BAB II LANDASAN TEOR
F. Lingkaran
1. Lingkaran dan Bagian-bagiannya.
Menurut Tasari J. Dris (2011,124) lingkaran
adalah kedudukan titik-titk sebidang yang
berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik
tertentu tersebut disebut titik pusat lingkaran.Pada
gambar 2.1 lingkaran mempunyai beberapa
bagian, seperti :
a. ̅̅̅̅ adalah diameter lingkaran, b. ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ adalah jari-jari, c. ̅̅̅̅ adalah tali busur,
d. Bidang a adalah juring,dan
e. Bidang b adalah tembereng.
Kurva lengkung ̂, ̂, dan ̂merupakan busur lingkaran.
̅̅̅̅ yang tegak lurus tali busur BC adalah apotema. Apotema
merupakan garis tegak lurus yang menghubungkan titik pusat
lingkaran dengan tali busur lingkaran.
Panjang diameter dilambangkan dengan d, sedangkan panjang
jari-jari dilambangkan dengan r. Hubungan antara diameter dan jari-
jari adalah sebagai berikut.
atau
Jadi dapat didefiniskan diameter sebagai ruas garis yang
menghubungkan 2 titik pada lingkaran yang melalui titik pusat.
a P A O C B b Gambar 2.1 Lingkaran dan bagian-
Sedangkan, jari-jarimenurut ST. Negoro dan B. Harahap (1982:202)
adalah semua ruas garis antara pusat dan sembarang titik pada
lingkaran.
2. Besaran-Besaran pada Lingkaran
a. Keliling Lingkaran
Keliling lingkaran adalah panjang lintasan yang melintasi
garis lengkung lingkaran dan panjangnya bergantung pada jari-
jari lingkaran. Keliling lingkaran . Karena jadi : Keliling lingkaran
Jadi keliling lingkaran
b. Luas Daerah Lingkaran
Karena , maka luas daerah lingkaran menjadi:
( )
Jadi, luas daerah lingkaran dengan r = jari-jari, d =
c. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
1) Pengertian Sudut Pusat
Sudut yang terbentuk oleh dua buah ruas garis jari-jari
lingkaran yang menghadap busur yang kecil
dan terletak pada pusat lingkaran disebut
sudut pusat lingkaran.
Perhatikan Gambar 2.2 di samping yang menghadap busur ̂ yang kecil adalah sudut pusat lingkaran.
2) Hubungan Antara Sudut Pusat dengan Panjang Busur dan Luas
Juring
Perhatikan Gambar 2.3 di
samping ini. Setiap lingkaran
berlaku semakin besar sudut pusat
maka semakin besar panjang busur
dan semakin besar juga luas
juringnya. Sebaliknya, semakin
kecil sudut pusat maka semakin
kecil panjang busur dan semakin kecil juga luas juringnya.
3) Perhitungan Panjang Busur
Pada Gambar 2.4 adalah sudut pusat lingkaan. Besar sudut pusat AOB adalah (sudut siku-siku). Panjang busur dihadapan sudut pusat keliling. Karena satu putaran
A B O Gambar 2.2 Sudut Pusat O A B C D Gambar 2.3 Hubungan Antara Sudut Pusat dengan
Panjang Busur dan Luas Juring
besar sudutnya , maka panjang busur keliling lingkaran. Panjang busur
4) Perhitungan Luas Juring
Menurut ST. Negoro dan B.
Harahap (1982:204) juring
adalah daerah yang dibatasi oleh
dua jari-jari dan satu busur pada
suatu lingkaran. Pada Gambar
2.5 luas juring AOB = luas
daerah lingkaran.
Luas juring AOB = luas lingkaran
Jika besar sudut pusat AOE = maka luas juring AOE sama dengan
luas lingkaran. Secara umum dapat ditulis
sebagai berikut.
Luas juring AOE =
O B D C E A Gambar 2.4 Panjang Busur B D C E A O
5) Perhitungan Luas Tembereng.
Menurut ST. Negoro dan B.
Harahap (1982:514) tembereng
adalah daerah yang dibatasi oleh
sebuah tali busur dan busur pada
sebuah lingkaran. Pada Gambar 2.6
di samping, daerah yang diarsir merupakan tembereng.
Luas tembereng = Luas juring AOB– Luas 6) Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring
Perhatikan Gambar 2.7 , maka di
dapat
7) Hubungan Sudut Pusat dan Sudut
Keliling
Pada Gambar 2.8 di samping
adalah sudut pusat lingkaran dan adalah sudut keliling lingkaran.
Sudut pusat = 2 sudut keliling
atau sudut keliling = sudut pusat.
B A O Gambar 2.6 Luas Tembereng A C D B O Gambar 2.7 Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas
C
A B
O
Gambar 2.8 Hubungan Sudut Pusat dan Sudut
8) Sifat-Sifat Sudut Keliling
a) Sudut Keliling yang Menghadap
Diameter Lingkaran.
Pada Gambar 2.9, AC adalah
diameter lingkaran dengan titik O
pusat lingkaran. Besar sudut AOC =
(sudut lurus). adalah sudut keliling yang menghadap
diameter AC.
Besar sudut keliling yang menghadap diameter adalah
siku-siku (
b) Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama
Pada Gambar 2.10, adalah sudut keliling dan adalah sudut pusat yang menghadap busur sama
yaitu busur ̂. Sehingga berlaku
. Selain itu, pada gambar tersebut terlihat pula merupakan sudut keliling dimana
dan adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur ̂. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.
A B C O Gambar 2.9 Sudut Keliling Yang Menghadap Diameter Lingkaran A B C O Gambar 2.10 Sudut- sudut Keliling yang Menghadap Busur
yang Sama D
3. Panjang Garis Singgung.
1) Cara menghitung Panjang Garis
Singgung dari Sebuah Titik di
Luar Lingkaran.
Terbentuk segitiga siku-siku
OBA yang siku-siku di B
berdasarkan sifat garis singgung.
Dengan menggunakan dalil
Pythagoras, panjang AB dapat
ditentukan.
atau
√
Dengan j : panjang garis singgung
: jarak pusat lingkaran O ke titik A
: jari-jari lingkaran.
2) Cara Menghitung Garis Singgung Persekutuan Dua
Lingkaran.
a) Garis Singgung Persekutuan Luar
Jarak antara dua titik singgung diperoleh dengan
menggunakan dalil Pythagoras sebagai berikut.
Perhatikan pada gambar di atas.
, dan , maka A j A r d B O Gambar 2.11 Menghitung Panjang
Garis Singgung dari Sebuah Titik di Luar
√
Jika jarak antara kedua pusat lingkaran d, jari-jari
lingkaran M adalah R dan jari-jari lingkaran N adalah r,
maka:
√ , dengan R >r
Dengan j = panjang
garis singgung persekutuan
luar.
b) Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran
Pada Gambar 2.13, garis
k menyinggung lingkaran P
di titik A dan lingkaran Q di
titik B. Sehingga AB adalah
garis singgung lingkaran P
dan Q. Lalu ̅̅̅̅ adalah jarak pusat kedua lingkaran
tersebut.
Pada berlaku dalil Pythagoras.
Karena , maka Gambar 2.13 Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran d B O R j A P C k r Q B k A C R M A N B r jA d N
Gambar 2.12 Garis Singgung Persekutuan Luar
Jika jarak kedua pusat lingkaran j, jari-jari
lingkaran P adalah R dan jari-jari lingkaran Q adalah
r, maka
√ , dengan R >r.
Dengan l = panjang garis singgung persekutuan
dalam.
3) Panjang Sabuk Lilitan
Jika kedua lingkaran
yang mempunyai jari-jari
sama secara berturut-turt
adalah R dan r, dan
lingkaran tersebut terdapat
dua garis singgung
persekutuan luar seperti pada Gambar 2.14. Maka panjang
garis singgung persekutuan luar lingkaran minimal adalah
AB+ CD+2 keliling lingkaran atau sama dengan 2 kali
panjang garis singgung persekutuan luar+keliling lingkaran.
Jadi dapat disimpulkan bahwa panjang sabuk yang dibutuhkan
untuk mengikat dua lingkaran yang berjari-jari sama adalah 2
kali panjang garis singgung persekutuan luar + keliling
lingkaran. Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk r = a maka
D A M C B N Gambar 2.14 Panjang Sabuk Lilitan
Panjang sabuk lilitan minimal =
Dengan a = jari-jari lingkaran 1 (R) atau jari-jari
lingkaran 2 (r), dengan R = r.
