Data SPL, klorofil dan tinggi muka laut diolah dengan menggunakan perangkat lunak ferret untuk selanjutnya dianalisis secara spasial untuk melihat pola sebarannya yang dapat menunjukkan fenomena laut seperti pertemuan dua massa air, penaikan massa air dan secara temporal dilakukan analisis deret waktu sesuai dengan daerah pengamatan. Analisis deret waktu ini untuk mengidentifikasi adanya fenomena alam yang diperlihatkan oleh pengamatan berurutan dimana terdapat fenomena-fenomena yang berulang dengan mengetahui
periodisitas dominannya. Tahapan proses analisis data dengan menggunakan perangkat lunak ferret dapat dilihat pada Lampiran 1.
Data SPL, klorofil dan tinggi muka laut selanjutnya diolah dengan pendekatan wavelet transform (Torrence and Compo 1998) berupa continuous wavelet transform yang digunakan untuk mendeteksi kemungkinan adanya periodisitas seperti seasonal, intra-seasonal. hubungan antara dua data deret waktu secara bersamaan dan proses sebab akibat diantara keduanya, selanjutnya cross wavelet transform yang akan memunculkan fase power dan relatif dalam domain frekuensi-waktu dan penggunaan analisis wavelet coherent untuk mengetahui koherensi yang signifikan dari data yang diolah. Berdasarkan analisis ini dapat diketahui adanya pengaruh intra-seasonal, seasonal dan inter-annual dengan menginterpretasi periodisitas data yang dominan. Tahapan proses analisis data dengan pendekatan wavelet transform dapat dilihat pada Lampiran 2.
Transformasi wavelet adalah suatu transformasi yang membagi suatu sinyal dalam hal ini adalah data deret waktu curah hujan ke dalam beberapa tingkat resolusi. Pendekomposisian sinyal ke dalam resolusi yang berbeda-beda secara bertahap dari resolusi tinggi sampai resolusi rendah dinamakan analisis multiresolusi. Setiap resolusi dibedakan dengan faktor skala, yang biasa digunakan yaitu kelipatan dari dua. Jika dibandingkan dengan transformasi Fourier, maka transformasi wavelet mempunyai keunggulan yaitu dapat merepresentasikan sinyal dalam domain waktu dan domain frekuensi dengan sangat baik. Hal ini disebabkan fungsi basis dari transformasi wavelet dapat diperlebar dan dipersempit sehingga memudahkan dalam menganalisa sinyal sesuai dengan frekuensinya. Pada frekuensi tinggi digunakan fungsi basis yang sempit sedangkan pada frekuensi rendah digunakan fungsi basis yang lebar.
Dalam transformasi wavelet ini dilakukan beberapa metode transformasi wavelet yang meliputi :
1. Continuous Wavelet Transform (CWT)
Wavelet adalah sebuah fungsi dengan perata-rataan nol dan dibatasi oleh frekuensi dan waktu. Wavelet dapat digolongkan dengan membatasinya
terhadap waktu (Δt) dan frekuensi (Δω atau lebar pita). Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan selalu terjadi antara pembatasan
dalam waktu dan frekuensi. Tanpa definisi Δt dan Δω yang jelas dapat
dikatakan bahwa terdapat sebuah batas untuk bagaimana memperkecil
ketidakpastian hasil Δt .Δω. Salah satu
caranya dengan menggunakan wavelet Morlet didefinisikan sebagai :
……...(7)
ωo adalah frekuensi tak berdimensi dan η adalah waktu tak berdimensi.
Ketika wavelet dipergunakan untuk maksud ekstraksi fitur maka wavelet
Morlet (ωo = 6) adalah pilihan yang terbaik. Wavelet Morlet menyediakan
sebuah keseimbangan yang baik antara pembatasan waktu dan frekuensi. Ide dibalik CWT adalah untuk menerapkan fungsi wavelet sebagai filter bandpass terhadap seri waktu. Wavelet dilebarkan terhadap waktu
bervariasi terdapat skala (s), dimana η = s.t dan dinormalisasi untuk
mendapatkan satuan energi. Wavelet Morlet (ωo = 6) periode Fourier (λωt)
hampir sama terhadap skala (λωt=1.03 s). CWT dari seri waktu (xn, n=1...N)
dengan langkah waktu yang sama δt adalah konvolusi dari xn dengan
penskalaan dan normalisasi wavelet sehingga daya wavelet
|W
nX
(s)|
2 yang dihasilkan dapat ditulis :...(8)
Dalam penerapannya wavelet lebih cepat untuk mengimplementasikan konvolusi dalam ruang Fourier (Torrence and Compo 1998). Argumen kompleks WnX(s) dapat diinterpretasikan sebagai fase lokal.
CWT mempunyai tepi artifak disebabkan wavelet bukanlah pembatasan yang utuh terhadap waktu. Cone of Influence (COI) sangat berguna untuk dipergunakan sehingga efek tepi dapat diabaikan. Penggunaan COI sebagai daerah dimana power wavelet menyebabkan diskontinuitas pada tepi yang telah diturunkan menjadi e-2 dari nilai di tepi.
Signifikansi statistik dari power wavelet dapat dinilai relatif terhadap hipotesa nol, dimana sinyal yang dihasilkan oleh proses stasioner dengan
latar belakang yang memberikan power spectrum (Pk). Beberapa seri waktu geofisika mempunyai karakteristik red noise yang dapat dimodelkan dengan sangat baik dengan pangkat pertama dari proses autoregressive (AR1). Power spectrum Fourier dari sebuah proses AR1 dengan lag 1 autokorelasi
α (diestimasi dari pengamatan deret waktu seperti yang dilakukan oleh Allen and Smith 1996) didefinisikan sebagai;
……….………...(9) k adalah indeks frekuensi Fourier.
Transformasi wavelet merupakan serangkaian bandpass filter yang diaplikasikan terhadap deret waktu dimana skala wavelet secara linier berhubungan dengan periode karakteristik filter (λwt). Oleh karena itu, untuk
proses stasioner dengan power spektrum Pk, variasi yang diberikan oleh teorema konvolusi Fourier adalah variasi sederhana yang dihubungkan dengan band Pk, jika Pk cukup halus maka varians yang diberikan oleh skala
sederhana dengan Pk dapat diaproksimasi mempergunakan konversi k-1 =
λωt. Torrence and Compo (1998) menggunakan metode Montecarlo untuk
memperlihatkan bahwa aproksimasi ini sangat baik untuk spektrum AR1. Selanjutnya diperlihatkan bahwa distribusi probabilitas power wavelet dengan menggunakan power spectrum (Pk) menjadi lebih besar
dibandingkan dengan p yaitu:
D
………...(10)υ adalah sama dengan 1 untuk riil dan 2 untuk wavelet kompleks. 2. Cross Wavelet Transform (XWT)
Cross wavelet transform (XWT) dari dua seri data xn dan yn
didefinisikan sebagai WXY = WXWY*, dimana * adalah notasi kompleks konjugat. Selanjutnya didefinisikan cross wavelet power sebagai |WXY|. Argumen kompleks arg (WXY) dapat diinterpretasikan sebagai fase relatif lokal antara xn dan yn dalam ruang waktu frekuensi. Teori distribusi dari
cross wavelet dari dua seri waktu dengan latar belakang power spectra PkX
dan PkY telah diberikan oleh Torrence and Compo (1998) sebagai;
D
...(11)Zυ(p) adalah tingkat kepercayaan (confidence level) yang dihubungkan dengan probabilitas p untuk sebuah pdf yang didefinisikan dengan akar
kuadrat produk dari dua distribusi χ2
. 3. Sudut Fase Cross Wavelet
Dalam fase berbeda antara komponen dari dua deret waktu, diperlukan perkiraan rata-rata dan selang kepercayaan dari fase yang berbeda tersebut. Untuk menghitung hubungan fase digunakan rata-rata melingkar (circular mean) dengan fase lebih besar dari 5% secara signifikan statistik yang berada di luar daerah COI. Rata-rata circular dari sekumpulan sudut (ai,
i=1,...n) didefinisikan sebagai;
…(12)
Tidak mudah untuk menghitung selang kepercayaan dari rata-rata sudut secara akurat dikarenakan fase sudut tidak independen. Jumlah dari sudut yang dipergunakan dalam perhitungan dapat ditentukan berubah-ubah dengan menambah skala resolusi. Bagaimanapun sangat menarik untuk mengetahui hamburan dari sudut disekitar rata-rata. Untuk itu didefinisikan simpangan baku melingkar (circular) sebagai :
S
…………...(13)dimana
Simpangan baku melingkar dianalogkan dengan simpangan baku linier yang bervariasi dari nol sampai tak terhingga. Ini memberikan hasil yang sama terhadap simpangan baku ketika sudut terdistribusi mendekati sekitar rata-rata sudut. Dalam beberapa kasus boleh jadi alasan untuk
menghitung fase sudut rata-rata untuk setiap skala dan kemudian fase sudut dapat dihitung sebagai jumlah dari tahun.
4. Wavelet Transform Coherence (WTC)
Pada umumnya koherensi Fourier digunakan untuk mengidentifikasi pita frekuensi dimana dua deret waktu saling berhubungan, satu deret data akan mengembangkan sebuah koherensi wavelet yang dapat mengidentifikasi baik pita frekuensi dan interval waktu dimana deret waktu tersebut dipengaruhi. Dalam analisis Fourier, terlebih dahulu dilakukan penghalusan (smoothing) spektrum sebelum melakukan perhitungan koherensi.
Jika terdapat dua seri waktu X dan Y, dimana transformasi wavelet WnX (s) dan WnY (s) dimana n adalah indeks waktu dan s adalah skala, maka
spektrum cross wavelet didefinisikan sebagai :
………...(14) Tanda * menandakan kompleks konjugat. Spektrum cross-wavelet secara akurat mengdekomposisi spektra Fourier dan spektra kuadratik ke dalam ruang skala waktu.
Koherensi wavelet kuadrat (wavelet squared coherency),
didefinisikan sebagai nilai absolut dari cross wavelet yang telah dihaluskan kemudian dinormalisasi dengan power spectra wavelet yang juga telah dihaluskan.
……….…(15)
S menyatakan penghalusan (smoothing) baik waktu maupun skala, dan . Didalam perhitungan baik bagian real maupun imajiner dari spektrum cross wavelet dihaluskan secara terpisah sebelum mendapatkan nilai absolute, dimana angka penyebutnya adalah power spectra wavelet (setelah dikuadrat) yang telah dihaluskan. Faktor s-1 digunakan untuk mengkonversi menjadi sebuah densitas energi. Transformasi wavelet
mempunyai variansi yang kekal maka koherensi wavelet adalah sebuah presentasi yang akurat dari normalisasi kovarian antara dua deret waktu. Beda fase koherensi wavelet dinyatakan dengan :
...(16)
Bagian real yang telah dihaluskan ( ) dan bagian ( ) imajiner telah dihitung sebelumnya dengan menggunakan persamaan 15. Baik Rn2(s)
maupun adalah fungsi dari indeks waktu n dan skala .
Proses penghalusan yang telah dilakukan dengan persamaan (15) dan (16) menggunakan weighted running average atau konvolusi baik dalam arah waktu maupun skala. Dapat dikatakan bahwa koherensi Fourier hanya bergantung kepada perubahan fungsi penghalusan demikian juga yang dilakukan terhadap koherensi wavelet. Meskipun demikian lebar dari fungsi wavelet Morlet baik dalam ruang waktu maupun Fourier menghasilkan sebuah lebar alami dari fungsi penghalusan. Penghalusan dari waktu mempergunakan sebuah filter yang diberikan oleh nilai absolut dari fungsi wavelet pada setiap skalanya, normalisasi untuk mendapatkan sebuah bobot total dari suatu kesatuan. Untuk wavelet Morlet berbentuk Gaussian dengan . Skala penghalusan dilakukan menggunakan filter boxcar dengan
lebar δjo panjang skala dekorelasi. Untuk wavelet Morlet dipergunakan
δjo=0.60 (TC98). Dengan mempergunakan filter yang berbeda-beda lebar
dan jenisnya menghasilkan suatu koherensi yang lebih halus atau koherensi derau yang lebih kecil dimana masih memberikan hasil kualitatif yang sama. Filter-filter di atas adalah kesepakatan terbaik sebagaimana filter tersebut menyediakan jumlah minimal dari kebutuhan penghalusan termasuk didalamnya dua titik independen baik dalam dimensi waktu dan skala. 5. Cone of Influence (COI)
Panjang deret waktu terbatas, kesalahan (error) akan muncul di awal dan akhir dari spektrum power wavelet, seperti pada transformasi Fourier.
nol sebelum melakukan transformasi wavelet dan kemudian menghilangkannya. Metoda lain dengan damping cosius (Meyers et al. 1993). Dalam studi ini, deret waktu di pad (padding) dengan nol secukupnya sehingga panjang total N memenuhi pangkat dua yang berikutnya, untuk menghilangkan efek tepi (ujung) dan mempercepat transformasi Fouriernya.
Padding dengan nol menimbulkan diskontinuitas dititik akhir sehingga bila skala diperbesar akan menurunkan amplitudo didekat ujung dengan semakin banyaknya nol ikut dalam analisis. COI merupakan wilayah dari spektrum wavelet yang mana pengaruh tepi menjadi suatu yang penting dan disini didefinisikan sebagai e-folding-time dipilih sehingga power wavelet untuk suatu diskontinuitas di ujung menurun dengan faktor e-2 dan memastikan bahwa efek tepi dapat diabaikan dalam titik ini. Untuk series yang siklus (misalnya sebuah strip longitudinal pada lintang yang tetap), tidak diperlukan padding dengan nol dan di lokasi tersebut tidak ada COI.
Ukuran COI untuk tiap skala juga dapat menjadi ukuran dari decorelasi waktu untuk sebuah spike tunggal di dalam time series. Dengan membandingkan lebar suatu peak dalam spectrum wavelet terhadap dekorelasi waktu ini dapat dibedakan antara suatu spike pada data (kemungkinan derau acak) dan sebuah komponen harmonik pada frekuensi Fourier ekuivalennya.
Data curah hujan diolah dengan menggunakan perangkat lunak ferret untuk selanjutnya dilakukan analisis deret waktu untuk mengetahui periodesitas domiman.
Data angin diolah untuk menganalisis arah dan kecepatannya. Data komponen angin zonal dan meridional dirata-ratakan setiap bulannya dengan menggunakan perangkat lunak ferret kemudian ditampilkan dalam bentuk gambar arah dan kecepatan.