HIMPUNAN BILANGAN AN
3. Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan
Jika R: A→B adalah relasi dari A ke B. n(a) = 3, dan n(B) = 2 maka banyaknya relasi R tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Misalkan A = {1,3,5} maka n(A) = 3, B = {a,b} maka n(B) = 2
AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(AxB) = 6 = 3x2. Jika R1 = {(1,a)} jelas R1 (AxB) dan R1 relasi dari A ke B. Jika R2 = {(1,a).(2,b)} jelas R2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B. jika R0 = {} jelas R0 (AxB) dan R0 bukan relasi dari ke B.
Jika R6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R6 (AxB) dan R6 relasi dari A ke B. Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa:
1. Jika R relasi dari A ke B maka R (AxB)
2. Jika R (AxB) dan R≠ maka R relasi dari A ke B
Kita tahu bahwa n(AxB) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota himpunan kuasa = 26 = 23x2
Karena untuk R= maka R relasi dari A ke B maka banyaknya relasi R dari A ke B ada 26 -
1. Dengan demikian dapat kita katakan bahwa jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan
n(A) = 3, n(B) = 3 maka banyaknya relasi R sebanyak 23x2 - 1.
Secara umum dapat dikatakan bahwa:
Contoh 5.2
Diketahui R: M→N adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4 dan n(N)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut.
Penyelesaian: n(M)=4 dan n(N)=3. 5 4 3 2 1 0 2 4 6 8 Gambar 5.5
Jika R: A→B adalah relasi dari A ke B dan n(A) = k, n(B) =1
maka banyaknya relasi R = 2kxl-
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 41
Banyaknya relasi R ada = 24x3 - 1 = 4095.
4. Macam Relasi (a). Relasi Refleksif
Definisi 5.1
Dari definisi 5.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi refleksif jika dan hanya jika a A, dan (a,a) R.
Contoh 5.3
Diketahui R:A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga:
a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)1 b. R2 = 1(1,1),(3,3),(5,5))
c.R3= {(1,1),(1",3),(3,3),(5,3),(5,5)}
Apakah R1, R2, dan R3 relasi refleksif atau bukan? Penyelesaian:
a. R1 bukan relasi refleksif sebab 5 A tetapi (5,5) R1.
b. R2 relasi refleksif sebab ∀ a A maka (a,a) R1.
c. R3 relasi refleksif sebab ∀ a A maka (a,a) R1.
Contoh 5.4
Diketahui A = {x|x garis-garis sejajar dalam bidang datar} B = {x I x bangun-bangun segitiga dalam bidang datar}
Jika R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y" maka R relasi refleksif.
Jika R: B→B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi refleksif.
Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika ∀ a A, maka (a,a) R.
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 42
(b). Relasi Simetris Definisi 5.2
Dari definisi 5.2 dapat disimpulkan suatu realasi R di dalam himpunan A disebut bukan realsi simetris jika (a,b) R dan (b,a) R.
Contoh 5.5
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1,3,5} sedemikian sehingga:
R1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)} R2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)} R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
Apakah R1,R2,R3 relasi simetris atau bukan? Penyelesaian:
R1 bukan realsi simetris sebab (3,5) R1 tetapi (5,3) R1. R2 relasi simetris.
R3 relasi simetris.
Contoh 5.6
Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4.
Jika R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajary" maka R relasi simetris.
Jika R: B→B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi simetris.
(c). Relasi Transitif Definisi 5.3
Dari definisi 5.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R tetapi (a,c) R
Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi simetris jika
(a,b) R, maka berarti
(b,a) R.
Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R.
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 43
Contoh 5.7
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga:
a.R1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)} b.R2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)} c.R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
Apakah R1, R2, dan R3 relasi transitif atau bukan? Penyelesaian:
a. R1 bukan relasi transitif sebab
(3,1) R1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) R1. b. R2 relasi transitif sebab
(1,3) R2 dan (3,1) R2 maka (1,1) R2; (3,1) R2 dan (1,3) R2 maka (3,3) R2; (1,1) R2 dan (1,3) R2 maka (1,3) R2; (3,1) R2 dan (1,I) R2 maka (3,1) R2; (1,3) R2 dan (3,3) R2 maka (1,3) R2; c. R3 relasi transitif. Contoh 5.8
Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4.
Jika R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y" maka R relasi simetris.
Jika R: B→B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi simetris.
(d). Relasi Ekivalen Definisi 5.4
Misalkan R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut
relasi ekivalen jika berlaku
syarat:
a. Refleksif artinya ∀ a A, maka (a,a) R;
b. Simetris artinya jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R; dan c. Transitif artinya jika (a,b) R
dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R.
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 44
Contoh 5.9.
Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.
5. Relasi Ekivalen dan Partisi (a). Partisi Himpunan
Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh sebagai berikut. Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A1 = {1,2,3}, A2 = {4,5,6,7}, A3 = {8,9,10}.
Koleksi himpunan A = {A1,A2,A3} mempunyai dua sifat yaitu: 1. A1 A2 A3 = A
2. A1 A2 = , A1 A3 = , A2 A3 = .
Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A.
Contoh 5.10
Diketahui N={xl x bilangan asli}. N1={1,5,9,17,...}, N2={2,6,10,14,...}, N3={3,7,11,15,...), N4=(4,8,12,16,...). Apakah koleksi (N1,N2,N3,N4) partisi dari N.
Penyelesaian:
Koleksi {N1,N2,N3,N4} mempunyai sifat: 1. N1 N2 N3 N4 = N
2. N1 N2 = , N1 N3 = , N1 N4 = .
N2 N3 = , N2 N4 = , dan N3 N4 = .
Jadi koleksi {N1,N2,N3,N4} merupakan partisi dari N.
(b). Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen
Sebelum dibicarakan hubungan antara partisi dan relasi ekivalen, maka pada uraian berikut akan dibicarakan a kongruen b modulo m.
Definisi 5.5
Misalkan a dan b bilangan asli, m bilangan asli, maka dikatakan a kongruen b modulo m ditulis a ≅ b (mod. m) jika a-b = km dengan k bilangan bulat.
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 45 Contoh 5.11 Untuk m = 3, maka: 1 kongruen 4 modulo 3 ditulis 1≅ 4 (mod. 3) sebab 1-4 = -1(3); 4 kongruen 1 modulo 3 ditulis 4≅ 1 (mod. 3) sebab 4-1= 1(3); 5 kongruen 14 modulo 3 ditulis 5≅ 14 (mod. 3) sebab 5-4 = -3(3); 20 kongruen 2 modulo 3 ditulis 2≅ 2 (mod. 3) sebab 20-2 = 6(3);
2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2 7 (mod. 3) sebab 2-7 ≠ k(3) dengan k bilangan bulat.
Contoh 5.12
Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:N→N adalah relasi di dalam himpunan N yang didefinisikan dengan a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen.
Bukti:
1. ∀ a A maka a ≅ a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat refleksif). 2. Jika a ≅ b (mod.m) maka:
a-b = k(m) -b+a = k(m) b-a = -k(m)
Jadi, b ≅ a(mod.m) (simetris)
3. Jika a ≅ b (mod.m) dan b c (mod. m) maka: a-b = k1(m)
b-c = k2(m) a-c = (k1 + k2)(m) a-c = k(m)
Jadi a ≅ c (mod. m) (sifat transitif). Jadi R relasi ekivalen.
Contoh 5.13
Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam himpunan N yang didefinisikan dengan "a ≅ b (mod. 3)" dengan a,b N.
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 46
Penyelesaian:
Jika N1 = {x|x ≅ 1 (mod. 3)} maka N1 = {1,4,7,...},
Jika N2 = {x|x ≅ 2 (mod. 3)} maka N2 = {2,5,8,...},
Jika N3 = {x|x ≅ 3 (mod. 3)} maka N3 = {3,6,9,...},
Jika N4 = {x|x ≅ 4 (mod. 3)} maka N4 = {4,1,7,…},
Jika N5 = {x|x ≅ 5 (mod. 3)} maka N5 = {5,2,8,...},
Jika N6 = {x|x ≅ 6 (mod. 3)} maka N6 = {6,3,9,...}.
Ternyata N1 = N4 = N7 = … N2 = N5 = N8 = … N3 = N6 = N9 = …
Perhatikan koleksi (N1,N2,N3). Jelas bahwa: 1. N1 N2 N3 = N
2. N1 N2 = , N1 N3 = , N2 N3 = . Jadi N dipecah menjadi partisi.
Contoh 5.14
Diketahui N = himpunan bilangan asli. N1 = {1,3,5,7,...} dan N2 = {2,4,6,8,...}. R relasi di dalam himpunan N.
a. Apakah koleksi {N1,N2} partisi dari N?
b. Tentukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2}
Penyelesaian:
a. N1 N2= N dan N1 N2 = . Jadi koleksi {N1,N2} partisi dari N.
b. N1 = {1,3,5,7,…} = {x|x ≅ 1 (mod. 2)} N2 = (2,4,6.8,...) {x|x ≅ 2 (mod. 2)}
Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {NI,N2} adalah "a ≅ b (mod. 2)" dengan a,b N.
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 47
Dari contoh 5.13 dan 5.14 dapat disimpulkan:
1. Andaikan R suatu relasi dari A = {1,2,3,4} ke dalam B = {1,3,5} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x kurang dari y".
a. Carilah himpunan penyelesaian dari R. b. Nyatakan R di dalam diagram koordinat AxB.
2. Andaikan R suatu relasi dari E = {2,3,4,5} ke dalam F = {3,6,7,10} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x membagi y". Buatlah suatu sketsa dari R di dalam diagram koordinat ExF.
3. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak refleksif?
4. Jika S = {1,2,3,4} dan R = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)}. Apakah R refleksif? Mengapa? 5. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak simetris?
6. Jika V = {1,2,3,4} dan R = {(1,2),(3,4),(2,1), (3,3)}. Apakah R simetris? 7. Apakah suatu himpunan A di mana setiap relasi pada A simetris?
8. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan M disebut relasi ekivalen? 9. Berikan 3 contoh relasi ekivalen?
10. Jika R relasi di dalam himpunan N dengan N = himpunan bilangan asli dan relasi R didefinisikan dengan "a≅ b (mod. 4)". Tunjukkan bahwa R memecah himpunan N menjadi partisi.
11. Andaikan W = {1,2,3,4} dan R = {(2,2),(2,3),(1,4), (3,2)}. Apakah R transitif? Mengapa? 12. Andaikan E = {1,2,3}. Perhatikanlah relasi-relasi yang berikut pada E:
R1 = {(1,1),(2,1),(2,2), (3,2),(2,3)} R2 = {(1,1)}
R3 = {(1,2)}
R4 = {(1,1),(2,3),(3,2)} R5 = ExE.
Jika diketahui R relasi di dalam himpunan N dan:
I. Jika R relasi ekivalen maka himpunan N terpecah menjadi partisi;
2 Jika himpunan N dipecah menjadi partisi maka relasi R adalah relasi ekivalen.
Latihan 6
AN
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 48
Di antara relasi R1, R2, R3, R4,dan R5 manakah yang: a. relasi refleksif?
b. relasi simetris? c. relasi transitif? d. relasi ekivalen?
PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 49
1. Pengertian Fungsi
Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikanlah gambar 6.1 di samping.
Diagram panah pada gambar 6.1 menyatakan hubungan ukuran sepatunya dari himpunan A ke himpunan B dengan A = {Tono, Desi, Rano, Tini, Rosi} dan B = {37, 38, 39, 40} yang merupakan ukuran sepatu.
Setiap anak hanya mempunyai satu ukuran sepatu, sehingga dapat dikatakan setiap anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Relasi yang mempunyai sifat seperti ini disebut pemetaan atau fungsi.
dan (iii) adalah fungsi sebab setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B.
bukan fungsi sebab b A tidak dikawankan dengan satu anggota B.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan dengan:
Definisi 6.1
Perhatikan diagram panah dalam gambar 6.2.
bukan pemetaan sebab b A
dikawankan dengan 2 anggota B.
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu reiasi yang khusus, yaitu relasi di mana setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B.
FUNGSI
AN
Tono Desy Rano Tini Rosi 3 7 3 8 Ukuran sepatu P Q Gambar 5.2PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 50
Misalkan f adalah fungsi dari A ke dalam B, maka dapat ditulis f A→B dibaca "f adalah fungsi dari A ke dalam B". Himpunan A disebut daerah asal atau ranah atau domain dari fungsi f. Himpunan B disebut daerah kawan atau ko ranah atau co domain dari fungsi f. Jika x A maka bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan f(x) dan dibaca "fx". Jika f: x→y dengan x A dan y B maka y disebut bayangan dari x oleh fungsi dan dapat ditulis y = f(x).
Contoh 6.1
Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7}. f: A→B adalah fungsi dari A ke dalam B yang didefinisikan dengan f: x→(2x+1). Tentukan bayangan dari 1,2, dan 3 oleh fungsi f.
Penyelesaian:
Bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah f(1) = 2(1)+1=3 Bayangan dari 2 oleh fungsi f adalah f(2) = 2(2)+1=5 Bayangan dari 3 oleh fungsi f adalah f(3) = 2(3)+1=7
Secara umum bayangan dari a oleh fungsi f adalah f(a) = 2(a)+1.