SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat Untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun oleh : Yoga Jati Kusuma
171414093
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2020
”Jangan pernah putus asa, tapi jika engkau merasa demikian, teruslah bekerja dalam keputusasaanmu.”
—Edmund Burke
”Semua dilakukannya dengan segenap hati, sehingga segala usahanya berhasil.”
—2 Tawarikh 31:21
”Kemarin kamu bilang besok.”
—Anonim
iv
Dipersembahkan untuk A.B.S., C.W.I., F.X.B.J.B., dan F.E.M.W.
v
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 Desember 2020 Penulis,
Yoga Jati Kusuma
vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Yoga Jati Kusuma
Nomor Mahasiswa : 171414093
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
“PELABELAN TOTAL TAK AJAIB SISI PADA GRAF MULTISTAR TAK TERHUBUNG”
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.
Dibuat di Yogyakarta Pada Tanggal 17 Desember 2020 Yang menyatakan
Yoga Jati Kusuma
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah memberikan kasih dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Graf Multistar Tak Terhubung. Penulisan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat sarjana S-1.
Suatu hal yang tidak mudah bagi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Semangat yang naik-turun menjadi tantangan dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari berbagai bantuan dari beberapa pihak, untuk itu penulis ucapkan terimakasih setulusnya kepada :
1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi, yang telah memberikan inspirasi dalam memilih judul skripsi, ilmu, motivasi, semangat, bimbingan, dan sarannya kepada penulis.
3. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
4. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
5. Bapak Th. Sugiarto, M.T., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang memberikan bimbingan selama penulis belajar di Universitas Sanata Dharma.
6. Seluruh dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bekal keterampilan kepada penulis selama perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.
viii
7. Seluruh staf sekretariat Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah banyak membantu penulis selama perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.
8. Kedua orang tua yang selalu memberikan kasih sayang dan doa yang tak henti-hentinya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi kuliah, serta adik yang selalu membangkitkan semangat penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
9. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2017, khususnya kelas C, terimakasih atas kebersamaan dan kekeluargaan, baik suka maupun duka yang telah terlewati selama ini.
10. Seluruh teman, sahabat, dan beberapa orang yang pernah mengisi kehidupan penulis, terimakasih atas bantuan, kebersamaan dan semangat yang telah diberikan kepada penulis.
11. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu, terimakasih banyak.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini.
Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca guna perbaikan skripsi ini. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat berguna dan menginspirasi bagi pembaca.
Yogyakarta, 17 Desember 2020
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING . . . ii
LEMBAR PENGESAHAN . . . iii
HALAMAN MOTTO . . . iv
HALAMAN PERSEMBAHAN . . . v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA . . . vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN . . . vii
KATA PENGANTAR . . . viii
DAFTAR ISI . . . x
DAFTAR TABEL . . . xii
DAFTAR GAMBAR . . . xiii
DAFTAR LAMBANG . . . xv
ABSTRAK . . . xvi
ABSTRACT . . . xvii
I PENDAHULUAN . . . 1
1.1. Latar Belakang . . . 1
1.2. Rumusan Masalah . . . 4
1.3. Batasan Masalah . . . 4
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian . . . 4
1.5. Sistem Penulisan . . . 4
1.6. Metodologi Penelitian . . . 5
II DASAR TEORI . . . 7
2.1. Teori Graf . . . 7
2.1.1. Pengertian Graf . . . 7
2.1.2. Istilah dalam Graf . . . 8
2.1.3. Jenis-Jenis Graf . . . 11
2.2. Pelabelan Graf . . . 17
2.3. Pelabelan Pada Graf Star dan Multistar . . . 20
2.3.1. Pelabelan Pada Graf Star . . . 20
2.3.2. Pelabelan Pada Graf Multistar . . . 23
III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN . . . 26
3.1. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi . . . 26
3.2. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Multistar . . . 27
3.3. Pelabelan Jenis I : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terkecil . . . 28
x
3.3.1. Menentukan Nilai a dan d . . . 30
3.4. Pelabelan Jenis II : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terbesar . . . 32
3.4.1. Menentukan Nilai a dan d . . . 34
3.5. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi (a, d) pada mSn untuk d = 1 dan d = 2 . . . 39
3.5.1. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi (a, d) pada mSnuntuk d = 1 39 3.5.2. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi (a, d) pada mSnuntuk d = 2 41 3.6. Konstruksi Fungsi Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi (a, d) Pada mSn . 42 IV KESIMPULAN DAN SARAN . . . 63
4.1. Kesimpulan . . . 63
4.2. Saran . . . 64
DAFTAR PUSTAKA . . . 65
DAFTAR TABEL
3.1 Pelabelan 2S2 dengan bobot label titik pusat terkecil . . . 29
3.2 Pelabelan 2S2 dengan bobot label titik pusat terbesar . . . 33
3.3 Rumus pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistar . . . 37
3.4 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 2 . . . 43
3.5 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 3 . . . 43
3.6 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 4 . . . 44
3.7 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 5 . . . 45
3.8 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 6 . . . 46
3.9 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 7 . . . 47
3.10 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 8 . . . 48
3.11 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 9 . . . 49
3.12 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 10 . . . 50
3.13 Rumus umum label titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 1, 2, ..., 10 51 3.14 Pelabelan pada 3S2 . . . 54
xii
DAFTAR GAMBAR
1.1 Diagram Jembatan K¨onigsberg . . . 1
1.2 Graf Jembatan K¨onigsberg . . . 2
2.1 Contoh graf . . . 7
2.2 Graf G . . . 9
2.3 Graf H . . . 10
2.4 Graf G1 . . . 12
2.5 Graf G2 . . . 12
2.6 Graf kosong . . . 12
2.7 Graf G1 . . . 13
2.8 Graf G2 . . . 13
2.9 Graf G1 . . . 13
2.10 Graf G2 . . . 13
2.11 Graf G1 . . . 14
2.12 Graf G2 . . . 14
2.13 Graf G1 . . . 15
2.14 Graf G2 . . . 15
2.15 Graf G3 . . . 15
2.16 Graf S6 . . . 16
2.17 Graf 2S6 . . . 17
2.18 Graf G . . . 18
2.19 Graf G . . . 19
2.20 Pelabelan graf S6dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil . 21 2.21 Pelabelan graf S6dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar . 22 2.22 Pelabelan graf 3S2 dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil . 23 2.23 Pelabelan graf 3S2 dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar . 24 3.1 Graf multistar mSn . . . 27
3.2 Pelabelan dengan label titik pusat nilai terkecil . . . 28
3.3 Pelabelan dengan label titik pusat nilai terbesar . . . 32
3.4 Pelabelan total tak ajaib sisi (22, 1) pada 2S5 . . . 39
3.5 Pelabelan total tak ajaib sisi (38, 1) pada 2S5 . . . 40
3.6 Pelabelan total tak ajaib sisi (9, 2) pada S4 . . . 41
3.7 Pelabelan total tak ajaib sisi (15, 2) pada S4 . . . 41
3.8 Pola pelabelan total tak ajaib sisi pada 13S2 . . . 59
xiii
3.9 (a) (68, 1)–EATL 12S2, (b) (24, 1)–EATL 4S2 , dan (c) (46, 1)–EATL 8S2 . . . 60 3.10 (a) (79, 1)–EATL 14S2, (b) (35, 1)–EATL 6S2 , dan (c)
(57, 1)–EATL 10S2 . . . 61
DAFTAR LAMBANG
∪ : gabungan himpunan
≈ : mendekati
V = {v1, v2, ..., vi} : himpunan titik pada graf vi : titik ke-i
vji : titik ke-j pada graf ke-i E = {e1, e2, ..., ei} : himpunan sisi pada graf
ei : sisi ke-i
e = (vivj) : sisi yang menghubungkanvi danvj
G = (V, E) : graf dengan himpunan titikV dan himpunan sisiE d(vi) : derajat titikvi
|v| : banyaknya titik pada graf
|e| : banyaknya sisi pada graf Sw : jumlah semua bobot sisi Se : jumlah semua label sisi Sv : jumlah semua label titik Sc : jumlah semua label pusat
f : fungsi
f (ci) : fungsi label pusatci
f (cxij) : fungsi label sisi yang menghubungkanci danxij f (xij) : fungsi label titikxij
mSn : graf multistar denganmpusat danntitik
xv
ABSTRAK
Yoga Jati Kusuma. 2020. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi Pada Graf Multistar Tak Terhubung. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Pelabelan merupakan salah satu topik dalam teori graf. Dalam topik pelabelan, graf yang digunakan merupakan graf terbatas, sederhana, dan tak berarah. Ada tiga jenis pelabelan pada graf, yakni pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Dalam penelitian ini, jenis pelabelan yang digunakan adalah pelabelan total. Pelabelan total suatu graf G(V, E) merupakan pemetaan bijektif unsur-unsur graf G(V, E) ke himpunan {1, 2, 3, ..., |V | + |E|}, dengan |V | menyatakan banyaknya titik dan |E| menyatakan banyaknya sisi. Suatu pemetaan bijektif unsur-unsur graf G(V, E) ke himpunan {1, 2, 3, ..., |V | + |E|} disebut pelabelan total tak-ajaib sisi (a, d) dari graf G(V, E) jika bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d.
Graf multistar yang digunakan dalam penelitian ini merupakan gabungan m graf star identik yang titik pusatnya tidak saling terhubung. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Penelitian ini bertujuan mencari ketentuan pemberian label pada graf multistar,mencari ketentuan nilai a dan d pada pelabelan total tak ajaib sisi graf multistar, dan mencari pola pelabelan total tak ajaib pada graf multistar. Hasil penelitian menunjukkan keberlakukan pelabelan total tak ajaib sisi (a, d) pada graf multistar, yakni 3mn+5m+42 , 1 dan 2mn+5m+52 , 2 bila label titik pusat diberi nilai terkecil. Sedangkan bila label titik pusat diberi nilai terbesar berlaku 7mn+m+42 , 1 dan 6mn+m+52 , 2. Nilai a dan d berlaku untuk m, n ≥ 2.
Kata kunci : graf, pelabelan total tak-ajaib sisi (a, d), graf multistar tak terhubung
xvi
ABSTRACT
Yoga Jati Kusuma. 2020. Edge Antimagic Total Labeling on Unconnected Multistar Graph. Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University.
Labeling is one of the topics in graph theory. In the topic of labeling, the graph used is a limited, simple, and undirected graph. There are three types of labeling on graphs, namely vertex labeling, edge labeling and total labeling. In this study, the type of labeling used is total labeling. The total labeling of a graph G(V, E) is a bijective function from G(V, E) to the set {1, 2, 3, ..., |V |+|E|}, where
|V | represents the set of vertices and |E| represents set of edges. A bijective function from elements of the graphG(V, E) to the set {1, 2, 3, ..., |V | + |E|} is called (a, d) edge antimagic total labeling of the graph G(V, E) if the edge weights form an ascending arithmetic sequence with the first terma and a difference of d.
The multistar graph used in this study is a combination of identical starm graphs whose centers are unconnected. The method used in this research is literature study. This study aims to find the labeling conditions on multistar graphs, to find the terms a and d in edge antimagic total labeling on multistar graphs, and to find edge antimagic total labeling patterns on multistar graphs. The results show that multistar graph has (a, d) edge antimagic total labeling, i.e.
3mn+5m+4 2 , 1
and 2mn+5m+52 , 2, m, n ≥ 2 if center label is assigned the smallest value. Meanwhile, if the center label is given the largest value, then apply
7mn+m+4
2 , 1 and 6mn+m+52 , 2, m, n ≥ 2.
Keyword : graph,(a, d) edge antimagic total labeling, unconnected multistar graph
xvii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Teori graf memiliki peran dalam pengembangan model-model terstruktur dalam berbagai situasi. Struktur-struktur model tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk graf dengan menggunakan unsur-unsur graf sebagai representasi objeknya.
Kemunculan teori graf bermula saat matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler mempresentasikan permasalahan Jembatan K¨onigsberg pada tanggal 26 Agustus 1735 di Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg.
K¨onigsberg merupakan kota tua di Prusia Timur yang sekarang dikenal dengan sebutan Klainingrad. Jembatan K¨onigsberg merupakan tujuh jembatan yang dibangun di atas sungai Pregel dan menghubungkan empat daratan. Permasalahan Jembatan K¨onigsberg merupakan pertanyaan dari masyarakat kota K¨onigsberg kepada Euler, yaitu apakah mungkin berjalan melewati tujuh jembatan tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Euler memodelkan permasalahan ini ke dalam bentuk diagram seperti pada Gambar 1.1. Dari diagram itu, Euler kemudian
Gambar 1.1 Diagram Jembatan K¨onigsberg
merepresentasikan ke dalam bentuk yang lebih sederhana untuk kemudian diselesaikan, yang kemudian dikenal sebagai graf. Euler merepresentasikan diagram pada Gambar 1.1 ke dalam sebuah graf dengan keempat daratan sebagai titik (vertex) yakni A, B, C, D dan ketujuh jembatan sebagai sisi (edge) yakni a, b, c, d, e, f, g, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.2. Menggunakan graf tersebut, Euler menjawab pertanyaan kenapa masyarakat kota K¨onigsberg tidak
1
Gambar 1.2 Graf Jembatan K¨onigsberg
dapat melalui ketujuh jembatan tersebut tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Hal ini dikarenakan tidak semua titik pada graf tersebut berderajat genap.
Pada Gambar 1.2, titik B, C, dan D berderajat tiga, sedangkan titik A berderajat lima.
Seiring berjalannya waktu, teori graf juga semakin berkembang. Teori graf digunakan dalam studi tentang jaringan listrik, kimia organik, teka-teki, dan pewarnaan peta. Menurut Kusumah (2020), teori graf memiliki peranan besar dalam bidang sains modern dan teknik yang meliputi sains komputer, ekologi, geografi, antropologi, genetika, fisika, elektronika, jaringan listrik, pemrosesan informasi, arsitektur, dan desain. Penerapan teori graf pun berbanding lurus dengan perkembangan cabang-cabang topik bahasan dalam teori graf. Semakin banyak terapannya maka semakin cepat pula perkembangannya.
Salah satu cabang dari teori graf adalah pelabelan dalam teori graf. Dalam topik pelabelan, graf yang digunakan merupakan graf terbatas, sederhana, dan tak berarah. Penerapan dari pelabelan graf dapat ditemui pada sistem komunikasi dan transportasi, penyimpanan data komputer, dan desain sirkuit terintegrasi pada komponen elektronik. Kajian dalam pelabelan graf pertama kali dikemukakan oleh Sedl´aˇcek tahun 1963, kemudian dikembangkan Steward pada tahun 1966 dan tahun 1970. Kotzig dan Rosa (1970) mendefinisikan pelabelan ajaib sebagai pemetaan bijektif dari unsur graf ke himpunan bilangan bulat positif dan bobot dari unsur graf tersebut besarnya sama. Selanjutnya Bodendiek dan Walther (1994) mendefinisikan konsep pelabelan tak-ajaib (a, d) sebagai suatu pelabelan sisi dengan bobot semua titiknya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku
pertamaa dan bedad. Kajian mengenai pelabelan total tak ajaib titik(a, d)sudah dilakukan Baca (2003) pada graf Petersen, graf sikel ganjil, dan beberapa bentuk perluasan lainnya.
Graf bintang (star) merupakan graf bipartisi komplit K(1,n) dengan n bilangan asli yang merupakan titik ujung dan satu titik pusat. Bila ada sebanyakm graf star dengan m > 1 dan titik pusatnya dihubungkan secara langsung dengan satu sisi secara berurutan, maka disebut graf multistar. Graf multistar merupakan bentuk umum dari graf ulat (caterpillar). Dalam penelitian yang dilakukan Abdusakir (2010), graf multistar didefinisikan sebagai gabungan beberapa graf star yang terhubung titik pusatnya. Dalam penelitian ini, graf multistar yang digunakan merupakan gabungan beberapa star yang titik pusatnya tak terhubung.
Mengacu dari definisi graf multistar yang ditulis oleh Yonanta dan Prasetyo (2020) yakni graf multistar dapat didefinisikan sebagai gabungan graf star yang identik, dilambangkan mSn dengan m menyatakan banyak graf star identik dan n menyatakan order dari graf star Sn. Prasetyo (2008) menemukan keberlakuan pelabelan total tak ajaib titik pada graf multisikel dan multikomplit bipartisi.
Sugeng dan Bong (2011) menunjukkan keberlakukan pelabelan total tak ajaib titik pada graf circulant Cn(1, 2, 3). Pelabelan total tak-ajaib titik pada union of suns ditemukan oleh Parestu, Silaban, dan Sugeng (2012). Keberlakukan pelabelan super sisi ajaib pada graf multistar ditunjukkan oleh Abdussakir (2010). Pelabelan total tak ajaib titik pada graf multistar ditunjukkan oleh Yonanta dan Prasetyo (2020).
Berdasarkan hasil dari peneliti-peneliti sebelumnya, penulis ingin mengembangkan hasil yang sudah ditunjukkan Yonanta dan Prasetyo (2020) terkait keberlakukan pelabelan total tak ajaib titik pada graf multistar yakni menyelidiki keberlakukan pelabelan total tak ajaib sisi (a, d) atau (a, d)–EATL (Edge Antimagic Total Labeling)pada graf multistar.
1.2. Rumusan Masalah
Berikut merupakan rumusan masalah yang akan dibahas :
1. Bagaimana ketentuan pemberian label pada graf multistar?
2. Bagaimana ketentuan nilai a dan d pada pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistar?
3. Bagaimana pola pelabelan total tak ajaib sisi(a, d)pada graf multistar?
1.3. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, penulis membatas penelitian dengan mencari salah satu pola pelabelan total tak ajaib sisi (a, d) yang berlaku pada graf multistar tak terhubung.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan dan manfaat penelitian ini adalah :
1. Mengetahui keberlakuan pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistar mSn.
2. Menentukan nilai dari suku pertamaadan bedadyang memenuhui pelabelan total tak ajaib sisi(a, d)pada graf multistarmSn.
3. Menentukan rumus umum atau pola pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistarmSn.
1.5. Sistem Penulisan
Untuk mempermudah penulis maupun pembaca dalam mengkaji skripsi ini, penulis membagi bahasan skripsi ini menjadi empat bagian, yaitu :
BAB I : PENDAHULUAN
Pada bab ini dipaparkan mengenai latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, sistematika penulisan, dan metodologi penelitian.
BAB II : DASAR TEORI
Pada bab ini dipaparkan mengenai definisi-definisi graf dan pelabelan graf yang digunakan dalam skripsi ini.
BAB III : PEMBAHASAN
Pada bab ini dipaparkan mengenai graf multistar mSn, perhitungan dasar untuk menentukan pelabelan total tak ajaib sisi(a, d)pada graf multistarmSn, dan pola perumusan pelabelan.
BAB IV : KESIMPULAN
Pada bab ini dipaparkan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada BAB IV dan dipaparkan juga saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan.
1.6. Metodologi Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode penelitian studi literatur menggunakan buku, jurnal, maupun artikel yang terkait dengan topik penelitian. Penelitian dilakukan dalam beberapa tahap, secara garis besar dijelaskan sebagai berikut :
1. Mengumpulkan berbagai literatur mengenai topik pelabelan pada graf, baik dalam bentuk buku ataupun jurnal penelitian relevan pada topik pelabelan total tak ajaib sisi.
2. Mempelajari definisi graf multistar dan definisi-definisi yang diperlukan dalam mencari keberlakukan pelabelan total tak ajaib sisi pada multistar berdasarkan pada literatur yang telah diperoleh pada poin nomor 1.
3. Membangun model graf multistar berdasarkan definisi yang telah diperoleh pada poin nomor 2 disesuaikan dengan batasan masalah penelitian dan mulai
melakukan pelabelan total.
4. Melakukan analisa terhadap pelabelan total graf multistar pada poin nomor 3, kemudian mencari bobot yang sesuai dengan definisi pelabelan total tak ajaib sisi. Jumlah bobot sisi dipastikan membentuk barisan aritmatika dengan nilai awala dan beda tiap suku barisand. Pola pelabelan yang dilakukan ada dua jenis, yakni jenis pertama pemberian bobot terbesar pada titik pusatnya dan jenis kedua pemberian bobot terkecil pada titik pusatnya.
5. Melakukan abstraksi pola pemberian label pada multistar menggunakan variabel m dan n, dengan m menyatakan banyaknya titik pusat dan n menyatakan banyaknya titik ujung. Dilanjutkan dengan mencari bobot sisinya menggunakan definisi pelabelan total tak ajaib sisi dan perhitungan bobot sisi pada multistar. Dari sini diperoleh batasan nilaiadanduntuk dua jenis pelabelan yang telah dijelaskan pada poin nomor 4.
6. Berdasarkan batasan nilaiadandyang diperoleh pada poin nomor 5, langkah selanjutnya melakukan pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistarmSn untuk m = 2, 3, 4, 5, .. dann = 2, 3, 4, 5, .... Dari sini diperoleh bobot sisi pada graf multistar, kemudian dicari pola pelabelan yang seragam dari setiap multistar.
7. Dari poin nomor 6, setelah melakukan analisa terhadap pola-pola seragam yang muncul kemudian dibangun rumus umum untuk pelabelan total, yakni rumus umum titik pusat, sisi, dan titik ujung dari setiap multistar. Rumus umum tersebut kemudian dibentuk menjadi sebuah fungsi pelabelan total tak ajaib sisi untuk graf multistar dengan titik pusatnya tak saling terhubung.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa teori yang mendukung pemahaman dari teori graf, jenis-jenis graf, pelabelan graf, dan pelabelan total tak ajaib pada graf.
2.1. Teori Graf
Dalam mempelajari graf terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Beberapa teori dasar meliputi pengertian graf, beberapa istilah graf, jenis-jenis graf, dan pelabelan graf. Berikut diberikan pengertian dari graf.
2.1.1. Pengertian Graf
Berikut diberikan definisi graf.
Definisi 2.1.1 (Goodaire dan Parmenter, 1998)
Graf merupakan himpunan pasanganG = (V, E), di manaV (G)adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen berbeda pada E(G). Elemen dari himpunanV (G)disebut titik atau vertex dan elemen dari himpunanE(G)disebut sisi atau edge. Jikae ∈ E(G)makaemerupakan himpunan pasangane = (vi, vj) di manavi, vj ∈ V (G)dane = (vi, vj)menghubungkan titikvidengan titikvj.
Secara konseptual, suatu graf terbentuk dari titik-titik dan sisi-sisi yang menghubungkan titik-titik tersebut, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Contoh graf
7
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa gambar tersebut mempunyai lima buah titik dan lima buah sisi yang menghubungkan beberapa titik. Artinya himpunan titik dan himpunan sisi dari graf tersebut tak kosong. Selain itu dapat dilihat juga bahwa ada sepasang titik yang terhubung oleh sisi. Oleh karena itu, Gambar 2.1 memenuhi Definisi 2.1.1, sehingga dapat dikatakan sebagai suatu graf.
2.1.2. Istilah dalam Graf
Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam teori graf. Berikut diberikan definisi tentang adjacent, incident, order degree, loop, sisi ganda, walk, trail, dan path.
Definisi 2.1.2 (Wilson, 2010)
Dua buah titik v1 dan v2 pada sebuah graf dikatakan adjacent bila ada sebuah sisi e1 yang menghubungkan keduanya ataue1 = (v1v2).
Bila adjacent dipandang sebagai hubungan titik terhadap sisi pada graf, maka muncul definisi incident sebagai hubungan sisi terhadap titik. Berikut diberikan definisi incident.
Definisi 2.1.3 (Wilson, 2010)
Sisie1dikatakan incident dengan titikv1 danv2bilae1 = (v1v2). Berikut diberikan definisi tentang order dari sebuah graf.
Definisi 2.1.4 (Wilson, 2010)
Banyak unsur pada suatu graf V (G) disebut order dari G dilambangkan dengan
|V (G)|.
Berikut diberikan definisi dari sisi ganda pada suatu graf.
Definisi 2.1.5 (Munir, 2001)
GrafGdikatakan memiliki sisi ganda bila terdapat titikvidanvjyang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi.
Berikut diberikan definisi loop pada suatu graf.
Definisi 2.1.6 (Wilson, 2010)
Loop merupakan sisi yang bersisian dengan dua buah titik yang sama atau e1 = (v1, v1).
Berbeda dengan order graf yang menyatakan banyaknya unsur dalam graf, degree menyatakan banyaknya keterhubungan titik dan sisi pada graf. Berikut diberikan definisi degree.
Definisi 2.1.7 (Wilson, 2010)
Degree sebuah titik vi dinotasikan d(vi) merupakan bilangan yang menyatakan jumlah sisi yang bersinggungan denganvi, untuk loop dihitung dua kali.
Berikut diberikan contoh terkait definisi adjacent, incident, order degree, loop, dan sisi ganda.
Contoh 2.1.8 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.2 Graf G
Diperhatikan Gambar 2.2, titik v1 dan v2 adjacent karena e1 = (v1v2), selain itu secara berturut-turut titikv2adjacentdenganv5, titikv5 adjacentdenganv4karena e2 = (v2v5) dan e4 = (v4v5) atau e5 = (v4v5). Sebagai akibat dari keberlakuan adjacent, sisie1 incidentdengan titikv1 danv2, sisie2incidentdengan titikv2dan v5, dan baik sisie4 maupune5keduanya incident dengan titikv4 danv5.
Degree titik v1 atau d(v1) = 1 karena hanya ada satu sisi yang incident dengan titik v1 yakni sisi e1. Untuk d(v2) = 2karena ada dua sisi yang incident dengan titik v2 yakni e1 dan e2. Untuk d(v5) = 2 karena e3 merupakan loop, sehingga dihitung dua kali. Untuk d(v4) = 2 karena ada dua sisi yang incident yaknie4 dane5. Sedangkand(v3) = 0sebab tidak ada sisi yang incident, sehingga
v3disebut isolated vertex.
Selanjutnya, untuk contoh loop dapat diperhatikan pada sisi e3, di mana titik-titik ujung dari sisi e3 merupakan titik yang sama, yaitu v5. Sisi e4 dan e5 merupakan sisi ganda karena memiliki titik ujung yang sama, yakni titikv4 danv5. Graf dapat dipandang sebagai gabungan dari titik dan sisi yang saling bergantian, artinya setelah titik pasti diikuti dengan sisi kemudian titik dan seterusnya. Dengan demikian graf dapat membentuk suatu gabungan ruas garis yang berhingga dan percabangan dari titik seperti pertigaan jalan, perempatan jalan dan sebagainya. Oleh karena itu, graf dapat dipandang sebagai urutan perjalanan atau jalur. Berikut diberikan definisi tentang walk, trail, dan path.
Definisi 2.1.9 (Wallis, 2001)
Walk dalam graf G merupakan barisan berhingga yang terdiri dari titik-titik dan sisi-sisi yang saling bergantian, di mana setiap sisi bersinggungan dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik. Bila titik awal dan titik akhirnya sama, maka disebut closed walk. Bila titik awal dan titik akhirnya berbeda, maka disebut open walk.
Berikut diberikan contoh dari walk.
Contoh 2.1.10 Diberikan grafHsebagai berikut
Gambar 2.3 Graf H
Diperhatikan pada Gambar 2.3, open walk yaitu
v2, e7, v5, e8, v1, e8, v5, e6, v4, e5, v4.
Sedangkan closed walk yaitu
v4, e5, v4, e3, v3, e2, v2, e7, v5, e6, v4.
Berikut diberikan definisi tentang trail, path, dan panjang lintasan beserta contohnya.
Definisi 2.1.11 (Wallis, 2001)
Suatu walk yang tiap sisinya berbeda disebut trail. Pada trail bila setiap titiknya berbeda, maka disebut path.
Contoh 2.1.12 Menggunakan Gambar 2.3, dapat ditemukan trail yakni v1, e8, v5, e9, v1, e1, v2, e7, v5, e6, v4, e5, v4, e4, v4.
Sedangkan untuk path yakni
v2, e7, v5, e6, v4, e3, v3.
2.1.3. Jenis-Jenis Graf
Graf mempunyai berbagai macam bentuk dan sifat yang dapat dikelompokkan dalam beberapa kategori. Berikut diberikan penjelasan sifat dari graf, yakni graf berarah dan graf tidak berarah.
Definisi 2.1.13 (Rosen, 2018)
Diberikan suatu graf G(V, E) dengan V = {v1, v2, ..., vn}, E = {e1, e2, ..., en}, dane = (vi, vj), vi, vj ∈ V, maka :
1. Graf G(V, E) disebut graf tak berarah bila setiap sisinya dikaitkan dengan sepasang titik yang tidak berurutan. Bila ada sisie ∈ E yang terkait dengan titik vi danvj, maka dapat ditulis e = (vivj)atau e = (vjvi). Notasi(vivj) merujuk pada sisi yang menghubungkanvi danvj di graf tak berarah, bukan sebagai pasangan berurutan. Dapat disimpulkan(vivj) = (vjvi).
2. Graf G(V, E) disebut graf berarah (digraph) bila setiap sisinya dikaitkan dengan sepasang titik yang berurutan. Bila ada sisi e ∈ E yang terkait
dengan titikvi danvj, maka dapat ditulise = (vivj), dengan(vivj)merujuk arah dari titikvi ke titikvj. Dapat disimpulkan(vivj) 6= (vjvi).
Contoh 2.1.14 Diberikan gambar dari grafG1dan grafG2 sebagai berikut:
Gambar 2.4 Graf G1
Gambar 2.5 Graf G2
Pada Gambar 2.4 disebut graf tak berarah, sedangkan Gambar 2.5 disebut graf berarah.
Dalam penelitian ini, graf yang digunakan merupakan graf tak berarah. Oleh karena itu, diberikan beberapa jenis-jenis graf tak berarah. Berikut akan diberikan pengertian dan contoh dari graf kosong.
Definisi 2.1.15 (Rosen, 2018)
Diberikan suatu graf Gyang himpunan sisinya berupa himpunan kosong, sedang himpunan titiknya tak kosong. Graf G disebut sebagai graf kosong dan diberi simbolNn, dengannmenyatakan banyaknya titik pada grafG.
Contoh 2.1.16 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.6 Graf kosong
Pada Gambar 2.6 dapat dipahami bahwa graf G merupakan graf kosong, karena himpunan sisinya merupakan himpunan kosong atau dengan kata lain, tidak ada sisi yang menghubungkan ketiga titik.
Berikut diberikan pengertian dari graf sederhana dan contohnya.
Definisi 2.1.17 (Rosen, 2018)
Diberikan suatu graf yang tidak memiliki loop maupun sisi ganda, graf tersebut merupakan graf sederhana.
Contoh 2.1.18 Diberikan gambar dari grafG1dan grafG2 sebagai berikut:
Gambar 2.7 Graf G1 Gambar 2.8 Graf G2
Graf pada Gambar 2.7 merupakan jenis graf sederhana, karena tidak memiliki gelang maupun sisi ganda. Sedangkan graf pada Gambar 2.8 merupakan jenis graf tidak sederhana, karena memiliki gelang dan sisi ganda.
Berikut diberikan pengertian dari graf berhingga dan graf tak berhingga beserta contohnya.
Definisi 2.1.19 (Rosen, 2018)
Diberikan graf yang banyak titiknya n berhingga, maka graf tersebut merupakan graf berhingga. Sedangkan bila diberikan graf yang banyak titiknya tak berhingga, maka graf tersebut merupakan graf tak berhingga.
Contoh 2.1.20 Diberikan grafG1danG2sebagai berikut:
Gambar 2.9 Graf G1
Gambar 2.10 Graf G2
Pada Gambar 2.9, graf G1 merupakan graf berhingga karena mempunyai
lima titik. Sedangkan pada Gambar 2.10, graf G2 merupakan graf tak berhingga karena mempunyai tak hingga titik.
Berikut diberikan pengertian dari bipartite graph beserta contohnya.
Definisi 2.1.21 (Purwanto, 1998)
Bipartite graph adalah graf yang himpunan titiknya dapat dibagi menjadi dua himpunan tak kosong A dan B, sehingga setiap sisi di graf tersebut menghubungkan satu titik di A dan satu titik di B. Himpunan A dan B disebut himpunan partisi.
Contoh 2.1.22 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.11 Graf G1 Gambar 2.12 Graf G2
Pada Gambar 2.11, graf G1 merupakan graf bipartisi dengan himpunan partisi A = {a, b} danB = {c, d, e}. Demikian juga pada Gambar 2.12, grafG2 merupakan graf bipartisi dengan himpunan partisiX = {v1, v4}danY = {v2, v3}.
Berikut diberikan pengertian dari graf bipartisi komplit berserta contohnya.
Definisi 2.1.23 (Purwanto, 1998)
Complete bipartite graph adalah graf bipartisi dengan himpunan partisiX danY sehingga dapat dilakukan pemetaan bijektif dari himpunanXke himpunanY. Jika
|X| = mdan|Y | = n, maka graf bipartisi tersebut dinyatakan denganKm,n
Contoh 2.1.24 Diberikan grafG1, G2, danG3 sebagai berikut:
Gambar 2.13 Graf G1 Gambar 2.14 Graf G2
Gambar 2.15 Graf G3
Pada Gambar 2.13, grafG1 merupakan graf bipartisi komplit denganX = {u1}danY = {v1, v2, v3}, di mana|X| = 1dan|Y | = 3. Pada Gambar 2.14, graf G2 merupakan graf bipartisi komplit dengan X = {u1, u2} danY = {v1, v2, v3}, di mana|X| = 2dan|Y | = 3. Pada Gambar 2.15, grafG3merupakan graf bipartisi komplit dengan X = {u1, u2, u3} dan Y = {v1, v2, v3}, di mana |X| = 3 dan
|Y | = 3.
Salah satu contoh dari graf bipartisi komplit adalah graf star. Berikut diberikan pengertian graf star beserta contohnya.
Definisi 2.1.25 (Wilson dan Watkins, 2013)
Graf star adalah graf bipartisi komplit yang dinotasikanK1,n.
Untuk pembahasan selanjutnya dalam penelitian ini, graf star K1,n akan dinotasikan dengan Sn, di mana n merupakan bilangan asli yang menyatakan jumlah titik.
Contoh 2.1.26 Diberikan grafS6sebagai berikut
Gambar 2.16 Graf S6
Graf pada Gambar 2.16 merupakan graf starS6, dengan titik pusatc1, sisi- sisic1x11, c1x12, c1x13, c1x14, c1x15, c1x16, dan titik-titik ujungx11, x12, x13, x14, x15, x16.
Berikut diberikan pengertian dari graf multistar beserta contohnya.
Definisi 2.1.27 (Abdussakir, 2010)
Double star graph adalah graf yang terdiri dari dua graf star dan titik pusatnya saling terhubung.
Graf multistar yang digunakan dalam penelitian ini merupakan graf multistar yang titik pusatnya tidak saling terhubung. Oleh karena itu, diberikan definisi graf multistar yang titik pusatnya tak saling terhubung.
Definisi 2.1.28
Graf multistar merupakan kombinasi dari sejumlahmgraf starSnidentik yang titik pusatnya tidak terhubung, dinotasikanmSn. Denganmmenyatakan banyaknya graf star danSnmenyatakan order dari graf star, di manam, n ∈N.
Contoh 2.1.29 Diberikan graf2S6sebagai berikut
Gambar 2.17 Graf 2S6
Graf pada Gambar 2.17 merupakan graf multistar 2S6, dengan titik pusat c1, c2, sisi-sisi c1x11, c1x12, c1x13, c1x14, c1x15, c1x16, c2x21, c2x22, c2x23, c2x24, c2x25, c2x26, dan titik-titik ujungx11, x12, x13, x14, x15, x16, x21, x22, x23, x24, x25, x26.
2.2. Pelabelan Graf
Pelabelan graf secara umum merupakan pemetaan himpunan unsur-unsur graf ke himpunan bilangan, dalam hal ini digunakan himpunan bilangan asli.
Terdapat beberapa macam pelabelan graf menurut domain yang digunakan, yakni pelabelan titik apabila menggunakan domain himpunan titik dan pelabelan sisi apabila menggunakan domain himpunan sisi. Apabila menggunakan domain himpunan titik dan himpunan sisi maka disebut sebagai pelabelan total. Pada penelitian ini, pelabelan yang digunakan adalah pelabelan total.
Berikut diberikan definisi pelabelan pada graf.
Definisi 2.2.1 (Wallis, 2001)
Pelabelan pada suatu grafG merupakan suatu pemetaan bijektif yang memetakan himpunan titik, himpunan sisi, atau himpunan gabungan titik dan sisi ke dalam himpunan bilangan asli.
Berikut diberikan contoh mengenai pelabelan pada graf.
Contoh 2.2.2 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.18 Graf G
Pada Gambar 2.18 diketahui bahwa GrafGmemiliki3titik yakni{v1, v2, v3}yang dilabeli{4, 5, 6}dan3sisi yakni{e1, e2, e3}yang dilabeli{1, 2, 3}. Hal ini sesuai dengan Definisi 2.2.1 yang menyatakan gabungan himpunan titik dan sisi {v1, v2, v3, e1, e2, e3}dipetakan satu-satu ke{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Berdasarkan Contoh 2.2.2, dapat dilihat bahwa setiap himpunan titik dan himpunan sisi pada grafGberpasangan tepat satu ke suatu bobot tertentu. Artinya, terdapat pemetaan bijektif antara himpunan titik dan himpunan sisi ke suatu bilangan sesuai banyak unsur dari graf G. Berikut diberikan definisi pelabelan total.
Definisi 2.2.3 (Wallis, 2001)
Diberikan grafGdan himpunanH = {1, 2, 3, ..., |V | + |E|}, maka pelabelan total grafGmerupakan suatu pemetaan bijektif yang dinotasikanf : V ∪ E → A.
Berikut diberikan contoh pelabelan total.
Contoh 2.2.4 Pada Gambar 2.18 diketahui bahwa setiap titik dan sisi pada graf Gdipetakan ke himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berdasarkan Contoh 2.2.2, jelas bahwa grafGmerupakan pelabelan total sesuai dengan Definisi 2.2.3
Bobot yang diberikan pada setiap unsur graf diperlukan untuk mengetahui keberlakuan dari pelabelan total. Berikut diberikan pengertian definisi bobot titik dan bobot sisi untuk mengetahui keberlakuan pelabelan total.
Definisi 2.2.5 (Wallis, 2001)
Diberikan himpunan A = {1, 2, ..., |v| + |e|} dan f : V ∪ E → A. Bobot titik dan bobot sisi dinotasikanwt. Diberikanvi, vj ∈ V merupakan sisi pada graf yang salah satu ujungnya divi, maka bobot titik dapat dihitung
wt(vi) = f (vi) + X
vi−vj
f (vivj) (2.1)
sedangkan bobot sisi dapat dihitung
wt(vivj) = f (vi) + f (vivj) + f (vj) (2.2) Berikut diberikan contoh menghitung bobot titik dan bobot sisi pada suatu graf berbobot.
Contoh 2.2.6 Diberikan grafGsebagai berikut
Gambar 2.19 Graf G
Untuk mencari bobot titik pada Gambar 2.19 dapat dilakukan dengan menjumlahkan label titik tersebut dengan label sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Misal, untuk menghitung bobot titik dengan label 5 dapat dihitung dengan cara menjumlahkan label tersebut yakni 5 dengan label-label yang bersisian dengan titik tersebut yakni 2 dan 1, sehingga diperoleh bobot titik tersebut adalah5 + 2 + 1 = 8. Untuk menghitung bobot titik dengan label4dapat dihitung dengan cara menjumlahkan label tersebut yakni4dengan label-label yang bersisian dengan titik tersebut yakni 2 dan 3, sehingga diperoleh bobot titik tersebut adalah 4 + 2 + 3 = 9. Sedangkan, untuk mencari bobot sisi dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan label sisi tersebut dengan label titik-titik
ujung sisi tersebut. Misal, untuk menghitung bobot sisi1dapat dicari dengan cara menjumlahkan label tersebut yakni 1 dengan label titik-titik ujung sisi tersebut yakni 5 dan 6, sehingga diperoleh 5 + 1 + 6 = 13. Bobot sisi 2dapat diperoleh dengan menjumlahkan 2dengan label titik-titik ujung sisi tersebut yakni 4dan 5, sehingga diperoleh2 + 4 + 5 = 11.
Berdasarkan jumlah bobot elemennya, pelabelan pada graf dibagi menjadi dua, yakni pelabelan ajaib atau magic labeling dan pelabelan tak ajaib atau antimagic labeling. Sederhananya, pelabelan ajaib merupakan pelabelan di mana jumlah bobot elemennya sama, sedangkan pelabelan tak ajaib merupakan pelabelan di mana jumlah bobot elemennya tak sama. Kedua jenis pelabelan ini juga dapat dilakukan pada himpunan titik, himpunan sisi, ataupun gabungan himpunan titik dan sisi.
2.3. Pelabelan Pada Graf Star dan Multistar
Pada bagian ini, akan dijelaskan cara memberikan label dan menghitung bobot label pada graf star dan multistar.
2.3.1. Pelabelan Pada Graf Star
Seperti yang sudah didefinisikan sebelumnya pada Definisi 2.1.25, graf star merupakan graf bipatisi komplit yang kemudian diberi notasi Sn. Jenis pelabelan yang digunakan dalam penelitian ini adalah jenis pelabelan total. Oleh karena itu, setiap unsur pada graf diberikan label, seperti pada contoh berikut.
Contoh 2.3.1 Diberikan grafS6sebagai berikut
Gambar 2.20 Pelabelan graf S6dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titik pusatc1 diberi label1
Untuk sisic1x11diberi label2 Untuk sisic1x12diberi label3 Untuk sisic1x13diberi label4 Untuk sisic1x14diberi label5 Untuk sisic1x15diberi label6 Untuk sisic1x16diberi label7 Untuk titikx11 diberi label8 Untuk titikx12 diberi label9 Untuk titikx13 diberi label10 Untuk titikx14 diberi label11 Untuk titikx15 diberi label12 Untuk titikx16 diberi label13
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label2adalah :8 + 2 + 1 = 11
Bobot sisi dengan label3adalah :9 + 3 + 1 = 13 Bobot sisi dengan label4adalah :10 + 4 + 1 = 15 Bobot sisi dengan label5adalah :11 + 5 + 1 = 17
Bobot sisi dengan label6adalah :12 + 6 + 1 = 19 Bobot sisi dengan label7adalah :13 + 7 + 1 = 21
Pemberian label pada graf star dapat dilakukan dengan berbagai macam pola, yakni dengan cara pemberian label dimulai dari titiknya, berlanjut ke sisi, dan berakhir di titik pusatnya seperti pada contoh berikut :
Contoh 2.3.2 Diberikan grafS6sebagai berikut
Gambar 2.21 Pelabelan graf S6dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titikx11 diberi label1
Untuk titikx12 diberi label2 Untuk titikx13 diberi label3 Untuk titikx14 diberi label4 Untuk titikx15 diberi label5 Untuk titikx16 diberi label6 Untuk sisic1x11diberi label7 Untuk sisic1x12diberi label8 Untuk sisic1x13diberi label9 Untuk sisic1x14diberi label10 Untuk sisic1x15diberi label11 Untuk sisic1x16diberi label12
Untuk titik pusatc1 diberi label13
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label2adalah :1 + 7 + 13 = 21
Bobot sisi dengan label3adalah :2 + 8 + 13 = 23 Bobot sisi dengan label4adalah :3 + 9 + 13 = 25 Bobot sisi dengan label5adalah :4 + 10 + 13 = 27 Bobot sisi dengan label6adalah :5 + 11 + 13 = 29 Bobot sisi dengan label7adalah :6 + 12 + 13 = 31
2.3.2. Pelabelan Pada Graf Multistar
Pelabelan pada graf multistar sebenarnya hampir sama dengan pelabelan graf star, hal ini dikarenakan pemilihan graf star pada penelitian ini merupakan graf multistar yang titik pusatnya tidak saling terhubung, sesuai dengan Definisi 2.1.27.
Berikut diberikan contoh pelabelan pada graf multistar.
Contoh 2.3.3 Diberikan graf3S2sebagai berikut :
Gambar 2.22 Pelabelan graf 3S2dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titik pusatc1 diberi label1
Untuk titik pusatc2 diberi label2 Untuk titik pusatc3 diberi label3 Untuk sisic1x11diberi label4 Untuk sisic1x12diberi label5 Untuk sisic2x21diberi label6 Untuk sisic2x22diberi label7
Untuk sisic3x31diberi label8 Untuk sisic3x32diberi label9 Untuk titikx11 diberi label13 Untuk titikx12 diberi label10 Untuk titikx21 diberi label14 Untuk titikx22 diberi label11 Untuk titikx31 diberi label15 Untuk titikx32 diberi label12
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label4adalah :13 + 4 + 1 = 18
Bobot sisi dengan label5adalah :10 + 5 + 1 = 16 Bobot sisi dengan label6adalah :14 + 6 + 2 = 22 Bobot sisi dengan label7adalah :11 + 7 + 2 = 20 Bobot sisi dengan label8adalah :15 + 8 + 3 = 26 Bobot sisi dengan label9adalah :12 + 9 + 3 = 24
Serupa dengan graf star, cara pelabelan pada graf multistar juga dapat dilakukan dengan pemberian label dimulai dari titiknya, berlanjut ke sisi, dan berakhir di titik pusatnya seperti pada contoh berikut.
Contoh 2.3.4 Diberikan graf3S2sebagai berikut :
Gambar 2.23 Pelabelan graf 3S2dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar
Pemberian label dapat dilakukan sebagai berikut : Untuk titikx11 diberi label1
Untuk titikx21 diberi label2
Untuk titikx31 diberi label3 Untuk titikx12 diberi label4 Untuk titikx22 diberi label5 Untuk titikx32 diberi label6 Untuk sisic1x12diberi label7 Untuk sisic1x11diberi label8 Untuk sisic2x22diberi label9 Untuk sisic2x21diberi label10 Untuk sisic3x32diberi label11 Untuk sisic3x31diberi label12 Untuk titik pusatc1 diberi label13 Untuk titik pusatc2 diberi label14 Untuk titik pusatc3 diberi label15
Sedangkan perhitungan bobot sisi dilakukan sebagai berikut : Bobot sisi dengan label8adalah :1 + 8 + 13 = 22
Bobot sisi dengan label7adalah :4 + 7 + 13 = 24 Bobot sisi dengan label9adalah :5 + 9 + 14 = 28 Bobot sisi dengan label10adalah :2 + 10 + 14 = 26 Bobot sisi dengan label12adalah :3 + 12 + 15 = 30 Bobot sisi dengan label11adalah :15 + 11 + 6 = 32
BAB III
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan proses pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistar menggunakan dua jenis pelabelan, yaitu jenis pertama yakni pemberian bobot terkecil pada titik pusatnya dan jenis kedua yakni pemberian bobot terbesar pada titik pusatnya.
3.1. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi
Sebelum memulai perhitungan dasar pelabelan total tak ajaib sisi, terlebih dahulu diberikan definisi pelabelan total tak ajaib.
Definisi 3.1.1 (Baca, 2003)
Suatu pemetaan bijektif f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, ..., |V | + |E|} disebut pelabelan total tak ajaib dari graf G(V, E) jika bobot dari sisi wf = f (u) + f (uv) + f (v), untuk setiapu, v ∈ V (G)danuv ∈ E(G).
Bobot sisi pada pelabelan total tak ajaib sisi dihitung dengan menjumlahkan semua bobot unsur-unsur pada graf multistar. Ada kemungkinan bobot sisinya bernilai sama, oleh karena itu perlu adanya kondisi sehingga pemberian label bobot pada tiap unsurnya diatur sedemikian sehingga bobot sisinya berbeda. Berikut diberikan definisi pelabelan total tak ajaib sisi.
Definisi 3.1.2 (Wallis, 2001)
MisalH = {1, 2, ..., |V | + |E|}danf merupakan suatu pemetaan bijektif di mana f : V ∪ E → A. Fungsif disebut pelabelan total tak-ajaib sisi dari grafG = (V, E) bila bobot dari semua sisi berbeda.
Bila bobot-bobot sisi pada pelabelan total tak ajaib sisi membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d, maka pelabelannya disebut pelabelan total tak-ajaib sisi(a, d). Berikut diberikan definisi pelabelan total tak ajaib sisi(a, d).
26
Definisi 3.1.3 (Baca,2003)
Suatu pemetaan bijektif f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, ..., |V | + |E|} disebut pelabelan total tak-ajaib sisi (a, d) dari graf G(V, E) jika bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertamaadan bedad, yaitu W = {wf(uv)|uv ∈ E} = {a, a + d, a + 2d, ..., a + (|V | − 1)d}
Pada pelabelan total tak ajaib sisi graf multistar, perhitungan bobot sisi dilakukan dengan cara menjumlahkan total label sisi, titik, dan (n − 1) titik pusatnya, maka diperoleh :
Sw = Se+ Sv+ (n − 1)Sc (3.1) di mana Sw menyatakan jumlah semua bobot sisi, Se menyatakan jumlah semua label sisi,Svmenyatakan jumlah semua label titik ujung, danScmenyatakan jumlah label titik pusat.
3.2. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Multistar
Graf multistar merupakan gabungan beberapa graf starSn. Pada penelitian ini, graf multistar yang digunakan adalah graf multistar yang tidak terhubung. Graf multistar yang terdiri dari m graf star Sn dilambangkan mSn. Berikut diberikan ilustrasi dari graf multistar.
Gambar 3.1 Graf multistar mSn
Graf multistarmSnmempunyai himpunan titik ujungV (mSn) = {xij| 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, himpunan titik pusat C(mSn) = {ci| 1 ≤ i ≤ m}, dan
himpunan sisiE(mSn) = {cixij| 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}. Sehingga graf multistar mSn mempunyaimn + mtitik danmnsisi, dengan total banyak titik dan sisinya adalah2mn + m.
Pemberian label pada graf multistar dapat dilakukan dua cara. Cara yang pertama adalah memberikan nilai label terkecil pada titik pusatnya atau dengan kata lain, pelabelan dimulai dari titik pusat berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik ujungnya. Sedangkan cara yang kedua adalah memberikan nilai label terbesar pada titik pusatnya atau dengan kata lain, pelabelan dimulai dari titik ujung berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik pusatnya.
Kedua cara tersebut memberikan proses pelabelan yang berbeda. Baik dari perhitungan maupun pemberian label pada unsur-unsur graf multistar. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dijelaskan kedua cara atau metode dalam pelabelan total tak ajaib sisi graf multistar.
3.3. Pelabelan Jenis I : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terkecil Pelabelan jenis pertama ini, dimulai dengan memberikan label dari titik pusat berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik ujung. Berikut diberikan ilustrasi pelabelan pada2S2dengan memberikan titik pusat nilai terkecil.
Gambar 3.2 Pelabelan dengan label titik pusat nilai terkecil
Diperhatikan pada Gambar 3.2, pelabelan dimulai dari c1 dan c2 sebagai titik pusat dengan nilai label berturut-turut 1 dan 2. Selanjutnya c2x21, c1x11, c2x22, danc1x21 sebagai sisi dengan nilai label berturut-turut 3, 4, 5, dan 6. Berakhir pada x22, x21, x12, dan x11 sebagai titik ujung dengan nilai label 7, 8, 9, dan 10. Lebih jelasnya dapat diperhatikan pada Tabel 3.1 berikut.
Tabel 3.1 Pelabelan 2S2dengan bobot label titik pusat terkecil
Unsur Label
c1 1
c2 2
c2x21 3 c1x11 4 c2x22 5
Unsur Label c1x12 6
x22 7 x21 8 x12 9 x11 10
Sebelum memulai proses pelabelan total tak ajaib sisi multistar jenis pertama, terlebih dahulu diberikan definisi pelabelan yang digunakan beserta contohnya.
Definisi 3.3.1 Bila pelabelan multistar mSn dimulai dari titik pusat, maka himpunan label titik pusat adalah c = {1, 2, ..., m}, himpunan label sisi adalah e = {m + 1, m + 2, ..., m + mn}, dan himpunan label titik ujung adalah v = {m + mn + 1, m + mn + 2, ..., m + 2mn}.
Contoh 3.3.2 Misal diberikan graf multistar 2S2, berartim = 2 dann = 2, maka himpunan label titik pusatnya adalah c = {1, 2}, himpunan label sisi adalahe = {3, 4, 5, 6}, dan himpunan label titik ujung adalahv = {7, 8, 9, 10}. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2 dan Tabel 3.1.
Sebelum mencari nilai a sebagai nilai awal suku barisan aritmatika pada pelabelan total tak ajaib sisi(a, d)multistar, terlebih dahulu dihitung bobot sisi-sisi padamSn. Menggunakan Definisi 3.1.1 dan Persamaan 3.1, diperoleh
Sw = Se+ Sv + (n − 1)Sc
= 1 + 2 + ... + 2mn + m + (n − 1)
m
X
j=1
cj
= (2mn + m + 1)(2mn + m)
2 + (n − 1)
m
X
j=1
cj (3.2)
Sesuai dengan Definisi 3.3.1, dipilih label untuk titik pusatnya {1, 2, ..., m}.
Sehingga Persamaan 3.2 menjadi
Sw = (2mn + m + 1)(2mn + m)
2 + (n − 1)(1 + 2 + ... + m)
= (2mn + m + 1)(2mn + m)
2 + (n − 1)m(m + 1)
2 (3.3)
Selanjutnya menurut Definisi 3.1.3, jumlahan bobot total adalah sebagai berikut Sw = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (mn − 1)d)
= mn
a + (mn − 1)d 2
(3.4) Menggunakan Persamaan 3.3 dan 3.4 diperoleh
mn
a +(mn − 1)d 2
= (2mn + m + 1)(2mn + m)
2 + (n − 1)m(m + 1)
2 (3.5)
3.3.1. Menentukan Nilaiadand
Pada sub bagian ini akan dijelaskan proses menentukan batas nilai a dan d agar graf multistar memenuhi pelabelan total tak ajaib(a, d). Sebab pemberian label titik pusat terkecil atau{1, 2, ..., m}, maka bobot terkecil sisinya adalah total jumlahannya dari label terkecil titik, sisi, dan titik pusatnya, yaitu a ≥ 1 + (m + 1) + (m + mn + 1) = 2m + mn + 3. Sehingga diperoleh pertidaksamaan
a ≥ 2m + mn + 3 (3.6)
Menggunakan Definisi 3.1.3, dengan memperhatikan suku terakhira+(|V |−1)d = a + (mn − 1)d, bobot terbesar dapat ditentukan dengan cara mencari total jumlahan label terbesar titik, sisi, dan titik pusatnya, yaitum + (2mn + m) + (m + mn) = 3mn + 3m. Didapat
a + (mn − 1)d ≤ 3mn + 3m (3.7)
Menggunakan Pertidaksamaan 3.6 dan Pertidaksamaan 3.7 untuk mencari batasd, diperoleh
a + (mn − 1)d ≤ 3mn + 3m
⇔ a ≤ 3mn + 3m − (mn − 1)d
⇔ 2m + mn + 3 ≤ 3mn + 3m − (mn − 1)d
⇔ d(mn − 1) ≤ 2mn + m − 3
⇔ d ≤ 2mn + m − 3
mn − 1 (3.8)
Diperhatikan Pertidaksamaan 3.8, untukm, n → ∞, diperoleh
m,n→∞lim
2mn + m − 3
mn − 1 = 2 (3.9)
Dari Pertidaksamaan 3.8 dan 3.9 dapat disimpulkan d ≤ 2mn + m − 3
mn − 1 ≈ 2
Jadi, diperoleh nilaid ≤ 2, sehingga kemungkinan nilainya adalah 1 dan 2.
Menggunakan Pertidaksamaan 3.7, dapat ditentukan batasan nilai bobot terkecila, yakni
1. Untukd = 1
a + (mn − 1)d ≤ 3mn + 3m
⇔ a + mn − 1 ≤ 3mn + 3m
⇔ a ≤ 2mn + 3m + 1
Jadi diperoleh batasan nilaiaadalahmn + 2m + 3 ≤ a ≤ 2mn + 3m + 1. 2. Untukd = 2
a + (mn − 1)d ≤ 3mn + 3m
⇔ a + (mn − 1)2 ≤ 3mn + 3m
⇔ a + 2mn − 2 ≤ 3mn + 3m
⇔ a ≤ mn + 3m + 2
Jadi diperoleh batasan nilaiaadalahmn + 2m + 3 ≤ a ≤ mn + 3m + 2.
Selanjutnya akan ditentukan nilai a berdasarkan nilai d yang terkait. Ditinjau Persamaan 3.5, diubah ke dalam bentuk yang ekuivalen diperoleh
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(m + 1) − (mn − 1)dmn
2mn (3.10)
Nilaia sebagai nilai awal dapat dicari menggunakan Persamaan 3.10 dengan nilai d = 1, 2, yakni
1. Untuk nilaid = 1, Persamaan 3.10 menjadi
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(m + 1) − (mn − 1)mn 2mn
= 3m2n2+ 5m2n + 4mn
2mn = 3mn + 5m + 4
2 (3.11)
Hasil ini tidak bertentangan dengan syarat sebelumnya yang menyatakan mn + 2m + 3 ≤ a ≤ 2mn + 3m + 1, sehingga pelabelan dapat dilakukan pada graf multistar untuk pelabelan total tak ajaib sisi, yakni 3mn+5m+42 , 1.
2. Untuk nilaid = 2, Persamaan 3.10 menjadi
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(m + 1) − (mn − 1)2mn 2mn
= 2m2n2+ 5m2n + 5mn
2mn = 2mn + 5m + 5
2 (3.12)
Hasil ini tidak bertentangan dengan syarat sebelumnya yang menyatakan mn + 2m + 3 ≤ a ≤ mn + 3m + 2, sehingga pelabelan dapat dilakukan pada graf multistar untuk pelabelan total tak ajaib sisi, yakni 2mn+5m+52 , 2.
3.4. Pelabelan Jenis II : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terbesar
Pelabelan jenis kedua ini, dimulai dengan memberikan label dari titik ujung berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik pusat. Berikut diberikan ilustrasi pelabelan pada2S2dengan memberikan titik pusat nilai terbesar.
Gambar 3.3 Pelabelan dengan label titik pusat nilai terbesar
