Beberapa Fungsi Khusus

dan Invers Fungsi

3.3 Beberapa Fungsi Khusus

− − ^c. 2 1 ( ) 5 f x x x = − b. f x( )= 3x+2 d. ₌ − − 2 9 ( ) 3 x f x x 9. Industri

Suatu pabrik pembuat kotak kaleng akan membuat suatu kotak tanpa tutup dari selembar kaleng berukuran 8 × 15 inci dengan cara memotong keempat persegi di sudutnya dan melipat bagian sisinya.

a. Jika panjang sisi persegi yang dipotong adalah x inci, nyatakan volume kotak sebagai fungsi dari x.

b. Tentukan daerah asal fungsi ini.

10. Suatu tanah lapang berbentuk persegi panjang dikelilingi pagar sepanjang 240 m. a. Jika x meter menyatakan panjang tanah lapang tersebut, nyatakan luas tanah lapang

tersebut (dalam meter persegi) sebagai fungsi dari x. b. Apakah daerah asal fungsi ini?

3.3 Beberapa Fungsi Khusus

Berikut ini akan kita pelajari beberapa jenis fungsi yang mempunyai ciri-ciri khusus yang sering kita jumpai dalam penerapan. Termasuk jenis fungsi khusus, antara lain fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, fungsi tangga, fungsi genap, dan fungsi ganjil

3.3.1.Fungsi Konstan

Fungsi f disebut fungsi konstan, jika terdapat suatu bilangan konstan c

sehingga berlaku f(x) = c, untuk setiap x pada daerah asal. Contoh 3.3.1

Diketahui fungsi konstan f(x) = 3, untuk setiap x∈¡. a. Carilah f(0), f(7), f(–1), dan f(a).

b. Carilah daerah hasilnya. c. Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

a. Dari definisi f, kita peroleh:

f(0) = 3, f(7) = 3, f(–1) = 3, dan f(a) = 3.

c. Grafiknya

Gambar 3.11Grafik Fungsi f(x) = 3

W 3.3.2 Fungsi Identitas

Fungsi f disebut fungsi identitas, jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku

f (x) = x, fungsi ini sering disimbolkan dengan I.

Contoh 3.3.2

Untuk fungsi identitas I(x) = x, _x∈¡_,

a. carilah I(0), I(7), I(–1), dan I(a) b. carilah daerah hasilnya c. gambarlah grafiknya

Penyelesaian:

a. Dengan definisi I,

I(0) = 0, I(7) = 7, I(–1) = –1, dan I(a) = a. b. Daerah hasilnya adalahR_f =¡.

c. Grafiknya

Gambar 3.12 Grafik Fungsi Identitas

W 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 y x y = 3 y x 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -5-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

3.3.3 Fungsi Linear

Fungsi f disebut fungsi linear, jika f mempunyai bentuk f(x) = ax + b, untuk semua x dalam daerah asal, dengan a dan b konstan, dan a≠0. Grafik fungsi linear berbentuk garis lurus, yang mempunyai persamaan y = ax + b.

Contoh 3.3.3

Diketahui fungsi f(x) = 3x + 6,x∈¡_.

a. Carilah f(0), f(2), dan f(a + b). b. Gambarlah grafiknya. c. Carilah daerah hasilnya.

Penyelesaian:

a. Dari f(x) = 3x + 6, kita peroleh:

f(0) = 3 · 0 + 6 = 6,

f(2) = 3 · 2 + 6 = 12,

f(a + b) = 3(a + b) + 6 = 3a + 3b + 6. b. Grafik fungsi y = f(x) = 3x + 6 adalah:

Gamb ar 3.13Grafik Fungsi f(x) = 3x + 6

c. Dari grafik tampak bahwa daerah hasilnya adalah R_f =¡.

W 3.3.4 Fungsi Kuadrat

Jika fungsi f dapat dinyatakan sebagai f (x) = ax2 + bx + c, untuk setiap x dalam daerah asal, dengan a, b, dan c konstan dan a≠0, maka fungsi f disebut fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat mempunyai persamaan y = ax2 + bx + c, yang berbentuk parabola. Kita ingat kembali pelajaran pada kelas X, bahwa:

a. Grafik fungsi y = ax2+ bx + c mempunyai titik balik dengan koordinat:

(

₂^{b D},₄

)

a a

− _{, dengan} D b= 2−4ac

b. Jika a > 0, maka diperoleh titik balik minimum. Jika a < 0, maka diperoleh titik balik maksimum.

c. Sumbu simetrinya ialah x= −₂^b_a y x 8 6 3 2 -2 -3 -2 -1 1 2

Contoh 3.3.4

Diketahui f x( )= − + +x2 x 6, x∈¡.

a. Carilah f(0), f(3), f(a), dan f(a + 2). b. Gambarlah grafiknya.

c. Carilah daerah hasilnya.

Penyelesaian:

a. Dari rumus fungsi yang diberikan,f x( )= − + +x2 x 6, sehingga:

f(0) = 6

f(3) = –32 + 3 + 6 = 0 f(a) = –a2 + a + 6

f(a + 2) = –(a + 2)2 + (a + 2) + 6 = –a2 + 3a + 4

b. Untuk menggambarkan grafiknya, kita ikuti langkah-langkah berikut. (1) Titik potong grafik dengan sumbu x, yaitu untuk y =f (x) = 0,

f(x) = 0 ⇔ –x2 + x + 6 = 0

⇔ –x2 + x + 6 = 0

⇔–(x – 3)(x + 2) = 0

⇔x = 3 atau x = –2

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu x adalah (3,0) dan (–2 ,0). (2) Titik potong grafik dengan sumbu y, yaitu untuk x = 0,

x = 0 ⇔ f(x) = 6

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,6).

(3) Dari rumus fungsi kita peroleh D = b2 – ax = 12 – 4(–1)(6) = 25, sehingga: 1 1 2 2( 1) 2 b a − = − = − ^{dan − = −} − ⁼ 2513 4 4( 1) 2 D a

Jadi, titik baliknya adalah ^{1 13}, 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠^. (4) Sumbu simetri: = − =¹ 2 2 b x a ^.

(5) Grafik fungsi f(x) = –x2 + x + 6 adalah:

Gambar 3.14Grafik Fungsi f(x) = –x2 + x + 6

c. Dari grafik tampak bahwa daerah hasilnya adalah R_f =

{

y∈¡|y≤13/2

}

.

W y x 6 4 2 -2 -4 -6 -3 -2 -1 1 2 3 4 [ Daerah hasil

3.3.5 Fungsi Mutlak atau Fungsi Modulus

Nilai mutlak atau modulus dari a, dinotasikan a, dibaca nilai mutlak a, didefinisikan sebagai: , untuk 0 , untuk 0 a a a a a ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ ≥ = − <

Dengan definisi ini, maka kita mempunyai:

=

3 3 , − = − − =1 ( 1) 1, 5 − = − =2 5 2 3, dan 2 5 (2 5− = − − =) 3.

Fungsi yang rumusnya memuat nilai mutlak disebut fungsi mutlak atau

fungsi modulus. Contoh 3.3.5

Diketahui fungsi f dengan dengan f x( )= x. a. Carilah f(0), f(–2), f(5), f(a2), dan f(3x + 1). b. Gambarlah grafiknya.

c. Carilah daerah hasilnya.

Penyelesaian:

a. Dengan memperhatikan definisi nilai mutlak, kita peroleh:

f(0) = 0, f(–2) = – (–2) = 2, f(5) = 5,

f(a2) = a2, karena a²≥0 untuk setiap a∈¡_,

+ + ≥ + ≥ − ⎧ ⎧ + =_⎨ =_⎨ − + + < − − < − ⎩ ⎩ 3 1 , untuk 3 1 0 3 1 , untuk 1/3 (3 1) (3 1) , untuk 3 1 0 3 1) , untuk 1/3 x x x x f x x x x x

b. Grafik fungsi f x( )= x adalah:

Gambar 3.15Grafik Fungsi f x( )= x

c. Dari grafik tampak bahwa daerah hasilnya adalah R_f =

{

y∈¡|y≥0

}

W -3 -2 -1 1 2 3 y x 3 2 1

Contoh 3.3.6

Gambarlah grafik fungsif x( )= x2−1. Tentukan pula daerah hasilnya.

Penyelesaian:

Dari rumus yang diberikan kita dapat menyatakan kembali f sebagai:

⎧ + − − ≥ ⎧ + ≤ − ≤ ⎪ ⎪ =_⎨ =_⎨ − − − < − − < < ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2 2 2 2 2 2

3 1 , untuk 1 0 2 , untuk 1 atau 1 ( ) 3 ( 1) , untuk 1 0 4 , untuk 1 1 x x x x x f x x x x x Grafiknya adalah:

Gambar 3.16Grafik Fungsi f x( )= x²−1

Karena 2− ≥ 1 0

x untuk semua _x∈¡_{, maka} = + 2− ≥ ( ) 3 1 3

f x x . Dengan demikian daerah hasilnya adalah Rf =

{

y∈¡|y≥3

}

.

W 3.3.6 Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar

Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar didefinisikan sebagai

§ ¨

( )

f x = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Notasi

§ ¨

x dibaca ”nilai bulat terbesar x”, didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama denganx. Sebagai contoh,

§ ¨

3 =3, karena 3 adalah nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 3;

§

3,8

¨

=3, karena 3 adalah nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 3,8;

§

0,6

¨

=0, karena 0 adalah nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 0,6;

§

−1,8

¨

= −2, karena –2 nilai bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan –1,8.

Dengan demikian, setiap bilangan real x berada dalam suatu interval yang dibatasi dua bilangan bulat dapat ditentukan nilai

§ ¨

x . Sebagai contoh,

y x -2 -1 1 2 5 4 3 2 1

untuk interval 0≤ <x 2, maka

§ ¨

x = 0, untuk interval − ≤ <1 x 0^{, maka}

§ ¨

x = –1, untuk interval − ≤ < −3 x 2^{, maka}

§ ¨

x = –3.

Dengan penjelasan di atas, grafik fungsi f x( )=

§ ¨

x dengan daerah asal ¡ pada bidang Cartesius dapat dilukiskan seperti pada Gambar 3.17.

Gambar 3.17Grafik Fungsi f x( )=

§ ¨

x

Terlihat pada Gambar 3.17 bahwa daerah hasil fungsi f x( )=

§ ¨

x adalah himpunan bilangan bulat. Mengapa?

3.3.7 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f dikatakan genap, jika berlaku f(–x) = f(x). Fungsi f dikatakan ganjil, jika berlaku f(–x) = –f(x). Jika f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x), maka fungsi f dikatakan tak genap dan tak ganjil.

Contoh 3.3.7

Selidiki fungsi-fungsi berikut genap, ganjil, atau tidak keduanya.

a. f(x) = x4 + x2 + 3, _x∈¡ _{c. h(x) = cos x, x}∈¡

b. g(x) = 2x + sin x, _x∈¡ d. k(x) = x + 2, _x∈¡

Penyelesaian:

a. Perhatikan bahwa:

f(–x) = (–x)4 + (–x)2 + 3 = x4 + x2 + 3 = f(x) Jadi, f adalah fungsi genap.

b. Dari sifat fungsi sinus,

g(–x) = 2(–x) + sin(–x) = –(2x + sinx) = –g(x) Jadi, g adalah fungsi ganjil.

x y -3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 -1 -2

c. Dari sifat fungsi cosinus,

h(–x) = cos(–x) = cos x = h(x) Jadi, h adalah fungsi genap.

d. Jika k(x) = x + 2, maka k(–x) = –x + 2. Tampak bahwa k bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.

W

1. Gambarkan grafik setiap fungsi berikut pada bidang Cartesius dalam daerah asal ¡. a. f(x) = –2 d. f(x) = x2 – 9

b. f(x) = 2x e. f(x) = 3x2 – x2 c. f(x) = 3 – 2x f. f(x) = x2 – 4x – 12

2. Diketahui fungsi f(x) = (–9)x dengan daerah asal himpunan bilangan bulat. a. Hitunglah f(–3), f(–2), f(–1), f(0), f(1), f(0), dan f(3).

b. Gambarkan grafik fungsi f pada bidang Cartesius. c. Tentukan daerah hasilnya.

3. Gambarkan grafik setiap fungsi berikut pada bidang Cartesius dalam daerah asal ¡. a. f x( )= 3x−1 c. f x( )= 3x x− ²

b. f x( ) 1= −x d. f x( )=x x

4. Tentukan daerah hasil dari setiap fungsi pada soal nomor 3.

5. Selidiki apakah setiap fungsi berikut ganjil, genap, atau tidak keduanya. a. f(x) = 2x4 – 3x2 + 1 c. f x( )= x

b. f(x) = 5x3 + 4x d. f(x) = x3 – 3x2

6. Pada hari libur, pengunjung pada suatu toserba mengikuti fungsi x = 215t – 24t2, dengan x

adalah jumlah pengunjung yang masuk ke toserba setelah jam ke-t. Jika toserba dibuka mulai jam 08.00, jam berapa:

a. pengunjung paling banyak masuk? b. tidak ada pengunjung?

7. Ekonomi

Harga barang ditentukan oleh permintaan akan barang tersebut. Harga barang ditentukan oleh fungsi 2

3

80

p= − x, dengan x adalah jumlah permintaan barang dan p dalam ribuan.

a. Berapakah harga barang tersebut, apabila jumlah permintaan adalah 18 unit?

b. Berapakah jumlah permintaan, jika harga barang Rp50.000,00? c. Gambarkan fungsi harga tersebut pada bidang Cartesius.

d. Selidiki apakah fungsi p merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil?

8. Ekonomi

Diketahui fungsi permintaan suatu barang p = 48 – 4x – 3x2 dan fungsi penawaran p = x2 +

4x + 16, dengan p adalah harga (dalam ribuan) dan x adalah jumlah barang.

a. Tentukan titik keseimbangan antara permintaan dan penawaran. b. Tentukan titik keseimbangan dari harga.

c. Berapakah jumlah permintaan dan penawaran, jika harga barang Rp28.000,00?