Class 1 excitability with applied AC current
4.2 Analisis Sistem Dinamik Propagasi Saraf Saraf
nilai arus yang lebih tinggi dengan pita frekuensi eksitasi yang lebih sempit (spesifik).17
Agar lebih memahami fenomena ini, pada tiap tipe 1 dan 2 diperlakukan suatu variasi nilai ω. Nilai ω menunjukkan besar kecilnya frekuensi arus listrik masukan AC pada saraf. Nilai variasi ω dapat dilihat pada Gambar 26.
Gambar 26. Variasi nilai ω terhadap bentuk propagasi saraf
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 26., pada propagasi tipe 1, semakin besar nilai ω, perubahan frekuensi spike tidak terlalu besar namun terdapat perubahan fase propagasi menuju stabil. Sedangkan pada tipe 2, perubahan nilai ω yang semakin besar, sangat terlihat perubahan yang signifikan. Pada nilai ω=0.016, tipe 2 melakukan
burst, saat nilainya dinaikan menjadi
0.056, propagasi burst menghilang dan menjadi suatu tonic spiking. Saat nilai ω dinaikan lagi menjadi 0.106, peristiwa
burst kembali muncul dan saat ω
bernilai 0.206 propagasi kembali stabil (regular spiking).
Dapat disimpulkan bahwa pada tipe 1, kenaikan nilai ω cenderung tidak mengubah bentuk propagasi saraf (neural
properties) hanya mengubah keteraturan
propagasi saraf dilihat dari fase propagasi tiap eksitasi (spike) hingga mencapai kestabilan. Sedangkan pada tipe 2, perubahan (kenaikan) nilai ω dapat mengubah bentuk propagasi saraf baik itu berupa spike atau burst secara berulang.
4.2 Analisis Sistem Dinamik Propagasi Saraf
Langkah terakhir dari analisis kualitatif suatu sistem dinamik adalah analisis bifurkasi. Suatu sistem dinamik dikatakan mengalami bifurkasi alamiah ketika ruang fasenya memiliki karakteristik perubahan secara kualitatif.3 Perubahan secara kualitatif adalah perubahan karakteristik sistem dinamik saat ada atau tidak ada dalam keadaan dinamik. Suatu sel saraf berada pada keadaan ada atau tidak dinamik bergantung pada kondisi awal dan parameter alamiah yang berkaitan dengan saraf tersebut. Dalam hal ini yang paling terlihat jelas adalah parameter potensial membran.
Bifurkasi merupakan proses perubahan titik keseimbangan (equilibrium) baik jenis maupun jumlah akibat adanya perubahan parameter yang terkandung pada suatu persamaan.7 Dalam hal ini parameter dan persamaan yang dimaksud terangkum dalam sutau model saraf. Model yang digunakan adalah model ML dengan parameter
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 omega 0.011 0.051 0.101 0.201 Class 1 Excitability 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 omega 0.016 0.056 0.106 0.206 Class 2 Excitability ω
ω
(a)
(b)
utama potensial membran V dan parameter pemulihan W. Analisis sistem dinamik ini meliputi pencarian titik nol (keseimbangan) dan analisis nilai dan vektor eigen untuk mengtahui karakteristik dinamik dan bifurkasi pada model.
4.2.1 Analisis linier lokal, nilai eigen dan diagram fase
Dengan meninjau kembali persamaan (30) dan (31), pada keadaan keseimbangan, nilai dV/dt dan dW/dt bernilai nol. Dengan memisalkan ruas kanan pada kedua persamaan adalah
f(v,w) dan g(v,w) maka persamaan (30)
dan (31) menjadi.
N
NX = @( , !) = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (39) N
NX = @( , !) = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (40)
Persamaan ini digunakan untuk mencari grafik garis nol (nullclines), dan nilai akar persamaan.
Selanjutnya menganalisis sistem dinamik PDB ,untuk mencari grafik garis nol dan akar-akarnya. Dengan membuat fungsi f(v,w) dan g(v,w) pada keadaan keseimbangan maka akan menjadi.
− ∞( )( − ) − !( − )
− "( − ") + $ %%
= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (41)
!∞( ) − !
'(( ) = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (42)
ruas kiri pada masing-masing persamaan dimodifikasi sehingga hanya mengandung parameter w saja sehingga persamaan (41) dan (42) menjadi.
!( ) = (− _ G _∞ ( )( − _ G ) − _W ( − _W ) + $_Gxx)/( _w ( − _w ) ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (43)
!( ) = !∞( ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (44)
Persamaan (43) merupakan grafik garis nol (nullcline) saat nilai dV/dt=0
sedangkan persamaan persamaan (44)
merupakan grafik garis nol umtuk
dW/dt=0.
Dengan melakukan simulasi menggunakan MATLAB, didapatkan grafik garis nol untuk kedua tipe propagasi 1 dan 2 dengan nilai parameter yang sama dengan simulasi sebelumnya
(Iapp = tetap). Gambar 27., menampilan
nulclines dengan limit cycle untuk kedua
tipe.
Gambar 27. Diagram fase (a) tipe 1 dan (b) tipe 2 dengan Iapptetap.
Untuk memahami makna kualitatif dari diagram fase tersebut, langkah selanjutnya yang dilakukan adalah mencari nilai eigen untuk menentukan jenis titik kritis (keseimbangan) pada sistem.
Untuk mencari nilai eigen tersebut, maka harus dibangun suatu matrik karaktersitik yang disebut matriks jacobian (J). Dengan memasukan persamaan (30) dan (31) kedalam matriks, maka akan didapatkan,
• = € Q@(b, T) Qb Q@(b, T)QT Q (b, T) Qb Q (b, T)QT • ∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (45) 0 200 400 600 800 1000 1200 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) V ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 time (ms) W ( m V ) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 membrane potential V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Phase portrait of Class 1 Excitability W nulcline V nulcline Limit cycle equilibrium 0 200 400 600 800 1000 1200 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) V ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 time (ms) W ( m V ) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 membrane Voltage V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Phase portrait of Class 2 Excitability
V nulcline W nulcline
Limit cycle
@( , !) = (− _ G _∞ ( )( − _ G ) − _w !( − _w ) − _W ( − _W ) + $_Gxx)/ ∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (46) ( , !) =!∞( ) − ! '(( ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (47)
Dengan memasukan nilai parameter untuk tipe 1 adalah C=20 µF/cm2, gK=8
ms/cm2, gl=2 ms/cm2gCa=4 ms/cm2 ,
To=1/15 s-1, VCa= 120 mV, VK=-80 mV,
Vl= -60 mV, V1=-1.2 mV, V2=18 mV, V4
=17.4 mV , V3=12 mV. danIapp= 50 µA.
hasil penurunan matriks dengan MATLAB didapatkan matriks (48) untuk tipe 1 dan matriks (49) untuk tipe 2 dengan nilai nilai Iapp=55 µA. dan V3=2 mV. ‚ = ƒ „ „ … † ‡ˆ‰Š8 ‹Œ•ŽŒ•9Œ • ‘ ’Œ‘“(”’./H) /H − • –8Œ•‹—Œ•Œ9 .H −/˜™ −.™ /”™ − 32 (™ š –8 •‹ Œ›œ’Œ••‘9ž • –ž•‹•›Ÿ ••‘••’Œ•¡— •Œ¢¢ .£3 − cosh (.£3™” −.H/¤)(• –8•‹•›’•••‘9• ™// −™//. ) −¥ š–8Œ›œ•‹’Œ••‘9 .™ ¦ § § ¨ ∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (48) ‚ = ƒ „ „ … † ‡ˆ‰Š8 ‹Œ•ŽŒ•9Œ • ‘ ’Œ‘“(”’./H) /H − • –8Œ•‹—Œ•Œ9 .H −/˜™ −.™ /”™ − 32 (™ š –8 •‹ Œ›œ’•›•9ž • –ž•‹•›ŸŒ••› • ’Œ•¡— •Œ¢¢ .£3 − cosh (.£3™” −©£™)(• –8•‹•›’Œ••›9• ™// −™//. ) −¥ š–8Œ›œ•‹’•›•9 .™ ¦ § § ¨ ∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (49)
fungsi f(V,W) dan g(V,W) diberi masukan nilai V0 dan W0 yang dapat dicari dengan mengakarkan persamaan (41) dan (42).
Pada tipe 1 dan 2, nilai akar-akar nol nya adalah,
ªKxO 1: U!H
HV = 8−5.3757520.11949599
ªKxO 2: U!H
HV = 8−34.9683390.014074259
selanjutnyua pada masing-masing tipe disubstitusikan nilai V0 dan W0 pada V dan W sehingga matriks (48) dan (49) menjadi bernilai eksak.
•(ªKxO 1) = 80.4353 −29.84970.0009 −0.0752 9
• (ªKxO 2) = 8−0.0331 −18.01270.0002 −0.1080 9
Setelah didapatkan matriks jacobian, maka langkah terakhir adalah mencari nilai eigen λ pada masing-masing tipe. Hasil yang didapatkan dari simulasi MATLAB untuk nilai eigen pada tipe 1 dan 2 adalah,
ªKxO 1: UYY.
/V = 8 0.3751−0.01499
ªKxO 2: UY.
Y/V = 8−0.0705 + 0.0412K−0.0705 − 0.0412K9
dari hasil pencarian nilai eigen tersebut dapat disimpulkan bahwa titik kritis pada tipe 1 adalh titik saddle tidak stabil dengan ditandai oleh adanya nilai eigen yang betanda positif. Sedangkan nilai eigen pada tipe 2 adalah kompleks-konjugat dengan suku real memiliki tanda negatif adalah titik focus yang stabil
Titik kritis diatas didapatkan pada saat keadaan setimbang. Pada
Gambar 28. untuk diagram fase tipe 1, grafik W nulcline memotong grafik V
nulclins pada 3 titik. Semua titik adalah
tidak stabil. Titik kestabilan yang pertama ini merupakan tempat saat Iapp
tidak cukup untuk mengeksitasi saraf sehingga akan tetap disana. Saat Iapp
cukup untuk mengeksitasi, maka titik keseimbangan akan bergeser dan merubah sifat dinamiknya ke keadaan yang tidak stabil dan saraf mulai tereksitasi.
Gambar 28. Bifurkasi saddle-node pada tipe 1.
pergeseran titik ini merubah jenis titik kritis node menjadi saddle Perubahan jenis titik kritis dari node menjadi saddle inilah yang merupakan suatu bifurkasi dalam sistem dinamik. Dalam hal ini nilai eigen yang bertanda positif bergerak menuju nol dan menjadi negatif sehingga menjadi stabil. Jenis bifurkasi pada tipe 1 ini adalah bifurkasi
saddle-node18,19
Saat saraf memasuki keadaan eksitasi, limit cycle melewati salah satu titik kritis tidak stabil dan titik kritis tidak stabil lainnya berada di dalam nya. Sedangkan titik kritis yang stabil tidak dilewati atau berada di luar limit cycle. Jenis bifurkasi saddle-node ini adalah
saddle-node on invariant circle (SNIC) bifurcation (Gambar 29).
Gambar 29. Bifurkasi saddle-node on
invariant circle (SNIC)
Untuk tipe 2, memiliki jenis titik
focus yang dengan diagram bifurkasi nya
dapat dilihat pada Gambar 30. berikut.
Gambar 30. Bifurkasi Andronov-Hopf pada tipe 2.
Saat keadaan istirahat, tipe 2 memiliki jenis titik kritis focus stabil. Saat memasuki keadaan eksitasi, karena titik
focus adalah stabil, maka ketika ada
rangsangan yang cukup dari luar, saraf memulai eksitasi, jika belum cukup maka tidak akan terjadi eksitasi. Dalam hal dinamika saraf, ini berarti saraf akan mengalami eksitasi apabila ada perubahan arus terapan tertentu yang melewati nilai keadaan istirahat. Jika dilihat pada diagram bifurkasi, hanya ada 1 titik keseimbangan saja yaitu berada di dalam limit cycle.19 Oleh karena itu, daerah istirahat terletak di dalam limit
cycle.
Kedua sistem ini memiliki tipe bifurkasi yang berbeda. Tipe satu adalah jenis titik node yang berubah menjadi
saddle saat memasuki keadaan eksitasi.
Sedangkan tipe 2 adalah jenis titik focus dan tidak mengalami perubahan jenis titik kritis, namun titik kritis tersebut
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 membrane potential V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Biffurcation Diagram of Class 1
Rest State Excitation State
Periodic Limit Cycle Threshold
Node Unstable Equilibrium Saddle Unstable Equilibrium
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 membrane Voltage V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Biffurcation Diagram of Class 2
Periodic Limit Cycle
Excitation State
Excitation State
no equilibrium Rest State
kehilangan kestabilan sehingga terjadi
periodic spiking. Tipe bifurkasi pada tipe
2 ini adalah bifurkasi Andronov-Hopf,