BAB II DASAR TEORI
2.4 Deskripsi Umum
T0,0 T0,1 . T0,N−2 T0,N−1 T1,0 . . . T0,N−2 . . . . . TN−2,0 . . . T0,1 TN−1,0 TN−2,0 . T1,0 T0,0
Gambar 2.1 Ilustrasi Struktur Matriks Toeplitz
memiliki dimensi N × N dengan submatriks Mt pada bagian diagonal kanan bawah dengan dimensi N − 1 × N − 1 memenuhi struktur Matriks Toeplitz sehingga dapat dikatakan matriks M t merupakan matriks yang memiliki submatriks berjenis Matriks Toeplitz khususnya pada bagian diagonal kanan bawah. Matriks ini juga memiliki sifat khusus yang setelah dilakukan perkalian pada setiap tahapannya selalu menghasilkan matriks berjenis Matriks Toeplitz secara konsisten.
2.4 Deskripsi Umum
Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai deskripsi-deskripsi umum yang terdapat pada tugas akhir ini.
2.4.1 Matriks Toeplitz
Matriks Toeplitz merupakan suatu matriks yang hasil penurunan diagonal dari kiri ke kanan adalah sama. Jika TN merupakan Matriks Toeplitz dengan dimensi N×N dan Ti,jmerupakan elemen dari matriks T pada posisi i, j maka Ti,j = Ti+1,j+1dengan 0 ≤ i, j < N . Gambar 2.1 merupakan gambaran dari struktur suatu Matriks Toeplitz yang memiliki dimensi N× N.
2.4.2 Matriks Transformasi
Matriks transformasi secara umum merupakan matriks yang dilihat sebagai transformasi yang memetakan x padaRnke dalam y pada Rm[3]. Pada kasus permasalahan ini matriks transformasi Mtakan memetakan ⃗V ke dalam konfigurasi akhir ⃗V′ untuk satu putaran
komunikasi dan dinyatakan sebagai Mt : ⃗V → ⃗V′. Jika ⃗V
memiliki dimensi N maka ⃗V′ memiliki dimensi N juga sehingga
Mt:RN → RN untuk dimensi Mtadalah N× N [3]. 2.4.3 Pemangkatan Modular
Pemangkatan modular merupakan teknik untuk memangkatkan suatu bilangan x pangkat y dalam modulus p atau dinyatakan dalam xy mod p. Pemangkatan modular ini memiliki kompleksitas O(log N) dengan cara merubah bilangan pemangkat yaitu y menjadi basis biner lalu dilakukan perkalian bertahap [4].
2.4.4 Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi fourier diskrit merupakan transformasi dari deret x0, x1, x2, . . . , xN−1 menjadi deret bilangan
kompleks X0, X1, X2, . . . , XN−1 dinyatakan sebagai Xk = ∑N−1
n=0 xne−i2πkn/N. Transformasi Fourier digunakan
dalam melakukan analisa dari kejadian berulang. Transformasi Fourier melakukan transformasi domain waktu ke domain frekuensi [2].
Transformasi Fourier Diskrit ini digunakan dalam melakukan transformasi polinomial dari representasi koefisien menjadi representasi titik agar dapat dilakukan perkalian dengan cepat. Perkalian polinomial dalam representasi koefisien adalah O(N2) sedangkan pada representasi titik hanya membutuhkan O(N ).
2.4.5 Inversi Transformasi Fourier Diskrit
Inversi Transformasi Fourier Diskrit merupakan transformasi yang mengembalikan hasil dari transformasi fourier pada domain frekuensi menjadi domain waktu kembali [2]. Inversi dari Transformasi Fourier dinyatakan sebagai xk=∑N−1
n=0 Xnei2πkn/N.
Inversi Transformasi Fourier Diskrit ini akan mengembalikan deret bilangan kompleks pada domain frekuensi menjadi domain waktu kembali. Pada perkalian polinomial, inversi dari Transformasi Fourier dilakukan untuk merubah representasi titik dari polinomial setelah dilakukan perkalian secara O(N) menjadi bentuk polinomial dengan representasi koefisien kembali [5].
2.4.6 Transformasi Fourier Cepat
Transformasi Fourier Cepat merupakan algoritma untuk melakukan Transformasi Fourier Diskrit secara cepat yang ditemukan oleh Cooley-Tukey. Transformasi Fourier Cepat atau biasa disebut dengan FFT (Fast Fourier Transform) [6]. FFT memungkinkan proses Transformasi Fourier berjalan dengan kompleksitas O(N log N).
Transformasi Fourier Cepat memiliki dua pendekatan dalam memecah masalah menjadi sub-masalah. Salah satunya adalah desimasi terhadap waktu dan desimasi terhadap frekuensi. Pada desimasi terhadap waktu, pemecahan masalah didasari atas memecah permasalahan menjadi dua yaitu deret sampel saat waktu ganjil dan saat waktu genap. Pada desimasi terhadap frekuensi, pemecahan masalah didasari atas memecah permasalahan menjadi dua yaitu deret waktu setengah awal dan setengah akhir [2]. Berikut adalah FFT dengan desimasi terhadap waktu yang membutuhkan pengurutan secara bit reverse terlebih dahulu untuk
mendapatkan hasil FFT secara berurut.
Xk=
N∑−1 n=0
xne−i2πkn/N, k = 0, 1, 2, . . . , N− 1. (2.2)
Pada persamaan 2.2, e−i2πkn/Nsama dengan Nthroot of unity ke-k yaitu ωknN maka dapat ditulis menjadi seperti persamaan 2.3.
Xk =
N∑−1 n=0
xnωNkn, k = 0, 1, 2, . . . , N− 1. (2.3)
Dengan menggunakan desimasi waktu, maka persamaan dapat dipecah menjadi dua bagian yaitu bagian sampel dengan waktu ganjil dan genap menjadi persamaan 2.4.
Xk= N 2−1 ∑ n=0 x2nωk(2n)N +ωrN N 2−1 ∑ n=0 x2n+1ωNk(2n), k = 0, 1, 2, . . . , N−1. (2.4) Menggunakan identitas ωN /2 = ωN2 maka 2.4 dapat diubah menjadi persamaan 2.5. Xk = N 2−1 ∑ n=0 x2nωknN 2 + ωNr N 2−1 ∑ n=0 x2n+1ωknN 2 , k = 0, 1, 2, . . . , N− 1. (2.5) Maka dapat dilihat penjumlahan dari persamaan 2.5 merupakan DFT dari ukuran N /2, bagian pertama melibatkan himpunan suku ganjil{x2n|n = 0, 1, . . . , N/2 − 1}, dan bagian kedua melibatkan himpunan suku genap{x2n+1|n = 0, 1, . . . , N/2 − 1}. Jika kita
nyatakan yn = x2n dan zn = x2n+1 maka didapatkan hasil pada 2.6 dan 2.7. Yk= N 2−1 ∑ n=0 ynωNkn, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.6) Zk= N 2−1 ∑ n=0 znωNkn, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.7)
Ketika persamaan 2.6 dan 2.7 diselesaikan secara rekursif maka akan didapatkan bahwa setengah suku awal adalah sama seperti yang ditunjukkan pada 2.8.
Xk = Yk+ ωNkZk, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.8) Dengan menggunakan ω N 2+k N = −ωk N dan ω N 2 N 2 = 1, maka sisa setengah suku akhir adalah sesuai persamaan pada 2.9.
Xk+N
2 = Yk− ωk
NZk, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.9) Proses komputasi dari persamaan 2.8 dan 2.9 merupakan operasi yang disebut dengan operasi kupu-kupu Cooley Tukey [6].
2.4.7 Roots of Unity
Roots of unity adalah n bilangan kompleks yang memenuhi zn= 1. Untuk Transformasi Fourier Xk = ∑N−1
n=0 xne−i2πkn/N, ω N ≡ e−i2π/Nsehingga Xk=∑N−1
n=0 xnωNkndengan ωN merupakan Nth roots of unity. Pencarian e−i2π/N juga dapat diselesaikan dengan
ωNN = 1 ωNN +k = ωk N ωNN /2=−1 ωNN /2+k=−ωk N
Gambar 2.2 Properti Roots of Unity pada FFT
sin(−2π/N) [2]. Roots of unity ini menjadi pilihan titik-titik yang dijadikan dasar pada evaluasi polinomial [2].
Beberapa properti penting dari pemilihan titik pada FFT didasari oleh roots of unity adalah seperti pada Gambar 2.2.
2.4.8 Konvolusi
Konvolusi secara umum merupakan operasi matematika yang menerima suatu fungsi f (x) dan g(x) untuk menghasilkan fungsi ketiga yang fungsi ketiga ini merupakan integral dari perkalian titik dari kedua fungsi dengan fungsi f (x) akan digeser di atas fungsi g(x) dan dinyatakan dengan f ∗ g [2]. Secara diskrit, konvolusi dapat dinyatakan sebagai persamaan 2.10.
c[k] =
n+k
∑
n=0
a[k]b[k− n] (2.10)
Konvolusi pada domain waktu ekuivalen dengan perkalian dikawasan frekuensi dan konvolusi pada domain frekuensi ekuivalen dengan perkalian pada domain waktu [Bracewell, 1965].
2.4.9 Polinomial
Polinomial merupakan pernyataan matematika yang menyatakan jumlahan dari beberapa perkalian dari sebuah variabel konstan dengan koefisiennya [3]. Secara umum polinomial dinyatakan seperti persamaan 2.11. fN(x) = N ∑ i=0 aixi (2.11)
Pangkat tertinggi dari variabel x dari fungsi f (x) disebut dengan orde atau derajat dari polinomial. Sebuah polinomial f (x) dengan orde a dan g(x) dengan orde b jika dilakukan perkalian maka akan menghasilkan h(x) dengan orde a + b.
2.4.10 Optimasi FFT untuk Komputasi Bilangan Real Optimasi pada FFT untuk bilangan real adalah dengan memanfaatkan bagian bilangan imajiner dari FFT. Dua perhitungan dapat dijadikan satu proses FFT dengan cara menyisipkan fungsi kedua kedalam bagian imajiner fungsi pertama. Setelah dilakukan komputasi FFT, selanjutnya adalah ekstraksi hasil, dikarenakan pada tahap ini hasil dari FFT kedua fungsi tersebut bercampur. Optimasi ini memberikan kenaikan peforma untuk komputasi yang membutuhkan banyak perhitungan FFT sekaligus, terutama dalam perkalian polinomial dengan koeifisien dari polinomial berupa bilangan real tanpa imajiner [5].
2.4.11 Representasi Titik Polinomial
Suatu polinomial f (x) dapat direpresentasikan sebagai suatu himpunan pasangan (x, y) dengan y = f (x) untuk suatu x merupakan suatu bilangan sembarang. Pada representasi titik, polinomial dapat dikembalikan kebentuk representasi koefisien
dengan cara melakukan interpolasi terhadap titik-titik pasangan (x, y) pada suatu himpunan titik f (x).
Untuk suatu polinomial dengan representasi koefisien dapat diubah kedalam representasi titiknya dengan cara melakukan Transformasi Fourier dari f (x). Transformasi Fourier akan menghasilkan suatu himpunan hasil pasangan (x, y = f (x)) dengan x merupakan roots of unity.
f (x) = {(x0, y0), (x1, y1), (xi, yi), . . . , (xN, yN)} dengan i = 0, 1, 2, . . . , N dan xi = ωNi dan ωiN merupakan bilangan roots of unity ke-i dari Nthroots of unity.
Hasil dari representasi titik Transformasi Fourier dapat dikembalikan kedalam representasi koefisiennya dengan cara melakukan Inversi Transformasi Fourier [2].
2.4.12 Perkalian Polinomial dengan FFT
Perkalian polinomial AN(x) dengan BN(x) dengan FFT dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini :
1. Preproses Melakukan penambahan nilai 0 pada polinomial AN(x) apabila polinomial tidak memiliki orde hasil pangkat dua.
2. Preproses Melakukan penambahan nilai 0 pada polinomial BN(x) apabila polinomial tidak memiliki orde hasil pangkat dua.
3. Evaluasi FFT Melakukan evaluasi FFT dari polinomial AN(x) dengan FFT pada 2N + 1 roots of unity.
4. Evaluasi FFT Melakukan evaluasi FFT dari polinomial BN(x) dengan FFT pada 2N + 1 roots of unity.
5. Perkalian Titik Melakukan perkalian titik dari CN(x) = AN(x)BN(x) pada 2N + 1 titik.
Gambar 2.3 Ilustrasi Perkalian dengan FFT pada Polinomial
6. Inversi FFT Melakukan interpolasi titik dari CN(x) pada 2N + 1 titik untuk mendapatkan polinomial dalam representasi koefisien kembali.
Ilustrasi 2.3 merupakan gambaran dari bagaimana FFT dapat melakukan perkalian polinomial yang sebelumnya memiliki kompleksitas O(N2) menjadi O(N log N) dengan membawa polinomial ke representasi titiknya untuk dilakukan perkalian titik