Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
7. LIMIT DAN KEKONTINUAN
7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik
Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di sebuah titik c ∈ (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f (x) untuk x di sekitar c. Khususnya, kita bertanya: apakah f (x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c? Berikut ini adalah definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik.
Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menuju c dari kiri, dan kita tulis
f (x) → L bila x → c− atau
lim
x→c−f (x) = L,
apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c − δ < x < c, maka |f (x) − L| < .
Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju M bila x menuju c dari kanan, dan kita tulis
f (x) → M bila x → c+ atau
lim
x→c+f (x) = M,
apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c < x < c + δ, maka |f (x) − M | < .
Gambar 7.1 Limit Kiri f di c
Bilangan L dan M disebut sebagai limit kiri dan limit kanan dari f di c. Nilai |f (x) − L| (atau |f (x) − M |) menyatakan jarak antara f (x) dan L (atau jarak antara f (x) dan M ), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri nilai L atau M dengan f (x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f (x) dengan L atau M ). Kesalahan ini dapat dibuat sekecil yang kita kehendaki dengan cara mengambil x sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan.
Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f (x) = 1 − x, x ≤ 1; 2x, x > 1. Maka, lim x→1−f (x) = 0 dan lim x→1+f (x) = 2. Perhatikan bahwa nilai f (1) terdefinisi, yakni f (1) = 0.
Misalkan f terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c ∈ (a, b), dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju ke L bila x menuju c, dan kita tuliskan
f (x) → L bila x → c atau
lim
apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x − c| < δ, maka |f (x) − L| < .
Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai limit L di c.
Gambar 7.2 Limit f di c
Perhatikan bahwa kondisi 0 < |x − c| < δ setara dengan −δ < x − c < δ, x 6= c. Jadi, 0 < |x−c| < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaan berikut:
c − δ < x < c atau c < x < c + δ. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut. Proposisi 2. lim
x→cf (x) = L jika dan hanya jika lim
x→c−f (x) = L dan lim
x→c+f (x) = L. Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama.
Contoh 3. Misalkan f (x) = x2−1
x−1. Fungsi ini terdefinisi pada (−∞, 1) dan juga pada (1, ∞). Bila kita tinjau nilai f (x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa
f (x) → 2 bila x → 1−.
Bila kita amati nilai f (x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa f (x) → 2 bila x → 1+.
Jadi, limit kiri dari f di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu lim
x→cf (x) = 2. (Perhatikan bahwa pada contoh ini, f tidak terdefinisi di 1.)
Proposisi 4. (i) lim
x→ck = k (ii) lim
x→cx = c.
Bukti. (i) Diberikan > 0, pilih δ > 0 sembarang. Jika 0 < |x − c| < δ, maka |k − k| = 0 < . Ini membuktikan bahwa lim
x→ck = k.
(ii) Diberikan > 0, pilih δ = . Jika 0 < |x − c| < δ, maka |x − c| < δ = . Ini membuktikan bahwa lim
x→cx = c. Soal Latihan
1. Misalkan n ∈ N. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim
x→0+x1/n = 0. 2. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
f (x) = 2x, x < 1; 1, x = 1 3 − x, x > 1. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa
lim
x→1−f (x) = 2 dan lim
x→1+f (x) = 2. Simpulkan bahwa lim
x→1f (x) = 2.
3. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim
x→cpx + q = pc + q. 4. Buktikan lim
x→cf (x) = 0 jika dan hanya jika lim
x→c|f (x)| = 0. 5. Buktikan jika lim
x→cf (x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk c − δ < x < c + δ, x 6= c.
7.2 Kekontinuan di Suatu Titik Dalam definisi lim
x→cf (x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f (x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin
saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f terdefinisi di c, dapat terjadi f (c) 6= L.
Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f kontinu di titik c jika dan hanya jika
lim
x→cf (x) = f (c).
Berdasarkan Proposisi 2, f kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika |x − c| < δ, maka
|f (x) − f (c)| < .
Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak ‘terputus’ di c.
Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai definisi kekontinuan sepihak. Jika f terdefinisi pada (a, c] dan lim
x→c−f (x) = f (c), maka kita katakan bahwa f kontinu kiri di c. Jika f terdefinisi pada [c, b) dan lim
x→c+f (x) = f (c), maka kita katakan bahwa f kontinu kanan di c.
Gambar 7.3 Fungsi Kontinu di Suatu Titik
Contoh 5. (i) Untuk setiap n ∈ N, fungsi f (x) = x1/n kontinu kanan di 0. (ii) Fungsi f (x) = px + q kontinu di setiap titik.
Teorema 6. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c ∈ (a, b). Maka, lim
x→cf (x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan hxni di (a, b) dengan xn 6= c (n ∈ N) dan limn→∞xn= c, berlaku lim
Catatan. Jika f kontinu di c, maka L = f (c) dan Teorema 6 menyatakan bahwa lim
n→∞f (xn) = f lim
n→∞xn;
yakni, limit dapat ‘bertukar’ dengan f . Hasil serupa berlaku untuk limit kiri dan limit kanan.
Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan f (x) = px + q di sebarang titik c ∈ R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan hxni adalah sebarang barisan yang konvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3,
f (xn) = pxn+ q → pc + q = f (c), untuk n → ∞. Menurut akibat dari Teorema 6, f kontinu di c.
Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 6. 2. Buktikan bahwa f (x) =√
x kontinu di setiap c > 0. 3. Buktikan bahwa f (x) = |x| kontinu di setiap titik.
4. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c ∈ (a, b). Buktikan jika f (c) > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk x ∈ (c − δ, c + δ). 5. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang kontinu hanya di sebuah titik.
7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan
Proposisi 7. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di c ∈ (a, b). Misalkan lim
x→cf (x) = L dan lim x→cg(x) = M , dan λ, µ ∈ R. Maka (i) lim x→c[λf (x) + µg(x)] = λL + µM ; (ii) lim x→cf (x)g(x) = LM ; (iii) lim x→c f (x) g(x) = L M, asalkan M 6= 0.
Akibat 8. Jika f dan g kontinu di c, maka λf + µg, f g, dan fg kontinu di c (asalkan g(c) 6= 0).
Akibat 9. Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya.
Bukti. Menurut Proposisi 4, f (x) = k dan g(x) = x kontinu di sebarang titik c ∈ R. Menurut Proposisi 7(ii), h(x) = xi
kontinu di sebarang titik c ∈ R, untuk tiap i ∈ N. Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom
p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0
kontinu di setiap titik c ∈ R. Untuk membuktikan kekontinuan fungsi rasional di setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii).
Teorema 10. Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f ◦ g kontinu pada c. Bukti. Ambil > 0 sebarang. Karena f kontinu di b := g(c), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
|f (y) − f (b)| <
untuk |y − b| < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di c, kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga
|g(x) − g(c)| < δ
untuk |x − c| < γ. Akibatnya, jika |x − c| < γ, maka |g(x) − b| = |g(x) − g(c)| < δ, sehingga
|f ◦ g(x) − f ◦ g(c)| = |f (g(x)) − f (b)| < . Ini berarti bahwa f ◦ g kontinu di c.
Soal Latihan
1. Buktikan Proposisi 7.
2. Berikan contoh fungsi f dan g dengan lim
x→0f (x) tidak ada, lim
x→0g(x) ada, dan lim
x→0f (x)g(x) ada. Apakah ini bertentangan dengan Proposisi 7(ii) atau 7(iii)? 3. Benar atau salah: Jika lim
x→cg(x) = L dan lim
y→Lf (y) = M , maka lim
x→cf (g(x)) = M ?
4. Buktikan jika lim
x→cg(x) = L dan f kontinu di L, maka lim
x→cf (g(x)) = f (L). 5. Kita katakan bahwa lim
x→c+f (x) = +∞ apabila, untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga f (x) > M untuk c < x < c+δ. Buktikan bahwa lim
x→0+
1 √
