BARISAN FUNGSI

Integral, Barisan Fungsi, Pertukaran Limit dan Integral

16. BARISAN FUNGSI

16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan membahas keluarga fungsi yang membentuk suatu barisan. Dalam aplikasi, barisan fungsi muncul ketika kita berupaya menghampiri sebuah fungsi dengan keluarga fungsi yang kita kenal baik.

Sebuah barisan fungsi adalah suatu pengaitan n 7→ f_n, n ∈ N, yang kita tuliskan sebagai hfni. Di sini fnmerupakan fungsi dan untuk tiap n ∈ N kita asumsikan bahwa f_n mempunyai daerah asal yang sama, sebutlah A ⊆ R.

Seperti pada pembahasan barisan bilangan real, ketika dihadapkan dengan se-buah barisan fungsi hfni kita akan tertarik untuk membahas perilaku fn apabila n → ∞. Dalam perkataan lain, kita ingin mempelajari kekonvergenan barisan hfni pada A.

Mengingat bahwa untuk tiap x ∈ A, fn(x) membentuk suatu barisan bilangan real, maka kekonvergenan barisan fungsi hfni dapat didefinisikan melalui kekonver-genan barisan bilangan hf_n(x)i. Bila untuk tiap x ∈ A, barisan hf_n(x)i konvergen ke suatu bilangan (yang secara umum bergantung pada x), sebutlah Lx, maka kita peroleh sebuah fungsi f : A → R dengan f (x) = Lx. Jadi, untuk tiap x ∈ A, kita mempunyai

fn(x) → f (x), n → ∞.

Dalam hal ini, kita katakan bahwa hfni konvergen titik demi titik ke f , dan kita tuliskan

fn→ f (titik demi titik), n → ∞.

Contoh 1. Misalkan untuk tiap n ∈ N kita mempunyai fn(x) := xⁿ, x ∈ [0, 1].

Maka, barisan fungsi hfni konvergen titik demi titik ke fungsi f dengan f (x) :=



0, 0 ≤ x < 1; 1, x = 1.

Untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang terjadi, gambarlah grafik beberapa buah fungsi f_n dan juga grafik fungsi f , pada sebuah sistem koordinat yang sama.

Dalam Contoh 1 kita melihat bahwa fn kontinu pada [0, 1] untuk tiap n ∈ N, namun f tidak kontinu pada [0, 1]. Jadi, kekonvergenan titik demi titik secara umum tidak mempertahankan sifat kekontinuan fungsi. Padahal, dalam aplikasinya, ini merupakan salah satu isu penting. Oleh karena itu, dalam pembahasan berikutnya, kita akan mempelajari jenis kekonvergenan barisan fungsi yang lebih kuat, yang mem-pertahankan antara lain sifat kekontinuan fungsi.

Diberikan suatu barisan fungsi hfki, kita mempunyai deret fungsi

∞

P

k=1

fk, yang didefinisikan sebagai limit titik demi titik dari barisan jumlah parsial n

P

k=1

f_k, asalkan barisan jumlah parsial ini konvergen.

Jika barisan jumlah parsial tersebut konvergen titik demi titik ke fungsi s pada A, maka s disebut sebagai jumlah deret pada A. Dalam hal ini, kita tuliskan

∞

X

k=1

f_k(x) = s(x), x ∈ A.

Secara umum, indeks k dapat berjalan mulai dari sembarang k ∈ Z.

Sebagai contoh, jika fk(x) := xk, k = 0, 1, 2, . . . , maka kita peroleh deret geometri

∞

P

k=0

xk, yang konvergen ke 1

1−x untuk |x| < 1 (lihat kembali Bab 5). Pembahasan mengenai deret fungsi, khususnya deret yang berbentuk

∞

X

n=0

a_n(x − c)ⁿ

Soal Latihan

1. Tinjau barisan fungsi hfni yang dibahas dalam Contoh 1. Diberikan x ∈ [0, 1] dan  > 0, tentukan N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |fn(x) − f (x)| < . (Catatan. Kasus x = 1 perlu ditangani tersendiri.)

2. Untuk masing-masing barisan fungsi di bawah ini, tentukan sebuah fungsi f yang merupakan limitnya (titik demi titik).

(a) fn(x) := ^x_nⁿ, x ∈ [0, 1]. (b) f_n(x) := nx(1 − x2)n, x ∈ [0, 1]. (c) fn(x) := ^x_n, x ∈ R. (d) fn(x) := _1+x^x2n2n, x ∈ R. (e) fn(x) := ^{sin nx}_n√ x, x > 0. 16.2 Kekonvergenan Seragam

Misalkan hf_ni adalah suatu barisan fungsi yang, katakanlah, konvergen titik demi titik ke fungsi f pada A. Dalam hal ini, diberikan x ∈ A dan  > 0, terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |fn(x) − f (x)| < . Secara umum bilangan N di sini bergantung pada x, selain pada . Bila bilangan N tadi berlaku untuk tiap x ∈ A, maka hfni dikatakan konvergen seragam ke f pada A.

Jadi, barisan fungsi hf_ni konvergen seragam ke f pada A apabila untuk setiap  > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N dan x ∈ A berlaku

|fn(x) − f (x)| < . Dalam hal ini kita tuliskan

f_n→ f (seragam), n → ∞.

Jelas bahwa kekonvergenan seragam akan mengakibatkan kekonvergenan titik demi titik. (Dalam perkataan lain, kekonvergenan titik demi titik merupakan syarat perlu untuk kekonvergenan seragam.)

Gambar 16.1 Pita dengan lebar 2 dan median grafik fungsi f

Perhatikan bahwa ketaksamaan |fn(x) − f (x)| <  setara dengan f (x) −  < fn(x) < f (x) + .

Bila ini berlaku untuk setiap n ≥ N dan x ∈ A, maka grafik fungsi fn pada A berada di antara ‘pita’ [f − , f + ] yang mempunyai lebar 2 dan median grafik fungsi f , sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 16.1.

Contoh 2. Barisan fungsi hf_ni dengan fn(x) := xn, x ∈ [0, 1], tidak konvergen seragam ke f pada [0, 1], dengan

f (x) := 

0, 0 ≤ x < 1; 1, x = 1.

Di sini, pita [f −¹₄, f +¹₄] tidak akan memuat grafik fn untuk n berapa pun. Lemma berikut (yang merupakan negasi dari definisi kekonvergenan seragam) dapat dipakai untuk menyelediki ketidakkonvergenan seragam suatu barisan fungsi. Lemma 3. Barisan fungsi hf_ni tidak konvergen seragam ke fungsi f pada A jika dan hanya jika untuk suatu 0 > 0 terdapat subbarisan hfn_ki dari hfni dan barisan bilangan hxki di A sedemikian sehingga

Dengan menggunakan Lemma 3, ketidakkonvergenan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2 dapat dibuktikan dengan mengambil 0= ¹₄, nk= k dan xk= ¹₂
^1/k. Di sini kita mempunyai

|fn_k(x_k) − f (x_k)| =  1 2 − 0 = ¹ 2 ^{> 0.}

Ketidakkonvergenan seragam barisan dalam Contoh 2 juga dapat dijelaskan dengan teorema di bawah ini (yang mengatakan bahwa kekonvergenan seragam memperta-hankan sifat kekontinuan).

Teorema 4. Misalkan hfni konvergen seragam ke f pada suatu interval I ⊆ R. Jika f_n kontinu di c ∈ I untuk tiap n ∈ N, maka f juga kontinu di c.

Bukti. Diberikan  > 0, pilih N ∈ N sedmeikian sehingga untuk setiap n ≥ N dan x ∈ I berlaku

|fn(x) − f (x)| < ^ 3^.

Karena f_N kontinu di c, maka suatu interval I_δ(c) ⊆ I yang memuat c sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ Iδ(x) berlaku

|fN(x) − f (x)| < ^ 3^. Jadi, untuk setiap x ∈ Iδ(c), kita mempunyai

|f (x) − f (c)| ≤ |f (x) − fN(x)| + |f_N(x) − f_N(c)| + |f_N(c) − f (c)| < ^ 3 ⁺  3⁺  3 ^{= .} Ini membuktikan bahwa f kontinu di c.

Soal Latihan

1. Selidiki apakah masing-masing barisan fungsi di bawah ini konvergen seragam ke limitnya. (a) fn(x) := ^x_nⁿ, x ∈ [0, 1]. (b) fn(x) := nx(1 − x2)n, x ∈ [0, 1]. (c) fn(x) := ^x_n, x ∈ R. (d) fn(x) := _1+x^x2n2n, x ∈ R. (e) fn(x) := ^{sin nx}_n√ x, x > 0.

2. Buktikan jika hf_ni dan hgni konvergen seragam ke f dan g pada A (berturut-turut), maka hfn+ gni konvergen seragam ke f + g pada A.

3. Misalkan fn(x) := x +¹_n dan f (x) = x, x ∈ R. Buktikan bahwa hfni konvergen seragam ke f pada R, namun hf2

ni tidak konvergen seragam ke f2

pada R.

16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam

Dalam membahas kekonvergenan seragam, seringkali kita terbantu dengan pe-ngertian norma seragam berikut. Ingat bahwa untuk A ⊆ R, fungsi f : A → R dikatakan terbatas pada A apabila f (A) merupakan himpunan terbatas. Sekarang, jika f terbatas pada A, maka kita definisikan norma seragam f pada A sebagai

kf kA:= sup {|f (x)| : x ∈ A}.

Perhatikan bahwa kf kA<  setara dengan |f (x)| <  untuk tiap x ∈ A.

Menggunakan norma seragam, kita mempunyai lemma berikut tentang kekon-vergenan seragam.

Lemma 5. Misalkan f_n terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan hfni konvergen seragam ke f pada A jika dan hanya jika lim

n→∞kfn− f kA= 0.

Dengan menggunakan Lemma 5, kita juga dapat membuktikan ketidakkonver-genan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2, dengan menghitung bahwa

kfn− f k_[0,1]= 1 untuk tiap n ∈ N.

Dengan menggunakan norma seragam, kita peroleh pula kriteria berikut untuk kekonvergenan seragam suatu barisan fungsi.

Teorema 6 (Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam). Misalkan fn

terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan hfni konvergen seragam ke suatu fungsi terbatas f pada A jika dan hanya jika untuk setiap  > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk sembarang m, n ≥ N berlaku kfm− fnk < .

Bukti. Misalkan hf_ni konvergen seragam ke f pada A. Diberikan  > 0 sembarang, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku kfn − f kA < ₂^. Akibatnya, jika m, n ≥ N , maka

|fm(x) − fn(x)| ≤ |fm(x) − f (x)| + |fn(x) − f (x)| < ^ 2⁺

 2 ^{= } untuk tiap x ∈ A. Jadi kfm− fnkA<  untuk m, n ≥ N .

Sebaliknya, misalkan untuk setiap  > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk m, n ≥ N kita mempunyai kfm− fnkA< . Maka, untuk setiap x ∈ A, berlaku

|f_m(x) − f_n(x)| ≤ kf_m− f_nk_A< ,

untuk m, n ≥ N . Ini berarti bahwa hfn(x)i merupakan barisan Cauchy di R, dan karenanya ia merupakan barisan yang konvergen, katakanlah ke f (x). Selanjutnya, untuk setiap x ∈ A, kita mempunyai

|fm(x) − f (x)| = lim

n→∞|fm(x) − fn(x)| ≤ ,

untuk m ≥ N . Ini menunjukkan bahwa hf_ni konvergen seragam ke f pada A.

Soal Latihan

1. Buktikan Lemma 5.

2. Misalkan hf_ni dan hgni adalah barisan fungsi terbatas pada A, yang konver-gen seragam ke f dan g pada A (berturut-turut). Tunjukkan bahwa hfngni konvergen seragam ke f g pada A.

3. Uji-M Weierstrass. Misalkan hfni adalah barisan fungsi pada A dan |fn(x)| ≤ Mn untuk tiap x ∈ A dan n ∈ N. Buktikan jika P∞

k=1Mk konvergen, maka deret fungsiP∞