Tes kekonvergenan dan kedivergenan

Barisan bilangan komplex

Teorema 2.2.5 : Deret akan tetap konvergen atau tetap divergen jika

2.3 Tes kekonvergenan dan kedivergenan

Latihan 2.2

1. a. Jika diketahui deret ∑ ⁽⁻¹⁾

𝑘

𝑘(𝑘+1) ∞

𝑘=1 , tunjukkan suku ke-18, suku ke- 11, dan suku ke-n. Cari pula jumlah parsial n-suku pertama ! b. Jika diketahui deret 1 - ¹

2 + ¹

3 - ¹

4 + . . . . , an suku ke-n , dan Sn jumlah parsial n suku pertama, tentukan nilai-nilai an , Sn , dan Sn+1 - Sn !

2. Buktikan bahwa deret di dalam soal no.1(a) divergen dan deret di dalam soal no.1(b) konvergen !

3. Jumlah dua deret konvergen akan konvergen dan jumlah deret kon- vergen dan deret divergen akan divergen. Buktikan !

2.3 Tes kekonvergenan dan kedivergenan

Untuk menentukan apakah suatu deret (deret bilangan real)

kon-vergen atau dikon-vergen perlu adanya cara atau metoda yang disebut tes ke-konvergenan/kedivergenan. Akan dimulai dengan tes kekonvergenan untuk deret suku positif, yaitu deret yang suku-sukunya nonnegatif.

Teorema 2.3.1 : ( Tes Banding, Comparation Test )

Diketahuoi dua deret suku positif ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 dan ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘.

deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 konvergen .

(ii) Jika 0 𝑎_𝑘 ≤ 𝑏_𝑘 untuk setiap k dan deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 divergen maka deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen .

Barisan dan deret

Bukti : Namakan Sn = ∑^𝑛_𝑘=1𝑎_𝑘 dan 𝑆_𝑛′ = ∑^𝑛_𝑘=1𝑏_𝑘.

(i) Menurut yang diketahui diperoleh Sn≤ 𝑆_𝑛^′, barisan {Sn}dan{𝑆_𝑛^′} naik monoton, dan {𝑆_𝑛^′} konvergen (karena deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 konvergen). Oleh itu barisan {Sn} naik monoton terbatas ke atas : jadi {Sn} konvergen atau deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 konvergen.

(ii) Karena untuk setiap k diketahui 0 ak bk , Sn 𝑆_𝑛′ dan deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 ( barisan {Sn} divergen (naik monoton dan tak terbatas ke atas) maka deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘( barisan {𝑆_𝑛′}) naik monoton dan tak terbatas ke atas atau divergen .

Contoh :

1. Telah diketahui bahwa deret harmonik order-1 ∑ ¹

𝑘 ∞

𝑘=1 divergen. Barisan harmonik order-p ∑ ¹

𝑘𝑝

∞

𝑘=1 dengan 0 < p ≤ 1 divergen ka- rena, berdarkan Tes Banding (i), ¹

𝑘 ≤ ¹

𝑘𝑝 untuk setiap k. 2. Diketahui deret ∑ ¹

𝑘! ∞

𝑘=0 dengan suku ke-k adalah ak = ¹

𝑘! . Karena ak = ¹ 𝑘! < ¹ 2𝑘 = bk dan deret ∑^∞_𝑘=0𝑏_𝑘 = ∑ ¹ 2𝑘 ∞

𝑘=0 konvergen maka deret ∑ ¹

𝑘! ∞

𝑘=0 konvregen .

Teorema 2.3.2 : ( Tes Integral )

Diketahui deret suku positif ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘. Jika terdapat fungsi posittif f pada (0,∞) yang kontinu dan turun monoton sehingga f(n) = an untuk setap bilangan asli n, maka deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 dan integral tak sejati ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₁^∞ bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen.

Bukti : Menurut yang diketahui diperoleh luas daerah di atas selang

[n,n+1] di bawah kurva y = f(x) adalah ∫_𝑛^𝑛+1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 dan memenuhi ketidaksamaan

an+1 ≤ ∫_𝑛^𝑛+1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ an . Oleh karena itu dioperoleh

Sn+1 – a1 = ∑^𝑛+1_𝑘=1𝑎_𝑘+1 ≤ ∫₁^𝑛+1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∑^𝑛_𝑘=1𝑎_𝑘 = Sn

Barisan dnn deret

untuk setiap n. Berdasarkan ketidaksamaan terakhir tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa barisan jumlah parsial {Sn} ( deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 ) dan integral tak sejati ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₁^∞ bersama-sama konvergen atau bersa-masama divergen. ∎

Contoh :

1. Diselidiki deret harmonic order-p ∑ ¹

𝑛𝑝

∞

𝑛=1 konvergen atau divergen. Diambil fungsi positif pada (0,∞) yang kontinu dan turun monoton f dengan f(x) = ¹

𝑥𝑝 . Cukup jelas bahwa f(n) = an = ¹

𝑛𝑝 untuk setiap bi- langan asli n. Mudah diperlihatkan bahwa integral tak sejati

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₁^∞ = ∫₁^∞_𝑛¹_𝑝𝑑𝑥

konvegen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1 Oleh karena itu ber- dasarkan Tes Integral di atas dapat disimpulkan bahwa deret harmo- nik order-p ∑ ¹

𝑛𝑝

∞

𝑛=1 konvegen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1.

Teorema 2.3.3 : ( Tes Kuosien, Quotient Test )

Diketahui dua deret suku positif ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 dan ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘dengan bk > 0 untuk setiap k dan

A = lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝑏_𝑛 .

(i) Jika A 0 atau A = ∞, maka deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 dan deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen .

vergen (iii) Jila A = ∞ dan deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen, maka deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 divergen .

Bukti : (i) Untuk A 0 dan hingga : A = lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝑏_𝑛 jika dan hanya jika

untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no dan jika bilangan asli n no benar bahwa

|A - ^𝑎𝑛

𝑏_𝑛 | < 𝜀 , A - 𝜀 < ^𝑎𝑛

𝑏_𝑛 < A + 𝜀 , atau (A – 𝜀)bn < an < (A + 𝜀)bn Menggunakan ketidaksamaan terakhir dan berdasarkan Teorema 2.2.5

Barisan dan deret

dan Teorema 2.3.1, jika deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 konvergen maka deret (A – 𝜀) ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 konvergen yang berakibat deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 konvergen dan jika deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 konvergen maka (A + 𝜀) ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 konvwegen yang berakibat deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 konvergen. Sebaliknya, jika deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 divergen maka deret(A+ 𝜀) ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen yang berakibat de-ret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen dan jika deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen maka deret (A – 𝜀) ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen yang berakibat deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 divergen Untuk A =

: lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝑏_𝑛 = jika dan haya jika untuk setiap bilangan M > 0 ada

bilangan asli no sehingga untuk setiap bilangan asli n no benar bahwa ^𝑎𝑛

𝑏𝑛 > M yang berakibat -an M.bn < an .

Menggunakan ketidaksamaan terakhir dan berdasarkan Teorema 2.2.5 dan Teorema 2.3.1 diperoleh seperti tersebut di dalam bagian pertama . (ii) lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝑏_𝑛 = A = 0 jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga jika bilangan asli n no benar bahwa 0 ^𝑎𝑛

𝑏𝑛 < 𝜀 atau 0 ≤ an < bn.𝜀 . Menggunakan ketidaksamaan terakhir dan berdasarkan Teorema 2.2.5 dan Teorema 2.3.1, jika deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 konvergen maka deret 𝜀.∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 = ∑^∞_𝑘=1𝜀𝑏_𝑘 konvergen yang berakibat deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 konvergen .

(iii) lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝑏𝑛 = A = jika dan haya jika untuk setiap bilangan M > 0

ada bilangan asli no sehingga untuk setiap bilangan asli n no benar bahwa

^𝑎𝑛

𝑏𝑛 > M atau M.bn < an .

Menggunakan ketidaksamaan terakhir dan berdasarkan Teorema 2.2.5 dan Teorema 2.3.2, jika deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 divergen maka deret 𝑀.∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 = ∑^∞_𝑘=1𝑀𝑏_𝑘 divergen yang berakibat deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘 divergen .

Barisan dan deret

Contoh :

1. Akan diselidiki deret ∑ ¹

𝑘(𝑘+1) ∞

𝑘=1 konvergen atau divergen.Telah diketahui deret harmonik order-2 ∑ ¹

𝑘2 ∞ 𝑘=1 konvergen.Jika diambil an = ¹ 𝑛(𝑛+1) dan bn = ¹ 𝑛2 dipeoleh lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛³ 𝑛(𝑛+1) = 1.

Menurut Teorena Tes Kuosien (i) tersebut di atas disimpulkan de- ret ∑ ¹

𝑘(𝑘+1) ∞

𝑘=1 konvergen. 2. Apakah deret ∑ ^{log 𝑛}

√𝑛+1 ∞

𝑛=1 konvergen atau divergen ? Karena deret harmonik order-¹

2 ∑^∞_𝑛=1𝑏_𝑛= ∑ ¹ 𝑛 1 2 ∞ 𝑛=1 divergen, maka deret ∑^∞_𝑛=1𝑎_𝑛= ∑ ^{log 𝑛} √𝑛+1 ∞ 𝑛=1

divergen sebab, menurut Teorwma Tes Kuosien (iii), lim

𝑛→∞ 𝑎_𝑛 𝑏𝑛 = lim

𝑛→∞log 𝑛 = ∞ .

Kejadian khusus Teorema 2.3.3 adalah teorema di bawah ini dengan mengambil deret ∑^∞_𝑘=1𝑏_𝑘 sebagai deret harmonik order-p.

Teorema 2,3.4 : Diketahui deret suku positif ∑∞ 𝑎_𝑛

𝑛−1 dengan lim

𝑛→∞𝑛𝑝an = A .

(ii) Deret ∑^∞_𝑛−1𝑎_𝑛 divergen jika p ≤ 1 dan A ≠ 0 ( hingga atau takhingga) .

Bukti : Diambil deret ∑^∞_𝑛=1𝑏_𝑛 dengan bn = ¹

𝑛𝑝 . Jadi A = lim 𝑛→∞𝑛^𝑝an = lim 𝑛→∞ 𝑎_𝑛 𝑏𝑛

.Selanjutnya karena deret ∑^∞_𝑛−1𝑏_𝑛 = ∑ ¹

𝑛𝑝

∞

𝑛=1 merupakan deret

harmaonik order-p, konvergen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1, maka menurut Teorema 2.3.3 diperoleh deret ∑^∞_𝑛−1𝑎_𝑛 konvergen jika A hingga dan p > 1 dan divergen jika A ≠ 0 dan p ≤ 1. ∎

Barisan dan deret

Contoh :

1. Lihat contoh nomor 4 dan contoh nomor 5 di atas. Teorema 2.3.5 : ( Tes Rasio d’Alembert)

Diketahui deret suku positif ∑^∞_𝑛−1𝑎_𝑛 dengan lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛+1

𝑎_𝑛 = r. (i) Jika r < 1 maka deret tersebut konvegen.

(ii) Jika r > 1 maka deret tersebut divergen.

(iii) Jika r = 1 maka tes gagal (tak memperoleh kesimpulan apa-apa).

Bukti : lim

𝑛→∞ 𝑎𝑛+1

𝑎_𝑛 = r jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli n0 sehingga setiap bilangan asli n ≥ no benar bahwa

|^𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 - r| < 𝜀 atau (r – 𝜀)an < an+1 < (r + 𝜀)an . (i) Jika r < 1 diambil bilangan 𝜀 tersebut sehingga ro = r + 𝜀 < 1 dan bilangan asli no yang terkait. Jadi untuk setiap bilangan asli n ≥ no

diperoleh an+1 < ro an dan oleh karena itu

∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑛𝑜+k < ∑^∞_𝑘=1𝑟_𝑜^𝑘𝑎_𝑛𝑜

Ruas kanan pertidaksamaan tersebut merupakan deret geometrik yang konvergen karena ro < 1. Oleh karena itu deret suku positif ∑^∞_𝑘=1𝑎_{𝑛𝑜+𝑘} dan ∑∞ 𝑎_𝑛

(ii) Jika r > 1 diambil bilangan 𝜀 tersebut sehingga ro = r - 𝜀 > 1 dan bilangan asli no yang terkait. Jadi untuk setiap bilangan asli n ≥ no diperoleh ro an < an+1 dan oleh karena itu

∑^∞_𝑘=1𝑟_𝑜^𝑘𝑎_𝑛𝑜 < ∑^∞_𝑘=1𝑎_{𝑛𝑜+𝑘} .

Ruas kiri pertidaksamaan tersebut merupakan deret geometrik yang divergen karena ro > 1. Oleh karena itu deret suku positif ∑^∞_𝑘=1𝑎_{𝑛𝑜+𝑘} dan divergen .

(iii) Jika r = 1 perbandingan suku an dan suku an+1 tak jelas sehingga tak dapat kesimpulan apa-apa tentang deret tersebut. ∎

Barisan dan deret

Contoh :

1. Diselidiki deret ∑∞ 𝑛3

𝑛=1 e^-n konvegen atau divergen. Karena an = n³e^-n maka r = lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ (𝑛+1)³ 𝑛3 𝑒^−(𝑛+1) 𝑒−𝑛 = ¹ 𝑒 < 1 dan oleh karena itu deret konvergen.

Teorema 2.3.6 : ( Tes Akar ke-n Cauchy)

Diketahui deret suku positif ∑^∞_𝑛−1𝑎_𝑛 dengan lim

𝑛→∞^𝑛√𝑎𝑛 = r . (i) Jika r < 1 maka deret konvergen.

(ii) Jika r > 1 maka deret divergen.

(iii) Jika r = 1 maka tes gagal (tak dapat ditarik kesimpulan apa-apa).

Bukti : r = lim

𝑛→∞^𝑛√𝑎_𝑛 jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga untuk setiap bilangan asli n ≥ no

benar bahwa

| ^𝑛√𝑎_𝑛 - r| < 𝜀 atau (r – 𝜀)n < an < (r + 𝜀)n . (i) Jika r < 1 diambil bilangan 𝜀 sehingga ro = r + 𝜀 < 1 dan bilangan asli no yang terkait. Oleh karena itu untuk setiap bilangan asli n ≥ no benar bahwa an < rⁿ yang berakibat

∑^∞_{𝑘=𝑛𝑜}𝑎_𝑘 < ∑∞ 𝑟_𝑜𝑘 𝑘=𝑛𝑜

Ruas kanan pertdaksamaan terakhir merupakan deret geometrik yang konvergen, karena ro < 1. Hal ini berakibat ruas kiri yaitu deret suku positif ∑^∞_{𝑘=𝑛𝑜}𝑎_𝑘 dan deret ∑^∞_𝑘=1𝑎_𝑘konvergen. (ii) dan (iii) silahkan membuktikan sebagai latihan. ∎

Contoh :

1. Diselidiki deret suku positif ∑ ^𝑛𝑒

−𝑛

𝑛+1 ∞

𝑛=1 konvergen atau divergen. Karena r = lim 𝑛→∞^𝑛√𝑎𝑛 =lim 𝑛→∞ 𝑛𝑒^−𝑛 𝑛+1 = e^-1 < 1 maka dapat disimpulkan bahwa deret tersebut konvergen.

Barisan dan deret

Latihan 2.3

1.. Dengan menggunakan Tes Banding atau Tes Kuosien selidiki deret di bawah ini konvergen atau divergen.

a. ∑ ^𝑛+1 𝑛√𝑛 ∞ 𝑛=1 b. ∑ ¹ 𝑛 log 𝑛 ∞ 𝑛=1 c. ∑ ¹ 𝑛(𝑛+1) ∞ 𝑛=1 d. 1 + ¹ 1.3 + ¹ 1.3.5 + . . . + ¹ 1.3.5….(2𝑛−1) + . . . e. ¹ 2.3 + ² 3.4 + ³ 4.5 + . . . + ^𝑛 (𝑛+1)(𝑛+2) + . . . f. ² 1! + ³ 2! + ⁴ 3! + . . . + ^𝑛+1 𝑛! + . . .

2. Dengan menggunakan Tes Rasio selidiki apakah deret di bawah ini konveruen atau divergen.

a. ∑ ^𝑛 (𝑛+1)𝑛! ∞ 𝑛=1 b. ∑ ^2𝑛+1 𝑛2+1 ∞ 𝑛=1 c. ∑ ^𝑛 2 𝑛3+2 𝑛=1 d. ∑ ^{(𝑛+1)(𝑛+2)} 𝑛22𝑛 ∞ 𝑛=1 e. ∑ ^(𝑛+1) 𝑛 𝑛2𝑛 ∞ 𝑛=1 f. ∑ ^𝑛 2 𝑛! ∞ 𝑛=1

3. Dengan Tes Integral selidiki deret di bawah ini konvergen atau divergen/ a. ∑ ¹ −1+√𝑛+1 ∞ 𝑛=1 b. ∑ ¹ 𝑛 log 𝑛 ∞ 𝑛=2 c. ∑ ¹ 𝑛(𝑙𝑜𝑔𝑛)2 ∞ 𝑛=2 d. ∑ ^2𝑛 𝑛4−1 ∞ 𝑛=1 e. ∑ ¹ (2𝑛−1)2𝑛 ∞ 𝑛=1

4. Perlihatkan bahwa deret

∑ ¹

𝑛(𝑙𝑜𝑔𝑛)𝑝

∞

𝑛=2 konvergen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1. 5, a. Jika an > 0 dan ^𝑎𝑛+1

𝑎_𝑛 ≤ 1 - ²

𝑛 + ¹

𝑛2 untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa deret ∑^∞_𝑛=1𝑎_𝑛 konvergen.

b. Jika an > 0 dan ^𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 ≤ 1 - ¹

𝑛 untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa deret ∑∞ 𝑎_𝑛

𝑛=1 divergen.

Barisan dan deret

2.4 Deret ayun dan deret konvergen mutlak