MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Edisi Ketiga. Elisabet Siahaan. 2017.

USU Press Art Design, Publishing & Printing Gedung F, Pusat Sistem Informasi (PSI) Kampus USU Jl. Universitas No. 9 Medan 20155, Indonesia Telp. 061-8213737; Fax 061-8213737. usupress.usu.ac.id. © USU Press 2017 Hak cipta dilindungi oleh undang-undang; dilarang memperbanyak menyalin, merekam sebagian atau seluruh bagian buku ini dalam bahasa atau bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: 979 458 938 1 Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT) Siahaan, Elisabet Matematika ekonomi dan bisnis edisi ketiga / Elisabet Siahaan. – Medan: USU Press, 2017. x, 270 p. ; ilus. ; 25 cm Bibliografi ISBN: 979-458-938-1 Ekonomi Matematika 330.0151 – ddc21. Dicetak di Medan, Indonesia. I. Judul.

KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas karunia dan kasih-Nya, sehingga buku ini dapat diselesaikan dengan baik. Banyak pihak yang telah membantu proses pembuatan buku ini. Diucapkan banyak terimakasih kepada Rektor Universitas Sumatera Utara, Dekan Fakultas Ekonomi dan Bisnis USU, beserta semua jajarannya, suami, dr.Eddy Jefferson Ritonga SpOT, semua anak-anakku, Vanesia,Matthew, Nicholas, Clara Natalia, editor buku ini Ishbir M. Adha,dan kepada banyak pihak yang telah membantu baik secara moril dan material sehingga buku ini sampai ke tangan pembaca. Matematika merupakan alat bagi setiap orang dalam mengambil keputusan. Matematika ekonomi dan bisnis merupakan konsep mendasar yang harus diketahui dan dipahami oleh para pelaku ekonomi. Matematika ekonomi dan bisnis membantu pelaku ekonomi dalam berfikir logis dan sistematis dalam menganalisis situasi ekonomi dengan lebih tepat. Pemahaman dan penerapan matematika ekonomi dan bisnis akan membantu dalam merencanakan kegiatan ekonomi, melaksanakan, dan mengawasi kegiatan ekonomi sehingga berjalan sesuai dengan yang ditargetkan, serta mengambil keputusan yang lebih bermanfaat. Memahami matemamatika ekonomi dan bisnis sangat membantu dalam menyelesaikan permasalahan ekonomi mikro dan makro dengan menganalisis model-model ekonomi. Buku Edisi ketiga ini berisi penjelasan konsep dan teknikyang lebih komprehensif disertai dengan penyelesaian permasalahan ekonomi secara aljabar dan geometri beserta contoh-contoh soal yang aplikatif dalam kehidupan bisnis sehari-hari. Buku ini membuat pembaca semakin memahami, mengetahui cara menyelesaikan permasalahan ekonomi dan bisnis secara sistematis dan matematis, sehingga keputusan yang dibuat lebih tepat dan optimal. Keputusan yang dibuat manajer akan selalu tepat dan optimal, apabila manajer menggunakanmatematika ekonomi dan bisnis sebagai alat pengambil keputusan. Buku ini membahas banyak topik yang membuat pelaku bisnis semakin mampu menyelesaikan permasalahan ekonomi dan bisnis mulai dari membahas model ekonomi, penerapan fungsi linier di dalam ekonomi dan bisnis, seperti perhitungan besarnya subsidi yang diterima konsumen,produsen,dan besarnya pajak yang diterima pemerintah, pajak yang dibayar konsumen dan produsen kepada negara, menentukan besarnya keseimbangan pasar, menentukan besarnya konsumsi dan tabungan masyarakat dan suatu negara. Buku ini juga membahas penerapan fungsi non-linier di dalam ekonomi dan bisnis seperti menghitung besarnya permintaan, penawaran, dan keseimbangan pasar, elastisitas permintaan dan penawaran serta penerimaan total perusahaan. Buku ini juga membahas penerapan baris dan deret dalam ekonomi dan bisnis yang banyak diterapkan dalam perhitungan bunga sederhana dan bunga majemuk, nilai sekarang dan nilai masa depan dari anuitas, cicilan kredit, dan penyisihan pinjaman. Buku ini juga membahas bagaimana cara menghitung laba optimal dengan iii.

menerapkan kalkulus diferensial dengan teknik turunan sehingga mampu ditentukan jumlah produksi dan harga optimal. Selain itu, buku ini membantu dalam menghitung minimalisasi biaya total produksi, dan laba total, menghitung elastisitas permintaan dan penawaran. Dalam buku ini juga disertakan aplikasi kalkulus integral dalam kehidupan sehari-hari. Konsep kalkulus integral ini sangat membantu pengambil keputusan dalam menghitung fungsi total seperti fungsi biaya total, fungsi penerimaan total, fungsi produksi total, fungsi konsumsi dan tabungan total. Konsep kalkulus integral yang ditulis di buku ini juga menjelaskan cara menghitung besarnya surplus konsumen dan produsen. Buku Edisi tiga ini memiliki banyak perubahan mulai dari penambahan dua bab pembahasan yaitu bab 9 dan 10, penambahan ruang lingkup serta kedalaman pembahasan di setiap bab, ditambah dengan grafik-grafik yang atraktif, contohcontoh soal serta soal-soal latihan yang memampukan pembaca semakin memiliki pemahaman,pengetahuan, serta kemampuan dalam menganalisa dan menyelesaikan permasalahan ekonomi dan bisnis secara matematis kuantitatif. Buku ini juga menyertakan contoh-contoh aplikatif konsep matematika ekonomi dan bisnis dalam memecahkan permasalahan ekonomi dan bisnis pada berbagai situasi dalam kehidupan sehari-hari. Akhir kata penulis berharap semoga buku ini mendapat perhatian di hati pembaca dan berharap buku ini bermanfaat bagi semua pembaca.. Medan, Januari 2017 Penulis,. Elisabet Siahaan. iv.

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................................................................iii DAFTAR ISI...................................................................................................................................... v DAFTAR GAMBAR ..................................................................................................................... viii DAFTAR TABEL ............................................................................................................................. x BAB 1 PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS ............................................ 1 1.1 Pentingnya Mempelajari Matematika ............................................................................... 1 1.2 Perbedaan Matematika Murni dengan Matematika Ekonomi dan Bisnis .......... 2 1.3 Menyelesaikan Permasalahan dengan Matematika Ekonomi dan Bisnis........... 4 1.4 Hubungan antara Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi dan Statistika Ekonomi (Ekonometrika) ...................................................................................................... 4 Soal-Soal Latihan ................................................................................................................................ 6 BAB 2 MODEL EKONOMI ............................................................................................................ 7 2.1 Pendahuluan ................................................................................................................................ 7 2.2 Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Parameter ............................................................. 7 2.3 Persamaan dan Pertidaksamaan ......................................................................................... 9 2.4 Sistem Bilangan Nyata ........................................................................................................... 10 2.5 Bilangan Perpangkatan dan Aturan Pemangkatan .................................................... 11 Soal-Soal Latihan .............................................................................................................................. 20 BAB 3 FUNGSI LINEAR..............................................................................................................24 3.1 Pendahuluan .............................................................................................................................. 24 3.2 Bentuk Umum Fungsi Linear .............................................................................................. 24 3.3 Kemiringan dan Titik Potong Sumbu............................................................................... 26 3.4 Menentukan Persamaan Garis............................................................................................ 32 3.4.1 Metode Dua Titik .......................................................................................................... 33 3.4.2 Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan ............................................................. 36 Soal-Soal Latihan .............................................................................................................................. 39 BAB 4 PENERAPAN FUNGSI LINEAR ....................................................................................40 4.1 Pendahuluan .............................................................................................................................. 40 4.2 Fungsi Permintaan .................................................................................................................. 41 4.2.1 Fungsi Permintaan Khusus ...................................................................................... 47 4.3 Fungsi Penawaran ................................................................................................................... 48 4.3.1 Kurva Penawaran Khusus ........................................................................................ 52 4.4 Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk .................................................................... 53 v.

4.5 Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk ..................................................................... 58 4.6 Pengaruh Pajak pada Keseimbangan Pasar .................................................................. 63 4.7 Pengaruh Subsidi pada Keseimbangan Pasar .............................................................. 76 4.8 Analisis Pulang Pokok ............................................................................................................ 83 4.9 Fungsi Konsumsi dan Tabungan........................................................................................ 90 4.10 Model Penentuan Pendapatan Nasional ....................................................................... 97 Soal-Soal Latihan ........................................................................................................................... 104 BAB 5 PENERAPAN FUNGSI NON-LINIEAR DALAM EKONOMI DAN BISNIS ....... 114 5.1 Pendahuluan ........................................................................................................................... 114 5.2 Fungsi Kuadrat ....................................................................................................................... 114 5.2.1 Rumus Kuadrat .......................................................................................................... 115 5.3 Fungsi Permintaan .............................................................................................................. 118 5.3.1 Fungsi Rasional ......................................................................................................... 124 5.4 Fungsi Penawaran ................................................................................................................ 129 5.5 Keseimbangan Pasar ........................................................................................................... 134 5.6 Fungsi Penerimaan Total ................................................................................................... 140 Soal-Soal Latihan ........................................................................................................................... 146 BAB 6 PENERAPAN BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI DAN BISNIS .............. 148 6.1 Pendahuluan ........................................................................................................................... 148 6.2 Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana .............................................................. 149 6.3 Bunga Majemuk ..................................................................................................................... 152 6.4 Anuitas....................................................................................................................................... 156 6.4.1 Nilai Masa Depan dari Anuitas (Sn).................................................................... 156 6.4.2 Nilai Sekarang dari Anuitas .................................................................................. 158 6.5 Dana Cadangan Atau Dana Pelunasan (Sinking Fund)......................................... 160 6.6 Penyisihan Pinjaman (Loan Amortization) ............................................................... 161 Soal-Soal Latihan ........................................................................................................................... 165 BAB 7 KALKULUS DIFERENSIAL DAN PENERAPANNYA DALAM EKONOMI DAN BISNIS: FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS ............................... 169 7.1 Pendahuluan ........................................................................................................................... 169 7.2 Elastisitas Permintaan dan Penawaran ....................................................................... 169 7.2.1 Elastisitas Permintaan terhadap Harga ........................................................... 171 7.2.2 Menentukan Elastisitas Permintaan terhadap Harga Titik Pada Kurva Permintaan ................................................................................................................. 173 7.2.3 Elastisitas Penawaran terhadap Harga ............................................................ 178 7.3 Penerapan Optimisasi: Fungsi denganSatu Variabel Bebas ................................ 181 7.4 Biaya Total (TC), Biaya Rata-Rata (AC), dan Biaya Marginal (MC) ................. 183 vi.

7.5 Pendapatan Total (TR), Pendapatan Rata-Rata (AR), dan Pendapatan Marginal (MR) ....................................................................................................................... 189 7.6 Laba Maksimum .................................................................................................................... 193 Soal–Soal Latihan ......................................................................................................................... 197 BAB 8 PENERAPAN KALKULUS PARSIAL DALAM EKONOMI DAN BISNIS: FUNGSI DENGAN DUA VARIABEL BEBAS ........................................................................... 202 8.1 Pendahuluan ........................................................................................................................... 202 8.2 Biaya Marginal ....................................................................................................................... 202 8.3 Elastisitas Permintaan Parsial ......................................................................................... 204 8.4 Fungsi Produksi ..................................................................................................................... 207 8.5 Penerapan Optimisasi : Fungsi dengan Dua Variabel Bebas............................... 209 8.5.1 Perusahaan dengan Dua Macam Produk......................................................... 210 8.6 Laba Maksimum dengan Dua Input............................................................................... 218 8.7 Penerapan Optimisasi Terkendala dalam Ekonomi dan Bisnis ......................... 221 Soal-Soal Latihan ........................................................................................................................... 226 BAB 9 KONSEP DASAR KALKULUS INTEGRAL .............................................................. 230 9.1 Pendahuluan ............................................................................................................................ 230 9.2 Integral Tak Tentu ................................................................................................................. 230 9.2.1 Aturan-Aturan dalam Integral ............................................................................. 232 9.3 Intergral Tertentu .................................................................................................................. 244 9.3.1 Integral Tertentu Sebagai Wilayah dalam Kurva ......................................... 244 9.3.2 Evaluasi Nilai Intergral Tertentu ........................................................................ 247 9.3.3 Sifat-Sifat Integral Tertentu .................................................................................. 249 Soal-Soal Latihan ........................................................................................................................... 255 BAB 10 PENERAPAN KALKULUS INTEGRAL DALAM EKONOMI .............................. 256 10.1 Pendahuluan.......................................................................................................................... 256 10.2 Fungsi Biaya Total............................................................................................................... 256 10.3 Fungsi Pendapatan Total.................................................................................................. 258 10.4 Fungsi Konsumsi dan Tabungan ................................................................................... 259 10.5 Surplus Konsumen .............................................................................................................. 261 10.6 Surplus Produsen ................................................................................................................ 264 Soal-Soal Latihan ........................................................................................................................... 267 DAFTAR BACAAN ..................................................................................................................... 270. vii.

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Gambar 3.1 Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambar 3.6 Gambar 3.7 Gambar 3.8 Gambar 4.1 Gambar 4.2. Sistem Bilangan Nyata ................................................................................................. 11 Empat Jenis Kemiringan pada Garis Linear ........................................................ 27 Persamaan Garis Y = 60 - 3X ..................................................................................... 29 Persamaan Garis Y = 9 + 3X ....................................................................................... 30 Persamaan garis implisit, 15X +3Y -24 = 0 ......................................................... 32 Kemiringan Garis ........................................................................................................... 33 Persamaan garis Y = 16– 2X ...................................................................................... 34 Persamaan garis Y = -4+3X ........................................................................................ 36 Persamaan Garis Y = 8 – 0.5X.................................................................................... 38 Kurva Permintaan ......................................................................................................... 43 Kurva Permintaan Persamaan  = .





− P ........................................ 44. Gambar 4.3 Persamaan Garis Qdx = 1.100 -. 1 P ..................................................................... 46 10. Gambar 4.4 Kurva PermintaanQd =21-3P ..................................................................................... 46 Gambar 4.5 Kurva Permintaan Khusus ......................................................................................... 47 Gambar 4.6. Kurva Penawaran (Kurva Positif) ........................................................................... 49 1 Gambar 4.7 Kurva PenawaranQs = - 800 + P ........................................................... 51 20 .000 Gambar 4.8 Kurva Penawaran Khusus .......................................................................................... 52 Gambar 4.9 Keseimbangan Pasar .................................................................................................... 54 Gambar 4.10 Keseimbangan Pasar yang Tidak MempunyaiArti Ekonomi........................ 55 Gambar 4.11 Keseimbangan Pasar .................................................................................................... 56 Gambar 4.12 Grafik Keseimbangan Pasar....................................................................................... 57 Gambar 4.13 Keseimbangan Pasar Mula-Mula dan Setelah Kena Pajak ............................ 65 Gambar 4.14 Grafik Keseimbangan Pasar Setelah Kena Pajak............................................... 69 Gambar 4.15 Grafik Keseimbangan Pasar Setelah Kena Pajak............................................... 71 Gambar 4.16 Grafik Keseimbangan Pasar Setelah Kena Pajak............................................... 74 Gambar 4.17 Grafik Keseimbangan Pasar Setelah Kena Pajak............................................... 76 Gambar 4.18 Grafik Subsidi yang Dinikmati Konsumen .......................................................... 78 Gambar 4.19 Grafik Keseimbangan Pasar Setelah Subsidi ...................................................... 81 Gambar 4.20 Grafik Keseimbangan Pasar Setelah Subsidi ...................................................... 83 Gambar 4.21 Titik Pulang Pokok (Titik Impas) ............................................................................ 85 Gambar 4.22 Penerapan Titik Impas ................................................................................................ 88 Gambar 4.23 Penerapan Titik Impas ................................................................................................ 90 Gambar 4.24 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan .............................................................. 92 Gambar 4.25 Grafik Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ................................................. 94 Gambar 4.26 Grafik Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ................................................. 96 Gambar 4.27 Keseimbangan Pendapatan Nasional .................................................................... 99 viii.

Gambar 4.28 Gambar 4.29 Gambar 5.1 Gambar 5.2 Gambar 5.3 Gambar 5.4 Gambar 5.5. Keseimbangan Pendapatan Nasional ................................................................. 101 Keseimbangan Pendapatan Nasional ................................................................. 103 Kurva Parabola Terbuka ke Atas .......................................................................... 116 Kurva Parabola Terbuka ke Bawah ..................................................................... 117 Kurva Parabola Terbuka ke Kanan...................................................................... 117 Kurva Parabola Terbuka ke Kiri ........................................................................... 118 Kurva Permintaan dari Parabola yang Terbuka ke Bawah P = - aQ2 + bQ + c dimana a < 0 ............................................................................ 119 Gambar 5.6 Kurva Permintaan Parabola yang Terbuka ke KiriQd = -aP2+bP +c ....... 120 Gambar 5.7 Fungsi Permintaan P = 48 - 3 .......................................................................... 122 Gambar 5.8 Kurva Permintaan dengan Fungsi Q = 21 – 4P -  ..................................... 124 Gambar 5.9 Kurva Permintaan Berbentuk Hiperbola .......................................................... 125 Gambar 5.10 Model Kurva Permintaan (Q-h)(P-k)=C ............................................................ 126 Gambar 5.11 Kurva Permintaan Rasional PQ = 36................................................................... 127 Gambar 5.12 Kurva Permintaan dengan Fungsi Rasional (Q + 4) ( P + 2) = 20 .......... 129 Gambar 5.13 Kurva Penawaran P = c + bQ + aQ2 .................................................................... 130 Gambar 5.14 Kurva Penawaran dengan Fungsi Q = aP2 + bP + c ....................................... 131 Gambar 5.15 Kurva Fungsi Penawaran Ps = 2Q2 + 3Q - 12 ................................................... 132 Gambar 5.16 Kurva Fungsi Permintaan Qd = 5P2 – 10P ......................................................... 134 Gambar 5.17 Delapan Gambar Keseimbangan Pasar, Kombinasi Perpotongan Fungsi Permintaan dan Penawaran ................................................................................... 135 Gambar 5.18 Keseimbangan Pasar ................................................................................................. 137 Gambar 5.19 Keseimbangan Pasar ................................................................................................. 138 Gambar 5.20 Keseimbangan Pasar ................................................................................................. 139 Gambar 5.21 Parabola TR Terbuka ke Bawah ............................................................................ 140 Gambar 5.22 Kurva Penerimaan Total........................................................................................... 143 Gambar 5.23 Kurva Penerimaan Total........................................................................................... 145 Gambar 7.1 Jenis-Jenis Kurva Elastisitas Permintaan .......................................................... 174 Gambar 7.2 Jenis-Jenis Kurva Elastisitas Penawaran.......................................................... 179 Gambar 9.1 Pendekatan Persegi Dalam Menemukan Luas Kurva (n=4) ..................... 245 Gambar 9.2 Pendekatan Persegi Dalam Menemukan Luas Kurva (n=16) ................... 246 Gambar 10.1 Wilayah Surplus Konsumen ................................................................................... 261 Gambar 10.2 Contoh Aplikasi Surplus Konsumen.................................................................... 263 Gambar 10.3 Wilayah Surplus Produsen...................................................................................... 264 Gambar 10.4 Contoh Aplikasi Surplus Produsen ...................................................................... 266. ix.

DAFTAR TABEL Tabel 3.1. Persamaan Garis Eksplisit ................................................................................................ 25 Tabel 3.2. Persamaan Garis Implisit.................................................................................................. 25 Tabel 9.1. Hubungan Fungsi Asal dan Fungsi Turunan .......................................................... 231. x.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. BAB 1 PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS 1.1 Pentingnya Mempelajari Matematika Matematika merupakan sesuatu yang sangat akrab dengan diri kita, bahkan selalu kita terapkan dalam kehidupan sehari-haripada setiap profesi pekerjaan. Matematika, baik secara sadar maupun tidak, selalu digunakan oleh setiap orang dalam menjalankan dan melaksanakan aktivitas untuk mencapai hasil dan keputusan yang terbaik. Misalnya sewaktu kita di pasar atau supermarket belanja kita gunakan matematika misalnya tanda tamba, kurang, bagi dan perkalian sehingga kita putuskan berapa yang akan kita beli, yang akan kita bayar, dan akan kita kembalikan. Contoh penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari misalnya ayah dan ibumenghitung pengeluaran kebutuhan rumah tangga, pengusaha menghitung total biaya yang dikeluarkan selama proses produksi, total pendapatan, laba dan rugi, jumlah produk yang optimal yang harus diproduksi agar keuntungan maksimal. Oleh karena itu kita sebagai bagian dari masyarakat harus mempelajari matematika agar memiliki pengetahuan dan keterampilan dalam matematika agar keputusan yang kita buat tepat dan akhirnya menguntungkan diri kita sendiri. Matematika merupakan alat bantu yang sangat tepat dalam membantu pengambil keputusan dalam membuat keputusan yang optimal. Matematika merupakan mata pelajaran yang wajib diikuti mulai dari kecil, yaitu dari TK,SD,SMP,SMA, dan sewaktu kuliah matematika merupakan mata kuliah yang wajib diikuti. Pada saat ujian nasional pun matakuliah matematika pun diujikan. Tujuannya adalah agar kita mengetahui dan mampu menerapkan matematika tersebut dalam kehidupan sehari-hari. Banyak manfaat yang kita peroleh dengan mengatahui dan menerapkan matematika dalam kehidupan, yaitu cara berpikir kita menjadi lebih sistematis, lebih logika, lebih teliti, cermat, sehingga setiap permasalahan bisa diselesaikan dengan lebih cepat, mudah, dan tepat. Perhatikanlah bagaimana cara kita memutuskan barang apa dan berapa jumlah yang akan kita konsumsi, misalnya kita menghitung berapa liter premium akan kita konsumsi, yang kita sesuaikan dengan dana yang ada, kita mengalikan harga bensin dan sesuaikan dengan dana yang kita miliki, sehingga dilakukan perhitungan matematika ekonomi.Dikatakan ekonomi karena memutuskan berdasarkan sumber daya yang terbatas ditengah keinginan yang tidak terbatas, karena keinginan konsumen adalah membeli premium sebanyak-banyaknya, tetapi dana yang tersedia terbatas. Sehingga kita harus berperilaku ekonomi, yaitu bijaksana dalam mengalokasikan sumber daya dana sehingga tidak terjadi pemborosan atau salah mengalokasikan sumberdaya yang terbatas tersebut. Matematika adalah kata yang sering kita dengar mulai dari kita di pendidikan yang paling rendah sampai saat ini. Matematika yang kita sering dengar adalah matematika murni seperti penjumlahan, perkalian, pengurangan, pembagian, 1.

Bab 1. Pengantar Matematika Ekonomi dan Bisnis. kuadrat,himpunan, menghitung bangun ruang, himpunan, logika, aljabar, integral, fungsi, kalkulus, ruang tiga dimensi, transformasi, vektor, deret hitung, matriks, geometri, trigonometri,serta probabilitas dan lain sebagainya. Seluruh konsepkonsep matematika yang pernah kita pelajari adalah matematika murni.. 1.2 Perbedaan Matematika Murni dengan Matematika Ekonomi dan Bisnis Setelah memasuki Fakultas Ekonomi dan Bisnis kita tidak lagi menerima ilmu matematika murni, tetapi matematika terapan yang mampu menyelesaikan permasalahan di dalam ekonomi dan bisnis, yaitu matematika ekonomi dan bisnis. Tujuan dari bab ini adalah untuk memberikan suatu konsep, gambaran dan penjelasan secara umum mengenai sifat–sifat dari matematika ekonomi dan bisnis serta menunjukkan perbedaan antara matematika murni dan matematika terapan dalam bidang ilmu ekonomi yaitu matematika ekonomi dan bisnis. Matematika murni maupun matematika ekonomi dan bisnis pada hakekatnya saling berhubungan erat, sebab tanpa memahami matematika murni tidaklah mungkin dapat mempelajari dan memahami matematika ekonomi dan bisnis. Matematika murni merupakan metode ilmu ukur dengan pendekatan logika dengan menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematika (logika simbolik). Oleh karena itu matematika murni sudah terlebih dahulu dipelajari sewaktu berada di pendidikan rendah, menengah dan atas. Sewaktu berada pada pendidikan tinggi dilanjutkan dengan mempelajari matematika terapan yang disesuaikan dengan fakultas yang masuki. Matematika ekonomi dan bisnis merupakan alat bantu pengambil keputusan yang bermanfaat dalam menyederhanakan pemahaman terhadap permasalahan, menganalisis permasalahan, dan menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan ekonomi dan dunia bisnis. Matematika ekonomi dan bisnis merupakan pendekatan yang dipergunakan untuk menganalisis dan menyelesaikan permasalahan ekonomi dengan menggunakan simbol-simbol matematis untuk menyelesaikan permasalahan ekonomi serta menggunakan dalil-dalil matematis dan ekonomi dalam menyelesaikan dan menjawab permasalahan ekonomi dan bisnis. Meskipun matematika murni dan matematika ekonomi dan bisnis saling mendukung dan melengkapi, mereka juga memiliki perbedaan. Perbedaan pertama dari matematika murni dengan matematika ekonomi dan bisnis adalah bahwa matematika murni merupakan dasar untuk mempelajari matematika terapan. Namun, tidak semua topik matematika murni dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah ekonomi dan bisnis, sehingga dalam mempelajari matematika terapan ekonomi dan bisnis kita harus memilih beberapa topik–topik matematika murni yang mampu menyelesaikan permasalahan ekonomi dan bisnis, seperti Fungsi dengan Satu Variabel Bebas, Fungsi dengan Dua Variabel Bebas, Fungsi Linear, Fungsi Nonlinear, Fungsi Eksponen, Baris dan Deret, Kalkulus Diferensial, Kalkulus Integral, Vektor, dan Matriks, dan sebagainya. Topik–topik inilah yang penting dalam menyelesaikan permasalahan ekonomi dan bisnis seperti dalam menentukan harga normal, 2.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. menentukan harga bila perusahaan melakukan diskriminasi harga, menentukan biaya total, untuk menentukan tingkat optimalisasi, seperti laba maksimum, biaya minimum, baik itu dengan kendala dan tanpa kendala, untuk menentukan besarnya konsumsi dan tabungan, untuk menghitung surplus konsumen dan produsen, dan lain sebagainya. Dengan demikian, kita harus mempelajari dan memahami topik- topik matematika murni sebagai dasar dalam dalam menyelesaikan permasalahan bidang ekonomi dan bisnis. Apabila kita tidak memiliki dasar yang baik dalam matematika murni, akan sulit untuk mempelajari dan memahami matematika terapan. Perbedaan kedua dari matematika murni dengan matematika ekonomi dan bisnis adalah dari penggunaan simbol-simbol matematika. Dalam matematika murni penggunaan simbol – simbol pada variabelnya biasanya menggunakan simbol– simbol matematika yang umum digunakan oleh para ahli matematika, seperti huruf akhir dari abjad alfabet, yaitu X, Y, dan Z. Penggunaan simbol–simbol variabel dalam matematika ekonomi dan bisnis biasanya digunakan para ahli ekonomi sesuai dengan nama variabel ekonominya, misalnya harga = P (Price), biaya = C (Cost), jumlah yang diminta = Qd (Quantity demand), jumlah yang ditawarkan = Qs (Quantity supply), tabungan = S (Saving), tingkat suku bunga = i (interest rate), titik keseimbangan = E (Equilibrium), tingkat investasi = I (investasi), elastisitas = ε (elasticity), pengeluaran pemerintah = G (government expenditure) dan lain sebagainya. Perbedaan ketiga dari matematika murni dengan matematika ekonomi dan bisnis adalah mengenai penggambaran variabel harga (P) dan variabel kuantitas (Q) dalam bidang Kartesius. Misalkan persamaan permintaan dalam matematika ekonomis sebagai berikut: Qdx= f(P). Berdasarkan persamaan ini P adalah variabel bebas (independent variable), dan Qdx adalah variabel terikat (dependent variable). Pada matematika ekonomi dan bisni, variabel bebas, P, umumnya digambarkan pada sumbu vertikal (Sumbu-Y) dan Variabel Q yang merupakan variabel terikat digambarkan pada sumbu horizontal (Sumbu-X). Sedangkan menurut aturan pada matematika murni, sumbu P seharusnya berada pada sumbu horizontal sebab variabel P, variabel bebas, atau variabel yang dipengaruhi, dinotasikan pada sumbu horizontal (Sumbu-X) dan variabel terikat, variabel Q, digambarkan dengan sumbu vertikal (Sumbu-Y). Perbedaan keempat dari matematika murni dengan matematika ekonomi dan bisnis terletak pada nilai. Nilai–nilai variabel dalam matematika ekonomi dan bisnis biasanya diasumsikan harus bernilai positif. Sedangkan nilai–nilai variabel dalam matematika murni dapat berupa negatif atau positif. Banyak hal dalam penerapan nyata ekonomi dan bisnis tidak boleh bernilai negatif, karena tidak mungkin misalnya jumlah produk yang harus diproduksi negatif, pemakaian bahan baku untuk produksi bernilai negatif, kebutuhan jumlah tenaga kerja, jumlah produk yang diminta, dan lain sebagainya. Dengan kata lain, matematika ekonomi dan bisnis memiliki beberapa variabel atau pembahasan yang tidak mengenal nilai negatif. Jadi, secara geometri nilai–nilai variabel ekonomi dan bisnis hanya berlaku pada kuadran pertama.Sedangkan nilai-nilai matematika murni berlaku pada semua kuadran, yaitu kuandran pertama, kedua, ketiga, dan keempat.. 3.

Bab 1. Pengantar Matematika Ekonomi dan Bisnis. 1.3 Menyelesaikan Permasalahan dengan Matematika Ekonomi dan Bisnis Hasil penyelesaian permasalahan ekonomi dan bisnis sangat penting bagi pihak manajemen perusahaan, bagi para konsultan, bagi para ekonom, bagi pemerintah, dan sebagainya. Hasil penyelesaian permasalahn ekonomi tersebut berguna dalam perencanaan perusahaan profit dan non profit, seperti peramalan jumlah produk yang akan di produksi secara optimal dengan biaya yang minimal, rencana kerja, kegiatan operasional yang efektif dan efisien, pengawasan, serta evaluasi kerja. Ada empat tahapan dalam menyelesaikan permasalahan ekonomi. Tahap pertama, memahami dan menganalisa dengan sangat detail permasalahan yang terjadi. Mencari informasi yang selengkap-lengkapnya mengenai permasalahan yang terjadi, mencari informasi sampai ke akar masalah sehingga kita memahami persoalan yang terjadi. Kemudian, kedua kita mencari dan menggunakan metode, model, simbol matematika dan rumus matematika yang sesuai dan mampu menyelesaikan permasalahan ekonomi tersebut. Tahap ketiga adalah menyelesaikan permasalahan ekonomi tersebut dengan teliti dan lebih objektif. Tahap keempat adalah mengartikan hasilnya dengan hasil analisa yang nyata, dan membuat keputusan yang tepat dalam menyelesaikan permasalahan yang terjadi. Hasilnya perhitungan matematika ekonomi tersebut dapat dijadikan dasar dalam perencanaan, pengawasan dan evaluasi. Hasil perhitungan matematika ekonomi dan bisnis ini juga berguna dalam melaksanakan kegiatan ekonomi yang lebih efektif dan efisien sehingga tidak terjadi kegagalan dalam pasar.. 1.4. Hubungan antara Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi dan Statistika Ekonomi (Ekonometrika). Teori ekonomi merupakan sebuah postulat, kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan oleh para pengamat ekonomi dan peneliti. Contoh teori ekonomi adalah hukum permintaan, hukum penawaran. Teori ekonomi biasanya dinyatakan dalam bentuk kualitatif atau pernyataan yang panjang. ekonomi misalnya hukum permintaan. Hukum permintaan menyatakan bahwa apabila harga suatu produk naik, maka jumlah barang atau jasa yang diminta oleh konsumen akan berkurang, dengan asumsi faktor-faktor lain yang mempengaruhi jumlah barang yang diminta adalah konstan (ceteris paribus). Sebaliknya, apabila harga suatu produk turun, maka jumlah barang atau jasa yang diminta oleh konsumen akan bertambah (ceteris paribus). Misalkan apabila harga perumahan naik, sedangkan pendapatan dan faktor lain yang mempengaruhi permintaan tetap, maka permintaan konsumen terhadap perumahan akan turun, orang akan menunda untuk membeli perumahan dan tetap akan memperpanjang masa menyewa rumah, atau tetap tinggal di rumah orang tua atau keluarga karena naiknya harga perumahan. Sebaliknya apabila harga perumahan turun, maka permintaan terhadap perumahan akan meningkat, konsumen mengurangi keinginan untuk menyewa rumah dan tinggal tidak lagi bersama keluarga atau saudara, tetapi tinggal di rumah milik pribadi, yang lebih berkesan pribadi (privasi) . 4.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Oleh karena itu, teori ekonomi yang bersifat kualitatif tersebut menyatakan ada pengaruh yang negatif antara variabel harga (P) dengan jumlah yang diminta (Qd). Teori ekonomi sendiri tidak memberikan suatu ukuran angka (numerik) yang jelas mengenai pengaruh di antara kedua variabel tersebut. Dengan kata lain, teori ekonomi tidak menyatakan berapa besar (dalam bentuk angka) pengaruh kenaikan harga terhadap jumlah produk atau jasa yang diminta, dan sebaliknya. Agar dapat mengetahui seberapa besar pengaruh kenaikan atau penurunan harga terhadap jumlah produk yang diminta dalam bentuk numerik, maka hal itu dapat disederhanakan oleh ahli matematika ekonomi menjadi bentuk simbol dan model matematika yang lebih sederhana berupa fungsi permintaan, yaitu Qd = f(P), dan kemudian diperjelas lagi menjadi persamaan linear, yaitu: Qd = a-bP. Oleh karena itu, ahli matematika ekonomi menyederhanakan teori ekonomi yang bersifat kualitatif, dimana teori ekonomi menyatakan hubungan negatif (terbalik arah) antara kedua variabel tersebut, maka dalam bentuk matematis persamaan linier itu dinyatakan oleh parameter b yang bernilai negatif. Parameter a dan b pada persamaan linier di atas yang dinyatakan oleh ahli matematika ekonomi dapat ditaksir (estimated) oleh ahli ekonometrika dengan melakukan tindakan statistika. Tentunya ahli ekonometrika harus menggunakan operasi-operasi dan aturan-aturan matematika ekonomi. Seorang ahli ekonometri dalam proses penaksiran nilai-nilai parameter a dan b membutuhkan data yang baik dari variabel harga maupun variabel jumlah produk yang diminta. Data kedua variabel ini harus dicari atau dilakukan oleh seorang ahli statistika ekonomi. Seorang ahli statistika ekonomi pekerjaan utamanya berkenaan dengan perencanaan data, pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data ekonomi dalam bentuk tabel atau grafik, interpretasi hasil pengolahan data, dan menyimpulkan hasil tersebut. Bagi seorang ahli statistika ekonomi, agar hasil pengolahan dan penyajian data ekonomi dalam bentuk tabel dan grafik dapat ditampilkan dengan sederhana, benar, dan jelas, maka mereka harus mempunyai pengetahuan mengenai matematika ekonomi. Jadi, walaupun ekonometrika (statistika ekonomi) dan matematika ekonomi dipelajari secara terpisah, namun semuanya mempunyai keterkaitan yang erat satu dengan yang lainnya. Perlu diingat bahwa matematika ekonomi merupakan faktor utama dalam memahami ekonometrika atau statistika ekonomi. Dengan demikian, bila kita memahami dengan baik ketiga bidang studi ini kita akan dapat membuktikan secara empiris teori ekonomi dan selanjutnya dapat mengembangkan teori ekonomi.. 5.

Bab 1. Pengantar Matematika Ekonomi dan Bisnis. Soal-Soal Latihan 1. Menyelesaikan fenomena ekonomi dapat dilakukan dengan da cara yaitu secara matematis dan non matematis. Berikanlah contoh fenomena ekonomi yang penyelesaiannya dapat dilakukan secara matematis dan non matematis. 2. Jelaskan empat keuntungan menyelesaikan fenomena ekonomi secara matematis! 3. Jelaskan empat keuntungan menyelesaikan fenomena ekonomi secara non matematis! 4. Jelaskan 4 manfaat menyelesaikan masalah dengan matematika ekonomi dan bisnis! 5. Sebutkan dan jelaskan topik-topik matematika murni yang telah saudara pelajari dari pendidikan yang paling rendah sampai di bangku SMA! 6. Jelaskan lima (5) manfaat yang Saudara peroleh dengan mempelajari matematika murni!. 6.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. BAB 2 MODEL EKONOMI 2.1 Pendahuluan Model ekonomi merupakan suatu persamaan yang menjelaskan hubungan dan pengaruh antara variabel-variabel ekonomi yang menggambarkan kejadian sebenarnya pada dunia nyata. Model ekonomi ini dapat berbentuk model matematika dan non-matematika. Model ekonomi dibentuk oleh teori ekonomi serta kejadiankejadian atau fakta-fakta yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Teori dan fakta tersebut dibentuk dalam suatu permodelan yang terdiri dari satu atau sekumpulan persamaan. Persamaan ini terdiri atas variabel, koefisien, konstanta, dan parameter. Kejadian-kejadian serta hubungan dan pengaruh antar variabel yang terjadi dalam dunia nyata dapat disederhanakan dalam bentuk persamaan, grafik, ataupun tabel. Pada tingkat pemahaman yang sederhana, kejadian dunia nyata dapat dinyatakan dalam tabel ataupun grafik sehingga memudahkan pemahaman mengenai fenomena kejadian. Sebagai contoh, hubungan sederhana antara tingkat harga yang berlaku dengan jumlah pesanan setiap hari dapat dicatat dalam bentuk tabel dan grafik. Pencatatan ini akan dapat membantu analisis fenomena lebih lanjut dalam bentuk grafik. Akan tetapi, pada tahapan yang lebih kompleks, misalnya menjelaskan hubungan lebih dari dua variabel bebas (independet) terhadap satu atau lebih dari satu variabel terikat (dependent) dapat dijelaskan dalam persamaan. Pada situasi yang lebih kompleks, misalnya hubungan antara jumlah pengunjung dengan tingkat harga, harga pesaing, selera konsumen, serta pendapatan konsumen, maka metode persamaan lebih tepat digunakan daripada grafik dan tabel. Di Bab II ini, akan dijelaskan mengenai variabel, koefisien, parameter, persamaan dan pertidaksamaan, serta sistem bilangan nyata, konsep dan teori himpunan, relasi dan fungsi, serta aturan-aturan pemangkatan dan pemfaktoran. 2.2 Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Parameter Model matematika sering dinyatakan dalam bentuk tanda atau simbol, yang masing-masing terdiri atas beberapa kombinasi variabel, koefisien, konstanta, atau parameter. Simbol-simbol ini mewakili satu bilangan nyata atau sekelompok bilangan nyata. Sebagai contoh model matematika bisa dilihat pada persamaan jumlah barang yang diminta sebagai berikut: Qdx=a-bPx+cI+dPy+eT. (2.1). 7.

Bab 2. Model Ekonomi. Dalam perekonomian, hubungan antar variabel-variabel yang satu dengan variabel yang lain sangat kompleks. Untuk mempermudah hubungan antar variabel lain, maka dipilih variabel yang sesuai dengan permasalahan ekonomi yang sedang dibahas kemudian menghubungkan variabel-variabel tersebut berdasarkan konsep teori yang ada sehingga bentuk hubungan antar variabel ekonomi menjadi lebih tepat dengan keadaan yang terjadi dalam dunia nyata. Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah. Variabel dalam matematika murni sering dilambangkan dengan huruf terakhir dari abjad alfabet, tetapi dalam matematika ekonomi dan bisnis variabel sering dilambangkan dengan huruf awal dari nama variabel tersebut. Misalnya, variabel yang digunakan dalam ekonomi dan bisnis adalah Qdx = jumlah produk X yang diminta oleh konsumen, Px=harga produk X, I=Pendapatan, Py=harga produk yang lain, T= selera. Persamaan (2.1) menunjukkan model ekonomi yang mengatakan bahwa jumlah produk x yang diminta oleh konsumen sangat dipengaruhi oleh harga produk tersebut (Px), pendapatan konsumen tersebut (I), harga produk lain (Py), dan selera konsumen (T). Variabel dalam ekonomi ada dua jenis yaitu: variabel endogen dan variabel eksogen. Variabel endogen sering disebut dengan variabel terikat atau variabel Y dimana besarnya nilai Y sangat dipengaruhi oleh nilai eksogen yang sering disebut dengan vaiabel bebas, atau nilai X yang berada di dalam model. Variabel eksogen adalah variabel bebas yang nilai-nilainya diperoleh dari pengumpulan data di lapangan yang menggambarkan fenomena yang sebenarnya terjadi di lapangan. Berdasarkan persamaan (2.1) yang termasuk variabel endogen atau variabel terikat yaitu Qdx sedangkan variabel eksogen atau variabel bebas adalah Px, I, Py dan T. Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubahubah dalam suatu masalah tertentu. Nilai konstanta dalam model ekonomi diperoleh dari estimasi hubungan antara variabel eksogen dengan endogen. Nilai konstanta adalah sebuah ketetapan yang nilainya tidak akan berubah-ubah (konstan). Parameter biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani atau Arab, misalnya α, β, χ atau a,b, dan c. Hal ini tidak lain untuk membedakan parameter dengan variabel, sehingga kalau digabungkan tidak akan memperoleh kombinasi huruf yang sama. Perlu diingat bahwa parameter ditulis dengan huruf kecil. Berdasarkan persamaan (2.1), a, b, c, d, dan e merupakan parameter dalam persamaan tersebut. Setelah dikumpulkan data tentang jumlah produk x yang diminta (Qdx), harga produk x (Px), income (I), harga produk y (Py), dan data selera (T), maka kemudian data tersebut diolah dengan bantuan software komputer dan diperoleh hasilnya serta disajikan dalam bentuk tabel dan grafik, maka hasilnya ditampilkan dalam Persamaan (2.2). Qdx=20-5Px+28I+45Py+85T. (2.2). Berdasarkan Persamaan (2.2), maka konstanta adalah sebesar 20. Angka yang ada di depan variabel disebut koefisien dari variabel tersebut. Dengan kata lain koefisien adalah angka pengali konstan terhadap variabelnya, oleh karena itu koefisien adalah apabila konstanta digabungkan dengan variabel, yaitu 5Px, 28I, 45Py, 85T. 8.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. 2.3 Persamaan dan Pertidaksamaan Model matematika hampir selalu berbentuk persamaan. Persamaan adalah suatu penyataan yang menunjukkan kondisi dua sisi, yaitu sisi kiri dan kanan suatu model yang jumlah dan nilainya adalah sama. Persamaan biasanya disimbolkan dengan tanda sama dengan (=). Contoh persamaan dapat dilihat pada persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3). Model matematika ekonomi dan binis sangat jarang berbentuk pertidaksamaan. Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan bahwa kondisi nilai sisi kiri dan kanan tersebut tidaklah sama. Pertidaksamaan disimbolkan dengan tanda ‘lebih kecil dari’ (<) atau ‘lebih besar dari’ (>). Contohnya adalah Y>20 atau Y<20. Matematika ekonomi dan bisnis memiliki tiga jenis persamaan, yaitu: (1) persamaan definisi, (2) persamaan perilaku, (3) kondisi keseimbangan. Ketiga persamaan ini akan diuraikan satu demi satu. 1. Persamaan definisi (identity), adalah suatu bentuk kesamaan di antara dua pernyataan (dalam sisi kiri dan kanan) yang mempunyai arti yang sama. Sebagai contoh, Pendapatan Nasional Bruto (Gross National Products, GNP) adalah penjumlahan dari pengeluaran konsumsi (C), Investasi (I), pengeluaran pemerintah (G), dan selisih ekspor dan impor (X – M). Secara matematis persamaan ini dapat ditulis menjadi. GNP = C +I + G + (X –M). (2.3). Persamaan definisi yang dicontohkan dalam persamaan (2.3) menyatakan bahwa GNP (Pendapatan Nasional Bruto) merupakan fungsi dari konsumsi (C), investasi (I), pengeluaran pemerintah (G), ekspor (X), dan impor (M). Jika ruas kanan tanda sama dengan bertambah misalnya 5.000, maka di ruas kiri tanda sama dengan pasti akan ikut bertambah nilainya sebesar 5.000. 2. Persamaan Perilaku (behavioral equation), adalah suatu persamaan yang menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatu variabel disebabkan oleh perubahan variabel lain yang ada hubungannya. Persamaan ini dapat diterapkan pada perilaku manusia, misalnya, perubahan perilaku pola konsumsi secara keseluruhan sebagai akibat dari perubahan pendapatan nasional. Persamaan ini bisa juga ditunjukkan dalam perilaku bukan manusia, misalnya perubahan biaya total dari suatu perusahaan sebagai akibat dari perubahan dalam jumlah produksi. Persamaan perilaku ini selalu harus dibuat asumsi-asumsi tertentu mengenai pola perilaku dari suatu variabel yang diteliti. Untuk lebih jelas lihat dua fungsi biaya berikut ini: TC = 200 + 25 Q (2.4) TC = 350 + Q2 (2.5) Dimana: TC = Biaya total Q = Jumlah produksi (output) 9.

Bab 2. Model Ekonomi. Kedua persamaan sebelumnya, persamaan (2.4) dan (2.5), mempunyai bentuk yang berbeda, sehingga kondisi produksi yang diasumsikan berbeda. Pada persamaan (2.4) biaya tetap adalah 200, sedangkan pada persamaan (2.5) biaya tetap adalah 350. Kemudian untuk biaya variabel dari kedua persamaan juga berbeda. Pada persamaan (2.4) biaya variabel meningkat secara konstan sebesar 25 apabila terjadi pertambahan 1 unit produksi, sedangkan pada persamaan (2.5) biaya variabel meningkat secara progresif apabila terjadi pertambahan 1 unit produksi. 3. Kondisi keseimbangan adalah suatu persamaan yang menggambarkan prasyarat untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium). Dua kondisi keseimbangan yang paling terkenal dalam ilmu ekonomi adalah : 1. Model kondisi keseimbangan pasar, Qd = Qs (jumlah produk yang diminta = jumlah produk yang ditawarkan) 2. Model kondisi keseimbangan pendapatan nasional, S = I (tabungan = investasi). 2.4 Sistem Bilangan Nyata Sistem bilangan mencakup bilangan nyata dan bilangan imajiner, bilangan imajiner tidak akan dibahas dalam bab ini sebab analisis matematika yang diterapkan dalam ilmu ekonomi dan bisnis menggunakan bilangan-bilangan yang bersifat nyata. Himpunan bilangan nyata meliputi dua jenis bilangan, yaitu bilangan rasional, dan bilangan irasional. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat. Sebagai contoh. 21 17 dan . Sedangkan bilangan irasional adalah 3 4. bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat. Sebagai contoh, akar pangkat 2 dari bilangan bulat 5 ( 5 ) atau akar pangkat 2 dari bilangan bulat 3 ( 3 ). Perbedaan lain dari bilangan rasional dengan bilangan irasional terletak pada angka desimalnya (angka dibelakang koma). Bilangan rasional adalah bilangan yang angka desimalnya berakhir dengan nol atau berulang. Contoh, dengan nol). dan. 10 = 5,00 (berakhir 2. 1 = 0,111. (berulang). Sehingga, bilangan rasional terdiri dari 9. bilangan bulat (integer) dan bilangan pecahan (fraction). Bilangan bulat mencakup semua bilangan bulat positif, negatif, dan nol, sedangkan bilangan pecahan adalah bilangan yang terletak di antara bilangan bulat positif maupun negatif dimana angka desimalnya bisa berakhir dan berulang. Sedangkan, bilangan irasional adalah bilangan yang angka desimalnya tidak berakhir dengan nol atau tidak berulang. Contohnya,. 10. 2 = 1,41421… ;. dan √6 = 2,44948.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Untuk lebih jelas lagi Gambar 2.1. menjelaskan mengenai sistem bilangan nyata yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu: bilangan rasional dan bilangan irasional. Seterusnya bilangan an rasional dibagi lagi menjadi dua kelompok, yaitu: yait bilangan bulat dan bilangan pecah. Kemudian bilangan bulat dibagi pula menjadi tiga kelompok yaitu: bilangan positif, nol dan negatif. Disimpulkan bahwa sistem bilangan nyata meliputi semua bilangan yang mempunyai desimal, berakhir, berulang, dan tidak berulang.. Bilangan Nyata Bilangan Rasional. Bilangan Negatif. Bilangan Irasional. Bilangan Bulat. Bilangan Pecahan. Nol. Bilangan Positif. Gambar 2.1 Sistem Bilangan Nyata. 2.5 Bilangan Perpangkatan dan Aturan Pemangkatan Suatu variabel, konstanta, atau suku dapat dipangkatkan dengan bilangan nyata. Bilangan nyata yang menjadi pangkat tersebut adalah bilangan nyata yang terdiri dari: bilangan bulat positif atau negatif, bilangan pecah positif atau negatif; dan 75 bilangan nol. Contohnya, 75 atau 72 atau (X5+ Y2) atau ( 2 = 7 5− 2 = 7 3 = 343 ). 7 Aturan dalam operasi pemangkatan berbeda dengan aturan-aturan aturan dalam operasi matematika lainnya (misalnya, penjumlahan atau pengurangan; perkalian atau pembagian), sehingga pada sub Bab 2.5 ini akan dibahas mengenai definisi dan cara-cara perhitungan hitungan serta aturan pemangkatan. Pangkat dalam aljabar digunakan untuk menunjukkan menunjukk bahwa suatu variabel atau konstanta dikalikan dengan variabel atau konstanta itu sendiri dan perkaliannya tergantung pada bilangan yang menjadi pangkatnya. Jika variabel X adalah bilangan nyata yang akan dipangkatkan, dan n adalah bilangan bulat positif sebagai pemangkat, maka pangkat (exponent) dapat didefinisikan nisikan secara umum,. Xn = X1. 1 X2.X3………Xn 11.

Bab 2. Model Ekonomi. Dengan, n = jumlah suku, Jadi, misalnya 74 = 7.7.7.7 atau contoh lain, 83 = 8.8.8. Lebih jauh lagi, jika X adalah bilangan nyata dan n adalah suatu bilangan bulat negatif, maka pangkat negatif akan berlaku menjadi:. X-n =. 1 1 = n X X 1 . X 2..........X n. Jika n = 0, maka dapat didefinisikan, X0 = 1 Selanjutnya, jika X adalah bilangan nyata dan n adalah bilangan pecah positif. . Misalnya 2/3, maka dapat didefenisikan,   =. 3. X2. Dimana tanda disebut tanda akar. Jadi, tanda akar ( pangkat bilangan pecah. Secara umum bentuk ini dapat ditulis,. Xm/n = Dimana. X m dan n. n. ) digunakan untuk. X m = (n X ) m. = Bilangan nyata = bilangan bulat positif. Kemudian, apabila m = 1 dan n adalah bilangan bulat positif yang lebih besar satu, maka akan menjadi akar pangkat ke – n dari X atau .  =. contohnya. .  ,. maka akan menjadi. n. 5. X . X 4 ;   adalah akar pangkat 2 dari X. atau X ; dan sebagainya. Perhatikan, bahwa untuk akar pangkat 2, indeks tidak ditulis. Selain pangkat pecahan yang positif, ada pula pangkat pecahan yang negatif, . dan ini dapat ditulis,   di mana dan n adalah bilangan bulat positif, sehingga bentuk ini akan menjadi, . 12.  . =. 1 X. m n. =. 1 n. Xm. =. 1 (n X ) m.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Berikut ini beberapa contoh dari definisi pangkat dan cara perhitungannya Contoh 2.1. . 250. = √250 = 3.01 . . 400. =. 2. 400 =20. 144  =. 2. 144 = ( 144 )3 = 123 = 1728. 5. 9 = 2.4. . . 9. = . 16 . = . (#$%) %. 3. 2. 1 4. =. 16 . =. (% ) %. 1 2. = 5#'$ = 5-1 =. # %. Aturan-Aturan Pangkat atau Eksponen Diasumsikan bahwa m dan n adalah bilangan bulat positif, dan X dan Y adalah bilangan nyata positif. Berikut ini adalah aturan-aturan dalam melakukan pemangkatan:. Aturan. 1. Xm.Xn= Xm+n. Contoh : 74.72 = 74 +2 = 76 = 117649. Aturan. 2. Aturan. 3. (Xm )n = Xm.n. Contoh : [(3)3]4 = 312 =531441. Aturan. 4. (X.Y)n =Xn.Yn. Contoh : [(4)(6)]2=42.62= (16)(36) =576. Xm = X m − n dimana (X ≠0) Xn. 55 = 5 5− 2 = 5 3 = 125 52. 13.

Bab 2. Model Ekonomi. n. Aturan. 5. Xn X   = n Y Y . Aturan. 6. =. Aturan. 7. Aturan. 8. .  .  =. n. n. 2. 6 2 36 6 = 0,73 dimana Y ≠ 0 Contoh :   = 2 = 7 49 7. . akar pangkat n dari X Contoh : 64 =. X X. 1 X = n X −n. m. . Contoh : 12 =. 3. 3. 64 = 4. 122 = 5.24. dimana (X ≠0) Contoh : 6'(. =. 1 1 = = 0.000772 4 6 1296. Kasus Khusus untuk Aturan Pangkat Suatu bilangan nyata jika dipangkatkan dengan bilangan 1, maka akan menghasilkan bilangan nyata itu sendiri.. Aturan. 9. X1 =X. Contoh 151 = 15. Suatu bilangan nyata selain nol jika dipangkatkan dengan bilangan nol, maka akan menghasilkan nilai 1.. Aturan. 10. X0 = 1. di mana (X ≠ 0). Contoh : 200=1. Suatu bilangan nyata jika dipangkatkan dengan suatu bilangan nyata apa saja, maka akan menghasilkan bilangan satu itu sendiri.. Aturan `. 14. 11. 1n = 1. Contoh 112=1.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Contoh 2.2 Sederhanakanlah bentuk. ) )*. menjadi bentuk pecahan paling sederhana!. Penyelesaian: ) )*. = 9(4-7). ) )*. = 9-3. ) )*. #. #. = ) = +$). Contoh 2.3 Jika x=9 dan y=64, maka nilai ,-, − . $ √. + 25 Berapakah hasil nya? Penyelesaian: ,-, − . $ √. + 25 = 64√64 − 9$ √9 + 144. = 64(8) − 81 (3) + 144 = 512-243+144 = 413. Contoh 2.4 Jika n bilangan bulat, maka nilai dari. $0 .1 #$. adalah. Penyelesaian: $0 .1 #$. =. $0 .$ 2 ($ ) 2. = 2($3'$)'($3'$) . 3(3'()'(3'# ) = =. 20. .. 3-3. #. $+. 15.

Bab 2. Model Ekonomi. Pemfaktoran. Pemfaktoran adalah suatu teknik yang digunakan untuk menyederhanakan pernyataan-pernyataan matematika dan pemecahan masalah lainnya dalam operasi matematika. Faktor adalah bentuk perkalian antar bilangan yang terpisah dalam suatu hasil kali. Misalnya, pernyataan matematika yang berbentuk db + dc, maka dapat difaktorkan menjadi d (b+c). Jadi, dengan kata lain pemfaktoran dapat ditulis menjadi: db + dc = d (b+c) atau 12 x 5 + 12 x 7 = 12 (5+7). Proses pemfaktoran dimulai dengan cara mencari nilai-nilai bersama (atau variabel kesamaan) pada suatu pernyataan matematika seperti: ab+ac kemudian menuliskannya kembali sebagai suatu hasil kali dari faktor-faktornya a (b+c). Bila suatu kelompok suku mempunyai satu faktor bersama (seperti yang ditunjukkan oleh a di atas pada suku ab dan ac), proses pembentukan suku-suku ini kedalam faktorfaktor dianggap sebagai pemfaktoran monomial (monomial factoring).. Contoh 2.5 Faktorkanlah 7Y3 – 9XY2 + 13Y ! Penyelesaian: Faktor bersama pada pernyataan matematika di atas adalah Y dalam setiap suku. Pemfaktoran monomial dari pernyataan matematika ini dapat dituliskan secara lengkap dengan menuliskan hasil kali dari faktor bersama Y dan pernyataan matematika yang mencakup semua suku-suku yang tersisa. Jadi, faktor-faktor ini adalah, 7Y3 – 9XY2 + 13Y = Y (3Y2 – 9XY + 13). Contoh 2.6 Faktorkanlah -15a2b2 + 30ab! Penyelesaian: -15a2b2 + 30ab = 15ab(-ab+2) 16.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Contoh 2.7 Faktorkanlah 20p2 - 5q2! Penyelesaian: 28p2 - 7q2 = 7(4p2-q2) = 7 (2p + q) (2p - q) Apabila suatu pernyataan matematika mempunyai dua faktor bersama, prosedur yang digunakan untuk memperoleh faktor-faktor ini disebut pemfaktoran binomial (binomial factoring). Pencarian faktor-faktor binomial adalah suatu teknik yang digunakan pada analisis matematika. Berikut ini adalah contoh-contoh persamaan binomial.. Contoh 2.8 Faktorkanlah Y = X2 – 7X- 30 Penyelesaian: Untuk mendapatkan faktor-faktor dari pernyataan matematika ini,dua bilangan yang tidak diketahui a dan b dapat digunakan untuk membentuk dua faktor tersebut, sebagai berikut: Y = (X + a) (X + b) Perluasan di antara dua faktor baru ini menghasilkan Y = X2 +(a+b) X + ab Y = X2 +(3-10) X + (3 x -10) Sebagaimana yang diterapkan dalam contoh ini, diasumsikan bahwa (a+b) adalah koefisien dari X dan ab adalah nilai dari suku konstan 30. Jadi a +b = 3+(-10)=-7 dan ab = 3 X -(10) = -30. Sehingga, untuk mengetahui berapa nilai a dan b atau nilai X1 dan X2, maka, faktorkan Y = X2 – 7X- 30. Y = (X + a)(X + b) 0 = (X - 10) (X + 3). Sehingga. X1-10 = 0. atau. X2+3. =0. X1. atau. X2. =-3. = 10. 17.

Bab 2. Model Ekonomi. Prosedur ini membantu untuk menuntut proses penyelesaian sebagaimana penetapannya suatu pola untuk masing-masing faktor. Akan tetapi, nilai-nilai numerik yang khusus untuk a dan b diperoleh dengan cara mencoba-coba (trial and error). Contoh-contoh berikut ini merupakan beberapa jenis pemfaktoran binomial yang agak lebih sulit. Misalnya, Contoh 2.9 Faktorkanlah Y = 8X2 + 26X + 15 Penyelesaian: Dalam kasus ini, pernyataan matematika ini dapat dinyatakan kembali dengan penggunaan faktor-faktor berikut ini: Y = (aX +c) (bX +d) Penjabaran dari kedua faktor sebelumnya menghasilkan Y = abX2 + adX + cbX +cd Y = abX2+ (ad+cb)X +cd Kebanyakan, persoalan seperti diatas, memerlukan penemuan nilai-nlai a, b, c dan d. Untuk menemukan nilai-nilai tersebut harus digunakan metode coba-coba (trial and error). Dalam kasus ini, a = 4 ; b =2, c = 3, dan d =5 jadi, faktor-faktornya adalah sebagai berikut, Y = (4X +3) (2X+5) Hasil ini adalah benar karena perkalian dua faktor ini akan menghasilkan seperti pernyataan matematika semula, yaitu Y = 8X2 + 26X + 15 Perhatikan batasan bahwa perkalian antara c dan d adalah 15 dan perkalian antara a dan b adalah 8 yang merupakan kunci dalam melakukan trial and error tersebut. Kombinasi angka yang dimasukkan dalam percobaan adalah faktor-faktor dari 8 dan 15 (koefisien X2 dan konstanta pada soal) Suatu pernyataan matematika yang bentuk umumnya X2 – b2, dimana b2 adalah kuadrat dari suatu bilangan nyata, dianggap sebagai selisih di antara dua kuadrat (difference of two squares). Pada bentuk selisih dua kuadrat, bentuk pemfaktoran persamaan tersebut mengikuti aturan: X2 – b2 =Y (X+b)(X-b) 18. =Y.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Contoh 2.10 Faktorkanlah 0 = X2 – 36! X2 - 36 X 2 - 62 (X+6)(X-6). =0 =0 =0. Sehingga, X1 = 6 dan X2 = -6 Perhatikan bahwa X2 adalah kuadrat dari X dan 36 adalah kuadrat dari 6. Jika X dan 6 dimisalkan sebagai bilangan nyata, itu dapat dikatakan bahwa perbedaan di antara kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali dari jumlah dan perbedaan dari bilangan-bilangan itu. Gagasan-gagasan ini dapat diperluas untuk jumlah dan perbedaan di antara dua suku yang berpangkat tiga. Misalnya, perhatikan Contoh 2.11 berikut.. Contoh 2.11 Faktorkanlah X3 + 27. Dalam kasus ini, aturan pemfaktoran jumlah di antara dua suku berpangkat tiga adalah sebagai berikut: X3+a3 = (X+a) (X2-aX+a2) Penyelesaian: Untuk contoh ini, misalkan a = 3 dan hasil pemfaktorannya adalah: X3 + 27 = (X+3) (X2 – 3X +32) Dalam contoh ini, misalkan a = 4, sehingga hasil pemfaktorannya adalah: X3 – 64 = (X-4) (X2+4X+42). 19.

Bab 2. Model Ekonomi. Soal-Soal Latihan 1. Sederhanakanlah pernyataan-pernyataan matematika berikut ini: a. (X4) (X1/2) (X-3). l.. b. (X2) 1/5. m. . c.. (X4) (X1/2) (X-3).  2 −1 / 2  1/ 2 X  3/ 4X 3  . X4 3X 3. n.. (. (XY) (X4Y4). 2  1  X    d.  3  1/ 3   X  3 X .  X 4  1/ 2 o.  2  Y X . e. X2 + X3. p.. (XYW)2 (W2X3)1/2. f.. X6 ) Y2 8   Y . q.. (X3/2) (X-5). g.. X 4 + 4 + 5X 2 Y2. r.. 1 X5 + X 3. s.. X3 X2 + 6 3X 4. t.. 4%5. (. ). (. h. (X2Y) 4(Y2) i..  X 6  Y 3   3  8   Y  X . j.. 47 5. %6 . . '2. . . k. 248 ∶ 28 ∶ 38:. 20. $ '#. 2 '#. u.. 4%5. v..  1  2 W. . 16. . 60.  5 (3 XYW ) . ).

Matematika Ekonomi dan Bisnis. 2. Evaluasialah setiap pernyataan-pernyataan matematika berikut ini: a. (27)-1/3. k.. (93/2) (3-2) −3. l.. 1   5. −2 / 3. b. (243). -1/3.  41 / 2 c.  2  6.   . m.. 1   8. d. 6 (25)2. n.. (27 )(27. e. 91/2 3-1. o.. (5)0 (91/2). p.. (32)2. q.. 1   5. h. (7)0 (8)1/3. r.. (100)1/2 )5. i.. (82) (6-2). s.. (−9)'$. j.. 48 =  >  5. t.. (10-2)2/5. u.. (161/2)1/2. 3. f.. . . (8 ) (27 ). g. (6). -1. . (4)-1/2.  . '2. 1/ 3. 2/3. ). −3. 3. Cari jawaban untuk Y pada setiap nilai X yang telah ditentukan: a. Y = X2 + 3X + 16 pada X = 4 b. Y =X3 + X-1/2 pada X = 9 c. Y = 4X1/2 + 3X3/2 -2X pada X = 16 d. Y = X4 – 3X1/3 + 16 pada X = 0 e. Y = X2/5+ 4X -17 pada X = 32 f. g. h.. 1  X. −2 / 3. Y= . 1 Y=  X X Y=  3.   . pada X = 27 −1 / 3. pada X = 8.   pada X = 5 . 21.

Bab 2. Model Ekonomi. i.. Y = X4 – X3 + 3 adalah = 1. j.. X 2 +3 pada X = -2 Y= ( X + 4) 2. 4. Untuk masing-masing dari berikut ini, carilah hasil kali dari masing-masing kelompok faktor. a. (XY) (Y + 4Z3 Y – 3YW + 0,5Y2) b. (2ab2) (b – 4cd + 6ab2c) c. (X – 2) (X + 7) d. (X + 5) (X – 2) e. (X + 7) (X- 7) f. (X + 9) (X – 9) g. (-X2 + 5XY) + (4X2 – 4XY) h. 2(M2-3MN + 5N2) + 3(M2 + 2MN – 4N2) i. (36X2 – 9Y2) j. (17y2-yz+3z2) – (z2+5yz+9y2) k. P2-10PQ+24Q2 5. Faktorkanlah masing-masing pernyataan matematika berikut ini. Periksalah masing-masing jawaban dengan perkalian dari faktor-faktornya. a. 6X3 – 4X2 + 12 XY b. 4X3Y2 – 2X2Y + 16 X4Y3 - 2X4 Y c. 3WXY – 2WZ + 7W2YZ2 d. 3ab – 6a2b2+9a3b3 e. 6X2 + 12 X4 f. Y2 – 4Y3+ 8Y4 – Y5 6. Faktorkanlah masing-masing pernyataan matematika berikut ini. Periksalah masing-masing jawaban dengan perkalian dari faktor-faktornya. a. Y2 + 6Y – 16 g. 3X3 – 14XY2 +5 X 2 b. X – 13X + 40 h. 3x2 – 6x – 12xy 2 2 c. Y + 4XY + 3X i. p2 – 10pq + 24q2 d. X2 – 3X -4 j. a2 – 12ab – 45b2 e. 5Y2 – 17Y + 14 k. m2 – 4m – 32 2 3 4 5 f. Y – 4Y + 8Y -Y l. 3p2 + 7p – 6 7. Carilah faktor-faktor untuk masing-masing dari selisih bilangan-bilangan berikut ini. Periksalah masing-masing jawaban dengan perkalian dari faktor-faktornya. Gunakanlah metode selisih dua kuadrat untuk mempermudah pemfaktoran yang kalian lakukan!. 22.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. a. b. c.. X2 – 36 X2 – 225 4X2 – 16. d. X4 – 25 e. 25X2 – 169 f. 16X4 – 49. 8. Carilah faktor-faktor untuk masing-masing jumlah atau perbedaan dari dua suku berpangkat tiga. a. X3 + 64 f. X3 + 1000 3 b. X – 27 g. X3 + 8000 c. X3 + 8 h. X3 – 64 d. X3 – 216 i. X3 + 512 4 e. X –81 j. X3 – 729. 23.

Bab 3. Fungsi Linear. BAB 3 FUNGSI LINEAR 3.1 Pendahuluan Fungsi linear adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut. Fungsi linear mampu menjelaskan pengaruh antara variabel bebas terhadap variabel terikat yang digambarkan dalam bentuk garis lurus. Fungsi linear sering digunakan dalam penerapan ekonomi dan bisnis serta fungsi linear merupakan dasar untuk mempelajari fungsi–fungsi lainnya yang lebih rumit dalam penyelesaiannya. Pada Bab 3 akan disajikan beberapa topik yang berhubungan dengan fungsi linear yang mencakup kemiringan (slope) garis dan titik potong sumbu (intercept) dari suatu garis lurus, bentuk standar persamaan linear, dan hubungan dua garis lurus. Bab 3 ini akan membahas konsep fungsi linear yang masih berdasarkan matematika murni, sehingga masih menggunakan simbol X dan Y. Pada Bab 4 kita akan mulai menerapkan fungsi linear untuk memecahkan masalah matematika ekonomi dan bisnis, sehingga sudah menggunakan simbol yang biasa digunakan pada matematika ekonomi dan bisnis.. 3.2 Bentuk Umum Fungsi Linear Bentuk umum fungsi linear memiliki satu variabel bebas dan satu variabel terikat. Fungsi linear ada dua bentuk, yaitu berbentuk eksplisit dan implisit. Bentuk umum fungsi linear pada persamaan (3.1) merupakan persamaan eksplisit karena variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y) dipisahkan oleh tanda sama dengan (=). Bentuk umum fungsi linear eksplisit adalah berikut ini:. Y=a+bX. (3.1). Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan titik potong (slope-intercept). Bentuk fungsi linear yang ada pada persamaan (3.1) memiliki nilai kemiringan yang disebut adalah b. Nilai titik potong sumbu Y, berarti kondisi dimana garis memotong sumbu Y, adalah ketika X=0, maka titik potong sumbu Y adalah (0,a). Hal ini disebabkan karena dengan menganggap X= 0, (lihat persamaan 3.1) maka Y= a + 0 , maka Y=a. Titik potong sumbu X, berarti kondisi dimana garis memotong sumbu X, ? sehingga Y=0. Maka titik potong sumbu X adalah (− @ ,0). Hal ini disebabkan karena ?. dengan menganggap Y= 0, (lihat persamaan 3.1) maka 0 = a + bX , maka X=(− @ ). 24.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Persamaan (3.1) juga disebut sebagai persamaan bentuk eksplisit karena secara langsung menjelaskan hubungan antara X dengan Y. Turunan dari titik potong persamaan garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y diperoleh dengan cara sebagai berikut: Tabel 3.1 Persamaan Garis Eksplisit Y = a + bX Perpotongan dengan Sumbu-Y, X=0. Perpotongan dengan Sumbu-X, Y=0. Y = a + bX. Y = a + bX. Y = a + b(0). 0 = a + bX. Y=a+0. -bX = a. Y=a. X = −@. ?. ?. Titik Potong Sumbu-Y = (0, a). Titik Potong Sumbu-X = (− @ , 0). Fungsi linear juga dapat berbentuk implisit (persamaan 3.2), yaitu apabila variabel X dan variabel Y berada pada satu ruas (kiri) dan ruas kanan dijadikan nol. Bentuk implisit ini adalah, (3.2). a + bX + cY = 0 @. Dimana nilai kemiringan adalah - , maka turunan dari titik potong persamaan A garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y diperoleh dengan cara sebagai berikut: Tabel 3.2 Persamaan Garis Implisit bX + cY +a = 0 Perpotongan dengan Sumbu-Y, X=0 Perpotongan dengan Sumbu-X, Y=0 bX + cY +a = 0 b(0) + cY +a = 0 cY = -a. bX + cY +a = 0 bX + c(0) +a = 0 bX = -a. ?. Y = -A. ?. ?. Titik Potong Sumbu-Y = (0, -A ). X = -@ ?. Titik Potong Sumbu-X = (− @ , 0) 25.

Bab 3. Fungsi Linear. 3.3. Kemiringan dan Titik Potong Sumbu. Fungsi linear bila digambarkansecara geometri dalam bidang Kartesius, maka grafiknya merupakan suatu garis lurus. Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien a1 pada persamaan Y = a+ bX. Koefisien b untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat (dependent) Y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas (independent) X sebesar satu unit. Kemiringan (slope) dari fungsi linear terhadap satu variabel bebas (X) adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,. Kemiringan = m =. ∆D. ∆E. 8F8G. D 'D. E 'E. (3.3). Sebagai contoh, Y = 25 – 3X, berapakah kemiringannya? Jawaban secara aljabar kemiringannya adalah sebesar -3. Caranya adalah lakukan turunan pertama B7 pada variabel X terhadap fungsi persamaan Y yaitu (B6). Kemiringannya adalah -3, artinya bahwa untuk setiap kenaikan satu unit variabel X akan menurunkan 3 unit variabel Y atau sebaliknya, penurunan satu unit dalam variabel X akan meningkatkan 3 unit variabel Y. Apabila kita rubah persamaan eksplisit Y = 25 – 3X menjadi persamaan 2 @ implisit, sehingga -25 + 3X +Y = 0. Kemiringannya adalah -A = − # = -3. Secara geometri, kemiringan suatu garis lurus adalah tangen (tan) dari sudut yang dibentuk terhadap sumbu absis X. Sudut tangen (tan) adalah perbandingan antara sumbu vertikal (sumbu Y) dengan sumbu horizontal (sumbu X). Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.. 26.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Gambar 3.1 Empat Jenis Kemiringan pada Garis Linear Gambar 3.1 (a) merupakan kurva positif dengan kemiringan positif. Garis yang dibentuk akan bergerak naik dari kiri bawah ke kanan atas, sehingga jika X meningkat maka Y meningkat. Kemiringan positif menunjukkan adanya hubungan yang positif antara variabel independen (Y) dengan variabel dependen (X). Jika X menurun maka Y menurun, jika X meningkat maka Y meningkat. Gambar 3.1 (b) merupakan kurva negatif dengan kemiringan negatif. Garis yang dibentuk akan bergerak turun dari kiri atas ke kanan bawah, sehingga jika X meningkat maka Y akan menurun, jika X menurun maka Y meningkat. Gambar 3.1 (c) kemiringan garisnya nol. Garis yang dibentuk menunjukkan hubungan khusus yang jarang terjadi, dimana apabila X meningkat atau menurun, Y tetap (konstan). Artinya, berapapun nilai X, besar atau kecil, meningkat atau menurun, jumlah Y selalu tetap atau sudah tertentu. Gambar 3.1 (d) merupakan garis dengan kemiringan tak terhingga. Hubungan antara Y dan X pada garis dengan kemiringan tak terhingga akan membentuk garis vertikal. Nilai X tidak mempengaruhi secara jelas perubahan pada nilai Y. Nilai Y dapat berubah-ubah meskipun nilai X konstan. 27.

Bab 3. Fungsi Linear. Parameter lainnya dalam fungsi linear Y = 8 + = adalah konstanta a atau yang kita sebut sebagai titik potong dengan sumbu Y, bila X = nol, sehingga Y=a. Titik potong sumbu Y (intercept Y) dari suatu fungsi linear dengan satu variabel bebas adalah sama dengan nilai konstanta dari persamaan bila nilai dari variabel bebas sama dengan nol.. Contoh 3.1 Persamaan linear Y = 60 – 3X. a. Tentukanlah kemiringanya ! b. Tentukanlah titik potong terhadap sumbu X dan terhadap sumbu Y ! c. Gambarkanlah secara geometri persamaan eksplisit tersebut! Penyelesaian: a. Y = 60 – 3X. ∆D. D 'D. Kemiringan = m = ∆E 8F8G E 'E . . Kemiringan = m = -3. b. Apabila memotong sumbu X, maka Y=0. Masukkan dalam persamaan Y = 60 – 3X menjadi. 0. = 60 - 3X,. 3X = 60 X =. 1H 2. = 20. Maka titik potong dengan sumbu X adalah (20, 0). Apabila memotong sumbu Y, maka X =0. Masukkan dalam persamaan. Y =60 – 3X Y = 60 -0 Y = 60. Maka titik potong dengan sumbu Y adalah (0,60). 28.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. c. Dari perpotongan dengan sumbu X dan sumbu Y, maka garis Y = 60-3X digambarkan sebagai berikut:. Gambar 3.2 Persamaan Garis Y = 60 - 3X. Contoh 3.2 Berikut ini adalah bentuk linear persamaan ekplisit dimana Y = 9 + 3X. Tetukanlah: a. nilai kemiringannya b. titik potong terhadap sumbu Y dan titik potong terhadap sumbu X! c. Gambarkan persamaan linier tersebut! Penyelesaian: a. Untuk menghitung nilai kemiringan apabila bentuk linear persamaan ekplisit @ 2 diubah menjadi 0 =9+3X-Y adalah 4− A 5 = 4− '#5 = 3 atau Untuk menghitung kemiringan maka lakukan turunan pertama pada persamaan eskplisit, Y = 9 + 3X yaitu lakukan turunan pertama pada variabel X terhadap B7 fungsi persamaan Y = 0 yaitu B6 = 3. 29.

Bab 3. Fungsi Linear. b. Titik potong dengan sumbu Y
berarti X=0
maka adalah (0,9), karena ditanya titik potong sumbu Y, sehingga kita misalkan X=0, Masukkan dalam persamaan Y = 9 + 3X maka Y = 9+0, Y = 9. Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,9). Titik potong dengan sumbu X
berarti Y=0 Masukkan dalam persamaan Y = 9 + 3X maka 0 - 3X X. = 9 + 3X =9 =-3. Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (-3,0). c. Setelah mengetahui titik potong persamaan garis linear terhadap sumbu X (-3,0) dan sumbu Y (0,9), persamaan garis Y = 9 + 3X dapat digambarkan dengan menghubungkan atau menarik garis yang menghubungkan kedua titik potong tersebut.. Gambar 3.3 Persamaan Garis Y = 9 + 3X 30.

Matematika Ekonomi dan Bisnis. Contoh 3.3 Berikut ini adalah bentuk linear persamaan implisit dimana 15X +3Y -24=0 Tentukanlah: a. Nilai kemiringannya b. Titik potong terhadap sumbu Y dan titik potong terhadap sumbu X! c. Gambarkanlah secara geometri persamaan implisit tersebut! Penyelesaian: a.. Dari persamaan 15X+3Y-24, diketahui bahwa: • Nilai koefisien a adalah 15 • Nilai koefisien b adalah 3 • Nilai koefisien c adalah -24 Dengan demikian, nilai kemiringan dari persamaan 15X +3Y -24 = 0 adalah ?. I = −@ = − b.. #% = -5 2. Persamaan implisit dimana 15X +3Y -24=0 Apabila memotong sumbu Y
X=0 15X + 3Y - 24 = 0 0 + 3Y. = 24. Y. =. $( 2. =8. sehingga titik potong dengan sumbu Y adalah = (0,8). Apabila memotong sumbu X
Y=0 15X + 0 - 24 = 0 15X. = 24. X. = #% = % = 1 % = 1,6. $(. J. 2. 2. sehingga titik potong dengan sumbu X adalah (1 % , 0) c.. Apabila kedua titik potong terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y telah diketahui, kita dapat menggambarkan persamaan garis tersebut dengan menghubungkan kedua. 31.

Bab 3. Fungsi Linear. titik potong tersebut dengan sebuah garis lurus. Gambar persamaan garis tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.4.. A (0,8). M. B(. B( N ,