Pada bab ini akan dijelaskan beberapa teori yang mendukung pemahaman dari teori graf, jenis-jenis graf, pelabelan graf, dan pelabelan total tak ajaib pada graf.
2.1. Teori Graf
Dalam mempelajari graf terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Beberapa teori dasar meliputi pengertian graf, beberapa istilah graf, jenis-jenis graf, dan pelabelan graf. Berikut diberikan pengertian dari graf.
2.1.1. Pengertian Graf
Berikut diberikan definisi graf.
Definisi 2.1.1 (Goodaire dan Parmenter, 1998)
Graf merupakan himpunan pasanganG = (V, E), di manaV (G)adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen berbeda pada E(G). Elemen dari himpunanV (G)disebut titik atau vertex dan elemen dari himpunanE(G)disebut sisi atau edge. Jikae ∈ E(G)makaemerupakan himpunan pasangane = (vi, vj) di manavi, vj ∈ V (G)dane = (vi, vj)menghubungkan titikvidengan titikvj.
Secara konseptual, suatu graf terbentuk dari titik-titik dan sisi-sisi yang menghubungkan titik-titik tersebut, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Contoh graf
7
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa gambar tersebut mempunyai lima buah titik dan lima buah sisi yang menghubungkan beberapa titik. Artinya himpunan titik dan himpunan sisi dari graf tersebut tak kosong. Selain itu dapat dilihat juga bahwa ada sepasang titik yang terhubung oleh sisi. Oleh karena itu, Gambar 2.1 memenuhi Definisi 2.1.1, sehingga dapat dikatakan sebagai suatu graf.
2.1.2. Istilah dalam Graf
Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam teori graf. Berikut diberikan definisi tentang adjacent, incident, order degree, loop, sisi ganda, walk, trail, dan path.
Definisi 2.1.2 (Wilson, 2010)
Dua buah titik v1 dan v2 pada sebuah graf dikatakan adjacent bila ada sebuah sisi e1 yang menghubungkan keduanya ataue1 = (v1v2).
Bila adjacent dipandang sebagai hubungan titik terhadap sisi pada graf, maka muncul definisi incident sebagai hubungan sisi terhadap titik. Berikut diberikan definisi incident.
Definisi 2.1.3 (Wilson, 2010)
Sisie1dikatakan incident dengan titikv1 danv2bilae1 = (v1v2). Berikut diberikan definisi tentang order dari sebuah graf.
Definisi 2.1.4 (Wilson, 2010)
Banyak unsur pada suatu graf V (G) disebut order dari G dilambangkan dengan
|V (G)|.
Berikut diberikan definisi dari sisi ganda pada suatu graf.
Definisi 2.1.5 (Munir, 2001)
GrafGdikatakan memiliki sisi ganda bila terdapat titikvidanvjyang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi.
Berikut diberikan definisi loop pada suatu graf.
Definisi 2.1.6 (Wilson, 2010)
Loop merupakan sisi yang bersisian dengan dua buah titik yang sama atau e1 = (v1, v1).
Berbeda dengan order graf yang menyatakan banyaknya unsur dalam graf, degree menyatakan banyaknya keterhubungan titik dan sisi pada graf. Berikut diberikan definisi degree.
Definisi 2.1.7 (Wilson, 2010)
Degree sebuah titik vi dinotasikan d(vi) merupakan bilangan yang menyatakan jumlah sisi yang bersinggungan denganvi, untuk loop dihitung dua kali.
Berikut diberikan contoh terkait definisi adjacent, incident, order degree, loop, dan sisi ganda.
Contoh 2.1.8 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.2 Graf G
Diperhatikan Gambar 2.2, titik v1 dan v2 adjacent karena e1 = (v1v2), selain itu secara berturut-turut titikv2adjacentdenganv5, titikv5 adjacentdenganv4karena e2 = (v2v5) dan e4 = (v4v5) atau e5 = (v4v5). Sebagai akibat dari keberlakuan adjacent, sisie1 incidentdengan titikv1 danv2, sisie2incidentdengan titikv2dan v5, dan baik sisie4 maupune5keduanya incident dengan titikv4 danv5.
Degree titik v1 atau d(v1) = 1 karena hanya ada satu sisi yang incident dengan titik v1 yakni sisi e1. Untuk d(v2) = 2karena ada dua sisi yang incident dengan titik v2 yakni e1 dan e2. Untuk d(v5) = 2 karena e3 merupakan loop, sehingga dihitung dua kali. Untuk d(v4) = 2 karena ada dua sisi yang incident yaknie4 dane5. Sedangkand(v3) = 0sebab tidak ada sisi yang incident, sehingga
v3disebut isolated vertex.
Selanjutnya, untuk contoh loop dapat diperhatikan pada sisi e3, di mana titik-titik ujung dari sisi e3 merupakan titik yang sama, yaitu v5. Sisi e4 dan e5 merupakan sisi ganda karena memiliki titik ujung yang sama, yakni titikv4 danv5. Graf dapat dipandang sebagai gabungan dari titik dan sisi yang saling bergantian, artinya setelah titik pasti diikuti dengan sisi kemudian titik dan seterusnya. Dengan demikian graf dapat membentuk suatu gabungan ruas garis yang berhingga dan percabangan dari titik seperti pertigaan jalan, perempatan jalan dan sebagainya. Oleh karena itu, graf dapat dipandang sebagai urutan perjalanan atau jalur. Berikut diberikan definisi tentang walk, trail, dan path.
Definisi 2.1.9 (Wallis, 2001)
Walk dalam graf G merupakan barisan berhingga yang terdiri dari titik-titik dan sisi-sisi yang saling bergantian, di mana setiap sisi bersinggungan dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik. Bila titik awal dan titik akhirnya sama, maka disebut closed walk. Bila titik awal dan titik akhirnya berbeda, maka disebut open walk.
Berikut diberikan contoh dari walk.
Contoh 2.1.10 Diberikan grafHsebagai berikut
Gambar 2.3 Graf H
Diperhatikan pada Gambar 2.3, open walk yaitu
v2, e7, v5, e8, v1, e8, v5, e6, v4, e5, v4.
Sedangkan closed walk yaitu
v4, e5, v4, e3, v3, e2, v2, e7, v5, e6, v4.
Berikut diberikan definisi tentang trail, path, dan panjang lintasan beserta contohnya.
Definisi 2.1.11 (Wallis, 2001)
Suatu walk yang tiap sisinya berbeda disebut trail. Pada trail bila setiap titiknya berbeda, maka disebut path.
Contoh 2.1.12 Menggunakan Gambar 2.3, dapat ditemukan trail yakni v1, e8, v5, e9, v1, e1, v2, e7, v5, e6, v4, e5, v4, e4, v4.
Sedangkan untuk path yakni
v2, e7, v5, e6, v4, e3, v3.
2.1.3. Jenis-Jenis Graf
Graf mempunyai berbagai macam bentuk dan sifat yang dapat dikelompokkan dalam beberapa kategori. Berikut diberikan penjelasan sifat dari graf, yakni graf berarah dan graf tidak berarah.
Definisi 2.1.13 (Rosen, 2018)
Diberikan suatu graf G(V, E) dengan V = {v1, v2, ..., vn}, E = {e1, e2, ..., en}, dane = (vi, vj), vi, vj ∈ V, maka :
1. Graf G(V, E) disebut graf tak berarah bila setiap sisinya dikaitkan dengan sepasang titik yang tidak berurutan. Bila ada sisie ∈ E yang terkait dengan titik vi danvj, maka dapat ditulis e = (vivj)atau e = (vjvi). Notasi(vivj) merujuk pada sisi yang menghubungkanvi danvj di graf tak berarah, bukan sebagai pasangan berurutan. Dapat disimpulkan(vivj) = (vjvi).
2. Graf G(V, E) disebut graf berarah (digraph) bila setiap sisinya dikaitkan dengan sepasang titik yang berurutan. Bila ada sisi e ∈ E yang terkait
dengan titikvi danvj, maka dapat ditulise = (vivj), dengan(vivj)merujuk arah dari titikvi ke titikvj. Dapat disimpulkan(vivj) 6= (vjvi).
Contoh 2.1.14 Diberikan gambar dari grafG1dan grafG2 sebagai berikut:
Gambar 2.4 Graf G1
Gambar 2.5 Graf G2
Pada Gambar 2.4 disebut graf tak berarah, sedangkan Gambar 2.5 disebut graf berarah.
Dalam penelitian ini, graf yang digunakan merupakan graf tak berarah. Oleh karena itu, diberikan beberapa jenis-jenis graf tak berarah. Berikut akan diberikan pengertian dan contoh dari graf kosong.
Definisi 2.1.15 (Rosen, 2018)
Diberikan suatu graf Gyang himpunan sisinya berupa himpunan kosong, sedang himpunan titiknya tak kosong. Graf G disebut sebagai graf kosong dan diberi simbolNn, dengannmenyatakan banyaknya titik pada grafG.
Contoh 2.1.16 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.6 Graf kosong
Pada Gambar 2.6 dapat dipahami bahwa graf G merupakan graf kosong, karena himpunan sisinya merupakan himpunan kosong atau dengan kata lain, tidak ada sisi yang menghubungkan ketiga titik.
Berikut diberikan pengertian dari graf sederhana dan contohnya.
Definisi 2.1.17 (Rosen, 2018)
Diberikan suatu graf yang tidak memiliki loop maupun sisi ganda, graf tersebut merupakan graf sederhana.
Contoh 2.1.18 Diberikan gambar dari grafG1dan grafG2 sebagai berikut:
Gambar 2.7 Graf G1 Gambar 2.8 Graf G2
Graf pada Gambar 2.7 merupakan jenis graf sederhana, karena tidak memiliki gelang maupun sisi ganda. Sedangkan graf pada Gambar 2.8 merupakan jenis graf tidak sederhana, karena memiliki gelang dan sisi ganda.
Berikut diberikan pengertian dari graf berhingga dan graf tak berhingga beserta contohnya.
Definisi 2.1.19 (Rosen, 2018)
Diberikan graf yang banyak titiknya n berhingga, maka graf tersebut merupakan graf berhingga. Sedangkan bila diberikan graf yang banyak titiknya tak berhingga, maka graf tersebut merupakan graf tak berhingga.
Contoh 2.1.20 Diberikan grafG1danG2sebagai berikut:
Gambar 2.9 Graf G1
Gambar 2.10 Graf G2
Pada Gambar 2.9, graf G1 merupakan graf berhingga karena mempunyai
lima titik. Sedangkan pada Gambar 2.10, graf G2 merupakan graf tak berhingga karena mempunyai tak hingga titik.
Berikut diberikan pengertian dari bipartite graph beserta contohnya.
Definisi 2.1.21 (Purwanto, 1998)
Bipartite graph adalah graf yang himpunan titiknya dapat dibagi menjadi dua himpunan tak kosong A dan B, sehingga setiap sisi di graf tersebut menghubungkan satu titik di A dan satu titik di B. Himpunan A dan B disebut himpunan partisi.
Contoh 2.1.22 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.11 Graf G1 Gambar 2.12 Graf G2
Pada Gambar 2.11, graf G1 merupakan graf bipartisi dengan himpunan partisi A = {a, b} danB = {c, d, e}. Demikian juga pada Gambar 2.12, grafG2 merupakan graf bipartisi dengan himpunan partisiX = {v1, v4}danY = {v2, v3}.
Berikut diberikan pengertian dari graf bipartisi komplit berserta contohnya.
Definisi 2.1.23 (Purwanto, 1998)
Complete bipartite graph adalah graf bipartisi dengan himpunan partisiX danY sehingga dapat dilakukan pemetaan bijektif dari himpunanXke himpunanY. Jika
|X| = mdan|Y | = n, maka graf bipartisi tersebut dinyatakan denganKm,n
Contoh 2.1.24 Diberikan grafG1, G2, danG3 sebagai berikut:
Gambar 2.13 Graf G1 Gambar 2.14 Graf G2
Gambar 2.15 Graf G3
Pada Gambar 2.13, grafG1 merupakan graf bipartisi komplit denganX = {u1}danY = {v1, v2, v3}, di mana|X| = 1dan|Y | = 3. Pada Gambar 2.14, graf G2 merupakan graf bipartisi komplit dengan X = {u1, u2} danY = {v1, v2, v3}, di mana|X| = 2dan|Y | = 3. Pada Gambar 2.15, grafG3merupakan graf bipartisi komplit dengan X = {u1, u2, u3} dan Y = {v1, v2, v3}, di mana |X| = 3 dan
|Y | = 3.
Salah satu contoh dari graf bipartisi komplit adalah graf star. Berikut diberikan pengertian graf star beserta contohnya.
Definisi 2.1.25 (Wilson dan Watkins, 2013)
Graf star adalah graf bipartisi komplit yang dinotasikanK1,n.
Untuk pembahasan selanjutnya dalam penelitian ini, graf star K1,n akan dinotasikan dengan Sn, di mana n merupakan bilangan asli yang menyatakan jumlah titik.
Contoh 2.1.26 Diberikan grafS6sebagai berikut
Gambar 2.16 Graf S6
Graf pada Gambar 2.16 merupakan graf starS6, dengan titik pusatc1, sisi-sisic1x11, c1x12, c1x13, c1x14, c1x15, c1x16, dan titik-titik ujungx11, x12, x13, x14, x15, x16.
Berikut diberikan pengertian dari graf multistar beserta contohnya.
Definisi 2.1.27 (Abdussakir, 2010)
Double star graph adalah graf yang terdiri dari dua graf star dan titik pusatnya saling terhubung.
Graf multistar yang digunakan dalam penelitian ini merupakan graf multistar yang titik pusatnya tidak saling terhubung. Oleh karena itu, diberikan definisi graf multistar yang titik pusatnya tak saling terhubung.
Definisi 2.1.28
Graf multistar merupakan kombinasi dari sejumlahmgraf starSnidentik yang titik pusatnya tidak terhubung, dinotasikanmSn. Denganmmenyatakan banyaknya graf star danSnmenyatakan order dari graf star, di manam, n ∈N.
Contoh 2.1.29 Diberikan graf2S6sebagai berikut
Gambar 2.17 Graf 2S6
Graf pada Gambar 2.17 merupakan graf multistar 2S6, dengan titik pusat c1, c2, sisi-sisi c1x11, c1x12, c1x13, c1x14, c1x15, c1x16, c2x21, c2x22, c2x23, c2x24, c2x25, c2x26, dan titik-titik ujungx11, x12, x13, x14, x15, x16, x21, x22, x23, x24, x25, x26.
2.2. Pelabelan Graf
Pelabelan graf secara umum merupakan pemetaan himpunan unsur-unsur graf ke himpunan bilangan, dalam hal ini digunakan himpunan bilangan asli.
Terdapat beberapa macam pelabelan graf menurut domain yang digunakan, yakni pelabelan titik apabila menggunakan domain himpunan titik dan pelabelan sisi apabila menggunakan domain himpunan sisi. Apabila menggunakan domain himpunan titik dan himpunan sisi maka disebut sebagai pelabelan total. Pada penelitian ini, pelabelan yang digunakan adalah pelabelan total.
Berikut diberikan definisi pelabelan pada graf.
Definisi 2.2.1 (Wallis, 2001)
Pelabelan pada suatu grafG merupakan suatu pemetaan bijektif yang memetakan himpunan titik, himpunan sisi, atau himpunan gabungan titik dan sisi ke dalam himpunan bilangan asli.
Berikut diberikan contoh mengenai pelabelan pada graf.
Contoh 2.2.2 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.18 Graf G
Pada Gambar 2.18 diketahui bahwa GrafGmemiliki3titik yakni{v1, v2, v3}yang dilabeli{4, 5, 6}dan3sisi yakni{e1, e2, e3}yang dilabeli{1, 2, 3}. Hal ini sesuai dengan Definisi 2.2.1 yang menyatakan gabungan himpunan titik dan sisi {v1, v2, v3, e1, e2, e3}dipetakan satu-satu ke{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Berdasarkan Contoh 2.2.2, dapat dilihat bahwa setiap himpunan titik dan himpunan sisi pada grafGberpasangan tepat satu ke suatu bobot tertentu. Artinya, terdapat pemetaan bijektif antara himpunan titik dan himpunan sisi ke suatu bilangan sesuai banyak unsur dari graf G. Berikut diberikan definisi pelabelan total.
Definisi 2.2.3 (Wallis, 2001)
Diberikan grafGdan himpunanH = {1, 2, 3, ..., |V | + |E|}, maka pelabelan total grafGmerupakan suatu pemetaan bijektif yang dinotasikanf : V ∪ E → A.
Berikut diberikan contoh pelabelan total.
Contoh 2.2.4 Pada Gambar 2.18 diketahui bahwa setiap titik dan sisi pada graf Gdipetakan ke himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berdasarkan Contoh 2.2.2, jelas bahwa grafGmerupakan pelabelan total sesuai dengan Definisi 2.2.3
Bobot yang diberikan pada setiap unsur graf diperlukan untuk mengetahui keberlakuan dari pelabelan total. Berikut diberikan pengertian definisi bobot titik dan bobot sisi untuk mengetahui keberlakuan pelabelan total.
Definisi 2.2.5 (Wallis, 2001)
Diberikan himpunan A = {1, 2, ..., |v| + |e|} dan f : V ∪ E → A. Bobot titik dan bobot sisi dinotasikanwt. Diberikanvi, vj ∈ V merupakan sisi pada graf yang salah satu ujungnya divi, maka bobot titik dapat dihitung
wt(vi) = f (vi) + X
vi−vj
f (vivj) (2.1)
sedangkan bobot sisi dapat dihitung
wt(vivj) = f (vi) + f (vivj) + f (vj) (2.2) Berikut diberikan contoh menghitung bobot titik dan bobot sisi pada suatu graf berbobot.
Contoh 2.2.6 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.19 Graf G
Untuk mencari bobot titik pada Gambar 2.19 dapat dilakukan dengan menjumlahkan label titik tersebut dengan label sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Misal, untuk menghitung bobot titik dengan label 5 dapat dihitung dengan cara menjumlahkan label tersebut yakni 5 dengan label-label yang bersisian dengan titik tersebut yakni 2 dan 1, sehingga diperoleh bobot titik tersebut adalah5 + 2 + 1 = 8. Untuk menghitung bobot titik dengan label4dapat dihitung dengan cara menjumlahkan label tersebut yakni4dengan label-label yang bersisian dengan titik tersebut yakni 2 dan 3, sehingga diperoleh bobot titik tersebut adalah 4 + 2 + 3 = 9. Sedangkan, untuk mencari bobot sisi dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan label sisi tersebut dengan label titik-titik
ujung sisi tersebut. Misal, untuk menghitung bobot sisi1dapat dicari dengan cara menjumlahkan label tersebut yakni 1 dengan label titik-titik ujung sisi tersebut yakni 5 dan 6, sehingga diperoleh 5 + 1 + 6 = 13. Bobot sisi 2dapat diperoleh dengan menjumlahkan 2dengan label titik-titik ujung sisi tersebut yakni 4dan 5, sehingga diperoleh2 + 4 + 5 = 11.
Berdasarkan jumlah bobot elemennya, pelabelan pada graf dibagi menjadi dua, yakni pelabelan ajaib atau magic labeling dan pelabelan tak ajaib atau antimagic labeling. Sederhananya, pelabelan ajaib merupakan pelabelan di mana jumlah bobot elemennya sama, sedangkan pelabelan tak ajaib merupakan pelabelan di mana jumlah bobot elemennya tak sama. Kedua jenis pelabelan ini juga dapat dilakukan pada himpunan titik, himpunan sisi, ataupun gabungan himpunan titik dan sisi.
2.3. Pelabelan Pada Graf Star dan Multistar
Pada bagian ini, akan dijelaskan cara memberikan label dan menghitung bobot label pada graf star dan multistar.
2.3.1. Pelabelan Pada Graf Star
Seperti yang sudah didefinisikan sebelumnya pada Definisi 2.1.25, graf star merupakan graf bipatisi komplit yang kemudian diberi notasi Sn. Jenis pelabelan yang digunakan dalam penelitian ini adalah jenis pelabelan total. Oleh karena itu, setiap unsur pada graf diberikan label, seperti pada contoh berikut.
Contoh 2.3.1 Diberikan grafS6sebagai berikut
Gambar 2.20 Pelabelan graf S6dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titik pusatc1 diberi label1
Untuk sisic1x11diberi label2 Untuk sisic1x12diberi label3 Untuk sisic1x13diberi label4 Untuk sisic1x14diberi label5 Untuk sisic1x15diberi label6 Untuk sisic1x16diberi label7 Untuk titikx11 diberi label8 Untuk titikx12 diberi label9 Untuk titikx13 diberi label10 Untuk titikx14 diberi label11 Untuk titikx15 diberi label12 Untuk titikx16 diberi label13
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label2adalah :8 + 2 + 1 = 11
Bobot sisi dengan label3adalah :9 + 3 + 1 = 13 Bobot sisi dengan label4adalah :10 + 4 + 1 = 15 Bobot sisi dengan label5adalah :11 + 5 + 1 = 17
Bobot sisi dengan label6adalah :12 + 6 + 1 = 19 Bobot sisi dengan label7adalah :13 + 7 + 1 = 21
Pemberian label pada graf star dapat dilakukan dengan berbagai macam pola, yakni dengan cara pemberian label dimulai dari titiknya, berlanjut ke sisi, dan berakhir di titik pusatnya seperti pada contoh berikut :
Contoh 2.3.2 Diberikan grafS6sebagai berikut
Gambar 2.21 Pelabelan graf S6dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titikx11 diberi label1
Untuk titikx12 diberi label2 Untuk titikx13 diberi label3 Untuk titikx14 diberi label4 Untuk titikx15 diberi label5 Untuk titikx16 diberi label6 Untuk sisic1x11diberi label7 Untuk sisic1x12diberi label8 Untuk sisic1x13diberi label9 Untuk sisic1x14diberi label10 Untuk sisic1x15diberi label11 Untuk sisic1x16diberi label12
Untuk titik pusatc1 diberi label13
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label2adalah :1 + 7 + 13 = 21
Bobot sisi dengan label3adalah :2 + 8 + 13 = 23 Bobot sisi dengan label4adalah :3 + 9 + 13 = 25 Bobot sisi dengan label5adalah :4 + 10 + 13 = 27 Bobot sisi dengan label6adalah :5 + 11 + 13 = 29 Bobot sisi dengan label7adalah :6 + 12 + 13 = 31
2.3.2. Pelabelan Pada Graf Multistar
Pelabelan pada graf multistar sebenarnya hampir sama dengan pelabelan graf star, hal ini dikarenakan pemilihan graf star pada penelitian ini merupakan graf multistar yang titik pusatnya tidak saling terhubung, sesuai dengan Definisi 2.1.27.
Berikut diberikan contoh pelabelan pada graf multistar.
Contoh 2.3.3 Diberikan graf3S2sebagai berikut :
Gambar 2.22 Pelabelan graf 3S2dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titik pusatc1 diberi label1
Untuk titik pusatc2 diberi label2 Untuk titik pusatc3 diberi label3 Untuk sisic1x11diberi label4 Untuk sisic1x12diberi label5 Untuk sisic2x21diberi label6 Untuk sisic2x22diberi label7
Untuk sisic3x31diberi label8 Untuk sisic3x32diberi label9 Untuk titikx11 diberi label13 Untuk titikx12 diberi label10 Untuk titikx21 diberi label14 Untuk titikx22 diberi label11 Untuk titikx31 diberi label15 Untuk titikx32 diberi label12
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label4adalah :13 + 4 + 1 = 18
Bobot sisi dengan label5adalah :10 + 5 + 1 = 16 Bobot sisi dengan label6adalah :14 + 6 + 2 = 22 Bobot sisi dengan label7adalah :11 + 7 + 2 = 20 Bobot sisi dengan label8adalah :15 + 8 + 3 = 26 Bobot sisi dengan label9adalah :12 + 9 + 3 = 24
Serupa dengan graf star, cara pelabelan pada graf multistar juga dapat dilakukan dengan pemberian label dimulai dari titiknya, berlanjut ke sisi, dan berakhir di titik pusatnya seperti pada contoh berikut.
Contoh 2.3.4 Diberikan graf3S2sebagai berikut :
Gambar 2.23 Pelabelan graf 3S2dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titikx11 diberi label1
Untuk titikx21 diberi label2
Untuk titikx31 diberi label3 Untuk titikx12 diberi label4 Untuk titikx22 diberi label5 Untuk titikx32 diberi label6 Untuk sisic1x12diberi label7 Untuk sisic1x11diberi label8 Untuk sisic2x22diberi label9 Untuk sisic2x21diberi label10 Untuk sisic3x32diberi label11 Untuk sisic3x31diberi label12 Untuk titik pusatc1 diberi label13 Untuk titik pusatc2 diberi label14 Untuk titik pusatc3 diberi label15
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label8adalah :1 + 8 + 13 = 22
Bobot sisi dengan label7adalah :4 + 7 + 13 = 24 Bobot sisi dengan label9adalah :5 + 9 + 14 = 28 Bobot sisi dengan label10adalah :2 + 10 + 14 = 26 Bobot sisi dengan label12adalah :3 + 12 + 15 = 30 Bobot sisi dengan label11adalah :15 + 11 + 6 = 32