Pada bab ini akan dijelaskan proses pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistar menggunakan dua jenis pelabelan, yaitu jenis pertama yakni pemberian bobot terkecil pada titik pusatnya dan jenis kedua yakni pemberian bobot terbesar pada titik pusatnya.
3.1. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi
Sebelum memulai perhitungan dasar pelabelan total tak ajaib sisi, terlebih dahulu diberikan definisi pelabelan total tak ajaib.
Definisi 3.1.1 (Baca, 2003)
Suatu pemetaan bijektif f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, ..., |V | + |E|} disebut pelabelan total tak ajaib dari graf G(V, E) jika bobot dari sisi wf = f (u) + f (uv) + f (v), untuk setiapu, v ∈ V (G)danuv ∈ E(G).
Bobot sisi pada pelabelan total tak ajaib sisi dihitung dengan menjumlahkan semua bobot unsur-unsur pada graf multistar. Ada kemungkinan bobot sisinya bernilai sama, oleh karena itu perlu adanya kondisi sehingga pemberian label bobot pada tiap unsurnya diatur sedemikian sehingga bobot sisinya berbeda. Berikut diberikan definisi pelabelan total tak ajaib sisi.
Definisi 3.1.2 (Wallis, 2001)
MisalH = {1, 2, ..., |V | + |E|}danf merupakan suatu pemetaan bijektif di mana f : V ∪ E → A. Fungsif disebut pelabelan total tak-ajaib sisi dari grafG = (V, E) bila bobot dari semua sisi berbeda.
Bila bobot-bobot sisi pada pelabelan total tak ajaib sisi membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama a dan beda d, maka pelabelannya disebut pelabelan total tak-ajaib sisi(a, d). Berikut diberikan definisi pelabelan total tak ajaib sisi(a, d).
26
Definisi 3.1.3 (Baca,2003)
Suatu pemetaan bijektif f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, ..., |V | + |E|} disebut pelabelan total tak-ajaib sisi (a, d) dari graf G(V, E) jika bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertamaadan bedad, yaitu W = {wf(uv)|uv ∈ E} = {a, a + d, a + 2d, ..., a + (|V | − 1)d}
Pada pelabelan total tak ajaib sisi graf multistar, perhitungan bobot sisi dilakukan dengan cara menjumlahkan total label sisi, titik, dan (n − 1) titik pusatnya, maka diperoleh :
Sw = Se+ Sv+ (n − 1)Sc (3.1) di mana Sw menyatakan jumlah semua bobot sisi, Se menyatakan jumlah semua label sisi,Svmenyatakan jumlah semua label titik ujung, danScmenyatakan jumlah label titik pusat.
3.2. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi pada Multistar
Graf multistar merupakan gabungan beberapa graf starSn. Pada penelitian ini, graf multistar yang digunakan adalah graf multistar yang tidak terhubung. Graf multistar yang terdiri dari m graf star Sn dilambangkan mSn. Berikut diberikan ilustrasi dari graf multistar.
Gambar 3.1 Graf multistar mSn
Graf multistarmSnmempunyai himpunan titik ujungV (mSn) = {xij| 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, himpunan titik pusat C(mSn) = {ci| 1 ≤ i ≤ m}, dan
himpunan sisiE(mSn) = {cixij| 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}. Sehingga graf multistar mSn mempunyaimn + mtitik danmnsisi, dengan total banyak titik dan sisinya adalah2mn + m.
Pemberian label pada graf multistar dapat dilakukan dua cara. Cara yang pertama adalah memberikan nilai label terkecil pada titik pusatnya atau dengan kata lain, pelabelan dimulai dari titik pusat berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik ujungnya. Sedangkan cara yang kedua adalah memberikan nilai label terbesar pada titik pusatnya atau dengan kata lain, pelabelan dimulai dari titik ujung berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik pusatnya.
Kedua cara tersebut memberikan proses pelabelan yang berbeda. Baik dari perhitungan maupun pemberian label pada unsur-unsur graf multistar. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dijelaskan kedua cara atau metode dalam pelabelan total tak ajaib sisi graf multistar.
3.3. Pelabelan Jenis I : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terkecil Pelabelan jenis pertama ini, dimulai dengan memberikan label dari titik pusat berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik ujung. Berikut diberikan ilustrasi pelabelan pada2S2dengan memberikan titik pusat nilai terkecil.
Gambar 3.2 Pelabelan dengan label titik pusat nilai terkecil
Diperhatikan pada Gambar 3.2, pelabelan dimulai dari c1 dan c2 sebagai titik pusat dengan nilai label berturut-turut 1 dan 2. Selanjutnya c2x21, c1x11, c2x22, danc1x21 sebagai sisi dengan nilai label berturut-turut 3, 4, 5, dan 6. Berakhir pada x22, x21, x12, dan x11 sebagai titik ujung dengan nilai label 7, 8, 9, dan 10. Lebih jelasnya dapat diperhatikan pada Tabel 3.1 berikut.
Tabel 3.1 Pelabelan 2S2dengan bobot label titik pusat terkecil
Sebelum memulai proses pelabelan total tak ajaib sisi multistar jenis pertama, terlebih dahulu diberikan definisi pelabelan yang digunakan beserta contohnya.
Definisi 3.3.1 Bila pelabelan multistar mSn dimulai dari titik pusat, maka himpunan label titik pusat adalah c = {1, 2, ..., m}, himpunan label sisi adalah e = {m + 1, m + 2, ..., m + mn}, dan himpunan label titik ujung adalah v = {m + mn + 1, m + mn + 2, ..., m + 2mn}.
Contoh 3.3.2 Misal diberikan graf multistar 2S2, berartim = 2 dann = 2, maka himpunan label titik pusatnya adalah c = {1, 2}, himpunan label sisi adalahe = {3, 4, 5, 6}, dan himpunan label titik ujung adalahv = {7, 8, 9, 10}. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2 dan Tabel 3.1.
Sebelum mencari nilai a sebagai nilai awal suku barisan aritmatika pada pelabelan total tak ajaib sisi(a, d)multistar, terlebih dahulu dihitung bobot sisi-sisi padamSn. Menggunakan Definisi 3.1.1 dan Persamaan 3.1, diperoleh
Sw = Se+ Sv + (n − 1)Sc
Sesuai dengan Definisi 3.3.1, dipilih label untuk titik pusatnya {1, 2, ..., m}.
Sehingga Persamaan 3.2 menjadi
Selanjutnya menurut Definisi 3.1.3, jumlahan bobot total adalah sebagai berikut Sw = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (mn − 1)d) Menggunakan Persamaan 3.3 dan 3.4 diperoleh
mn
3.3.1. Menentukan Nilaiadand
Pada sub bagian ini akan dijelaskan proses menentukan batas nilai a dan d agar graf multistar memenuhi pelabelan total tak ajaib(a, d). Sebab pemberian label titik pusat terkecil atau{1, 2, ..., m}, maka bobot terkecil sisinya adalah total jumlahannya dari label terkecil titik, sisi, dan titik pusatnya, yaitu a ≥ 1 + (m + 1) + (m + mn + 1) = 2m + mn + 3. Sehingga diperoleh pertidaksamaan
a ≥ 2m + mn + 3 (3.6)
Menggunakan Definisi 3.1.3, dengan memperhatikan suku terakhira+(|V |−1)d = a + (mn − 1)d, bobot terbesar dapat ditentukan dengan cara mencari total jumlahan label terbesar titik, sisi, dan titik pusatnya, yaitum + (2mn + m) + (m + mn) = 3mn + 3m. Didapat
a + (mn − 1)d ≤ 3mn + 3m (3.7)
Menggunakan Pertidaksamaan 3.6 dan Pertidaksamaan 3.7 untuk mencari batasd,
Diperhatikan Pertidaksamaan 3.8, untukm, n → ∞, diperoleh
m,n→∞lim
2mn + m − 3
mn − 1 = 2 (3.9)
Dari Pertidaksamaan 3.8 dan 3.9 dapat disimpulkan d ≤ 2mn + m − 3
mn − 1 ≈ 2
Jadi, diperoleh nilaid ≤ 2, sehingga kemungkinan nilainya adalah 1 dan 2.
Menggunakan Pertidaksamaan 3.7, dapat ditentukan batasan nilai bobot terkecila, yakni
Selanjutnya akan ditentukan nilai a berdasarkan nilai d yang terkait. Ditinjau Persamaan 3.5, diubah ke dalam bentuk yang ekuivalen diperoleh
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(m + 1) − (mn − 1)dmn
2mn (3.10)
Nilaia sebagai nilai awal dapat dicari menggunakan Persamaan 3.10 dengan nilai d = 1, 2, yakni
1. Untuk nilaid = 1, Persamaan 3.10 menjadi
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(m + 1) − (mn − 1)mn 2mn
= 3m2n2+ 5m2n + 4mn
2mn = 3mn + 5m + 4
2 (3.11)
Hasil ini tidak bertentangan dengan syarat sebelumnya yang menyatakan mn + 2m + 3 ≤ a ≤ 2mn + 3m + 1, sehingga pelabelan dapat dilakukan pada graf multistar untuk pelabelan total tak ajaib sisi, yakni 3mn+5m+42 , 1.
2. Untuk nilaid = 2, Persamaan 3.10 menjadi
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(m + 1) − (mn − 1)2mn 2mn
= 2m2n2+ 5m2n + 5mn
2mn = 2mn + 5m + 5
2 (3.12)
Hasil ini tidak bertentangan dengan syarat sebelumnya yang menyatakan mn + 2m + 3 ≤ a ≤ mn + 3m + 2, sehingga pelabelan dapat dilakukan pada graf multistar untuk pelabelan total tak ajaib sisi, yakni 2mn+5m+52 , 2.
3.4. Pelabelan Jenis II : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terbesar
Pelabelan jenis kedua ini, dimulai dengan memberikan label dari titik ujung berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik pusat. Berikut diberikan ilustrasi pelabelan pada2S2dengan memberikan titik pusat nilai terbesar.
Gambar 3.3 Pelabelan dengan label titik pusat nilai terbesar
Diperhatikan pada Gambar 3.3, pelabelan dimulai dari x11, x12, x21, dan x22 sebagai titik ujung dengan nilai label berturut-turut 1, 2, 3, dan 4. Selanjutnya c1x12, c1x11, c2x12, danc2x12 sebagai sisi dengan nilai label berturut-turut 5, 6, 7, dan 8. Berakhir pada c2 dan c1 sebagai titik ujung dengan nilai label berturut-turut 9 dan 10. Lebih jelasnya dapat diperhatikan pada Tabel 3.2 berikut.
Tabel 3.2 Pelabelan 2S2dengan bobot label titik pusat terbesar
Unsur Label
Sebelum memulai proses pelabelan total tak ajaib sisi multistar jenis kedua, terlebih dahulu diberikan definisi pelabelan yang digunakan beserta contohnya.
Definisi 3.4.1 Bila pelabelan multistar mSn dimulai dari titik ujung, maka himpunan label titik ujung adalah v = {1, 2, ..., mn}, himpunan label sisi adalah e = {mn + 1, mn + 2, ..., 2mn}, dan himpunan label titik pusat adalah v = {2mn + 1, 2mn + 2, ..., 2mn + m}.
Contoh 3.4.2 Misal diberikan graf multistar 2S2, berartim = 2 dann = 2, maka himpunan label titik ujungnya adalah c = {1, 2, 3, 4}, himpunan label sisinya adalah e = {5, 6, 7, 8}, dan himpunan label titik pusatnya adalah v = {9, 10}. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3 dan Tabel 3.2.
Sebelum mencari nilai a sebagai nilai awal suku barisan aritmatika pada pelabelan total tak ajaib sisi(a, d)multistar, terlebih dahulu dihitung bobot sisi-sisi pada graf multistarmSn.
Menggunakan Definisi 3.1.1 dan Persamaan 3.1, diperoleh
Sesuai dengan Definisi 3.4.1, dipilih label untuk titik pusatnya {2mn + 1, 2mn + 2, ..., 2mn + m}. Sehingga Persamaan 3.13 menjadi
Sw = (2mn + m + 1)(2mn + m)
2 + (n − 1) (2mn + 1) + ... + (2mn + m)
= (2mn + m + 1)(2mn + m)
2 + (n − 1)m(4mn + m + 1)
2 (3.14)
Selanjutnya menurut Definisi 3.1.3, jumlahan bobot total adalah sebagai berikut Sw = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (mn − 1)d) Menggunakan Persamaan 3.14 dan 3.15 diperoleh
mn
3.4.1. Menentukan Nilaiadand
Pada sub bagian ini akan dijelaskan proses menentukan batas nilaiadand agar graf multistar memenuhi pelabelan total tak ajaib(a, d). Sebab pemberian label titik pusat terbesar atau {2mn + 1, 2mn + 2, ..., 2mn + m}, maka bobot terkecil sisinya adalah total jumlahannya dari label terkecil titik, sisi, dan titik pusatnya, yaitua ≥ 1+(mn+1)+(2mn+1) = 3mn+3. Sehingga diperoleh pertidaksamaan
a ≥ 3mn + 3 (3.17)
Menggunakan Definisi 3.1.3, dengan memperhatikan suku terakhira+(|V |−1)d = a + (mn − 1)d, Bobot terbesar dapat ditentukan dengan cara mencari total jumlahan
label terbesar titik, sisi, dan titik pusatnya, yaitu mn + (2mn + m) + (2mn) = 5mn + m. Didapat
a + (mn − 1)d ≤ 5mn + m (3.18)
Menggunakan Pertidaksamaan 3.17 dan Pertidaksamaan 3.18 untuk mencari batas d, diperoleh
a + (mn − 1)d ≤ 5mn + m
⇔ a ≤ 5mn + m − (mn − 1)d
⇔ 3mn + 3 ≤ 5mn + m − (mn − 1)d
⇔ d(mn − 1) ≤ 2mn + m − 3
⇔ d ≤ 2mn + m − 3
mn − 1 (3.19)
Diperhatikan Pertidaksamaan 3.19, untukm, n → ∞, diperoleh
m,n→∞lim
2mn + m − 3
mn − 1 = 2 (3.20)
Dari Pertidaksamaan 3.19 dan 3.20 dapat disimpulkan d ≤ 2mn + m − 3
mn − 1 ≈ 2
Jadi, diperoleh nilaid ≤ 2, sehingga kemungkinan nilainya adalah 1 dan 2.
Menggunakan Pertidaksamaan 3.18, dapat ditentukan batasan nilai bobot terkecila, yakni
1. Untukd = 1
a + (mn − 1)d ≤ 5mn + m
⇔ a + mn − 1 ≤ 5mn + m
⇔ a ≤ 4mn + m + 1
Jadi diperoleh batasan nilaiaadalah3mn + 3 ≤ a ≤ 4mn + m + 1.
2. Untukd = 2
Selanjutnya akan ditentukan nilai a berdasarkan nilai d yang terkait. Ditinjau Persamaan 3.16, diubah ke dalam bentuk yang ekuivalen diperoleh
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(4mn + m + 1) − (mn − 1)dmn 2mn
(3.21) Nilaia sebagai nilai awal dapat dicari menggunakan Persamaan 3.21 dengan nilai d = 1, 2, yakni
1. Untuk nilaid = 1, Persamaan 3.21 menjadi
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(4mn + m + 1) − (mn − 1)mn 2mn
= 7m2n2+ m2n + 4mn
2mn = 7mn + m + 4
2 (3.22)
Hasil ini tidak bertentangan dengan syarat sebelumnya yang menyatakan 3mn + 3 ≤ a ≤ 4mn + m + 1, sehingga pelabelan dapat dilakukan pada graf multistar untuk pelabelan total tak ajaib sisi, yakni 7mn+m+42 , 1.
2. Untuk nilaid = 2, Persamaan 3.21 menjadi
a = (2mn + m + 1)(2mn + m) + (n − 1)m(4mn + m + 1) − (mn − 1)mn 2mn
= 6m2n2+ m2n + 5mn
2mn = 6mn + m + 5
2 (3.23)
Hasil ini tidak bertentangan dengan syarat sebelumnya yang menyatakan 3mn + 3 ≤ a ≤ 3mn + m + 2, sehingga pelabelan dapat dilakukan pada graf multistar untuk pelabelan total tak ajaib sisi, yakni 6mn+m+52 , 2.
Agar lebih mudah untuk dicermati hasilnya, hasil perhitungan dari dua cara pelabelan berdasarkan pemberian nilai labelnya terhadap titik pusat, ditampilkan dalam Tabel 3.3 berikut
Tabel 3.3 Rumus pelabelan total tak ajaib sisi pada graf multistar
Nilaid Label Titik Pusat Terkecil Label Titik Pusat Terbesar
d = 1 a = 3mn+5m+42 a = 7mn+m+42
d = 2 a = 2mn+5m+52 a = 6mn+m+52
Rumus a dan d pada Tabel 3.3 adalah kemungkinan yang berlaku untuk m = 2, 3, 4, ...dann = 2, 3, 4, .... Perlu diperhatikan, bila diperoleh nilaia bukan bilangan bulat, maka untuk nilai d yang dipilih tidak berlaku pelabelan total tak ajaib sisi. Oleh karena itu, perlu dipilih nilaidlainnya.
Berikut diberikan contoh penggunaan rumus pelabelan pada Tabel 3.3.
Contoh 3.4.3 Diberikan graf multistar 2S4. Akan diselidiki nilai a dan d yang berlaku untuk dua jenis pelabelan. Diketahui2S4 maka diperoleh nilaim = 2dan n = 4, sehingga
1. Pelabelan dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil
(a) Untuk nilaid = 1, m = 2, dann = 4diperoleh nilaia = 3(2·4)+5(2)+4
2 =
19. Karena nilaiayang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka pada graf2S4dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(19, 1).
(b) Untukd = 2, m = 2, dann = 4diperoleh nilaia = 2(2·4)+5(2)+5
2 = 1512. Karena nilaiayang diperoleh bukanlah bilangan bulat, maka pada graf 2S4 tidak dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi.
2. Pelabelan dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar
(a) Untuk nilaid = 1, m = 2, dann = 4diperoleh nilaia = 7(2·4)+4+42 = 31. Karena nilaiayang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka pada graf2S4dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(31, 1).
(b) Untuk nilaid = 2, m = 2, dann = 4diperoleh nilaia = 6(2·4)+4+52 = 2712. Karena nilaiayang diperoleh bukanlah bilangan bulat, maka pada graf2S4tidak dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi.
Dapat disimpulkan pada 2S4 dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(19, 1) bila label titik pusatnya diberi nilai terkecil dan (31, 1) bila label titik pusatnya diberi nilai terbesar.
Bila dilihat pada Contoh 3.4.3 nilaiadandyang berlaku hanya salah satu.
Pada graf multistar dapat berlaku dua nilaiadand, seperti pada contoh berikut.
Contoh 3.4.4 Diberikan graf multistar 3S5. Akan diselidiki nilai a dan d yang berlaku untuk dua jenis pelabelan. Diketahui3S5, maka diperoleh nilaim = 3dan n = 5, sehingga
1. Pelabelan dengan pemberian label titik pusat nilai terkecil
(a) Untuk nilaid = 1, m = 3, dann = 5diperoleh nilaia = 3(3·5)+5(3)+4
2 =
32. Karena nilaiayang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka pada graf3S5dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(32, 1).
(b) Untukd = 2, m = 3, dann = 5diperoleh nilaia = 2(3·5)+5(3)+5
2 = 25.
Karena nilai a yang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka pada graf3S5dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(25, 2).
2. Pelabelan dengan pemberian label titik pusat nilai terbesar
(a) Untuk nilaid = 1, m = 3, dann = 5diperoleh nilaia = 7(3·5)+3+42 = 56. Karena nilaiayang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka pada graf3S5dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(56, 1).
(b) Untuk nilaid = 2, m = 3, dann = 5diperoleh nilaia = 6(3·5)+3+52 = 49. Karena nilaiayang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka pada graf3S5dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(49, 2).
Dapat disimpulkan pada 3S5 dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(32, 1) dan (25, 2) bila label titik pusatnya diberi nilai terkecil. Bila label titik pusatnya diberi nilai terbesar dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(56, 1)dan(49, 2).
3.5. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi(a, d)padamSnuntukd = 1dand = 2 Pada subbab sebelumnya didapatkan dua jenis pelabelan total tak ajaib sisi, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 3.3. Akan ditunjukkan keberlakuan dua jenis pelabelan total tak ajaib sisi tersebut untuk nilaid = 1jugad = 2.
3.5.1. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi(a, d)padamSnuntukd = 1
Berikut akan diperlihatkan pelabelan total tak ajaib sisi pada beberapa graf mSn.
Gambar 3.4 Pelabelan total tak ajaib sisi (22, 1) pada 2S5
Pada Gambar 3.4 dapat dilihat label titik pusat {1, 2}, label sisi {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, dan label titik ujung {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22}. Bobot sisinya yakni :
Bobot sisi untuk label3adalah :22 + 3 + 1 = 26 Bobot sisi untuk label4adalah :20 + 4 + 1 = 25 Bobot sisi untuk label5adalah :18 + 5 + 1 = 24 Bobot sisi untuk label6adalah :16 + 6 + 1 = 23 Bobot sisi untuk label7adalah :14 + 7 + 1 = 22 Bobot sisi untuk label8adalah :21 + 8 + 2 = 31
Bobot sisi untuk label9adalah :19 + 9 + 2 = 30 Bobot sisi untuk label10adalah :17 + 10 + 2 = 29 Bobot sisi untuk label11adalah :15 + 11 + 2 = 28 Bobot sisi untuk label12adalah :13 + 12 + 2 = 27
Bila diperhatikan, bobot sisinya membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal 22dan beda antar suku barisannya1, yaitu{22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31}.
Gambar 3.5 Pelabelan total tak ajaib sisi (38, 1) pada 2S5
Pada Gambar 3.5 dapat dilihat label titik ujung {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, label sisi{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, dan label titik pusat{21, 22}. Bobot sisinya yakni :
Bobot sisi untuk label11adalah :10 + 11 + 22 = 43 Bobot sisi untuk label12adalah :5 + 12 + 21 = 38 Bobot sisi untuk label13adalah :9 + 13 + 22 = 44 Bobot sisi untuk label14adalah :4 + 14 + 21 = 39 Bobot sisi untuk label15adalah :8 + 15 + 22 = 45 Bobot sisi untuk label16adalah :3 + 16 + 21 = 40 Bobot sisi untuk label17adalah :7 + 17 + 22 = 46 Bobot sisi untuk label18adalah :2 + 18 + 21 = 41 Bobot sisi untuk label19adalah :6 + 19 + 22 = 47 Bobot sisi untuk label20adalah :1 + 20 + 21 = 42
Bila diperhatikan, bobot sisinya membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal 38dan beda antar suku barisannya1, yakni{38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47}.
3.5.2. Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi(a, d)padamSnuntukd = 2
Berikut akan diperlihatkan pelabelan total tak ajaib sisi pada beberapa graf mSn.
Gambar 3.6 Pelabelan total tak ajaib sisi (9, 2) pada S4
Pada Gambar 3.6 dapat dilihat label titik pusat {1}, label sisi {2, 3, 4, 5}, dan label titik ujung{6, 7, 8, 9}. Bobot sisinya yakni :
Bobot sisi untuk label2adalah :6 + 2 + 1 = 9 Bobot sisi untuk label3adalah :7 + 3 + 1 = 11 Bobot sisi untuk label4adalah :8 + 4 + 1 = 13 Bobot sisi untuk label5adalah :9 + 5 + 1 = 15
Bila diperhatikan, bobot sisinya membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal9 dan beda antar suku barisannya2, yakni{9, 11, 13, 15}.
Gambar 3.7 Pelabelan total tak ajaib sisi (15, 2) pada S4
Pada Gambar 3.6 dapat dilihat label titik ujung {1, 2, 3, 4}, label sisi {5, 6, 7, 8}, dan label titik pusat{9}. Bobot sisinya yakni :
Bobot sisi untuk label5adalah :1 + 5 + 9 = 15
Bobot sisi untuk label6adalah :2 + 6 + 9 = 17 Bobot sisi untuk label7adalah :3 + 7 + 9 = 19 Bobot sisi untuk label8adalah :4 + 8 + 9 = 21
Bila diperhatikan, bobot sisinya membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal 15dan beda antar suku barisannya2, yakni{15, 17, 19, 21}.
3.6. Konstruksi Fungsi Pelabelan Total Tak Ajaib Sisi(a, d)PadamSn
Pada subbab ini akan diselidiki keberlakuan pelabelan total tak ajaib sisi (a, d) pada mSn untuk m ≥ 1 dan n ≥ 2. Menggunakan rumus pada Tabel 3.3 dalam menentukan nilaiadanduntukm, nterkait, dapat ditinjau dari hasilayang diperoleh. Bila nilaia ∈N, maka pelabelan total tak ajaib sisi pada multistar dapat dilakukan. Namun bila diperoleh nilai a /∈ N, maka pelabelan total tak ajaib sisi pada multistar tidak dapat dilakukan.
Selanjutnya akan dilakukan pencarian pola pelabelan total tak ajaib sisi pada mSn. Langkah-langkah dalam konstruksi fungsi pelabelan total tak ajaib sisi(a, d) padamSnadalah sebagai berikut :
1. Menentukan keberlakuan pelabelan total tak ajaib sisi(a, d) untuk m ≥ 1 dann ≥ 2.
2. Melakukan pelabelan.
3. Menghitung bobot sisinya.
4. Mencari pola pelabelan berdasarkan bobot sisinya.
Keempat langkah diatas dikerjakan untuk nilaim = 1, 2, 3, ..., 7dann = 1, 2, 3, ...
untuk mencari konstruksi fungsi pelabelan titik pusat dan sisi dari mSn. Lebih lanjut, proses pencarian pola dapat dilihat pada Tabel 3.4, Tabel 3.5, Tabel 3.6, Tabel 3.7, Tabel 3.8, Tabel 3.9, Tabel 3.10, Tabel 3.11, dan Tabel 3.12 berikut.
Tabel 3.4 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 2
Tabel 3.5 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 3
m = 3
Tabel 3.6 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 4
m = 4
Titik pusat i i = 1, 2, ..., m
Sisi
2i + j + 2 i = 1, 2, 3, 4 n = 2 2i + j + 2 i = 1
n = 3 2i + j + 3 i = 2
2i + j + 4 i = 3 2i + j + 5 i = 4 2i + j + 2 i = 1
n = 4 2i + j + 4 i = 2
2i + j + 6 i = 3 2i + j + 8 i = 4 2i + j + 2 i = 1
n = 5 2i + j + 5 i = 2
2i + j + 8 i = 3 2i + j + 11 i = 4
Tabel 3.7 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 5
m = 5
Titik pusat i i = 1, 2, ..., m
Sisi
2i + j + 3 i = 1, 2, ..., m n = 2 2i + j + 3 i = 1
n = 3 2i + j + 4 i = 2
2i + j + 5 i = 3 2i + j + 6 i = 4 2i + j + 7 i = 5 2i + j + 3 i = 1
n = 4 2i + j + 5 i = 2
2i + j + 7 i = 3 2i + j + 9 i = 4 2i + j + 11 i = 5 2i + j + 3 i = 1
n = 5 2i + j + 6 i = 2
2i + j + 9 i = 3 2i + j + 12 i = 4 2i + j + 15 i = 5
Tabel 3.8 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 6
m = 6
Titik pusat i i = 1, 2, 3, ..
Sisi
2i + j + 4 i = 1, 2, ..., m n = 2 2i + j + 4 i = 1
n = 3 2i + j + 5 i = 2
2i + j + 6 i = 3 2i + j + 7 i = 4 2i + j + 8 i = 5 2i + j + 9 i = 6 2i + j + 4 i = 1
n = 4 2i + j + 6 i = 2
2i + j + 8 i = 3 2i + j + 10 i = 4 2i + j + 12 i = 5 2i + j + 14 i = 6 2i + j + 4 i = 1
n = 5 2i + j + 7 i = 2
2i + j + 10 i = 3 2i + j + 13 i = 4 2i + j + 16 i = 5 2i + j + 19 i = 6
Tabel 3.9 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 7
Tabel 3.10 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 8
Tabel 3.11 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 9
Tabel 3.12 Pelabelan titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 10
Berdasarkan Tabel 3.4, Tabel 3.5, Tabel 3.6, Tabel 3.7, Tabel 3.8, Tabel 3.9, Tabel 3.10, Tabel 3.11, dan Tabel 3.12 dapat dibentuk Tabel 3.13 sebagai berikut.
Tabel 3.13 Rumus umum label titik pusat dan sisi dari mSnuntuk m = 1, 2, ..., 10
Titik Pusat i i = 1, 2, ..., m
m = 10
Titik pusat i i = 1, 2, ..., m
Sisi
2i + j + 8 i = 1, 2, ..., m n = 2
2i + j + 8 i = 1
n = 3, 4, 5, ...
2i + j + (n + 6) i = 2 2i + j + (2n + 4) i = 3 2i + j + (3n + 2) i = 4 2i + j + (4n + 0) i = 5 2i + j + (5n − 2) i = 6 2i + j + (6n − 4) i = 7 2i + j + (7n − 6 i = 8 2i + j + (8n − 8) i = 9 2i + j + (9n − 10) i = 10
Berdasarkan Tabel 3.13 , dapat diperoleh rumus umum pola pelabelan untuk titik pusat adalahi, sedangkan rumus umum pola pelabelan untuk sisi adalah2i + j + (i − 1)n + (m − 2i), sehingga fungsi pelabelan untuk titik pusat dan sisi pada mSn, yakni
f (ci) = i (3.24)
f (cixij) = 2i + j + (i − 1)n + (m − 2i) (3.25) dengani, j = 1, 2, 3, ..., mdanm, n = 2, 3, 4, ....
Fungsi pada Persamaan 3.24 dan 3.25 berlaku untuk sebarang graf mSn dengan m ≥ 2dan n ≥ 2. Selanjutnya, untuk menemukan fungsi pelabelan titik ujung padamSn, terlebih dahulu diperhatikan Tabel 3.14
Tabel 3.14 Pelabelan pada 3S2
Nilaim Label Nilaim Label Nilaim Label Nilaim Label 3 x11 = 11 5 x11 = 18 7 x11 = 25 9 x11 = 32
Diperhatikan pada Tabel 3.14, fungsi pelabelan titik ujung pada mSn, khususnyamS2 untukm = 3, 5, 7, ..., yakni Berikut diberikan contoh pelabelan pada graf multistar.
Contoh 3.6.1 Diberikan graf 13S2, akan dicari pelabelan pada graf 13S2 menggunakan fungsi pelabelan yang telah diperoleh. Diketahui graf multistar
13S2, maka diperoleh nilaim = 13dann = 2. Terlebih dahulu dicari nilaiadand yang berlaku. Menggunakan Tabel 3.3 diperoleh :
1. Untuk nilai d = 1, m = 13 dan n = 2, diperoleh nilai a = 3mn+5m+42 = 3(13·2)+5(13)+4
2 = 7312. Karena nilaiayang diperoleh bukan merupakan bilangan bulat, maka untuk nilaid = 1, m = 13dann = 2pada graf13S2tidak dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi.
2. Untuk nilai d = 2, m = 13 dan n = 2, diperoleh nilai a = 2mn+5m+52 =
2(13·2+5(13)+2)
2 = 61. Karena nilaiayang diperoleh merupakan bilangan bulat, maka untuk nilaid = 1, m = 13dann = 2pada graf13S2 dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi(61, 2).
Dengan demikian, pada graf 13S2 dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi (61, 2). Untuk memberikan label pada titik pusat dapat menggunakan fungsi pelabelan pada Persamaan 3.24, yaitu f (ci) = i, sehingga diperoleh label titik pusatnya :
Untuk memberikan label pada sisi dapat menggunakan fungsi pelabelan pada
Untuk memberikan label pada titik ujung dapat menggunakan fungsi pelabelan pada Persamaan 3.27 dan 3.26, yaitu
f (xi1) =
Bobot sisinya yakni :
Bila diperhatikan bobot pada graf multistar 13S2 membentuk barisan aritmatika naik dengan nilai awal 61 dan beda tiap suku barisan 2, yaitu 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109. Dengan demikian, dapat disimpulkan pada graf multistar 13S2 berlaku
pelabelan total tak ajaib sisi (61, 2). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.8 berikut.
Gambar 3.8 Pola pelabelan total tak ajaib sisi pada 13S2
Fungsi pada Persamaan 3.26 dan 3.27 hanya berlaku untukm = 3, 5, 7, ...
pada mS2, namun tidak berlaku untuk m = 2, 4, 6, ... pada mS2. Bukan berarti padamS2 untukm = 2, 4, 6, ...tidak dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi, tetapi belum ditemukan pola seragam yang memungkinkan dibentuk rumus umum kemudian dicari fungsi pelabelannya. Pada penelitian ini, pencarian pola pelabelan pada mS2 untukm = 2, 4, 6, ...terhenti pada dugaan peneliti, yakni terdapat dua pola berbeda untuk nilaimyang berbeda.
Pola pelabelan yang pertama adalah adanya perulangan pada mS2 untuk m = 4, 8, 12, .... Lebih jelas perhatikan Gambar 3.9 berikut.
Gambar 3.9 (a) (68, 1)–EATL 12S2, (b) (24, 1)–EATL 4S2, dan (c) (46, 1)–EATL 8S2
Pada Gambar 3.9 (b) bila diperhatikan label titik pusatnya dan titik ujungnya, terdapat pola perulangan4 − 2 − 3 − 1. Lebih jelasnya, untuk label titik pusat 4, label titik ujungnya adalah 13 dan 14. Demikian pula untuk label titik pusat 2, label titik ujungnya adalah 15 dan 16. Sehingga diperoleh urutan label titik pusatnya 4 − 2dan label titik ujungnya 13 − 14 − 15 − 16. Hal yang sama juga berlaku untuk label titik pusat3 − 1, label titik ujungnya17 − 18 − 19 − 20.
Pada Gambar 3.9 (c) juga berlaku pola perulangan, dengan pola label pusatnya6 − 8 − 5 − 7 − 2 − 4 − 1 − 3. Namun hal ini tidak berlaku pada Gambar 3.9 (a), meskipun dapat dilakukan pelabelan total tak ajaib sisi. Asumsinya karena belum ditemukan pelabelan yang tepat, mengingat pola pelabelan pada graf tidak tunggal. Melihat pola pada pelabelan 4S2 dan 8S2, keduanya memulai label titik ujung pada label titik pusat ke-m+42 . Untuk4S2diperoleh 4+42 = 4, maka label titik ujungnya dimulai pada label titik pusat4. Sedangkan untuk8S2diperoleh 4+82 = 6, maka label titik ujungnya dimulai pada label titik pusat6. Demikian halnya untuk 12S2, label titik ujungnya semestinya dimulai pada label titik pusat 12+42 = 8.
Pola pelabelan yang kedua adalah adanya pencerminan pada mS2 untuk m = 6, 10, 14, .... Lebih jelas perhatikan Gambar 3.10 berikut.
Gambar 3.10 (a) (79, 1)–EATL 14S2, (b) (35, 1)–EATL 6S2, dan (c) (57, 1)–EATL 10S2
Pada Gambar 3.10 (b) bila diperhatikan label titik pusat dan titik ujungnya, terdapat pola pencerminan 4 − 6 − 5 − 3 − 1 − 2. Lebih jelasnya, untuk label titik pusat 4 label titik ujungnya 19 dan 20, untuk label titik pusat 6 label titik ujungnya 21dan 22, dan untuk label titik pusat 5label titik ujungnya 23dan 24. Sehingga diperoleh urutan label titik pusatnya 4 − 6 − 5dan label titik ujungnya 19 − 20 − 21 − 22 − 23 − 24. Hal serupa juga berlaku untuk label titik pusat3 − 1 − 2 dengan label titik ujung25 − 26 − 27 − 28 − 29 − 30. Pola pencerminan ini terlihat jelas dengan membayangkan adanya garis imajiner yang terletak di antara label titik pusat3dan4, sehingga mencerminkan urutan pola label titik pusatnya, yakni
Pada Gambar 3.10 (b) bila diperhatikan label titik pusat dan titik ujungnya, terdapat pola pencerminan 4 − 6 − 5 − 3 − 1 − 2. Lebih jelasnya, untuk label titik pusat 4 label titik ujungnya 19 dan 20, untuk label titik pusat 6 label titik ujungnya 21dan 22, dan untuk label titik pusat 5label titik ujungnya 23dan 24. Sehingga diperoleh urutan label titik pusatnya 4 − 6 − 5dan label titik ujungnya 19 − 20 − 21 − 22 − 23 − 24. Hal serupa juga berlaku untuk label titik pusat3 − 1 − 2 dengan label titik ujung25 − 26 − 27 − 28 − 29 − 30. Pola pencerminan ini terlihat jelas dengan membayangkan adanya garis imajiner yang terletak di antara label titik pusat3dan4, sehingga mencerminkan urutan pola label titik pusatnya, yakni