gaya damping adalah:
FD2 c21 c22 c23 … c2i … c2N ú2
. = ……… . (c – 6) FDi ci1 ci2 ci3 … cii … ciN úi
. ……….. .
Atau secara simbolis dapat dituliskan, FD = c ú (c – 7) Gaya- gaya inersia mungkin dapat juga diekspresikan secara menyeluruh dari koefisien- koefisien massa. Hubungan ini berelasi kepada percepatan dari derajat kebebasan sehingga menghasilkan gaya- gaya inersia, secara penelusuran dari persamaan (c – 5), gaya- gaya inersia diekspresikan menjadi:
FI1 m11 m12 m13 … m1N ü1
FI2 m21 m22 m23 … m2N ü2
. = ………. . (c – 8)
FIi mi1 mi2 mi3 … miN üi
. ……… .
Secara simbolis dapat dituliskan, FI = c ü (c – 9) Substitusi persamaan (c – 5 ), (c – 7), dan (c – 9) ke dalam persamaan (c – 2) memberikan secara komplit dengan keseimbangan dinamis pada struktur, yaitu pada semua derajat kebebasan :
Persamaan ini adalah MDOF ekivalen dengan persamaan (a – 5); yang lain dari persamaan SDOF dikembangkan dengan matriks dalam persamaan (c – 10), matriks lain dihubungkan kepada bagian derajat kebebasan yang digunakan di dalam displacement- displacement dari struktur. Persamaan (c – 10) diekpresikan kepada persamaan- persamaan dari getaran untuk memperbaiki respon dari sistem MDOF.
2. 8. Analisa Single Story Linear
Perhitungan pada Respon Dinamik struktur bangunan pada daerah spesifik
yang ruang geraknya adalah suatu proses yang sangat kompleks. Pada penjabaran
persamaan- persamaan dari struktur bangunan serta dengan analisa time history pada
waktu yang sedikit menuju suatu nilai yang akurat. Analisa ini adalah yang pertama
kalinya ditemukan yaitu secara three dimensional struktur bangunan one- story (satu
lantai) dengan tiga derajat kebebasan yaitu: dua pendekatan arah gerakan horijontal
dan daerah rotasi (torsi). Perhitungan 3 derajat kebebasan ini mendekati level redaman
(isolasi) pada lantai pertama yaitu total mendekati 6 derajat kebebasan. Untuk langkah
Gambar 10 : Lantai 1 Free body diagram.
2.8.1. Prosedur Analisa
Analisa ini adalah penjabaran persamaan gerakan lantai satu dengan lantai
berikutnya. Gambar 1 menunjukan gambaran kembali ke free body diagram dengan
potongan struktur secara cermat dan akurat menuju ke lantai dua, dan yang jelas tetap
pada lantai 1. Gaya- gaya elastis dan gaya- gaya damping selama terjadi guncangan
dapat terlihat pada gambar, tetapi kenyataannya pada bagian
perpindahan(displacement) dan kecepatan(velocity) dari struktur, secara teliti,
berlangsung pada setiap lantai. Dengan mempelajari secara teliti pada gambar 10
(2 -1)
Gambar 11: Superstructure Free Body Diagram
Gambar 11: menyatakan free body diagram dari gambar struktur dan yang dipotong
diantara bearing dan pada lantai, kemudian didapat hitungan yang akurat pada
struktur. Pada kenyataannya dari gambar 10, gerakan gaya elastis dan gaya damping
tidak tampakan. Ada juga gaya gesekan bearing pada lantai base, tetapi juga tidak
diperlihatkan. Gambaran gaya gesekan bergantung pada kecepatannya. Dengan
memperhatikan gambar 11 persamaan dalam kurung dapat dituliskan dalam sebagai
(2-2)
Dimana :
Gaya inertia lantai ke- i
Gaya Damping lantai ke- i
Gaya Elastis lantai ke- i
Gaya gesekan pada level bearing
lantai ke - i; b untuk base, 1 untuk lantai 1 (atap)
Rumusan ini terjadi selama gesekan pada bearing yang dianalisa secara teliti ;
dan gesekan pada lantai akan diabaikan. Untuk memperjelas kasus gesekan pada level
bearing, sangat simpel menyusun koefisien gesekan yaitu , dan menjadi nol serta
proses yang diperoleh dari suatu solusi.
Dari persamaan (1) dan (2) diaplikasikan kepada 3 bagian; 2 arah horijontal
dan arah torsional dengan kembali pada momen- momennya. Pada penulisan
persamaan ini adalah dengan 3 derajat kebebasan, dan persamaan matriks dituliskan
(2-3)
(2-4)
Persamaan (2- 2) dan (2-3) dapat dikembangkan menjadi:
(2-5)
2.8.2. Persamaan- Persamaan Pada Gerakan Level Bearing.
Persamaan (4) dapat dikembangkan sesuai dengan persamaan semula. Dimana
gaya gesekan tidaklah setimbang di dalamnya. Dengan definisinya, gaya gesekan
adalah persamaan yang normal dan gesekannya biasa dengan constanta . Gaya- gaya
normal di dalam rumusan ini akan mengambil massa matriks secara berulang kali dan
percepatan vertikal total dari struktur bangunan, adalah gaya gravitasi yang
dijabarkan langsung pada percepatan vertikal gempa pada bearing- bearing, seperti
(2-6) Yang mana: (2-7) (2-8) (2-9) (2-10)
(2-11)
percepatan gempa vertikal
Catatan matriks kekakuan adalah bagian kekakuan dari proses penjabaran.
Vektor perpindahan (displacement) dapat diperoleh selama posisi tepat pada
metode dasar, dimana pada kombinasi linear dari mode shapes akan digunakan
prakiraan displacement (perpindahan). Displacement (perpindahan) akan memberikan
catatan fungsi dari mode shapes pada struktur yaitu:
(2-12)
(2-13)
Vektor- vektor disatukan dalam banyak model, yaitu normal dan koordinat.
lainnya yaitu deformasi (perubahan) dari struktur, dari persamaan (12) dan persamaan
(13).
Model Shapes akan dijabarkan sebagai solusi umum pada masalah Nilai
Eigen.
(2-14)
(2-15)
Mode Shapes secara aktual menggunakan Vektor Eigen dari persamaan (2-14) dan
persamaan (2-15) dan frekuensi- frekuensi alami pada perhitungan penggunaan nilai
Eigen. Matriks dasar akan memberikan perhitungan hasil yaitu :
(2-16)
Dasar matriks lantai 1, , adalah bagian persamaan (2-14) dan mariks pada base
pada bearing- bearing, , adalah penjabaran pada persamaan (2-15).
Kolom- kolom matriks dasar diteruskan ke model shapes, dengan kolom
banyak model dari displacement (perpindahan), dan suatu kombinasi pada bagian 3
komponen yang aktual dari Respon struktur yaitu pada persamaan (2-12) dan (2-13).
Dimana, kontribusi dasar displacement (perpindahan) yang lain pada 3 derajat
kebebasan dari setiap lantai.
Mode Shapes adalah massa dengan sifat normal yang memberikan relasi
sebagai berikut:
(2-17)
Persamaan (2-6) akan dipermudah, dengan menggunakan persamaan (2-17), dengan
subtitusi pertama persamaan (2-12) yaitu :
(2-18)
Kemudian, dengan analisa perhitungan cara yang lain pada persamaan deformasi dari
model matriks untuk level bearing, diteruskan menjadi persamaan:
Kemudian, massa dengan sifat normal memberikan persamaan (2-17), adalah
menggunakan cara yang sederhana dengan ekspresi yaitu:
(2-20)
Persamaan matriks ini tetap pada 3 persamaan gerakan, yaitu 1 dari beberapa model
displacement (perpindahan). Yang lain dari 3 persamaan ditunjukan pada persamaan
(2-21), dengan n=1,2, atau 3, dengan kembali ke model displacement (perpindahan)
yang diteruskan pada persamaan:
(2-21)
Dengan substitusi menjadi:
(2-22)
(2-24)
(2-25)
Persamaan (2-22) adalah suatu ortogonal dari banyak model. Catatan, persamaan
(2-23) adalah matriks damping yang klasik. Untuk perhitungan yang simple digunakan
damping klasik akan pada thesis ini. diberikan dengan cara kembali kepada
damping ratio dari tiap lantai dengan model j. Persamaan- persamaan (2-24) dan
persamaan (2-25) adalah hasil dari matriks dengan banyak aplikasi dengan
Gambar 12 : Metode Percepatan Linear.
Persamaan (2-21) adalah tidak memberikan banyak solusi. Penyelesaian displacement
(perpindahan) dari struktur adalah dengan menggunakan fungsi waktu, dan dengan
penjabaran linear interpolasi akan memberikan nilai perubahan pada percepatan
(acceleration). Gambar 3 menunjukan Metode Percepatan Linear, di dalam percepatan
prakiran garis lurus yang tidak diketahui percepatannya selama interval waktu
berlangsung.
Situasi ini akan akurat dengan penggunaan waktu yang sedikit dan lebih efisien
disebut ∆t. Sebagai contoh, daerah percepatan gempa diredam pada Lembah bagian
irigasi dari Utara- Selatan tahun 1940 Elcentro, dan gempa bumi California adalah
meredam suatu interval waktu ∆t = 0,02 detik (sumber, Copra 2001).
Metode percepatan linear, diekpresikan pada model percepatan dari lantai
pertama dan gaya percepatan yang kemudian dituliskan sebagai berikut.
(2-26)
(2-27)
(2-28)
(2-29)
Sekarang, dengan substitusi persamaan (2-26) ke persamaan (2-29) ke dalam
persamaan (2-21) , maka persamaan menjadi:
(2-30)
Di dalam n = 1,2, dan 3
(2-31)
(2-32)
Persamaan (2-30) adalah sama dengan second- order non- homogeneous dengan
perbedaan persamaan dari solusi komplit dan solusi partikulir. Solusi homogeneous,
adalah solusi persamaan (2-30) jika sisi sebelah kanan di kalkulasikan menjadi nol,
yaitu:
(2-33)
Frekuensi damping alami dituliskan dalam bentuk:
Bilangan- bilangan konstan dan pada persamaan (2-33) dan batas
pengambilan initial condition akan di determinan.
Solusi mendekati ke persamaan (2-30) adalah:
(2-35)
Dengan substitusi ke persamaan (2-35) dan diderivasi ke persamaan (2-30), constan
pada serta diperoleh hasil yaitu:
(2-36)
(2-37)
Kombinasi dari solusi kompleks persamaan (2-33) dan solusi istimewa dari persamaan
(2-35) diekspresi kepada yaitu:
Dapat dilihat dari gambar 3, , menjadi dan mendekati suatu nilai
:
(2-39)
(2-40)
Nilai dapat digunakan langsung untuk merubah menjadi konstan dan , dan
pada pelaksanaan persamaan- persamaan (2-39) dan (2-40) kepada persamaan (2-38)
akan menjadi:
(2-41)
(2-42)
Sekarang persamaan disusun menjadi dengan substitusi persamaan (2-41) dan
(2-42) kembali memberikan solusi ke persamaan (2-38), dan memberikan ekpresi dari
adalah :
(2-43)
(2-44)
(2-45)
(2-46)
(2-47)
Hampir mendekati suatu persamaan baru yaitu dengan model kecepatan (velocity)
akan memberikan persamaan (2-38) dengan membuat suatu bagian yang teliti pada
waktu dan evaluasi yaitu . Model kecepatan (velocity) dapat dituliskan sebagai
berikut:
(2-48)
Dimana :
(2-49)
Model percepatan dapat juga diberikan pada persamaan (2-38) mendapatkan 2 bagian
dengan teliti dari waktu. Model percepatan dapat dituliskan sebagai berikut:
(2-51)
Dimana:
(2-52)
(2-53)
Dengan menggunakan persamaan (2-32), persamaan (2-51) dapat dituliskan sebagai
berikut:
(2-54)
Persamaan (2-54) di dalam kesatuannya dapat digunakan sebagai solusi dengan
menggunakan waktu sebagai metode, dan determinan dari respon bearing, serta
diperoleh redaman percepatan gempa dengan respon gaya- gaya yang bekerja pada
lantai pertama. Dimana, respon gaya pada lantai pertama belum diketahui. Kemudian
formulasi dibagi dan dideterminan dengan persamaan- persamaannya pada level
2.8.3. Gerakan Dari Persamaan- persamaan Lantai Pertama
Dari gerakan persamaan- persamaan pada lantai pertama, model- model shape
akan mendekati massa orthonormal dan dilanjutkan ke massa matriks .