Bilangan Perpangkatan dan Aturan Pemangkatan

BAB 2 MODEL EKONOMI

2.5 Bilangan Perpangkatan dan Aturan Pemangkatan

Suatu variabel, konstanta, atau suku dapat dipangkatkan dengan bilangan nyata. Bilangan nyata yang menjadi pangkat tersebut adalah bilangan

terdiri dari: bilangan bulat positif atau negatif, bilangan pecah positif atau negatif;

bilangan nol. Contohnya, 7⁵ atau 7² atau (X

Aturan dalam operasi pemangkatan berbeda dengan aturan

operasi matematika lainnya (misalnya, penjumlahan atau pengurangan; perkalian atau pembagian), sehingga pada sub Bab 2.5 ini akan dibahas mengenai definisi dan cara-cara perhitungan serta aturan pemangkatan.

Pangkat dalam aljabar digunakan untuk menunjukk

atau konstanta dikalikan dengan variabel atau konstanta itu sendiri dan perkaliannya tergantung pada bilangan yang menjadi pangkatnya. Jika variabel X adalah bilangan nyata yang akan dipangkatkan, dan n adalah bilangan bulat positif

maka pangkat (exponent) dapat didefinisikan secara umum,

X

ⁿ

= X

1

Untuk lebih jelas lagi Gambar 2.1. menjelaskan mengenai sistem bilangan nyata yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu: bilangan rasional dan bilangan an rasional dibagi lagi menjadi dua kelompok, yaitu:

bilangan bulat dan bilangan pecah. Kemudian bilangan bulat dibagi pula menjadi tiga kelompok yaitu: bilangan positif, nol dan negatif. Disimpulkan bahwa sistem bilangan nyata meliputi semua bilangan yang mempunyai desimal, berakhir, berulang, dan

Gambar 2.1 Sistem Bilangan Nyata

2.5 Bilangan Perpangkatan dan Aturan Pemangkatan

Suatu variabel, konstanta, atau suku dapat dipangkatkan dengan bilangan nyata. Bilangan nyata yang menjadi pangkat tersebut adalah bilangan nyata yang terdiri dari: bilangan bulat positif atau negatif, bilangan pecah positif atau negatif; dan

atau (X⁵+ Y²) atau ( 7 7 343

Aturan dalam operasi pemangkatan berbeda dengan aturan-aturan dalam operasi matematika lainnya (misalnya, penjumlahan atau pengurangan; perkalian atau pembagian), sehingga pada sub Bab 2.5 ini akan dibahas mengenai definisi dan

hitungan serta aturan pemangkatan.

Pangkat dalam aljabar digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu variabel atau konstanta dikalikan dengan variabel atau konstanta itu sendiri dan perkaliannya tergantung pada bilangan yang menjadi pangkatnya. Jika variabel X adalah bilangan nyata yang akan dipangkatkan, dan n adalah bilangan bulat positif sebagai pemangkat,

nisikan secara umum,

1.

X

2

.X

3

………X

n

Bab 2. Model Ekonomi

Dengan, n = jumlah suku, Jadi, misalnya 7⁴ = 7.7.7.7 atau contoh lain, 8³ = 8.8.8. Lebih jauh lagi, jika X adalah bilangan nyata dan n adalah suatu bilangan bulat negatif, maka pangkat negatif akan berlaku menjadi:

Jika n = 0, maka dapat didefinisikan, X⁰ = 1

Selanjutnya, jika X adalah bilangan nyata dan n adalah bilangan pecah positif.

Misalnya 2/3, maka dapat didefenisikan, ^ = ³ X²

Dimana tanda disebut tanda akar. Jadi, tanda akar ( ) digunakan untuk pangkat bilangan pecah. Secara umum bentuk ini dapat ditulis,

Dimana X = Bilangan nyata

m dan n = bilangan bulat positif

Kemudian, apabila m = 1 dan n adalah bilangan bulat positif yang lebih besar satu, maka akan menjadi akar pangkat ke – n dari X atau

contohnya



^{ }

,

maka akan menjadi ;



^adalah akar pangkat 2 dari X atau X ; dan sebagainya. Perhatikan, bahwa untuk akar pangkat 2, indeks tidak ditulis.

Selain pangkat pecahan yang positif, ada pula pangkat pecahan yang negatif, dan ini dapat ditulis,



di mana dan n adalah bilangan bulat positif, sehingga bentuk ini akan menjadi,

Berikut ini beberapa contoh dari definisi pangkat dan cara perhitungannya

Diasumsikan bahwa m dan n adalah bilangan bulat positif, dan X dan Y adalah bilangan nyata positif. Berikut ini adalah aturan-aturan dalam melakukan pemangkatan:

Aturan-Aturan Pangkat atau Eksponen

125

Bab 2. Model Ekonomi

Kasus Khusus untuk Aturan Pangkat

Suatu bilangan nyata jika dipangkatkan dengan bilangan 1, maka akan menghasilkan bilangan nyata itu sendiri.

Aturan 9 Contoh 15¹ = 15

Suatu bilangan nyata selain nol jika dipangkatkan dengan bilangan nol, maka akan menghasilkan nilai 1.

Aturan 10 di mana (X ≠ 0) Contoh : 20⁰=1

Suatu bilangan nyata jika dipangkatkan dengan suatu bilangan nyata apa saja, maka akan menghasilkan bilangan satu itu sendiri.

Aturan 11 Contoh 1¹²=1

Contoh 2.2

Sederhanakanlah bentuk ⁾₎^_* menjadi bentuk pecahan paling sederhana!

Penyelesaian:

)^

)^* = 9^(4-7)

)^

)^* = 9^-3

)^

)^* = ₎^#_ = _+$)^# Contoh 2.3

Jika x=9 dan y=64, maka nilai ,-, − .^$√. + 25 Berapakah hasil nya?

Penyelesaian:

,-, − .^$√. + 25 = 64√64 − 9^$√9 + 144

= 64(8) − 81 (3) + 144

= 512-243+144

= 413 Contoh 2.4

Jika n bilangan bulat, maka nilai dari ^$0_#$^.1 adalah Penyelesaian:

$^0.1^

#$^

=

^{$0.$2}

($^)^2^

=

₂($3'$)'($3'$) . 3(3'()'(3'# )

=

2⁰ . 3^-3

=

_$+^#

Bab 2. Model Ekonomi

Pemfaktoran adalah suatu teknik yang digunakan untuk menyederhanakan pernyataan-pernyataan matematika dan pemecahan masalah lainnya dalam operasi matematika. Faktor adalah bentuk perkalian antar bilangan yang terpisah dalam suatu hasil kali. Misalnya, pernyataan matematika yang berbentuk db + dc, maka dapat difaktorkan menjadi d (b+c). Jadi, dengan kata lain pemfaktoran dapat ditulis menjadi: db + dc = d (b+c) atau 12 x 5 + 12 x 7 = 12 (5+7).

Proses pemfaktoran dimulai dengan cara mencari nilai-nilai bersama (atau variabel kesamaan) pada suatu pernyataan matematika seperti: ab+ac kemudian menuliskannya kembali sebagai suatu hasil kali dari faktor-faktornya a (b+c). Bila suatu kelompok suku mempunyai satu faktor bersama (seperti yang ditunjukkan oleh a di atas pada suku ab dan ac), proses pembentukan suku-suku ini kedalam faktor-faktor dianggap sebagai pemfaktor-faktoran monomial (monomial factoring).

Contoh 2.5

Faktorkanlah 7Y³ – 9XY² + 13Y ! Penyelesaian:

Faktor bersama pada pernyataan matematika di atas adalah Y dalam setiap suku.

Pemfaktoran monomial dari pernyataan matematika ini dapat dituliskan secara lengkap dengan menuliskan hasil kali dari faktor bersama Y dan pernyataan matematika yang mencakup semua suku-suku yang tersisa. Jadi, faktor-faktor ini adalah,

7Y³ – 9XY² + 13Y = Y (3Y² – 9XY + 13)

Contoh 2.6

Faktorkanlah -15a²b² + 30ab!

Penyelesaian:

-15a²b² + 30ab = 15ab(-ab+2) Pemfaktoran

Contoh 2.7

Faktorkanlah 20p² - 5q²! Penyelesaian:

28p² - 7q² = 7(4p²-q²)

= 7 (2p + q) (2p - q)

Apabila suatu pernyataan matematika mempunyai dua faktor bersama, prosedur yang digunakan untuk memperoleh faktor-faktor ini disebut pemfaktoran binomial (binomial factoring). Pencarian faktor-faktor binomial adalah suatu teknik yang digunakan pada analisis matematika. Berikut ini adalah contoh-contoh persamaan binomial.

Contoh 2.8

Faktorkanlah Y = X² – 7X- 30 Penyelesaian:

Untuk mendapatkan faktor-faktor dari pernyataan matematika ini,dua bilangan yang tidak diketahui a dan b dapat digunakan untuk membentuk dua faktor tersebut, sebagai berikut:

Y = (X + a) (X + b)

Perluasan di antara dua faktor baru ini menghasilkan Y = X² +(a+b) X + ab

Y = X² +(3-10) X + (3 x -10)

Sebagaimana yang diterapkan dalam contoh ini, diasumsikan bahwa (a+b) adalah koefisien dari X dan ab adalah nilai dari suku konstan 30. Jadi a +b = 3+(-10)=-7 dan ab = 3 X -(10) = -30. Sehingga, untuk mengetahui berapa nilai a dan b atau nilai X1 dan X2, maka, faktorkan Y = X² – 7X- 30.

Y = (X + a)(X + b) 0 = (X - 10) (X + 3)

X1-10 = 0 atau X2+3 = 0

Sehingga X1 = 10 atau X2 =-3

Bab 2. Model Ekonomi

Prosedur ini membantu untuk menuntut proses penyelesaian sebagaimana penetapannya suatu pola untuk masing-masing faktor. Akan tetapi, nilai-nilai numerik yang khusus untuk a dan b diperoleh dengan cara mencoba-coba (trial and error).

Contoh-contoh berikut ini merupakan beberapa jenis pemfaktoran binomial yang agak lebih sulit. Misalnya,

Contoh 2.9

Faktorkanlah Y = 8X² + 26X + 15 Penyelesaian:

Dalam kasus ini, pernyataan matematika ini dapat dinyatakan kembali dengan penggunaan faktor-faktor berikut ini:

Y = (aX +c) (bX +d)

Penjabaran dari kedua faktor sebelumnya menghasilkan Y = abX² + adX + cbX +cd

Y = abX²+ (ad+cb)X +cd

Kebanyakan, persoalan seperti diatas, memerlukan penemuan nilai-nlai a, b, c dan d. Untuk menemukan nilai-nilai tersebut harus digunakan metode coba-coba (trial and error). Dalam kasus ini, a = 4 ; b =2, c = 3, dan d =5 jadi, faktor-faktornya adalah sebagai berikut,

Y = (4X +3) (2X+5)

Hasil ini adalah benar karena perkalian dua faktor ini akan menghasilkan seperti pernyataan matematika semula, yaitu

Y = 8X² + 26X + 15

Perhatikan batasan bahwa perkalian antara c dan d adalah 15 dan perkalian antara a dan b adalah 8 yang merupakan kunci dalam melakukan trial and error tersebut. Kombinasi angka yang dimasukkan dalam percobaan adalah faktor-faktor dari 8 dan 15 (koefisien X² dan konstanta pada soal)

Suatu pernyataan matematika yang bentuk umumnya X² – b², dimana b² adalah kuadrat dari suatu bilangan nyata, dianggap sebagai selisih di antara dua kuadrat (difference of two squares). Pada bentuk selisih dua kuadrat, bentuk pemfaktoran persamaan tersebut mengikuti aturan:

X² – b² = Y (X+b)(X-b) = Y

Contoh 2.10

Faktorkanlah 0 = X² – 36!

X² - 36 = 0 X² - 6² = 0 (X+6)(X-6) = 0

Sehingga, X1 = 6 dan X2 = -6

Perhatikan bahwa X² adalah kuadrat dari X dan 36 adalah kuadrat dari 6. Jika X dan 6 dimisalkan sebagai bilangan nyata, itu dapat dikatakan bahwa perbedaan di antara kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali dari jumlah dan perbedaan dari bilangan-bilangan itu.

Gagasan-gagasan ini dapat diperluas untuk jumlah dan perbedaan di antara dua suku yang berpangkat tiga. Misalnya, perhatikan Contoh 2.11 berikut.

Contoh 2.11

Faktorkanlah X³ + 27. Dalam kasus ini, aturan pemfaktoran jumlah di antara dua suku berpangkat tiga adalah sebagai berikut:

X³+a³ = (X+a) (X²-aX+a²) Penyelesaian:

Untuk contoh ini, misalkan a = 3 dan hasil pemfaktorannya adalah:

X³ + 27 = (X+3) (X² – 3X +3²)

Dalam contoh ini, misalkan a = 4, sehingga hasil pemfaktorannya adalah:

X³ – 64 = (X-4) (X²+4X+4²)

Bab 2. Model Ekonomi

Soal-Soal Latihan

1. Sederhanakanlah pernyataan-pernyataan matematika berikut ini:

a. (X⁴) (X^1/2) (X^-3) l. (X⁴) (X^1/2) (X^-3)

2. Evaluasialah setiap pernyataan-pernyataan matematika berikut ini:

3. Cari jawaban untuk Y pada setiap nilai X yang telah ditentukan:

a. Y = X² + 3X + 16 pada X = 4

Bab 2. Model Ekonomi

5. Faktorkanlah masing-masing pernyataan matematika berikut ini. Periksalah masing-masing jawaban dengan perkalian dari faktor-faktornya.

a. 6X³ – 4X2 + 12 XY

6. Faktorkanlah masing-masing pernyataan matematika berikut ini. Periksalah masing-masing jawaban dengan perkalian dari faktor-faktornya.

a. Y² + 6Y – 16 g. 3X³ – 14XY² +5 X

7. Carilah faktor-faktor untuk masing-masing dari selisih bilangan-bilangan berikut ini. Periksalah masing-masing jawaban dengan perkalian dari faktor-faktornya.

Gunakanlah metode selisih dua kuadrat untuk mempermudah pemfaktoran yang kalian lakukan!

a. X² – 36 d. X⁴ – 25 b. X² – 225 e. 25X² – 169 c. 4X² – 16 f. 16X⁴ – 49

8. Carilah faktor-faktor untuk masing-masing jumlah atau perbedaan dari dua suku berpangkat tiga.

a. X³ + 64 f. X³ + 1000 b. X³ – 27 g. X³ + 8000 c. X³ + 8 h. X³ – 64 d. X³ – 216 i. X³ + 512 e. X⁴–81 j. X³ – 729