BAB : I SISTEM BILANGAN REAL

Ruang Barisan

BAB : I

SISTEM BILANGAN REAL

Sebelum membicarakan barisan dan deret akan dibicarakan lebih dahulu tentang bilangan real karena barisan dan deret yang akan dibica-rakan adalah barisan dan deret bilangan real. Sistem bilangan real meru-pakan hasil peradapan manusia yang monu-mental yang mempunyai sifat-sifat yang sempurna sehingga semua cabang ilmu pe-ngetahuan meng-gunakannya, terutama matematika. Untuk keperluan barisan dan deret bilangan real, bab ini akan menyajikan secara singkat, tetapi cukup, tentang sistem bilangan real.

1.1 Sifat-sifat dasar bilangan real

Yang dimaksud dengan sistem bilangan real (the real numbers system) adalah himpunan semua bilangan real, yang dinotasikan dengan huruf ℛ diperergkapi dengan dua operasi biner jumlahan (+) dan perkalian (x atau .) dan urutan (<, ≤, >, atau ). Untuk selanjutnya bilangan-bila ngan real sendiri (anggota ) dinotasikan dengan huruf-huruf : a, b, c, . . .

Sifat-sifat dasar bilangan real di antaranya adalah sebagai berikut.

A. merupakan grup komutatifterhadap operasi jumlahan(+), artinya : (i) (+) bersifat tertutup, yaitu untuk setiap a, b 𝜖 ℛ terdapat dengan tunggal c 𝜖 ℛ sehingga

a + b = c.

(ii) (+) bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c 𝜖 ℛ benar bahwa a + (b + c) = (a + b) + c.

(iii) Terdapat tepat satu biangan real 0, yangan disebut bilangan nol, sehingga benar bahwa

Barisan dan deret

untuk setiap a 𝜖 ℛ.

(iv) Untuk setiap a 𝜖 ℛ terdapat dengan tunggal bilangan untuk setiap b 𝜖 ℛ sehingga

a + b = b + a = 0.

Bilangan real b tersebut dinamakan bilangannegasi adan dituliskan dengan -a. Jadi,

a + -a = -a + a = 0.

(v) (+) bersifat komutatif, yaitu untuk setiap a, b 𝜖 ℛ benar bahwa

a + b = b + a.

B. -{0} merupakan grupkomutatif terhadap operasi perkalian (. a-

tau x )

(i) (.) bersifat tertutup, yaitu untuk setiap a, b 𝜖 ℛ-{0}terdapat dengan tunggal c 𝜖 ℛ - {0}sehingga

a. b = c.

(ii) (.) bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c 𝜖 ℛ-{0}benar bahwa

a.(b.c) = (a.b).c.

(iii) Terdapat tepat satu biangan real 1, yangan disebut bilangan satuan, sehingga benar bahwa

a.1 = 1.a = a untuk setiap a 𝜖 ℛ-{0}

(iv) Untuk setiap a 𝜖 ℛ-{0}terdapat dengan tunggal bilangan 𝜖 ℛ-{0} sehingga

a.b = b.a = 1.

Bilangan real b tersebut dinamakan bilanganinverse adan dituliskandengan a-1 atau1

𝑎. Jadi, a.a-1 _{= a}-1_{.a = 1 atau a.}1

𝑎 = 1 𝑎.a = 1

(v) (+) bersifat komutatif, yaituuntuk setiap a, b 𝜖 ℛ-{0} benar bahwa

Barisan dan deret

C. merupakan lapangan(field), artinya

(i) memenuhi sifat-sifat A dan B tersebut di atas dan (ii) untuk setiap a, b, c 𝜖 berlaku

a.(b + c) = a.b +a.c dan a.0 = 0.a = 0.

Untuk menyingkat penulisan, jika a, b 𝜖 ℛ yang dimaksud dengan a – b

adalah a + (-b), jadi

a – b = a + (-b).

Terdapat himpunan-himpunan bagian yang penting di dalam : (a) Himpunan semua bilangan bulat positif (positive integer) atau

bilangan asli yang biasa dinotasikan dengan ℕ; jadi = { 1, 2, 3, . . . }

(b) Himpunan semua bilangan bulat (integer) yang biasa dino-tasikan dengan ℤ. ; jadi

= { . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

(c) Himpunan semua bilangan rasional (rational numbers) atau pecahan yang biasa dinotasikan dengan ℚ; jadi

= { 𝑚

𝑛 : m 𝜖 ℤ dan n ℕ }. Dengan demikian diperoleh hubungan :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℛ.

Yang dimaksud bilangan cacah adalah bilangan 0 atau bilangan asli. Berdasarkan sifat-sifat bilangan real tersebut di atas, yaitu sifat-sifat

A, B, dan C, dapat diturunkan sifat-sifat lain yang berbentuk teorema-teorema di bawah ini. Teorema-teorema-teorema sengaja tanpa bukti, tetapi sebagai latihan.

Teorema 1.1.1 : Jika a 𝜖 ℛ, maka

(i) persamaan x + a = 0 mempunyai penyelesaian tunggal di dalam ℛ, yaitu x = a,

Barisan dan deret

di dalam ℛ, yaitu x = a-1.

Teorema 1.1.2 : Untuk setiap a 𝜖 ℛ diperoleh :

(i) a.0 = 0, (iii) -(-a) = a, dan

(ii) (-1).a = -a, (iv) -(-1) = 1.

Teorema 1.1.3 : Diketahui a,b,c 𝜖 ℛ.

(i) Jika a ≠ 0, maka a-1 ₌ 1

𝑎 0 dan 1 1 𝑎

= a.

(ii) Jika a.b = a.c dan a 0, maka b = c.

(iii) Jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.

Bukti induksi matematika (mathematical induction) berdasarkan Axioma Peano di bawah ini.

Axioma Peano ( Axiom of Peano ) :

Jika P ⊂ ℕ memenuhi sifat-sifat :

(a) 1 𝜖 P dan

(b) n 𝜖 P n+1 𝜖P maka P = ℕ.

Di dalam aplikasinya pada pembuktian, yang disebut bukti induksi matematika adalah sebagai bekikut. Jika suatu pernyataan (rumus) benar untuk bilangan asli (bi-langan bulat positif) 1 dan jika pernyataan (rumus) tersebut dianggap benar untuk suatu bilangan asli n dan dapat dibuktikan benar untuk bilangan asli n+1, maka dapat diambil kesimpul- an bahwa pernyataan (rumus) tesebut benar untuk setiap bilangan asli n. Contoh : Benar bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

(∑𝑛_𝑖=1𝑖)2 = ∑𝑛_𝑖=1𝑖3.

Bukti : Langkah pertama : Terlihat dengan mudah bahwa rumus (per-nyataan) benar untuk n = 1, karena untuk n = 1 ruas kiri dan ruas kanan bersama-sama bernilai 1.

Langkah ke-2 : Rumus dianggap benar untuk suatu bilangan asli n ; jadi diangap benar bahwa

Barisan dan deret

untuk suatu bilangan asli n. Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk bilangan asli n+1. Bukkti sebagai berikut :

(∑𝑛+1_𝑖=1 𝑖)2 = {∑𝑛_𝑖=1𝑖+ (𝑛 + 1)}2 = (∑𝑛_𝑖=1𝑖)2 + 2.(n + 1).∑𝑛_𝑖=1𝑖 + (n + 1)2 _{= ∑}𝑛 _𝑖3 𝑖=1 + 2.(n + 1){ 𝑛 2(n + 1)} + (n +1) 2 _{= ∑}𝑛 _𝑖3 𝑖=1 + (n +1)2(n + 1) = ∑𝑛+1𝑖=1 𝑖3.

Bergasarkan hasil langkah pertama dan hasil langkah ke-2 dapat di-simpulkan bahwa rumus (pernyataan) benar untuk setiap bilangan asli n.

Bukti selesai.

1.2 Urutan pada sistem bilangan real

Urutan pada system bilangan real dapat dibangun melalui pemben-tukan suatu himpunan bagian yang disebut himpunan bilangan positif,

yaitu sebagai di bawah ini.

Definisi 1.2.1 : Himpunan P ⊂ ℛ disebut himpunan bilangan positif

(the set of positivenumbers) jika P memenuhi tiga syarat di bawah ini :

(i) Untuk setiap x,y 𝜖 P berakibat x+y 𝜖 P.

(ii) Untuk setiap x,y 𝜖 P berakibat x.y 𝜖 P.

(iii) P mempunyai sifat trikhotomi(trichotomy property), yaitu: Untuk setiap x 𝜖 ℛ tepat satu terjadi :

x 𝜖 P, -x 𝜖 P, atau x = 0. Untuk selanjutnya yang dimaksud bilangan positif adalah anggota P

dan sebaliknya setiap anggota P disebut bilangan positif. Sementara itu, himpunan P ∪ {0} disebut himpunan bilangan nonnegatif dan anggo-tanya disebut bilangan nonnegatif. Sekarang telah siap untuk memben-tuk urutan pada system bilangan real ℛ.

Definisi 1.2.2 ( Urutan ) : Jika x,y 𝜖 ℛ, maka x dikatakan lebih kecil daripada y, ditulis singkat dengan

x y,

jika y - x 𝜖 P. Sejalan dengan itu, x dikatakan lebih kecil daripada atau

sama dengan y, ditulis singkat dengan x y,

jika x < y atau x = y.

Catatan :

(a) x < y dituliskan pula dengan y > x dan dibaca y lebih besar daripada x.

(b) x ≤ 𝑦dituliskan pula dengan y x dan dibaca y lebih besar dari pada atau sama dengan x.

(c) x 𝜖 P dituliskan pula dengan x > 0.

Berdasarkan Definisi 1.2.2 tersebut di atas di peroleh beberapa teorema di bawah ini.

Teorema 1.2.3 : Diketahui x,y,z 𝜖 ℛ. Pernyataan-pernyataan di bawah ini benar :

(i) Jika x < y dan y < z, maka x < z.

(ii) Tepat satu terjadi : x < y, y < x, atau x = y.

(iii) Jika x y dan y x, maka x = y.

Bukti : (i) x < y dan y < z ⟺ y - x, z - y 𝜖 P ⟹ z – x =(y-z )+(z- y)𝜖 P x < z.

(ii) Berdasarkan sifat trikhotomi , x < y, y < x, atau x = y y – x 𝜖 P, x – y = -(y – x ) 𝜖 𝑃, atau y – x = 0 𝜖 𝑃.

(iii) Andaikan x ≠ 𝑦,maka y < x atau x < y ; sustu kontradiksi.

Teorema1.2.4 : Pernyataan-pernyataan di bawah ini benar : (i) Jika x bilangan real dan x 0, maka x2 = x.x = -x .-x > 0. (ii) 1 > 0.

Barisan dan deret

Bukti : (i) Jika x bilangan real (x 𝜖 ℛ) dan x 0, maka x 𝜖 𝑃 atau

-x 𝜖 𝑃. Hal ini berarti x2 _{= x.x = -x.-x > 0. (ii) Menuut (i) diperoleh 1 =}

1.1 = -1.-1 > 0. (iii) Bukti dengan induksi matematika .

Teorema di bawah ini mudah dibuktikan ; silahkan membuktikan sebagai latihan.

Teorema 1.2.5 : Diketahui x, y, z, dan u bilangan-bilangan real.

(i) Jika x < y, maka x + u < y + u.

(ii) Jika x < y dan z ≤ u, maka x + z < y + u.

(iii) Jika x < y dan u > 0, maka x.u < y.u . Jika x < y dan u < 0, maka x.u > y.u .

(iv) Jika x > 0, maka x-1 = 1

𝑥 > 0 . Jika x < 0, maka x

-1 ₌ 1

𝑥 < 0 .

Bukti : Andaikan a ≠ 0, jadi a > 0. Menurut Akibat 1.2.7 diperoleh 0 < Berdasarkan Teorema 1.2.5 (i) dan (ii) diperleh teorema di bawah ini.

Teorema 1.2.6 : Jika x, y bilangan real dan x < y, maka x < 𝑥+𝑦

2 < y .

Akibat 1.2.7 : Jika x bilangan real dan x > 0, maka 0 < 𝑥

2 < x .

Teorema 1.2.8 : Jika a bilangan real dan berlaku 0 a < 𝜀 untuk sebarang bilangan real 𝜀 > 0, maka a = 0 .

Bukti : Andaikan a > 0. Karena bilangan real 𝜀 > 0 sebarang, dengan mengambil 𝜀 = 𝑎

2 , menurut yang diketahui, diperoleh 0 a < 𝑎

2 ; suatu kontradiksi dan bukti selesai.

Teorema 1.2.8 mempunyai akibat sebagai berikut.

Akibat 1.2.9 : Jika a dan b dua bilangan real, maka a = b jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan real 𝜀 > 0 benar bahwa 0 ≤ a – b < 𝜀 .

Barisan dan deret

Teorema 1.2.10 : Jika a dan b dua bilangan real dan a < b + 𝜀 untuk sebarang bilag an real 𝜀 > 0, maka a b .

Bukti : Andaikan a > b berarti a – b > 0. Karena bilangan real 𝜀 > 0 dapat diambil sebarang dan bilangan real 𝑎−𝑏

2 > 0, diambil 𝜀 = 𝑎−𝑏

2 . Menurut Teorema 1.2.6 dan yang diketahui diperoleh

a < b + 𝑎−𝑏

2 = 𝑎+𝑏

2 < b , suatu kontradiksi dan bukti selesai.

Teorama 1.2.11 : Jika a dan b dua bilangan real dan a.b > 0, maka : a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0.

Bukti : Karena a.b > 0 tentu a ≠ 0dan b ≠ 0. Jika a > 0 diperoleh a

-1 _{> 0 dan a.a}-1_{= a}-1_{a = 1. Oleh karena itu}

a.b > 0 ⟹ a-1_{.(a.b) = (a}-1_{.a).b = 1.b = b > 0.}

Jika a < 0 diperoleh a-1 < 0 dan a.a-1 = a-1.a = 1. Oleh karena itu a.b > 0 ⟹ a-1_{.(a.b) = (a}-1_{.a).b = 1.b = b < 0.}

Bukti selesai.

Ada beberapa himpunan bagian di dalam yang dinotasikan secara khusus. Diketahui a,b 𝜖 ℛ dan a < b. Himpunan

(a) (a,b) = { x 𝜖 ℛ ∶ a < x < b } : selang (interval) terbuka,

(b) [a,b] = { x 𝜖 ℛ : a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} : selang(interval) tertutup,

(c) [a,b) = { x 𝜖 ℛ : 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} : selang (interval) terbuka kanan,

(d) (a,b] = { x 𝜖 ℛ ∶ a < x b } : selang(interval) terbuka kiri.

(e) (a, ) = { x 𝜖 ℛ ∶ x > a } : selang terbuka tak terbatas ke-atas

[a,∞)= { x 𝜖 ℛ ∶ x a } : selang tertutup tak terbatas ke-atas.

(f) (-∞,a) = { x 𝜖 ℛ ∶ x < a } : selang terbuka tak terbatas ke- bawah.

(-∞, 𝑎] = {x 𝜖 ℛ : x a } : selang tertutup tak terbatas ke- bawah.

1.3 Nilai mutlak dan himpunan terbatas

Jika x suatu bilangan real, maka yang dimaksud dengan nilai(har- ga)mutlak(absolute value of) x adalah bilangan real non negatif |x| yang didefinisikan sebagai berikut :

|x| = { 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0 −𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

Berdasarkan pengertian nilai mutlak tersebut diperoleh teorema dan akibat di bawah ini. Silahkan mebuktikanya, sebagai latihan.

Teorema 1.3.1 : Jika x dan y bilangan-bilangan real, maka : (i) |x| ≥ 0, |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0,

(ii) |-x| = |x|, (iii) |x.y| = |x|.|y|,

(iv) |x+y| |x| + |y| (ketidaksamaan segitiga),

(v) |x| ≤ 𝑦 jika dan hanya jika -y x y,

(vi) -|x| ≤ 𝑥 ≤ |𝑥|.

Sebagai akibat langsung teorema tersebut adalah :

Akibat 1.3.2 :

(i) Jika x dan y dua bilangan real, maka :

| |x| - |y| | |x – y| dan |x – y| |x + y|.

(ii) Untuk setiap bilangan-bilangan real a1, a2, . . . ,anbenar bahwa : | ∑𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖| ∑𝑛_𝑖=1|𝑎_𝑖| .

Himpunan terbatas di dalam 𝓡

Bagian ini memuat pembicaraan mengenai himpunan bilangan real yang terbatas.

Definisi 1.3.3 : Himpunan bilangan real A ⊂ ℛ dikatakan:

(i) terbatas ke-atas (upper bounded) jika terdapat bilangan M1 se-

hingga

a M1

untuk setiap a 𝜖 A. Bilangan M1 disebut batas atas(upper bound)

himpunan A.

(ii) terbatas ke-bawah (lower bounded) jika terdapat bilangan m1

sehingga

m1 a

untuk setiap a 𝜖 A.Bilangan m1 disebut batas bawah(lower bound)

himpunan A.

(iii) terbatas (bounded) jika himpuanan A terbatas ke-atas dan terbatas ke-bawah.

Berdasarkan pengertian tersebut (Definisi 1.3.3 (i),(ii)) mudah difahami bahwa jiika himpunan bilangan real A tebatas ke-atas dengan batas atas M1maka setiap bilangan real M2 M1 merupakan batas atas

himpunan A pula. Oleh karena itu tentu himpunan A mempunyai batas atas yang paling kecil yang disebut batas atas terkecil(bat), supremum (sup), atau the least upper bound (lub) himpunan A. Jadi diperoleh teo-rema di bawah ini .

Teorema 1.3.4 A :Bilangan real

M = sup(A) = bat(A) = lub(A)

merupakan batas atas terkecil himpunanAjika dan hanya jika

(a) M merupakan batas atas himpunanA : a ≤ 𝑀 untuk setiap a 𝜖 A, dan

(b) untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 ter dapat ao𝜖 A sehingga

M – 𝜀 < ao .

Jika himpunan bilangan real A tebatas ke-bawah dengan batas bawah

m1 maka setiap bilangan real m2 m1 merupakan batas bawah

himpun-an A pula. Oleh karena itu tentu himpunan A mempunyai batas bawah yang paling besar yang disebut batas bawah terbesar(bbt), infimum (inf), atau the greatest lower bound (glb) himpunan A. Jadi diperoleh :

Teorema 1.3.4 B : Bilangan real

m = inf(A) = bbt(A) = glb(A)

merupakan batas bawah terbesar himpunanAjika dan hanya jika

(a) m merupakan batas bawah himpunanA : m ≤ 𝑎 untuk setiap a 𝜖 A, dan

(b) untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat ao𝜖 A sehingga

ao < m + 𝜀 .

Bukti : Cukup dibuktian Teorema 1.3.4.A saja karena bukti untuk Teorema 1.3.4.B sejalan. Syarat perlu : Bilangan M batas atas terkecil himpunan bilangan real A . Karena M batas atas himpunan A maka untuk setiap a 𝜖 A benar bahwa a M. Karena M batas himpunan A yang paling kecil, maka untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 maka M – 𝜀sudah bukan batas atas lagi. Oleh karena itu ada ao𝜖 A sehingga M – 𝜀 < ao .

Syarat cukup : Menurut hipotesis bagian (a) bilangan real M merupakan batas atas himpunan A dan menurut hipotesis bagian (b) untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0bilangan real M – 𝜀 sudah bukan batas atas himpunan A lagi. Hal ini berarti M merupakan batas atas terkecil himpunan A. Yang dumaksud dengan himpuan terbatas ( bounded set ) adalah himpunan yang terbatas ke-atas maupun terbatas ke-bawah. Perlu dicatat bahwa jika himpunan bilangan real A terbatas, maka sup(A) atau inf(A) belum tentu menjadi anggota himpunan A itu sendiri. Sebagai contoh adalah himpunan di bawah ini.

Contoh :

1. A = (a,∞) merupakan himpunan bilangan real yang terbatas ke-

bawah dengan

inf(A) = a. Jelas bahwa a bukan anggota A.

2. B = {0, 1, 2} (3,5) merupakan himpunan bilangan real yang ter- batas dengan

inf(B) = 0 𝜖 B dan sup(B) = 5 B. 0 menjadi anggota dan 5 tak mejadi anggota.

Jika C dan D dua himpunan bilangan real dan x bilangan real, di-definisikan :

C + D = { c+d : c 𝜖 C dan d 𝜖 D }, x + C = { x + c : c 𝜖 C }, dan

x.C = { x.c : c 𝜖 C }.

Teorema 1.3 5 : Jika C dan D dua himpunan bilangan real, maka : (i) C D sup(C) sup(D) dan inf(C) inf(D).

(ii) sup(C D) sup(C) + sup(D) dan inf(C + D) inf(C) +

inf(D).

(iii) Jika x > 0 maka : sup(xC) = x.sup(C) dan inf(xC) = x.inf(C) Jika x < 0 maka : sup(xC) = x.inf(C) dan inf(xC) = x.sup(C).

Bukti : (i) Untuk setiap d 𝜖 D berlaku d sup(D) dan karena C D

maka setiap c 𝜖 C berakibat c sup(D). Hal ini berarti sup(C)

sup(D). Sebaliknya, untuk setiap c 𝜖 C berlaku inf(C) c gan karena C D maka setiap d 𝜖 D berakibat inf(C) d. Hal ini berarti inf(C) inf(D). (ii) Untuk menyingkat namakan M1 = sup(C) dan M2 = sup(D).

Untuk setiap x 𝜖 C + D tentu ada c 𝜖 C dan d 𝜖 D sehingga x = c + d ; c M1 dan d M2.. Oleh karena itu x = c + d M1 + M2 . Hal ini berarti

M1 + M2 merupakan batas atas himpunan C + D; jadi sup(C + D) M1

+ M2 = sup(C) + sup(D). Selanjutnya, untuk menyingkat, namakan m1 =

inf(C) dan m2 = inf(D) .

Untuk setiap x 𝜖 C + D tentu ada c 𝜖 C dan d 𝜖 D sehingga x = c + d ; c

m1 dan d m2 . Oleh karena itu x = c + d m1 + m2 . Hal ini berarti

m1 + m2 merupakan batas bawah himpunan C + D; jadi inf(C+D)

m1 + m2 = inf(C) + inf(D) . (iii) Silahkan membuktikan sendiri.

Sistem bilangan complex

Sistem bilangan komplex merupakan perluasan system bilangan real melalui pembentukan tepat satu bilangan baru :

i = √−𝟏

yang disebut bilanganimajiner (imaginair number). Jadi i2 _{= -1}

Selanjutnya, jika a dan b bilangan-bilangan real maka bilangan z =a +bi

disebut bilangan komplex (complex number); a disebut bagian real, dan b disebut bagian imaginer biangan komplex z tersebut. Jadi jika

ℂ koleksi semua bilangan komplex, maka

= { z = a + bi : a,b 𝜖 },

dan jelas bahwa karena setiap a 𝜖 dapat dianggap sebagai

a + 0i. Operasi-operasi biner pada sebagai berikut :

(a) Jumlahan (+): Jika z1 = a1 + b1i dan z2 = a2 + b2i dua bilangan komplex, maka

z1 + z2 =(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i .

(b) Perkalian scalar : Jika c bilangan real dan z = a + bi bilangan komplex maka

c.z =c.( a + bi) = c.a + c.b i .

(c) Hasil ganda : Jika z1 = a1 + b1i dan z2 = a2 + b2i dua bilangan

komplex, maka

z1.z2 = (a1 + b1i).(a2 + b2i) = (a1.b1 – a2.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i .

Perlu mendapat perhatian bahwa i2 _{= i.i = -1 dan bilangan complex :}

𝟏 𝒂+𝒃𝒊 = 𝟏 𝒂+𝒃𝒊 . 𝒂−𝒃𝒊 𝒂−𝒃𝒊 = 𝒂−𝒊𝒃 𝒂𝟐_+𝒃𝟐

Jika z = a + bi bilangan komplex, maka bilangan real positif 𝜌 = |𝑧| = √𝑎2_{+ 𝑏}2 _{disebut modulus bilangan komplex z tersebut. Oleh karena itu}

z = 𝝆.( 𝒂 𝝆 + 𝒃 𝝆i ) = 𝝆.(cos𝜽 + i.sin𝜽) = 𝝆.𝒆 𝒊𝜽 dengan 𝜃 = arccos𝑎 𝜌 = arcsin 𝑏

𝜌 dan disebut argumen (argument) bi-langan komplex z tersebut .

Latihan 1

1. Buktikan Teorema 1.1.1, Teorema 1.1.2, dan Teorema 1.1.3. 2. Berdasarkan salah satu teorema tesebut, tentukan bilangan real x

sehingga

(i) 3.x + 5 = 3, (ii) 2.x + 5 = 3.x + 1, (iii) x2 _{= 2.x, (iv) (x – 2).(x + 1) = 0.}

3. Jika a dan b dua bilangan real buktikan bahwa : (i) -(a + b) = (-a) + (-b), (ii) (-a).(-b) = a.b, (iii) 1

−𝑎= -( 1 𝑎), (iv) -(𝑎 𝑏) = −𝑎

𝑏 4. Buktikan Teorema 1.2.6, Akibat 1.2.7, dan Akibat 1.2.9.

5. Jika bilangan real a 0 dan bilangan asli n ≥ 2, didefinsikan bilang-

an real: √𝑎 , √𝑎 2 dan 𝑛√𝑎 sebagai berikut :

(√𝑎)2 = (√𝑎2 )2 = a dan (𝑛√𝑎)n = a . Buktikan bahwa jika a > 0 dan b > 0 diperoleh :

√𝑎 √𝑏 a2 b2 a b

6. Jika a > 0 dan b > 0, buktikan bahwa : √𝑎. 𝑏≤ 𝑎+𝑏

2 dan a.b 𝑎2 +𝑏2

2 .

Jika a1 , a2 , . . . , an dan b1 , b2 , . . . , bn bilangan-bilangan real,

Buktikan bahwa :

|∑𝑛_𝑖=1(𝑎_𝑖.𝑏_𝑖)| |∑𝑛_𝑖=1|𝑎_𝑖.𝑏_𝑖| (∑𝑛_𝑖=1|𝑎_𝑖|2)1/2.(∑_𝑖=1𝑛 |𝑏_𝑖|2)1/2 dan

(∑𝑛𝑖=1|𝑎𝑖+𝑏𝑖|2)1/2 (∑𝑖=1𝑛 |𝑎𝑖|2)1/2 + (∑𝑖=1𝑛 |𝑏𝑖|2)1/2 . 8. Buktikan dengan induksi matematika !

(a) Jika bilangan real x > -1, maka untuk setiap bilangan asli n benar bahwa

1 + n.x (1 + x)n

(b) Jika a dan b dua bilangan real dan n bilangan asli, maka

(a + b)n = ∑ (𝑖 𝑛

𝑛

𝑖=0 )an-i.bi

_{(c) Jika bilangan real c}

i 0 untuk i=1,2, . . . ,n , maka n2 (c1 + c2 + . . . + cn).( 1 𝑐1 + 1 𝑐2 + . . . + 1 𝑐𝑛 ) . 9. Jika A dan B dua himpunan bilangan real, buktikan bahwa :

sup(A ∩ 𝐵) sup(A) sup(A B) dan inf(A ∩ 𝐵) inf(A)

inf(A B)

10. Diketahui A suatu himpunan bilangan real yang tak kosong. Buktikan bahwa :

(a) Jika a > 0 maka

inf(a.A) = a.inf(A) dan sup(a.A) = a.sup(A) . (b) Jika a < 0 maka

inf(a.A) = a.sup(A) dan sup(a.A) = a.inf(A) .

11. Diketahui X suatu himpunan yang tak kosong dan fungsi f : X merupakan fungsi terbatas. Jika a bilangan real positif, buktikan bahwa :

(a) sup{a + f(x) : x 𝜖 X } = a + sup{f(x) : x 𝜖 X }

Barisan dan deret

(b) inf{a + f(x) : x 𝜖 X } = a + inf{f(x) : x 𝜖 X }.

12. Jika A, B ⊂ ℛ didefiniskan A + B = { a + b : a 𝜖A dan b 𝜖 B }. Buktikan bahwa

sup( A + B ) ≤ sup(A) + sup(B) dan inf(A + B) ≥ inf(A) + inf(B)

BAB II

BARISAN dan DERET BILANGAN REAL

Setelah mengingat kembali tentang bilangan real atau tepatnya sistem bilangan real, pembicaraan tentang barisan dan deret bilangan real disajikan di dalam Bab II ini. Pembicaraan tentang barisan dan deret bilangan komplex akan jelas setelah pembicaraan tentang barisan dan deret bilangan real selesai.

2.1 Barisan bilangan real

Definisi 2.1.1 : Yang dimaksud dengan barisan bilangan real(sequence of real numbers) adalah himpunan bilangan real terurut (ordered set of real numbers) {a1 ,a2 ,a3 , . . . } yang ditulis singkat dengan {an} ;

a1 ,a2 ,a3 , . . . masing-masing disebut unsur (term) atau anggota

dan ai disebut unsur ke-i barisan itu.

Berdasarkan definisi tersebut, barisan bilangan real {an} dapat

di-pandang sebagai himpunan terurut atau suatu fungsi f : 𝓡 dengan a1 = f(1), a2 = f(2), a3 = f(3), dan seterusnya yang umumnya

aj = f(j) .

Selanjutnya dan agar lebih singkat, yang dimaksud dengan barisan

yaitu barisan bilangan real asalkan tak ada penjelasan apa-apa dan yang dimaksud dengan bilangan adalah bilangan real.

Contoh :

1. {1

𝑛} merupakan barisan (barisan bilangan real) dengan unsur ke-k adalah ak = 1

𝑘. Jika barisan itu dipandang sebagai fungsi g : ,

maka g(k) = ak = 1

𝑘 . {an}= { 1

𝑛}dan jika barisan itu dipandang sebagai

himpunan terurut dapat ditulis sebagai berikut : { 1 , 1 2 ,

1

3 , . . . }. 2. {𝑘+1

𝑘 } merupakan barisan dengan unsur ke-i yaitu bi = 𝑖+1 𝑖 , jadi {bk} = {𝑘+1 𝑘 } 3. {𝑛 2 𝑛+1} dan { (−1)𝑘 𝑘2 (𝑘 + 1) 3_{} merupakan barisan .}

Jika S menotasikan koleksi semua barisan (barisan bilangan real), maka S merupakan aljabar (algebra), yaitu :

(a) S merupakan ruang linear (ruang vektoratas lapangan ), artinya

(i) Operasi jumlahan(+) di dalam bersifat tertutup : Setiap {an], {bn} 𝜖 S didefinisikan

{an}+ {bn} = {an+bn} 𝜖 S ,

(ii) Operasi perkalian skalarterpenuhi : Untuk setiap skalar (bilang- an real) c dan {an} 𝜖 S didefinisikan

c.{an} = {c.an} 𝜖 S , dan

(b) Operasi hasilganda (.) di dalam S bersifat tertutup : Setiap{an],{bn}

𝜖 S didefinisikan

{an}.{bn} = {an.bn} 𝜖 S .

Perlu dicatat bahwa jika diketahui barisan {an}, {bn} 𝜖 S dengan bn

0 untuk setiap n, yang dimaksud dengan barisan {𝑎𝑛 }

{𝑏𝑛} adalah barisan {𝑎𝑛 𝑏𝑛} ; jadi {𝟏 𝒃𝒏} = 𝟏 {𝒃𝒏 } dan {𝒂𝒏 } {𝒃𝒏}

= {

𝒂𝒏 𝒃𝒏

}

.

asalkan bn≠

0.

Contoh :

1. Jika diketahui barisan-barisan {𝑛 2 𝑛+1}, {

𝑛+1

𝑛 }, dan scalar ( bilangan real) c, maka (i) {𝑛 2 𝑛+1}+{ 𝑛+1 𝑛 } = {{ 𝑛2 𝑛+1 + 𝑛+1 𝑛 } = { 𝑛3_+(𝑛+1)2 𝑛(𝑛+1) } . (ii) c{𝑛 2 𝑛+1} = {c. 𝑛2 𝑛+1} = { 𝑐.𝑛2 𝑛+1} . (iii) {𝑛 2 𝑛+1}.{ 𝑛+1 𝑛 } = { 𝑛2 𝑛+1. 𝑛+1 𝑛 } = {n} . (iv) {𝑛 2 𝑛+1}/{ 𝑛+1 𝑛 } = { 𝑛2 𝑛+1/ 𝑛+1 𝑛 } = { 𝑛3 (𝑛+1)2 } .

Dengan {an(k)} {an}, dibaca : {an(k)} merupakan barisan-bagian

(sub-sequence) barisan {an}, jika setiap unsur an(k)𝜖 {an}.

Contoh : 2. Barisan barisan { 1 2.(𝑛+1)}, { 1 2.𝑛), dan { 1 3.𝑛} masing-masing merupakan barisan-bagian barisan {1

𝑛}, karena untuk setiap n masing-masing 1 2.(𝑛+1), 1 2.𝑛 , 1 3.𝑛 anggota { 1 𝑛}.

Kekonvergenan dan kedivergenan suatu barisan

Definisi 2.1.2 : Barisan {an} dikatakan konvergen (convergent) jika ada bilangan k sehingga untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bi-langan asli no dan untuk setiap bilangan asli n no benar bahwa

|an – k| < 𝜀.

Pengertian tersebut ditulis singkat dengan

𝐥𝐢𝐦

𝒏→∞𝒂𝒏 = k atau {an} k untuk n → ∞,

dan bilangan k disebut limit barisan {an}, dan dikatakan barisan {an}

konvergen ke k . Barrisan yang tak konvergen dikatakan divergen.

Berdasarkan definisi tersebut diperoleh teorema di bawah ini.

Teorema 2.1.3 :Jika barisan {an} konvergen maka limitnya tunggal. Bukti : Jika bilangan k dan g merupakan limit barisan {an}, maka berdasarkan Definis1 2.1.3 untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan-bilangan asli n1 dan n2 sehingga jika bilangan asli

(i) n n1 benar bahwa |an – k| < 𝜀

2 , (ii) n n2 benar bahwa |an – g| < 𝜀

2 .

Dengan mengambil bilangan asli no = maks{n1,n2} dan jika bilangan asli

n no diperoleh

0 |k – g| |k – an| + |an – g| < 𝜀

2 + 𝜀 2 = 𝜀, yang berarti k = g, menurut Teorema1.2.8, dan bukti selesai.

Contoh :

1. Barisan {𝑛+1

𝑛 } konvergen ke bilangan 1, sebab jika diambil sebarang bilangan 𝜀 >0 dapat ditunjukkan bahwa ada bilangan asli no ga jika bilangan asli n no berakibat

| 𝑛+1 𝑛 - 1| < 𝜀, 1 𝑛 < 𝜀, atau n > 1 𝜀 .

yaitu sebagai berikut. Dipilih bilangan asli no = bilangan asli perama yang lebih besar dari pada1

𝜀 . Dengan demikian diperoleh untuk seti- ap bilangan asli n no ( no >1

𝜀 ) benar bahwa |𝑛+1

𝑛 - 1| < 𝜀

yang dengan kata lain terbukti bahwa barisan {𝑛+1

𝑛 } konvergen ke 1 atau lim 𝑛→∞ 𝑛+1 𝑛 = 1 2. Barisan {(-1)n 1

𝑛} konvergen ke bilangan 0 atau 𝑛→∞lim(−1) 𝑛 1

𝑛 =

0,sebab untuk sebarang bilangan 𝜀 >0 dapat ditemukan bilangan asli no sehingga jika bilangan asli n ≥ no benar bahwa

|(-1)n1 𝑛 - 0| = | 1 𝑛 | = 1 𝑛 < 𝜀, 1 𝑛 < 𝜀, atau n > 1 𝜀 .

Bilangan asli no dapat dipilih mana saja asalkan lebih besar daripada 1

𝜀 . Dalam praktek, sebagai contoh, jika diambil bilangan 𝜀 = 0,0105 maka jikabilangan asli n > 1

0,0105 yang berarti n no = 100, dipero- leh unsur ke-100 atau lebih selisihnya dengan 0 (limit barisan) sudah lebih kecil daripada 𝜀 = 0,0105.

3. Barisan {𝑛 2

𝑛+1} divergen karena lim𝑛→∞ 𝑛2

𝑛+1 = yang artinya setiap ditunjuk bilangan M > 0 selalu terdapat bilangan asli n sehingga 𝑛

2 𝑛+1 > M

atau setiap menunjuk bilangan k selalu lim

𝑛→∞ 𝑛2 𝑛+1 k .

Barisan {an} dikatakan terbatas (bounded) jika ada bilangan M > 0 sehingga untuk setiap bilangan asli n benar bahwa

| an | M atau -M < an < M.

Dengan kata lain barisan terbatas jika dan hanya jika barisan itu terbatas ke-atas dan terbatas ke-bawah.

Teorema 2.1.4 : Setiap barisan yang konvergen terbatas.

Bukti :Diambil {an} sebarang barisan yang konvergen; katakan

konvergen ke k. Jadi untuk bilangan 𝜀 = 1 dapat ditemukan bilangan asli

no sehingga jika bilangan asli n no berlaku

(a) |an – k| < 1 yang berakibat |an| < k + 1.

(b) Selanjutnya diambil bilangan M = maks{|a1|, |a2|, . . . ,|𝑎_𝑛𝑜−1|, k + 1}. Berdasarkan hasil (a) dan (b) diperpleh : untuk setiap bilangan asli n benar bahwa

|an| M

yang dengan kata lain barisan {an} terbatas.

Teorema 2.1.5 : Jika c suatu skalar dan barisan {an}, {bn} berturut-turut konvergen ke k dan l, maka barisan-barisan {c.an}, {an + bn}, {an.bn}, dan {𝑎𝑛

𝑏𝑛 } dengan bn ≠ 0 untuk setiap n berturut-turut

konvergen ke c.k, k + l, k. dan 𝑘

𝑙 asalkan l ≠ 0.

Dengan bahasa yang sama : jika lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = k dan lim→∞𝑏𝑛 = l, maka

(a) lim

𝑛→∞ 𝑐. 𝑎𝑛 = c. lim𝑛→∞𝑎𝑛 = c.k ,

(b) lim

𝑛→∞ ( 𝑎𝑛+ 𝑏𝑛) = 𝑛→∞lim 𝑎𝑛+𝑛→∞lim 𝑎𝑛 = k + l, (c) lim

𝑛→∞(𝑎𝑛. 𝑏𝑛) = 𝑛→∞lim 𝑎𝑛. lim→∞𝑏𝑛 = k.l, dan (d) lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = lim 𝑛→∞𝑎𝑛 lim 𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝑘 𝑙 asalkan l≠ 0.

Bukti : Karena barisan {an} dan barisan {bn} berturut-turut konvergen ke k dan l maka, menurut Teorema 2.1.4, {an} dan{bn} terbatas ; jadi ada bilangan positif M1 dan M2 sehingga untuk setiap bilangan asli n be- nar bahwa |an| M1 dan |bn| M2 . Lebih dari itu, untuk sebarang bi-langan 𝜀≥ 0 terdapat bilangan asli n1 dan n2 sehingga

(i) jika bilangan asli n n1 benar bahwa

|an – k| < 𝜀

2.(𝑀2+1) dan |k| M1 , (ii) jika bilangan asli n n2 benar bahwa |bn – l| < 𝜀

2.(𝑀1+1) .

Oleh karena itu untuk bilangan asli n maks{n1, n2} = no diperoleh : (a) |c.an – c.k| = |c|.|an – k| < |c|. 𝜀

2.(𝑀2+1) < |c|. 𝜀 yang dengan kata lain terbukti bahwa barisan {c.an} konvergen ke c.k atau lim

𝑛→∞>𝑐. 𝑎𝑛 = c. lim 𝑛→∞>𝑎𝑛 = c.k . (b) |(an + bn) – (k – l)| |an – k| + |bn – l| < 𝜀 2.(𝑀2+1) + 𝜀 2.(𝑀1+1)< 𝜀 2 + 𝜀

2 = 𝜀 yang dengan kata lain terbukti bahwa barisan {an + bn}konver- gen ke k + l atau

lim

Barisan dan deret (c) |an.bn - k.l| |an – k|.|bn| + |k|.|bn – l| 𝜀 2.(𝑀2+1) .M2 + M1. 𝜀 2.(𝑀1+1) < 𝜀 2 + 𝜀

2 = 𝜀 yang dengan kata lain terbukti bahwa barisan {an.bn} konvergen ke k.l atau

lim

𝑛→∞∞𝑎𝑛 .bn = 𝑛→∞lim 𝑎𝑛.𝑛→∞lim 𝑏𝑛 = k .l .

(d) Barisan {bn} terbatas berarti {bn} terbatas ke bawah dan karean bn

0 untuk setiap bilangan asli n maka ada bilangan positif m sehinnga m

| bn|. Oleh karena itu untukbilangan asli n no di atas diperoleh : | 1 𝑏𝑛 - 1 𝑙 | = | 𝑏𝑛−𝑙 𝑏𝑛 .𝑙 | = 1 |𝑏𝑛 |.|𝑙| . | 𝑏𝑛- l | 1 𝑚|𝑙| . 𝜀 2.(𝑀1+1) yang berarti lim 𝑛→∞ 1 𝑏𝑛 = 1 lim 𝑛→∞𝑏𝑛 = 1 𝑙 . Jadi, berdasarkan (c) dan hasil terakhir tesebut diperoleh lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑛→∞lim 𝑎𝑛 . 1 𝑏𝑛= lim𝑛→∞ 𝑎𝑛. lim𝑛→∞ 1 𝑏𝑛 = lim 𝑛→∞𝑎𝑛. 1 lim 𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝑘 𝑙 Bukti selesai. ∎ Contoh : 1..Jika {an} = {2𝑛+1 𝑛 } dan {bn} = { 𝑛−1 3𝑛+2} berdasarkan Teorema 2.3.5 dihitung lim

𝑛→∞2𝑏𝑛, 𝑛→∞lim(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) , 𝑛→∞lim 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 , dan lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 . Penyelesaian : lim 𝑛→∞2𝑏𝑛 = 2. lim𝑛→∞𝑏𝑛 = 2.𝑛→∞lim 𝑛−1 3𝑛+2 = 2. 1 3 = 2 3 lim

𝑛→∞(𝑎𝑛+ 𝑏𝑛) = 𝑛→∞lim 𝑎𝑛 + 𝑛→∞lim 𝑏𝑛 = 𝑛→∞lim 2𝑛+1 𝑛 + lim𝑛→∞ 𝑛−1 3𝑛+2 = 2 + 1 3 = 21 3 . lim 𝑛→∞𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = 𝑛→∞lim 2𝑛+1 𝑛 . 𝑛→∞lim 𝑛−1 3𝑛+2 = 2. 1 3 = 2 3. lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑛→∞ lim𝑎𝑛. 1 lim 𝑛→∞𝑏𝑛 = 2 . 11 3 = 2 . 3 = 6 .

Sekali lagi tentang barisan terbatas . Karena barisan (barisan bilangan real) dapat dipandang sebagai himpunan (himpunan bilangan real), maka ada pengertian barisan terbatas ke atas, barisan terbatas ke

Barisan dan deret

bawah, dan barisan terbatas. Jadi, seperti pada himpunan (lihat Teorema 134 A dan B) :

(a) Barisan {an} dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan real M1

sehingga an M1 untuk setiap n ; bilangan M1 disebut batas atas barisan

itu dan batas atas yang paling kecil disebut batas atas terkecil (bat), supremum (sup), atauthe least upper bound(lub).

(b) Barisan {an} dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan real m1

sehingga m1 ≤ an untuk setiap n ; bilangan m1 disebut batas bawah ba- risan itu dan batas bawah yang paling besar disebut batas bawah ter- besar(bbt), infimum (inf), atau the greatest lower bound(glb).

(c) Barisan {an} dikatakan terbatas jika barisan itu tebatas ke atas atau terbatas ke bawah.

Contoh :

1. (i) Barisan {𝑛+1

𝑛 } merupakan barisan tebatas ke bawah karena ada bilangan m1 = 1, 1

2, 0, -1, . . . merupakan batas-batas bawah barisan itu. 1 merupakan batas bawah yang paling besar, jadi

bbt{𝑛+1

𝑛 } = inf{ 𝑛+1

𝑛 }= 1,

karena untuk sebarang bilangan 𝜀 >0 ada bilangan asli no ( no > 1 - 1

𝜀 ) sehingga untuk no no benar bahwa 1 ≤ 𝑛+1

𝑛 < 1+𝜀 . (ii) Barisan { 𝑛

2𝑛+1 } merupakan barisan terbatas ke atas karena ada bilangan M1 = 1

2 , 2

3 , 1, . . .yang merupakan batas-batas atas barisan itu. Ternyata bilangan 1

2 merupakan batas atas terkecilnya , jadi sup{ 𝑛

2𝑛+1 } = 1 2 ,

karena untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no (no > 2𝜀−1

4𝜀−1 ) sehingga untuk n > no benar bahwa 1 2 –𝜀 < 𝑛 2𝑛+1 1 2 , me- ngapa ? (ii) Barisan { 𝑛 2

2𝑛+3 } tak terbatas ke atas, sebab setiap diambil bi- langan M > 0 ada bilangan asli no ( no > 2M +3 ) sehingga untuk n

no benar bahwa 𝑛 2

Barisan dan deret

Definisi 2.1.6 :Barisan{an} dikatakan :

(i) naik monoton (monotonic nondecreaing) jika untuk setiap bilangan asli n benar bahwa

an an+1 ,

(ii) turun monoton (monotonic nonincreasing) jika untuk setiap bilang- asli n benar bahwa

an+1 an ,

(iii) monoton (monotone) jika barisan itu naik monoton atau turun mo- noton .

Contoh :

1. (a) Barisan { 𝑛 2

2𝑛+3 } naik monoton, sebab an = 𝑛

2 2𝑛+3

(𝑛+1)2

2(𝑛+1)+3 = an+1 untuk setiap bilangan asli n.

(b) Barisan { 𝑛+1

𝑛 } turun monoton, sebab bn+1 = 𝑛+1

𝑛

(𝑛+1)+1

𝑛+1 = bn untuk setiap bilangan asli n .

2. Barisan {an} dengan an = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . . + 1 𝑛 merupakan barisan yang naik monoton an < an + 1

𝑛+1 = an+1 untuk setiap bilangan asli n

Teorema 2.1.7 : Setiap barisan terbatas mempunyai barisan bagian yang monoton. Lebih jelasnya :

(i) Setiap barisan yang terbatas ke-atas mempunyai barisan bagian yang naik monoton.

(ii) Setiap barisan yang terbatas ke-bawah mempunyai barisan bagian yang turun monoton .

Bukti : (i) Diambil sebarang barisan {an} yang terbatas ke atas ; jadi{an} mempunyai batas atas terkecil, namakan bat{an] = M. Hal ini berar-ti untuk sebarang bilangan asli k (𝜀=1

𝑘) ada an(k) 𝜖 {an}sehingga M - 1

Barisan dan deret

Diperoleh barisan bagian {an(k)} {an}. Karena M - 1

𝑘 < M - 1 𝑘+1 <

an(k+1) maka an(k) an(k+1) yang berarti {an(k)} barisan bagian yang naik

monoton Bukti dengan cara yang lain sebagai berikut. Untuk setiap bilangan asli k diambil

an(k) = maks{a1 ,a2 , . . . . ,ak}.

Jika ada dua atau lebih unsur yang memenuhi diambil unsur yang bernomor urut yang paling besar. Dengan cara demikian diperole barisan bagian {an(k)} ⊂ {an} yang naik monoton karena an an(k+1) . (ii) Bulti bagian (ii) sejalan dengan bukti bagian (i) .

Teorema 2.1.8 :

(i) Barisan yang naik monoton dan terbatas ke atas akan kon-vergen ke batas atas terkecilnya

(ii) Barisan yang turun monoton dan terbatas ke bawah akan konvergen ke batas bawah terbesarnya .

Bukti : (i) Diambil sebarang barisan {an} yang naik monoton dan terbatas ke atas ; namakan M = bat{an}. Jadi diperoleh bahwa untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga setiap bilangan asli n no benar bahwa

M - 𝜀 < an ≤M < M + 𝜀

yang dengan kata lain barisan {an} konvergen ke M ( lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = M ) . (ii) Bukti bagian (ii) sejalan dengan bukti bagian (i) .

Teorema di atas secara tak langsung mengatakan : Barisan yang naik monoton dan tak terbatas ke atas akan divergen, demikian pula, barisan yang turun monoton dan tak terbatas ke bawah akan divergen.

Contoh 2 di bawah ini memperlihatkan bahwa bilangan Euler dapat di- pandang sebagai bat suatu barisan naik monoton dan terbatas ke-atas.

Barisan dan deret

Contoh :

1. Barisan {𝑛+1

𝑛 } turun monoton dan terbatas ke bawah dengan bbt{𝑛+1

𝑛 } = 1. Jadi barisan {𝑛+1

𝑛 } konvergen ke batas bawah terbesarnya yaitu 1 atau

lim

𝑛→∞ 𝑛+1

𝑛 = 1.

2. Bilangan Euler : Diselidiki barisan {an} ={ (1+1 𝑛)

n_{}. Dengan}

binomium Newton diperoleh : an = (1+ 1 𝑛 ) n _{= 1 +} 1 1! + 1 2! .1.(1-1 𝑛) + 1 3!.1.(1- 1 𝑛).(1- 2 𝑛) + . . . + 1 𝑛!. 1.(1- 1 𝑛).(1- 2 𝑛). . . (1- 𝑛−1 𝑛 ) . an+1 = (1+ 1 𝑛+1) n+1 _{=1 +} 1 1! + 1 2! .1.(1-1 𝑛+1) + 1 3!.1.(1- 1 𝑛+1).(1- 2 𝑛+1) + . . . + 1 (𝑛+1)!. 1.(1- 1 𝑛+1).(1- 2 𝑛+1). . . . (1- 𝑛 𝑛+1) . Mudah dilihat bahwa an < an+1 untuk setiap n ≥ 1 yang berart baris- an {an} ={(1+1

𝑛)

n_{} naik monoton. Selanjutnya dari kesamaan perta-}

ma di atas diperoleh an < 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + . . . + 1 𝑛! < 1 +1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + . . . . + 1 2𝑛−1 < 1 + ∑ 1 2𝑘 ∞ 𝑘=0 = 3

yang mengatakan bahwa barisan { (1+1 𝑛)

n_{} terbatas ke atas.}

Karena barisan{an} = {(1+1 𝑛)

n_{} terbukti naik monoton dan terbatas}

ke atas, maka menurut Teorema 2.3.7 di atas barisan { (1+1 𝑛)

n_}

konvergen ke batas atas terkecilnya dan batas atas terkecilbya dino- tasikan dengan huruf e dan yang disebut bilangan Euler ( Euler number ). Jadi 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞(𝟏 + 𝟏 𝒏 ) n _{= bat{ (1+} 𝟏 𝒏) n_{} = e .}

Perlu dicatat bahwa e = lim 𝑛→∞(1 + 1 𝑛 ) n _{= lim} 𝑛→∞{1 + 1 1!+ 1 2!. 1. (1 -1 𝑛) +1 3!.1.(1- 1 𝑛)(1- 2 𝑛) + . . . . + 1 𝑛!.1.(1- 1 𝑛)(1- 2 𝑛) . . . . (1 – 𝑛−1 𝑛 ) } = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + . . . .

Barisan dan deret

Jika dihitung sampai dengan suku ke-15 diperoleh :

2,718281828459045 < e < 2,718281828459046 yang berarti bilangan Euler

e 2,718281828459045

benar sampai dengan 15 angka (digit) di belakang koma .

3. Mencari √𝒂 : Diketahui bilangan a > 0 dan barisan {sn} dengan s1 > 0 dan sn+1 = 1

2( sn + 𝑎

𝑠𝑛 ). Karena sn memenuhi persamaan kwadrat 𝑠𝑛 2 – 2.sn+1.sn + a = 0, maka persamaan itu mempunyai akar real . Oleh karena itu diskriminannya nonnegatif 4.𝑠_𝑛+12 – 4.a 0 atau 𝑠_𝑛+1 2 ≥

a untuk n 1. Jadi {sn} barisan terbatas ke bawah Lebih lanjut : sn – sn+1 = sn - 1 2 (sn + 𝑎 𝑠𝑛) = 1 2.𝑠𝑛 . (𝑠𝑛 2 _{- a) 0 atau sn+1 sn} yang berarti barisan {sn} turun monoton. Jadi barisan {sn} konver- gen ke batas bawah terbasarnya, katakana bbt{sn} = s . Dengan menggunakan Teorema 2.3.5 diperoleh s = 1

2( s+ 𝑎

𝑠 ) , s

2 _{= a , atau s = √𝑎 .}

Jadi untuk mencari nilai pendekatan bilangan √𝑎 dapat menggunakan rumus iteratif ( iterative formular ) :

sn+1 = 𝟏 𝟐 ( sn + 𝒂 𝒔𝒏 ). 4. Barisan {an} dengan an = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . . + 1 𝑛 jelas merupakan barisan naik monoton karena an < an+1 (an+1 – an =

1 𝑛+1 > 0). Lebih lanjut, a1 = 1, a2 = 1 + 1 2 , a3 = 1 + 1 2 + 1 3 > 1 + 1 2 , a4 = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4) > 1 + 1 2 + 1 2 , a8 = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8) > 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 Umumnya 𝑎_2𝑛 > 1 + (n-1).1

2 . Hal ini berarti barisan {an} naik mo- noton dan tak terbatas ke atas :

lim

𝑛→∞𝑎𝑛 > 𝑛→∞lim(1 + (𝑛 − 1). 1

Barisan dan deret

Berdasarkan Teorema 2.1.8 diperoleh teorema penting di bawah ini yang mempunyai banyak pemakaian dalam bidang analisis selanjutnya.

Teoema 2.1.9 ( Teorema Selang Susut) :

Jika barisan selang tertutup {[an,bn]} memenuhi sifat-sifat :

(i) [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] untuk setiap bilangan asli n dan

(ii) lim

𝑛→∞(bn-an) = 0

maka terdapat dengan tunggal titik xo𝜖[an,bn] untuk setiap n.

Bukti : Karena [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] untuk setiap bi;angan asli n maka

barisan binagan {an} naik monoton terbatas ke atas dan barisan bilangan

{bn} turun monoton dan terbatas ke bawah. Oleh karena itu ada dengan

tunggal, menurut Teorema 2.1.8, bilangan a dad b sehingga lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = bat{an} = a dan 𝑛→∞lim 𝑏𝑛 = bbt{bn}= b.

Tinggal memperlihatkan a = b. Diambil sebarang bilangan 𝜀 > 0. Pertama, andaikan a < b maka dapat dipilih bilangan asli no sehingga

untuk setiap bilangan asli n > no benar bahwa

a – 𝜀 < an≤ a < a + 𝜀 dan b – 𝜀 < b ≤ bn < b + 𝜀

yang berakibat bn – an > (b + 𝜀) – (a – 𝜀) = b – a + 2𝜀 atau

lim

𝑛→∞(bn – an) = b – a < 0,

merupakan suatu kontradiksi. Ke-dua, andaikan b < a. Dengan cara yang sama diperoleh bn – an > (b - 𝜀) – (a + 𝜀) = b – a - 2𝜀 atau

lim

𝑛→∞(bn – an) = b – a > 0,

juga merupakan suatu kontradiksi. Jadi yang benar adalah a = b dan bukti selesai dengan mengambil xo = a = b. ∎

Definisi 2.1.10 : Barisan {an} disebut barisan Cauchy (Cauchy se-quence) atau barisanfundamental(fundamental sequence) jika untuk

Barisan dan deret

setiap bilangan 𝜀 > 0 ada bilangan asli no sehingga jika dua bilangan asli m, n nobenar bahwa

|am – an| < 𝜀 .

Beberapa teorema di bawah ini mengenai barisan Cauchy.

Teorema 2.1.11 : Setiap barisan Cauchy terbatas.

Bukti : Menurut Definisi 2.1.9 tersebut jika {an} barisan Cauchy, untuk bilangan 1 (𝜀 = 1) maka ada bilangan asli no sehingga jika dua bilangan

m, n no benar bahwa |

|am – an| ≤ 1. Oleh karena itu diperoleh :

|𝑎_𝑛𝑜 - an| < 1 yang berakibat |an| < |𝑎_𝑛𝑜| + 1 untuk setiap n no . Selanjutnya, jika diambil bilangan M = maks{|a1|, |a2|, . . . , | 𝑎𝑛𝑜−1|, |𝑎_𝑛𝑜| + 1} diperoleh

|an| ≤ M

untuk setiap bilangan asli n yang berarti barisan {an} terbatas.

Berdasarkan teorema tersebut,Teorema 2.1.7, dan Teorema 2.1.8 dapat ditarik kesempulan bahwa setiap barisan Cauchy mempunyai barisan bagian yang konvergen.

Teorema 2.1.12 : Setiap barisan Cauchy konvergen dan, sebaliknya, setiap barisan yang konvergen merupakan barisan Cauchy .

Bukti : Diambil sebarang barisan Cauchy {an}. Menurut Teorema 2.3. 10, barisan {an} terbatas dan menurut Teorema 2.3.7 setiap barisan yang terbatas mempunyai barisan bagian yang monoton. Katakan barisan bagian yang monoton itu {an(k)}. Karena monoton {an(k)}

{an}terbatas maka, menurut Teorema 2.3.8, barisan {an(k)} konvergen,

Barisan dan deret

dipilih bilangan aski no sehingga untuk setiap bilangan asli m, n, n(k)

no benar bahwa

|am – an| < 𝜀

2 dan |an(k) – k| < 𝜀 2 .

Hal ini berakibat bahwa untuk setiap bilangan asli n > no benar bahwa |an – k| |an – an(k)| + |an(k) – k| < 𝜀

2 + 𝜀 2 = 𝜀 ,

Dengan kata lain terbukti bahwa barisan Cauchy {an} konvergen ( ke k

pula) .Sebaliknya, jika {an} barisan yang konvergen maka ada bilangan

c sehingga untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no

sehingga untuk setiap bilangan asli n no benar bahwa

|an – c| < 𝜀 2 .

Oleh karena itu untuk setiap dua bilangan asli m,n > no benar bahwa

|am – an| |am – c| + |c – an| < 𝜀 2 +

𝜀 2 = 𝜀.

Dengan kata lain terbukti bahwa setiap barisan yang konvergen merupakan barisan Cauchy.

Barisan bilangan komplex

Jika untuk setiap bilangan asli n diketahui dua bilangan real andan

bn , maka barisan bilangan {zn}

= {a

n

+bni

}, dengan zn = an

+bni

,

disebut barisan bilangan komplex (sequence of complex numbers). Mudah difahami bahwa

{zn}

= {a

n

+bni

} = {an} + {bn}.i

dan {an} disebut barisan bagian real dan {bn} disebut barisan bagian imaginer. Deret bilangan complex {zn}

= {a

n

+bni

} dikatakan

konvergen jika ada bilangan complex z = a + bi sehingga untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no dan jika bilangan asli n > no

|zn – z| = |(an+bni) – (a+bi)| = |(an – a) + (bn – b)i|

Barisan dan deret

= √(𝑎_𝑛− 𝑎)2 _{+ (𝑏}

𝑛− 𝑏)2 < 𝜀 Oleh karena itu diperoleh :

Teorema 2.1.13 : Barisan bilangan komplex {zn}

= {a

n

+bni

}

kon-vergen jika dan hanya jika barisan bagian realnya yaitu {an

}

konver-gen dan barisan bagian imaginernya yaitu {bn} konvergen.

Latihan 2.1

1. Diketahui barisan-barisan { 𝑛 (𝑛+1)}, { (−1)𝑘 𝑘2 }, {1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . +(-1)n+11

𝑛 }.Tentukan unsur-unsur yang ke-3, ke-6, ke-11, dan yang ke-j.

2. Jika diketahui barisan-barisan {an} = {𝑛−1

𝑛 } dan {bk} = { 𝑘2

𝑘(𝑘+1)}, ca- rilah barisan-barisan {an – bn}, {ak + 2.bk}, {an.bn}, {𝑎𝑘

𝑏𝑘 }, { 1

𝑛 . bn} . 3. Di antara barisan-barisan di bawah ini mana yang terbatas ke atas, mana yang terbatas ke bawah, dan mana yang tak terbatas.

{𝑛 2 𝑛+1}, { 𝑛−1 𝑛 }, { 𝑘2 𝑘(𝑘+1)}, {∑ 1 2𝑘 𝑛 𝑘=1 }, {(1+ 2 𝑛) n_},{𝑛+1 𝑛 }, dan ∑ 𝑘 −𝑝 𝑛 𝑘=1

(0< p ≤ 1, p > 1) Lebih lanjut, jika barisan tersebut terbatas ke atas carilah batas atas terkecilnya serta buktikan dan jika barisan tersebut terbatas ke bawah carilah batas bawah terbesarnya serta buktikan . 4. Carilah nilai limit barisan-barisan di dalam soal No.3.

5. Buktikan bahwa barisan : (a) {𝑛−1 2𝑛+3} konvergen ke 1 2 , (b) { 1−2𝑛 𝑛+1} konvergen ke -2 , (c) {−3𝑛+1 2𝑛+1} konvergen ke −3 2 , (d) { 𝑛2_−2𝑛+3 2𝑛2_+𝑛 } konvergen ke 1 2 , (e) {∑𝑛_𝑘=0𝑎. 𝑟𝑘} konvergen ke 𝑎

1−𝑟 untuk |r| < 1 dan divergen untuk |r| 1 .

6. Diketahui barisan {an} konvergen ke k dan barisan {bn} konvergen ke l dengan bn > 0 untuk setiap n .

a. Jika c suatu bilangan, buktikan bahwa lim

𝑛→∞𝑐

𝑎𝑛 _{= 𝑐𝑛→∞}lim𝑎𝑛 = 𝑐𝑘 .

b. Jika c > 0 dan l > 0, buktikan bahwa barisan {clogbn} konvergen

Barisan dan deret

ke clog l .

c.. Jika k ≠ 0atau l≠ 0, buktikan bahwa barisan {𝑎_𝑛𝑏𝑛_{} konvergen} ke kl _.

7. Buktikan Teorema 2.1.1

2.2 Deret bilangan real

Definisi 2.2.1 : Jika untuk setiap bilangan asli k diketahui bilangan real ak , maka jumlahan

∑∞𝒌=𝟏𝒂𝒌= a1 + a2 + a3 + . . . .

disebut deret bilangan real (series of real numbers) atau cukup disebut

deret saja asalkan tak diberi penjelasan lebih lanjut ; ak disebut suku

ke-k deret tersebut .

Berdasarkan pengertian tersebut, untuk ak, sebarang bilangan asli k,

nilainya boleh nol atau tak nol ( positif atau negatif ) , Jika banyaknya suku suatu deret yang tak sama dengan nol hingga maka deret disebut deret suku hingga. Sebaliknya, deret suku hingga dapat dipandang deret suku tak hingga dengan memandang suku-suku yang lain sama dengan nol semuanya. Contoh : 1. (a) Deret ∑∞_𝑘=1𝑎_𝑘 = ∑ 1 𝑘 ∞ 𝑘=1 = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . . a9 = suku ke-9 = 1

9 , a100 = suku ke-100 = 1 100 (b) Deret ∑∞_𝑖=1𝑏_𝑖 = ∑∞ (−1)𝑖 𝑖=0 1 𝑖! = 1 - 1 1! + 1 2! - 1 4! + . . . . b0 = suku ke-0 = (-1)0.1 0! = 1, b5 = suku ke-5 = (-1) 5_.1 5! = - 1 5!

Jika diketahui suatu deret

∑∞𝒌=𝟏𝒂𝒌= a1 + a2 + a3 + . . . . ,

Untuk setiap bilangan asli n dibentuk

Barisan dan deret

Sn disebut jumlah parsial n suku pertama (n-th partial sum) deret

se-mula. Oleh karena itu diperoleh barisan {Sn} yang disebut barisan jum-

lah parsial ( sequence of partial sums) deret tersebut. Mudah difahami bahwa

an = Sn– Sn-1 dan ∑∞_𝒌=𝟏𝒂_𝒌= 𝐥𝐢𝐦

𝒏→∞∑ 𝒂𝒌

𝒏

𝒌=𝟏 = 𝐥𝐢𝐦_𝒏→∞𝑺𝒏 .

Berdasarkan kesamaan terakhir tersebut diangkat definisi sebagai terse- ut di bawah ini.

Definisi 2.2.2 : Deret ∑∞_𝑘=1𝑎_𝑘 dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsialnya yaitu {Sn} konvergen.

Jadi berdasarkan definisi dan kesamaan terakhir tersebut di atas diper- oleh pernyataan-pernyataan di dalam teorema sebagai berikut.

Teorema 2.2.3 :

(i) Deret ∑∞_𝑘=1𝑎_𝑘konvergen jika dan hanya jika ada bilangan S se- hingga

𝐥𝐢𝐦

𝒏→∞𝑺𝒏 = S .

(ii) Deret ∑∞_𝑘=1𝑎_𝑘konvergen jika dan hanya jika ada bilangan S se- hingga

∑∞𝒌=𝟏𝒂𝒌= 𝐥𝐢𝐦_𝒏→∞∑𝒏𝒌=𝟏𝒂𝒌= 𝐥𝐢𝐦_𝒏→∞𝑺𝒏 = S .

(iii) Deret ∑∞𝑘=1𝑎𝑘konvergen jika dan hanya jika ada bilangan S se-

hingga untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no dan jika bilangan asli n no benar bahwa

|Sn – S| = | ∑𝒏_𝒌=𝟏𝒂_𝒌 - S | < 𝜀 .

(iv) Deret ∑∞_𝑘=1𝑎_𝑘konvergen jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga