BARISAN dan DERET FUNGSI
4.1 Barisan Fungsi
Untuk setiap bilangan asli k dibentuk fungsi fk : D ⊂ ℛ → ℛ. Oleh karena itu terbentuklah barisan fungsi (sequence of functions) {fk}. Mudah difahami bahwa untuk setiap x 𝜖 D diperoleh barisan bilangan real {fk(x)}. Berdasarkan kenyataan tersebut disusunlah pengertian ba-risan fungsi yang konvergen seperti di dalam definisi di bawah ini.
Definisi 4.1.1 : Diketahui fungsi fk : D ⊂ ℛ → ℛ untuk setiap bilangan asli k.
(i) Barisan fungsi {fk} dikatakan konvergen di suatu tituk x 𝜖 D jika barisan bilangan {fk(x)} konvergen
(ii) Barisan fungsi {fk} dikatakan konvergen pada D jika barisan fungsi itu konvergen di setiap titik x 𝜖 D.
Berdasarkan definisi tersebut dipeoleh teorema di bawah ini.
Teorema 4.1.2 :
(i) Barisan fungsi {fk} konvergen di titik x 𝜖 D jika dan hanya jika ada bilangan real f(x) sehingga untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 ada bilangan asli no= no(𝜀,x), no selain tergantung pada 𝜀 juga ter- gantung pada x, sehingga untuk setiap bilangan asli k ≥ no benar bahwa
| fk(x) – f(x) | < 𝜀 ( ditulis singkat dengan lim
𝑘→∞𝑓𝑘(x) = f(x) ).
(ii) Barisan fungsi {fk} konvergen pada D jika dan hanya jika ada fungsi f : D ⊂ ℛ → ℛ sehingga untuk setiap x 𝜖 D barisan bilangan {fk(x)} konvergen ke f(x), yaitu ada fungsi f : D ⊂ ℛ → ℛ sehingga untuk setiap x 𝜖 D dan bilangan 𝜀 > 0 ada bilangan asli no= no(𝜀,x) dan jika bilangan asli k ≥ n benar bahwa
| fk(x) – f(x) | < 𝜀 , ( ditulis singkat dengan lim
𝑘→∞𝑓𝑘(x) = f(x) ) untuk setiap x𝜖D).
Bukti : Bukti teorema tersebut cukup jelas karena berdasarkan
pengertian barisan bilangan yang konvergen ( {fk(x)} merupakan barisan bilangan )
Contoh :
1. Diketahui barisan fungsi {fk} dengan fk(x) = xk untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Untuk x = 1 diperoleh barisan bilangan {fk(1)} = {1} jelas konvegen ke bilangan f(1) = 1. Untuk x 𝜖 [0,1) diperoleh barisan bilangan {fk(x)}= {xk} ke bilangan f(x) = 0 karena 0 ≤ x < 1. Jadi dapat disimpulkan bahwa barisan fungsi {fk} tersebut konvergen ke fungsi f pada [0,1] dengan
f(x) = {1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 1 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝜖 [0,1)
2. Diketahui barisan fungsi fungsi {gk} dengan
gk(x) = {𝑘𝑡 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑥 <
1 𝑘
1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1
𝑘 ≤ 𝑥 ≤ 1
Karena untuk k → ∞ diperoleh fungsi g dengan rumus
Barisan dan deret
g(x) = lim
𝑘→∞𝑔𝑘(x) = {0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 < 𝑥 ≤ 1
maka dapat disimpulkan bahwa barisan fungsi {gk} konvergen ke fungsi g.
Menurut Teorema 4.1,2, barisan fungsi {fk} konvergen ke suatu fungsi f pada D ⊂ ℛ jika dan hanya jika di setiap x 𝜖 D barisan bilangan {fk(x)} konvergen kebilangan f(x). Dalam keadaan ini juga dikatakan barisan fungsi {fk} konvergen ke fungsi f titik demi titik (point wise) pada D. Memang, berdasarkan kenyataannya untuk sebarang bilangan x 𝜖 D dan sebarang bilangan 𝜀 > 0 dapat ditemukan bilangan asli no = no(x,𝜀) , bilangan asli no yang tergantung pada x dan 𝜀, sehingga setiap bilangan asli k ≥ no benar bahwa
| fk(x) – f(t) | < 𝜀 .
Ada barisan fungsi yang konvergen pada suatu daerah D sehingga bilangan asli bilangan asli no yang tekait dapat dipilih sehingga hanya tergantung pada bilangan 𝜀 saja. Jika halnya demikian barisan fungsi itu dikatakan konvergen seragam pada D.
Definisi 4.1.3 : ( Kekonvergenan seragam )
Diketahuifungsi fk : D ⊂ ℛ → ℛ untuk setiap bilangan asli k.
Barisan fungsi {fk} dikatakan konvergen seragam ( uniformly con-vergent ) ke fungsi f pada D ⊂ ℛ jika untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 ada ( dapat dipilih ) bilangan asli no , yang hanya tergantung pada 𝜀 saja, sehingga untuk setiap bialangan asli k > no benar bahwa
| fk(x) – f(t) | < 𝜀 untuk setiap x 𝜖 D .
Barisan dan deret
Contoh :
1. Jika untuk setiap bilangan asli k diketahui fk(x) = 𝑥𝑘
𝑘 untuk setiap x 𝜖 [0,1] akan diperlihatkan bahwa barisan fungsi {fk} konvergen sera- gam ke fungsi f pada [0,1] dengan f(x) = 0 untuk setiap x 𝝐 [0,1]
Diambil sebarang bilangan 𝜀 > 0. Akan akan ditunjukkan ada bi- langan asli no , yang tak bergantung pada x tetapi hanya bergan-
tung pada 𝜺 saja, sehingga setiap jika bilangan asli k ≥ no benar bahwa | fk(x) – f(x) | = | 𝑥 𝑘 𝑘 - 0 | = 𝑥 𝑘 𝑘 < 𝜀 atau xk < k.𝜀 . Karena x 𝜖 [0,1] diperoleh xk ≤ 1 < k.𝜀 atau k > 1 𝜀 . Jadi dengan mengambil bilangan asli no > 1
𝜀 , no tidak tergantung pada x 𝜖 [0,1] dan hanya tergantung pada bilangan 𝜀 saja diperoleh bahwa untuk setiap k ≥ no benar bahwa
| fk(x) – f(x) | = | 𝑥
𝑘
𝑘 - 0 | = 𝑥
𝑘
𝑘 < 𝜀
untuk setiap x 𝜖 [0,1] . Dengan kata lain terbukti bahwa fungsi {fk} konvergen seragam ke fungsi f pada [0,1].
6. Barisan fungsi {gk} dengan gk(x) = xk untuk setiap x 𝜖 [0,1] konver- gen tak seragam ke fungsi g pada [0,1] dengan g(x) = 0 untuk setiap x 𝜖 [0,1) dan g(1) = 1,sebab untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 tak dapat ditemukan bilangan asli no yang tak tergantung pada x 𝜖 [0,1] se- hingga jika bilangan asli k ≥ no benar bahwa
| gk(x) – g(x) | = | xk – 0 | = xk < 𝜀 . Terlihat bahwa : k ≥ no = no(𝜀,x) > xlog 𝜀. no di pilih bilangan asli pertama yang > xlog 𝜀.
Barisan dan deret
Ada pengertian kekonvergenan baru yang ekuivalen dengan pe-ngertian kekonvergenan seragam tersebut di atas, yaitu sebagai tertuang ke dalam definisi di bawah ini.
Definisi 4.1.4 : ( Kekonvergenan lokal )
Diketahui fungsi fk : D ⊂ ℛ → ℛ untuk setiap bilangan asli k.
(i) Barisan fungsi {fk} dikatakan konvergen lokal (locally convergent) ke fungsi f di titik t 𝜖 D ⊂ ℛ jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 = 𝛿(t, 𝜀) dan bilangan asli no =no(t, 𝜀) sehingga unuk setiap x 𝜖 D ⋂ (t-𝛿,t+𝛿) dan k > no benar bahwa | fk(x) – f(x) | < 𝜀.
(ii) Barisan fungsi {fk} dikatakan konvergen local (locally convergent) ke fungsi f pada D ⊂ ℛ jika barisan fungsi {fk} konvergen local di setiap t 𝜖 D.
Teorema 4.1.5 : Barisan fungsi {fk} konvergen seragam ke fungsi f pada selang tertutup [a,b] jika dan hanya jika barisan itu konvergen local ke fungsi f pada [a,b].
Bukti : Syarat perlu : Karena barisan fungsi {fk} konvergen seragam ke fungsi f pada [a,b] maka untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga jika bilangan asli k > no dan x 𝜖 [a,b] ⋂ (t-𝛿,t+𝛿), untuk sebarang bilangan 𝛿 > 0, benar bahwa
| fk(x) – f(x) | < 𝜀.
Dengan kata lain terbukti bahwa barisan fungsi {fk} konvergen local ke fungsi f pada [a,b]. Syarat cukup : Barisan fungsi {fk} konvergen local (locally convergen ) ke fungsi f pada [a,b] jika dan hanya jika untuk
Barisan dan deret
setiap t 𝜖 [a,b] dan sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no = no(t,𝜀) dan bilangan 𝛿 = 𝛿(t,𝜀) > 0 sehingga untuk setiap bilangan asli k > no dan x 𝜖 [a,b] ⋂ (t-𝛿,t+𝛿) benar bahwa
| fk(x) – f(x) | < 𝜀.
Koleksi O ={ (t-𝛿,t+𝛿) : t 𝜖 [a,b] } merupakan liput terbuka selang tertutup dan terbatas [a,b]. Oleh karena itu terdapat liput bagian {(t1 -𝛿1,t1+𝛿1), (t2-𝛿2,t2+𝛿2), . . . , (tn-𝛿n,tn+𝛿n)} ⊂ O sehingga
[a,.b] ⊂ ⋃𝑛𝑖=1(ti-𝛿i,ti+𝛿i). Dipilih bilangan asli
No = maks{ no(ti,𝜀) ; i = 1,2, . . . . , n }.
Jika x 𝜖 [a,b] tentu ada bilangan asli s ( s = 1,2, . . . , n) sehingga x 𝜖 (ts -𝛿s,ts+𝛿s). Dengan mengambil bilangan asli k > no diperoleh
| fk(x) – f(x) | < 𝜀
dan dengan kata lain terbukti bahwa barisan fungsi {fk} konvergen seragam ke fungsi f pada [a,b]. ∎
Seperti pada barisan bilangan, pada barisan fungsi pun ada pe-ngertian barisan Cauchy, yaitu seperti tertuang ke dalam definisi di ba-wah ini.
Definisi 4,1.5 : Barisan fungsi {fk} yang terdefinisi pada suatu daerah D ⊂ ℛ disebut barisan Cauchy atau barisan fundamental pada D jika untuk setiap t 𝜖 D barisan bilangan {fk(t)} merupakan barisan Cauchy. Berdasarkan definisi tersebut dan dengan meggunakan Teorema
Barisan dan deret
2.1.11 mudah dibuktikan teorema di bawah ini.
Teorema 4.1.6 : Barisan fungsi {fk}konvergen pada suatu daerah D ⊂ ℛ jika dan hanya jika barisan itu merupalan barisan Cauchy pada daerah D tersebut.
Terkait dengan pengertian barisan fungsi yang konvergen atau ba-risan fungsi yang konvergen lokal pada suatu daerah D, ada pula pe-ngertian keseragaman barisan Cauchy.
Definisi 4.1.7 : Barisan Cauchy fungsi {fk} pada D dikatakan seragam jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no = no(𝜀) sehingga untuk setiap k,l ≥ no benar bahwa
| fk(x) – fl(x) | < 𝜀 untuk setiap x 𝜖 D atau
|| fk – fl || = sup{ | fk(x) – fl(x) | : x 𝜖 D } < 𝜀
Teorema 4.1.8 : Barisan fungsi {fk} merupakan barisan Cauchy se-ragam pada D jika dan hanya jika barisan itu konvrgen sese-ragam pada D.
Bukkti : Syarat perlu : Barisan fungsi {fk} merupakan barisan Cauchy seragam pada D jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terda-pat bilangan asli no = no(𝜀) sehingga untuk setiap k,l ≥ no benar bahwa || fk – fl || = sup{ | fk(x) – fl(x) | : x 𝜖 D } < 𝜀/2
Hal ini berarti untuk setiap x 𝜖 D barisan bilangan {fk(x)} merupakan barisan Cauchy dan oleh karena itu barisan bilangan itu konvergen, kata- kanlah ke bilangan f(x); jadi untuk setiap x 𝜖 D benar bahwa
lim
Barisan dan deret
f merupakan fungsi dari D ke ℛ. dan untuk setiap k > no benar bahwa || fk – f || = sup{ | fk(x) – f(x) | : x 𝜖 D } < 𝜀 .
Dengan kata lain barisan fungsi {fk} konvergen seragam ke fungsi f pada D.
Syarat cukup : Bukti trivial (cukup jelas). ∎
Teorema 4.1.9 : Jika barisan fungsi {fk} konvergen lokal ke fungsi f di titik t 𝜖 D dan fk kontinu di titik t untuk setiap k, maka fungsi f kontinu di t.
Bukti : Barisan fungsi {fk} konvergen lokal ke fungsi f di titik t ϵ D jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no = no(t,𝜀) dan bilangan 𝛿 =𝛿(𝑡, 𝜀) > 0 sehingga untuk setiap k > no dan x ϵ D ∩ (t - 𝛿,t + 𝛿) benar bahwa
(a) | fk(x) – f(x) | < 𝜀/3 .
Diambil k > no. Fungsi fk kontinu di t jika dan hanya jika untuk bilangan 𝜀 tersebut terdapat bilangan 𝛾 = 𝛾(𝑡, 𝜀) > 0 shingga untuk setiap x ϵ D ∩ (t - 𝛾,t + 𝛾) benar bahwa
(b) | fk(x) – fk (t) | < 𝜀/3 .
Berdasarkan (a), (b), dan dengan mengambil bilangan 𝜏 = min{ 𝛿, 𝛾) diperoleh untuk setiap x ϵ D ∩ (t - 𝜏,t + 𝜏) benar bahwa
| f(x) – f(t) | ≤ | f(x) – fk(x) | + | fk(x) – fk (t) | + | fk(t) – f(t) | < 𝜀/3 +
𝜀/3 + 𝜀/3 = 𝜀 .
Dengan kata lain terbukti bahwa fungsi f kontinu di t . ∎ Akibat langsung teorema di atas adalah sebagai berikut.
Barisan dan deret
seragam) ke fungsi f pada daerah D dan fk kontinu pada D untuk setiap k, maka fungsi f kontinu pada D.
Contoh :
7. (a) Contoh 5 menunjukkan bahwa barisan fungsi {fk} dengan fk(x) = 𝑥
𝑘
𝑘 konvergen seragam ke fungsi f dengan f(x) = 0 pada selang ter- tutup [0,1]. Karena fk kontinu pada [0,1] untuk setiap k maka, menu- rut. Teorema 4.1.8 dan Akibat 4.1.10 fungsi f kontinu pada [0,1]. (b) Contoh 6 menunjukkan bahwa barisan fungsi{gk} dengan gk(x) = 𝑥𝑘 konvergen ke fungsi g dengan g(x) = 0 untuk x 𝜖 [0,1) dan g(x) = 1 untuk x = 1. Meskipun gk kontinu pada [0,1] untuk setiap k .Diper- oleh g tak kontinu pada [0,1] ( g tak kontinu di 1 ) karena barisan fungsi gk} konvergen tak seragam ke fungsi g pada [0,1].