FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL

Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL

8.1 Kekontinuan pada Interval

Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Secara intuitif, f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.

Secara formal, sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada suatu interval buka I jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I. Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka

Contoh 1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) =



x, x ≤ 1;

3

Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].

Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup

Proposisi 2. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f (x) − f (y)| <  untuk y ∈ I dengan |x − y| < δ.

Contoh 3. (i) Fungsi f (x) = px + q kontinu pada sebarang interval I. (ii) Fungsi g(x) = |x| kontinu pada sebarang interval I.

(iii) Fungsi h(x) =√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Soal Latihan

1. Misalkan f : [0, 5] → R didefinisikan sebagai f (x) =



2x, 0 ≤ x < 1; 1, 1 ≤ x ≤ 5.

Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya.

2. Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.

3. Misalkan K > 0 dan f : I → R adalah fungsi yang memenuhi |f (x) − f (y)| ≤ K |x − y|

untuk setiap x, y ∈ I. Buktikan bahwa f kontinu pada I.

8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab 7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini.

Proposisi 4. Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ ∈ R. Maka λf + µg dan f g kontinu pada I. Juga, jika g(x) 6= 0 untuk tiap x ∈ I, maka ^f_g kontinu pada I.

Contoh 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval.

(ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Se-bagai contoh, f (x) = ¹_x kontinu pada (0, ∞).

(iii) Fungsi f (x) = x+√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞), karena f1(x) = x dan f2(x) =√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Proposisi 6. Misalkan g : I → J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinu pada interval J . Maka f ◦ g kontinu pada I.

Contoh 7. (i) Fungsi h(x) = |1+x| kontinu pada sebarang interval, karena f (x) = |x| dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval.

(ii) Fungsi h(x) = ¹⁻

√ x 1+√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Soal Latihan

1. Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. • f (x) = 1

• g(x) =^√1 + x2.

2. Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional r ∈ I berlaku f (r) = r2. Buktikan bahwa f (x) = x2untuk setiap x ∈ I. 3. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] adalah fungsi kontraktif, yakni memenuhi

ketak-samaan

|f (x) − f (y)| ≤ C |x − y|, x, y ∈ [0, 1],

untuk suatu konstanta C dengan 0 < C < 1. Konstruksi barisan hx_ni dengan x1 ∈ I dan xn+1 = f (xn), n ∈ N. Buktikan bahwa hxni konvergen ke suatu L ∈ [0, 1], dan L = f (L).

8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keis-timewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].

Teorema 8. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f ([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak.

Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.

Teorema 9. Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Maka daerah nilainya, yaitu f (I), juga merupakan suatu interval.

Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Misalkan f kontinu pada suatu interval I yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = u.

Catatan. Teorema 10 setara dengan Teorema 9. Oleh karena itu kita cukup mem-buktikan salah satu di antara mereka.

Bukti Teorema 10. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f (a) < u < f (b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f (x) < u}. Jelas bahwa H 6= ∅ karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah

c = sup H. Di sini a < c < b. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f (c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f (c) < u ataupun f (c) > u.

Andaikan f (c) < u. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f c + ^δ₂
< u (?). Jadi c +δ

2 ∈ H. Ini bertentangan dengan fakta bahwa c = sup H. Sekarang andaikan f (c) > u. Sekali lagi, karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (x) > u untuk c − δ < x ≤ c (?). Jadi tidak ada satu pun anggota H pada interval (c − δ, c]. Ini juga bertentangan dengan fakta bahwa c = sup H.

Teorema 11. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b]. Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan hx_ni di [a, b] sedemikian sehingga

|f (x_n)| → +∞ untuk n → ∞. (1)

Karena hxni terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu sub-barisan hx_nki yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga f (xn_k) → f (c) untuk k → ∞. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah f terbatas pada [a, b].

Teorema 12. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai mak-simum dan nilai minimum pada [a, b].

Bukti. Dari Teorema 11 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v := sup f ([a, b]). Konstruksi barisan hxni di [a, b] dengan f (xn) → v untuk n → ∞. Karena hx_ni terbatas, terdapat sub-barisan hxn_ki yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f (xn_k) → f (c) untuk k → ∞. Jadi mestilah v = f (c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya.

Contoh 13. Persamaan 10x7− 13x5− 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈ (−1, 0). Untuk menunjukkannya, misalkan f (x) = 10x⁷− 13x5− 1. Maka, f (−1) = 2 dan f (0) = −1. Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f (−1) dan f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.

Contoh 14. Misalkan f : [a, b] → [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f (c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f .]

Perhatikan bahwa peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga f (a) ≥ a dan f (b) ≤ b. Sekarang tinjau g(x) = f (x) − x, x ∈ [a, b]. Karena f kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g(a) = f (a) − a ≥ 0 dan g(b) = f (b) − b ≤ 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga g(c) = 0. Akibatnya f (c) = c.

Soal Latihan

1. Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara, khususnya bagian yang diberi tanda tanya (?).

2. Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real.

3. Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I. Misalkan untuk setiap x ∈ I terdapat y ∈ I sedemikian sehingga

|f (y)| ≤ ¹ 2|f (x)|.

Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0.

8.4 Kekontinuan Seragam

Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f kontinu pada sebuah interval I jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ I dan setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f (x) − f (y)| < 

untuk y ∈ I dengan |x − y| < δ. Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum nilai δ bergantung pada  dan x.

Contoh 16. Kita telah mengetahui bahwa f (x) = ¹_x kontinu pada (0, 1]. Diberikan x ∈ (0, 1] dan  > 0 sebarang, kita dapat memilih δ = minx

2,^x₂²

sedemikian sehingga untuk y ∈ (0, 1] dengan |x − y| < δ berlaku

   1 x−¹ y   =  x − y xy   = ¹ x· ¹ y · |x − y| < ¹ x·² x· ^x 2 2 ^{= .}

Perhatikan bahwa jika x menuju 0, maka δ akan menuju 0.

Dalam kasus tertentu, nilai δ hanya bergantung pada , tidak pada x. Hal ini terjadi pada, misalnya, f (x) = px + q, x ∈ R, dengan p 6= 0. Diberikan  > 0, kita dapat memilih δ = _|p|^ sedemikian sehingga

|f (x) − f (y)| = |p| · |x − y| < 

untuk x, y ∈ R dengan |x − y| < δ. Kekontinuan f (x) = px + q dalam hal ini merupakan kekontinuan ‘seragam’ pada R.

Fungsi f : I → R dikatakan kontinu seragam pada I apabila untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f (x) − f (y)| < 

untuk x, y ∈ I dengan |x − y| < δ. Perhatikan bahwa dalam definisi di atas x dan y muncul setelah δ, yang mengindikasikan bahwa δ tidak bergantung pada x (dan y). Teorema 17. Fungsi f : I → R tidak kontinu seragam pada I jika dan hanya jika terdapat 0> 0 dan dua barisan hxni dan hyni di I sedemikian sehingga |xn−yn| < 1

n

dan |f (x_n) − f (y_n)| ≥ ₀ untuk setiap n ∈ N.

Teorema berikut menyatakan bahwa kekontinuan pada interval kompak meru-pakan kekontinuan seragam.

Teorema 18. Jika f kontinu pada [a, b], maka f kontinu seragam pada [a, b]. Bukti. Andaikan f tidak kontinu seragam pada [a, b]. Maka, menurut Teorema 17, terdapat 0> 0 dan dua barisan hxni dan hyni di [a, b] sedemikian sehingga |xn−yn| <

1

n dan |f (xn) − f (yn)| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N. Karena hxni terbatas di [a, b], maka menurut Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan hx_nki yang konvergen, sebutlah ke c ∈ [a, b]. Karena |xn− yn| < 1

n untuk setiap n ∈ N, maka sub-barisan hy_nki akan konvergen ke c juga. Selanjutnya, karena f kontinu di c, maka hf (x_nk)i dan hf (yn_k)i konvergen ke f (c). Akibatnya, |f (xn_k) − f (yn_k)| → 0 untuk k → ∞. Ini mustahil karena |f (xn) − f (yn)| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N.

Soal Latihan

1. Contoh 16 memperlihatkan bahwa fungsi f (x) = ¹_x tampaknya tidak kontinu seragam pada (0, 1]. Buktikan bahwa ia memang tidak kontinu seragam pada (0, 1].

2. Selidiki apakah f (x) = x2 kontinu seragam pada [0, ∞). 3. Buktikan jika fungsi f : I → R memenuhi ketaksamaan

|f (x) − f (y)| ≤ K |x − y|, x, y ∈ I, untuk suatu K > 0, maka f kontinu seragam pada I. 4. Buktikan bahwa f (x) =√

9. TURUNAN

9.1 Turunan di Suatu Titik

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, f dikatakan mempunyai turunan di titik c apabila limit

lim

x→c

f (x) − f (c) x − c

ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c, yang biasanya dilambangkan dengan f⁰(c) atau Df (c).

Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f⁰(c) = lim

x→c

f (x) − f (c) x − c ^. Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh

f⁰(c) = lim

h→0

f (c + h) − f (c)

h ^.

Catat bahwa f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan L = f⁰(c) sedemikian sehingga

f (c + h) − f (c) − Lh = (h) dengan ^(h)_h → 0 untuk h → 0.

Secara intuitif, sebuah fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f (x) mempunyai garis singgung di titik (c, f (c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f⁰(c). Untuk ilustrasi, lihat Gambar 9.1. Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f (x) di titik (c, f (c)) dalam hal ini adalah

Sebagai catatan, masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (namun dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.

Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c

Contoh 1. Misalkan f (x) = x2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai turunan di 1, kita hitung

lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 ^{= lim}x→1 x²− 1 x − 1 ^{= lim}x→1(x + 1) = 2. Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f⁰(1) = 2.

Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f (x) = x2mempunyai turunan di setiap titik c ∈ R, dengan f⁰(c) = 2c. Fungsi f⁰ : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f . Contoh 2. Misalkan f (x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa

lim h→0 f (h) − f (0) h ^{= lim}h→0 |h| h tidak ada (?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.

Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c.

Bukti. Perhatikan bahwa

f (x) − f (c) = ^{f (x) − f (c)}

x − c · (x − c) → f⁰(c) · 0 = 0 untuk x → c. Jadi f (x) → f (c) untuk x → c.

Dalam prakteknya, kita sering pula menggunakan kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] → R yang didefinisikan sebagai

f (x) = 

2x, 0 ≤ x < 1; 1, 1 ≤ x ≤ 2,

tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut. Catatan. Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c. Namun, Contoh 2 memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukan merupakan syarat cukup untuk mempunyai turunan di c.

Soal Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 di titik (1, 1).

2. Tunjukkan bahwa f (x) = x² mempunyai turunan di setiap titik c ∈ R, dengan f⁰(c) = 2c.

3. Diketahui f (x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0. 4. Berikan sebuah contoh fungsi f yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai

tu-runan di sana, selain f (x) = |x|.

5. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang mempunyai turunan hanya di sebuah titik.

6. Buktikan jika f mempunyai turunan di c, maka f⁰(c) = lim

h→0

f (c + h) − f (c − h)

2h ^.

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan di suatu titik namun limit di atas ada.

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, f g, dan f /g mempunyai turunan di c, dan

(i) (λf + µg)⁰(c) = λf⁰(c) + µf⁰(c); (ii) (f g)⁰(c) = f⁰(c)g(c) + f (c)g⁰(c); (iii)^f_g^

0

(c) = ^{f0(c)g(c)−f (c)g}_g2(c) ^0(c) asalkan g(c) 6= 0. Bukti. (i) Perhatikan bahwa

1

hλf (c + h) + µg(c + h) − λf (c) − µg(c) = λ^{hf (c+h)−f (c)}_h ⁱ+ µ^{hg(c+h)−g(c)}_h ⁱ

→ λf⁰(c) + µg⁰(c) untuk h → 0.

(ii) Di sini kita mempunyai

1 hf (c + h)g(c + h) − f (c)g(c) = g(c + h)^{hf (c+h)−f (c)}_h ⁱ+ f (c)^{hg(c+h)−g(c)}_h ⁱ → g(c)f⁰(c) + f (c)g⁰(c), untuk h → 0. (iii) Latihan.

Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f (x) = xn. Maka turunan dari f adalah f⁰(x) = nxⁿ⁻¹.

Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f (x) = x, jelas bahwa f⁰(x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika f (x) = x^k, maka f⁰(x) = kx^k−1. Maka, untuk n = k + 1 atau f (x) = x^k+1, kita peroleh

f⁰(x) = D(x^k.x) = D(x^k).x + x^k.D(x) = kx^k−1.x + x^k= (k + 1)x^k. Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n ∈ N.

Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c dan f mem-punyai turunan di y = g(c). Maka, f ◦ g memmem-punyai turunan di c dan

(f ◦ g)⁰(c) = f⁰(g(c))g⁰(c).

Bukti. Berdasarkan definisi turunan, (f ◦ g)⁰(c) = lim x→c (f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(c) x − c ^{= lim}x→c f (g(x)) − f (g(c)) x − c ^.

Bila g(x) − g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c − δ, c + δ), maka

(f ◦ g)⁰(c) = lim x→c f (g(x)) − f (g(c)) g(x) − g(c) ·^{g(x) − g(c)} x − c ^{= f} 0(g(c)) · g⁰(c).

Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Untuk meng-atasinya, definisikan

h(y) :=

( f (y)−f (g(c))

y−g(c) , y 6= g(c), f⁰(g(c)), y = g(c).

Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teo-rema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c. Akibatnya

(f ◦ g)⁰(c) = lim x→c f (g(x)) − f (g(c)) x − c ^{= lim}x→ch(g(x)) ·^{g(x) − g(c)} x − c ^{= f} 0(g(c)) · g⁰(c),

sebagaimana yang kita harapkan.

Soal Latihan

1. Buktikan Teorema 4 bagian (iii).

2. Misalkan n ∈ N dan f (x) = xn. Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa f⁰(x) = nxn−1.

3. Misalkan n ∈ N. Buktikan

• jika f (x) = x−n (x 6= 0), maka f⁰(x) = −nx⁻ⁿ⁻¹. • jika f (x) = x1/n (x > 0), maka f⁰(x) = ¹_nx^1/n−1.

4. Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku D(x^r) = rx^r−1

asalkan x > 0.

5. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai invers f⁻¹ : R → R dan f⁻¹ mempunyai turunan di y = f (x), maka

Df⁻¹(y) = ¹ Df (x)^.

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f⁰, merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I.

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan dari f⁰, yang nilainya di c adalah

f⁰⁰(c) = lim

x→c

f⁰(x) − f⁰(c) x − c ^, asalkan limit ini ada.

Turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f . Jika f⁰⁰ bernilai positif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut. Sementara itu, jika f⁰⁰ bernilai negatif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut.

Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunan ketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f(n)(x) menyatakan tu-runan ke-n, n ∈ N, dari f .

Contoh 7. Jika f (x) = _x¹, maka

f⁰(x) = −¹ x2; f⁰⁰(x) = ²

f⁰⁰⁰(x) = − ⁶ x4;

dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f(n)

(x) untuk n ∈ N?) Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n − 1 dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.

Soal Latihan

1. Tentukan pada interval mana grafik fungsi f (x) = x3 cekung ke atas dan pada interval mana ia cekung ke bawah.

2. Tentukan rumus umum turunan ke-n dari f (x) = ¹_x. 3. Diketahui f (x) = √

x. Tentukan f⁰(x), f⁰⁰(x), dan f⁰⁰⁰(x). Tentukan rumus umum f(n)

(x) untuk n ∈ N.

4. Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p(m)(x) = 0 untuk m > n.

5. Berikan sebuah contoh fungsi yang mempunyai turunan pertama tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0.