BAB II LANDASAN TEOR
G. Bangun Ruang
1. Kubus dan Balok
a.Bagian-Bagian Kubus
1) Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut
Menururt Tasari J. Dris (2011:166) Hampir sama dengan
pengertian sisi pada bangun datar. Perbedaanya adalah pada
bangun datar sisi berupa garis, sedangkan pada bangun ruang
sisi yang dimaksudkan berupa bidang/bangun datar.
Perhatikan daerah yang diarsir pada gambar 2.15, yaitu
BCGF. Bidang BCGF merupakan salah satu sisi dari kubus
ABCD.EFGH.
Perhatikan bagian kubus
yang lain (Gambar 2.15) yaitu
garis AB. Garis AB merupakan
tempat pertemuan/perpotongan
sisi ABFE dan ABCD. Garis yang
demikian disebut rusuk.
rusuk Titik sudut A B C D E F H G Gambar 2.15 Unsur- unsur Kubus sisi
Perhatikan salah satu bagian kubus yang lain lagi (gambar
13), misalnya titik B merupakan tempat pertemuan rusuk AB,
BC, dan BF. Titik B disebut titik sudut kubus ABCD.EFGH.
2) Diagonal Sisi Kubus
Telah diketahui bahwa
sebelumnya bahwa sisi kubus
berbentuk pesergi. Jadi, ABFE
berbentuk persegi. Kita misalkan
panjang AB = a cm. Dengan
menggunakan dalil Pythagoras akan kita peroleh
√
3) Bidang Diagonal Kubus
Dari Gambar 2.17 di
samping, kita peroleh bahwa:
AB = rusuk kubus
BG = diagonal sisi kubus
Jadi, ABGH berbentuk
persegi panjang.
A B
C D
Gambar 2.16 Diagonal Sisi Kubus
A B C D E F H G Gambar 2.17 Bidang Diagonal Kubus
Kita misalkan AB = a cm, maka
BG = cm sehingga kita peroleh Luas persegi panjang ABGH=
Jadi, luas ABGH adalah . 4) Diagonal Ruang Kubus
Perhatikan Gambar 2.19 di atas.
Garis EC berada di dalam ruang kubus
ABCD.EFGH. Garis yang demikian
dinamakan diagonal ruang kubus. Jadi,
garis DF merupakan diagonal ruang
kubus ABCD.EFGH.
b. Bagian-bagian Balok
1) Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut
Perhatikan
daerah yang diarsir dari
balok ABCD.EFGH
pada gambar di atas,
yaitu bidang BCGF.
Bidang ini merupakan
salah satu sisi balok.
A B H G a cm cm Gambar 2.18 Luas Bidang Diagonal Kubus Sisi Balok A B C D E F H G Titik sudut rusuk Gambar 2.20 Bagian-bagian Balok A B C D E F H G Gambar 2.19 Diagonal Ruang Kubus
Perhatikan garis EF pada gambar di atas. Garis GH
merupakan salah satu rusuk balok ABCD.EFGH. Pada balok
tersebut terdapat tiga pasang rusuk yang sejajar, yaitu:
a. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ b. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ c. 2) Diagonal Sisi Balok
Sama seperti
kubus, balok juga
mempunyai diagonal
sisi. Namun panjang
diagonal sisi pada balok
tidak semuanya sama
panjang. Perhatikan
Gambar 2.21. Garis BE, BG, dan EG merupakan diagonal sisi
balok ABCD.EFGH.
Kita misalkan panjang balok (AB) = p, lebar balok
(BC) = l, dan tinggi (CG) = t. Dari Gambar 2.21 di atas, kita
peroleh A B F E p t A B C D E F H G Diagonal sisi Diagonal sisi Diagonal sisi p l t
Gambar 2.21 Diagonal Sisi Balok
√
3) Bidang diagonal Balok
Pada Gambar 2.22
terlihat daerah yang diarsir,
yaitu ACGE dibatasi oleh dua
diagonal sisi ( ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅) dan dua rusuk ( ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅). Bidang
ACGE merupakan bidang
diagonal balok ABCD.EFGH.
Bidang ACGE berbentuk
persegi panjang seperti pada
Gambar 2.23, sehingga kita
peroleh:
Luas persegi panjang ACGE =
√ √ B C G F l t E F G H p l √ √ A B C D E F H G Gambar 2.22 Bidang Diagonal Balok A C G E √ Gambar 2.23 LuasBidang Diagonal Balok
4) Diagonal Ruang Balok
̅̅̅̅ berada di dalam balok
ABCD.EFGH. ̅̅̅̅ dinamakan
diagonal ruang balok.
̅̅̅̅ merupakan diagonal bidang diagonal ACGE. Dengan
menggunakan dalil Pythagoras,
dapat diperoleh
̅̅̅̅ merupakan diagonal sisi balok dengan panjang
√ , maka
√ √
c. Jaring-jaring Kubus dan Balok
i. Jaring-Jaring Kubus A B C D E F H G
Gambar 2.24 Diagonal Ruang Balok A B C D E F H G A E H D H G C B F E H G E F
ii. Jaring-jaring Balok
d. Luas Permukaan Kubus dan Balok
Luas permukaan kubus merupakan jumlah luas keenam persegi
tersebut. Jika kita misalkan panjang rusuk kubus adalah s cm, maka
Luas permukaan kubus
Sedangkan jaring-jaring balok juga terdiri atas 6 persegi
panjang. Jadi, luas permukaan balok dapat dicari dengan
menjumlahkan luas keenam persegi panjang tersebut.
Jika kita misalkan p = panjang balok, l = lebar balok, dan t =
tinggi balok, maka
Luas permukaan balok =
A B C D E F H G A E H D H G C B F E H G E F
Luas permukaan balok = e. Volume Kubus dan Balok
i. Volume Kubus
Untuk mencari volume kubus kita dapat menggunakan kubus
satuan, yaitu dengan panjang rusuk 1 cm. Sehingga volume kubus
satuan sebesar 1 .
Dengan V = volume kubus;
s = panjang rusuk kubus.
ii. Volume Balok
Untuk mencari volume balok dapat digunakan kubus satuan
yang dipakai untuk mencari volume kubus. Tedapat balok yang
tersusun atas 12 kubus satuan sehingga volume balok tersebut
adalah . Balok tersebut dapat diuraikan sebagai berikut, panjang balok terdiri dari 6 kubus satuan, panjang balok 6 cm. Lalu
lebar balok terdiri atas 2 kubus satuan, sehingga lebar balok 2 cm.
Tinggi balok terdiri atas 1 kubus satuan, sehingga tingga balok 1
cm. Diperoleh hubungan sebagai berikut :
Sehingga volume balok:
Dengan p = panjang, l = lebar, t = tinggi, dan V = volume
2. Limas dan Prisma Tegak
1. Bagian-Bagian Limas dan
Prisma Tegak.
i. Bagian-Bagian Limas
Perhatikan limas segi
empat T.ABCD di
samping ini. T adalah titik puncak limas. Bidang ABCD adalah
bidang alas. Jarak T ke titik perpotongan diagonal bidang alas
ABCD disebut tinggi limas. Segitiga-segitiga TAB, TBC, TCD,
dan TDA disebut sisi-sisi tegak, sedangkan ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, dan
̅̅̅̅ adalah rusuk-rusuk tegak limas. TAC dan TBD adalah
bidang-bidang diagonal. Diagonal sisi atau diagonal
bidangnya hanya terdapat pada sisi alas, yaitu AC dan BD.
Dengan demikian, limas adalah bangun ruang yang dibatasi
oleh sebuah sisi alas dan sisi-sisi tegak yang berupa segitita
yang satu titik sudutnya dari sisi-sisi tegak tersebut saling
bertemu.
Nama limas diberikan sesuai dengan alasnya. Jika alasnya
berupa segi-n maka limas tersbut merupakan limas segi-n. Jika
panjang rusuk alas segi-n sama panjang, maka limas tersebut
merupakan limas segi-n beraturan.
A B D O T C Gambar 2.27 Limas
ii. Bagian-Bagian Prisma Tegak
Gambar prisma di samping ini
merupakan prisma segitiga ABC.DEF.
sisi ABC dan DEF kongruen dan
sejajar. Dari kedua sisi tersebut
kemudian ditarik garis lurus yang
menghubungkan titik sudut yang
bersesuaian.
Permberian nama suatu prima berdasarkan bentuk sisi alas
atau sisi atas. Pada prisma di atas, sisi alas dan sisi atas prisma
bebentuk segitiga sehingga prisma merupakan prisma segitiga.
iii.Jaring-Jaring Limas dan Prisma Tegak
2. Besaran-Besaran pada Limas dan Prisma Tegak
i. Luas Permukaan Limas
Luas permukaan limas = luas alas + luas semua sisi
tegak. B A B C B E F D E E A B C D E F Gambar 2.28 Prisma Tegak T C T A B T Gambar 2.29 Jaring-jaring Limas alas Segitiga
Gambar 2.30 Jaring-Jaring Prisma Tegak alas Segitiga
ii. Luas Permukaan Prisma Tegak.
Luas permukaan prisma = luas sisi alas + luas sisi atas +
luas selubung (sis-sisi tegak)
= (luas sisi atas) + luas selubung
Luas selubung = ABt + BCt + ACt
=(AB + BC + AC) t
= (keliling alas) t
Luas permukaan prisma = 2 (luas bidang alas) + luas
selubung
= (2 luas alas)+(keliling alas
tinggi)
iii.Volume Limas
Volume Limas = volume kubus
Karena = dan , maka Dengan V = volume limas;
= luas alas limas; = sisi;
iv. Volume Prisma Tegak
Untuk menghitung volume prisma tegak
menggunakan sebuah balok
ABCD.EFGH yang
dipotong sepanjang diagonal
sisi ̅̅̅̅ secara tegak lururs ke bawah. Sehingga didapat
dua buah bangun ruang yang
kongruen dengan alas segitiga yaitu prisma segitiga
BAD.FEH dan BCD.FGH.
Volume prisma =
Dengan demikian, volume prisma ditulis
Dengan V : volume prsima;
: luas alas prsima;
t = tinggi prisma.