KESIMPULAN

Bab ini berisi kesimpulan yang didapat dari hasil uji coba yang telah dilakukan.

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai dasar teori yang menjadi dasar pengerjaan Tugas Akhir ini.

2.1 Deskripsi Permasalahan

Diberikan N simbol yang menyatakan urutan warna suatu kucing dari posisi 1 sampai N dengan konfigurasi dari N simbol tersebut dinyatakan dalam vektor ⃗V =⟨V0, V₁, V_i, . . . , V_N−1⟩ dengan 0 ≤ i < N dan V_i ∈ {R, G, W }. Simbol R, G, dan W menyatakan warna dari kucing yaitu merah, hijau, dan putih.

Kucing-kucing tersebut berada dalam barisan yang tersusun secara melingkar dan mereka akan berkomunikasi ke kucing tepat di sebelah kanannya. Kucing Vi akan berkomunikasi dengan kucing V_{(i+1) mod N} dan seterusnya hingga kucing terakhir yaitu V_N−1

akan berkomunikasi dengan VN mod N.

Untuk kucing V_i yang melakukan komunikasi dengan kucing V_{(i+1) mod N}, kedua kucing ini akan mengalami perubahan warna. Warna kucing Vi dan V_{(i+1) mod N} akan berubah warna menjadi suatu warna yang belum muncul dari kedua kucing tersebut apabila warna dari kedua kucing tersebut berbeda, jika warna dari kedua kucing tersebut sama maka tidak akan terjadi perubahan warna. Secara matematis perubahan warna ini dapat diformulasikan menjadi persamaan 2.1.

V_i= V_{(i+1) mod N} =              {R, G, W }

−{Vi, V_{(i+1) mod N}} , jika

V_i ̸= V(i+1) mod N V_{(i+1) mod N} , jika

Vi = V_{(i+1) mod N} (2.1) Kucing-kucing tersebut akan melakukan komunikasi sebanyak K putaran. Komunikasi telah mengalami satu putaran komunikasi jika kucing V0 berkomunikasi dengan V1, Vi telah berkomunikasi dengan V_i+1, hingga V_N−1 ^{berkomunikasi kembali dengan V}0. Diberikan N konfigurasi warna kucing dan K merupakan jumlah putaran komunikasi yang dilakukan. Tentukan konfigurasi akhir warna kucing-kucing tersebut.

Sebagai contoh, Tabel 2.1 merupakan contoh untuk K = 4 dan N = 5 dengan konfigurasi awal kelima kucing tersebut adalah ⟨GRGRG⟩. Pada setiap putarannya, kucing akan saling berkomunikasi ke kucing sebelah kanannya hingga kembali ke posisi awal yaitu kucing ke-0. Tabel 2.2 menunjukkan perubahan warna kucing untuk satu putaran dari konfigurasi ⟨GRGRG⟩ secara bertahap. Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa transformasi untuk satu putaran dari kucing dengan konfigurasi ⟨GRGRG⟩ adalah ⟨W RRW W ⟩. Maka untuk konfigurasi akhir dari kucing yang telah mengalami K = 4 putaran dapat dilihat dari Tabel 2.1 adalah ⟨W W W GW ⟩.

2.2 Deskripsi Permasalahan Versi Mudah

(COLORCAT)

Besarnya batasan permasalahan ini yaitu K = 30000 dan N = 20000 dengan batas waktu 1 detik untuk setiap kasus uji. Cara mencari konfigurasi akhir dengan teknik brute force tidak memadai jika tanpa optimisasi. Optimisasi dapat dilakukan dengan cara

Tabel 2.1 Contoh Konfigurasi Warna Kucing Setelah K Putaran K ^{Warna Kucing ke-i}

0 1 2 3 4 0 G R G R G 1 W R R W W 2 R W W W R 3 R R G W R 4 W W W G W

Tabel 2.2 Contoh Transformasi Warna Kucing untuk Satu Putaran Secara Bertahap

Langkah ^{Warna Kucing}

0 1 2 3 4 0 G R G R G 1 W W G R G 2 W R R R G 3 W R R R G 4 W R R W W 5 W R R W W

melakukan kompresi dari besarnya N menjadi N′ _{sehingga solusi}

brute force nantinya memiliki kompleksitas akhir O(N′ × K). Tantangan dari solusi ini adalah pada bagian kompresi besarnya N agar kompleksitas akhir kurang dari 10⁸ untuk lolos dari time limit exceeded. Untuk melakukan kompresi, penulis menggunakan metode memoisasi dengan pre-komputasi seluruh kemungkinan transformasi untuk suatu partisi barisan kucing sepanjang L. Untuk jumlah partisi dengan dengan jumlah kucing adalah N menjadi beberapa bagian sepanjang L adalah N′ _{= N /L sehingga}

nantinya brute force dilakukan terhadap hasil kompresi kedalam partisi-partisi ini. Solusi permasalahan dari versi mudah tidak menjadi bahasan dalam tugas akhir ini.

2.3 Deskripsi Permasalahan Versi Sulit (BLCATS)

Besarnya batasan permasalahan ini yaitu K = 109dan N = 50000 dengan batas waktu 5-10 detik untuk setiap kasus uji. Cara mencari konfigurasi akhir dengan menggunakan teknik brute force maupun optimized brute force dengan teknik kompresi dan pre-komputasi seperti permasalahan versi mudah tentu sangat tidak memadai. Melalui riset ini, penulis menemukan bahwa transformasi ini dapat dimodelkan dalam suatu matriks transformasi yang disimbolkan dengan M t. Permasalahan ini dapat dibawa ke dalam bentuk persamaan matematis ⃗V′ _{= ⃗V} × MtK dengan ⃗V merupakan konfigurasi awal dari warna kucing sejumlah N , ⃗V′ _merupakan

konfigurasi akhir dari kucing setelah mengalami K putaran dan M t merupakan matriks transformasi dari permasalahan ini. Permasalahan sebenarnya muncul ketika melakukan penyelesaian

⃗

V′ _{= ⃗V} × MtKdengan pemangkatan dari M t itu sendiri memiliki dimensi yang besar yaitu M t dapat berdimensi N×N dan besarnya pemangkatan yaitu K = 10⁹.

Penulis menemukan bahwa matriks transformasi M t dari permasalahan merupakan suatu matriks khusus. Matriks tersebut

T_N =       T0,0 T0,1 . T0,N−2 T0,N−1 T1,0 . . . T_0,N−2 . . . . . TN−2,0 . . . T0,1 TN−1,0 TN−2,0 . T1,0 T0,0      

Gambar 2.1 Ilustrasi Struktur Matriks Toeplitz

memiliki dimensi N × N dengan submatriks Mt pada bagian diagonal kanan bawah dengan dimensi N − 1 × N − 1 memenuhi struktur Matriks Toeplitz sehingga dapat dikatakan matriks M t merupakan matriks yang memiliki submatriks berjenis Matriks Toeplitz khususnya pada bagian diagonal kanan bawah. Matriks ini juga memiliki sifat khusus yang setelah dilakukan perkalian pada setiap tahapannya selalu menghasilkan matriks berjenis Matriks Toeplitz secara konsisten.

2.4 Deskripsi Umum

Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai deskripsi-deskripsi umum yang terdapat pada tugas akhir ini.

2.4.1 Matriks Toeplitz

Matriks Toeplitz merupakan suatu matriks yang hasil penurunan diagonal dari kiri ke kanan adalah sama. Jika T_N merupakan Matriks Toeplitz dengan dimensi N×N dan Ti,jmerupakan elemen dari matriks T pada posisi i, j maka Ti,j = Ti+1,j+1dengan 0 ≤ i, j < N . Gambar 2.1 merupakan gambaran dari struktur suatu Matriks Toeplitz yang memiliki dimensi N× N.

2.4.2 Matriks Transformasi

Matriks transformasi secara umum merupakan matriks yang dilihat sebagai transformasi yang memetakan x padaRnke dalam y pada Rm[3]. Pada kasus permasalahan ini matriks transformasi Mtakan memetakan ⃗V ke dalam konfigurasi akhir ⃗V′ _{untuk satu putaran}

komunikasi dan dinyatakan sebagai M_t : ⃗V → ⃗V′_{. Jika ⃗V}

memiliki dimensi N maka ⃗V′ _{memiliki dimensi N juga sehingga}

Mt:RN → RN untuk dimensi Mtadalah N× N [3]. 2.4.3 Pemangkatan Modular

Pemangkatan modular merupakan teknik untuk memangkatkan suatu bilangan x pangkat y dalam modulus p atau dinyatakan dalam x^y mod p. Pemangkatan modular ini memiliki kompleksitas O(log N) dengan cara merubah bilangan pemangkat yaitu y menjadi basis biner lalu dilakukan perkalian bertahap [4].

2.4.4 Transformasi Fourier Diskrit

Transformasi fourier diskrit merupakan transformasi dari deret x₀, x₁, x₂, . . . , x_N−1 ^{menjadi deret bilangan}

kompleks X0, X1, X2, . . . , XN−1 dinyatakan sebagai X_k = ∑_N−1

n=0 x_ne−i2πkn/N_{. Transformasi Fourier digunakan}

dalam melakukan analisa dari kejadian berulang. Transformasi Fourier melakukan transformasi domain waktu ke domain frekuensi [2].

Transformasi Fourier Diskrit ini digunakan dalam melakukan transformasi polinomial dari representasi koefisien menjadi representasi titik agar dapat dilakukan perkalian dengan cepat. Perkalian polinomial dalam representasi koefisien adalah O(N²) sedangkan pada representasi titik hanya membutuhkan O(N ).

2.4.5 Inversi Transformasi Fourier Diskrit

Inversi Transformasi Fourier Diskrit merupakan transformasi yang mengembalikan hasil dari transformasi fourier pada domain frekuensi menjadi domain waktu kembali [2]. Inversi dari Transformasi Fourier dinyatakan sebagai x_k=∑_N−1

n=0 X_ne^i2πkn/N.

Inversi Transformasi Fourier Diskrit ini akan mengembalikan deret bilangan kompleks pada domain frekuensi menjadi domain waktu kembali. Pada perkalian polinomial, inversi dari Transformasi Fourier dilakukan untuk merubah representasi titik dari polinomial setelah dilakukan perkalian secara O(N) menjadi bentuk polinomial dengan representasi koefisien kembali [5].

2.4.6 Transformasi Fourier Cepat

Transformasi Fourier Cepat merupakan algoritma untuk melakukan Transformasi Fourier Diskrit secara cepat yang ditemukan oleh Cooley-Tukey. Transformasi Fourier Cepat atau biasa disebut dengan FFT (Fast Fourier Transform) [6]. FFT memungkinkan proses Transformasi Fourier berjalan dengan kompleksitas O(N log N).

Transformasi Fourier Cepat memiliki dua pendekatan dalam memecah masalah menjadi sub-masalah. Salah satunya adalah desimasi terhadap waktu dan desimasi terhadap frekuensi. Pada desimasi terhadap waktu, pemecahan masalah didasari atas memecah permasalahan menjadi dua yaitu deret sampel saat waktu ganjil dan saat waktu genap. Pada desimasi terhadap frekuensi, pemecahan masalah didasari atas memecah permasalahan menjadi dua yaitu deret waktu setengah awal dan setengah akhir [2]. Berikut adalah FFT dengan desimasi terhadap waktu yang membutuhkan pengurutan secara bit reverse terlebih dahulu untuk

mendapatkan hasil FFT secara berurut.

X_k=

N∑−1 n=0

x_ne−i2πkn/N_{, k = 0, 1, 2, . . . , N}− 1. (2.2)

Pada persamaan 2.2, e−i2πkn/N_{sama dengan N}throot of unity ke-k yaitu ω^kn_N maka dapat ditulis menjadi seperti persamaan 2.3.

X_k =

N∑−1 n=0

x_nω_N^kn, k = 0, 1, 2, . . . , N− 1. (2.3)

Dengan menggunakan desimasi waktu, maka persamaan dapat dipecah menjadi dua bagian yaitu bagian sampel dengan waktu ganjil dan genap menjadi persamaan 2.4.

X_k= N 2−1 ∑ n=0 x2nω^k(2n)_N +ω^r_N N 2−1 ∑ n=0 x2n+1ω_N^k(2n), k = 0, 1, 2, . . . , N−1. (2.4) Menggunakan identitas ω_{N /2} = ω_N² maka 2.4 dapat diubah menjadi persamaan 2.5. X_k = N 2−1 ∑ n=0 x2nω^knN 2 + ω_N^r N 2−1 ∑ n=0 x2n+1ω^knN 2 , k = 0, 1, 2, . . . , N− 1. (2.5) Maka dapat dilihat penjumlahan dari persamaan 2.5 merupakan DFT dari ukuran N /2, bagian pertama melibatkan himpunan suku ganjil{x2n|n = 0, 1, . . . , N/2 − 1}, dan bagian kedua melibatkan himpunan suku genap{x2n+1|n = 0, 1, . . . , N/2 − 1}. Jika kita

nyatakan y_n = x_2n dan z_n = x_2n+1 maka didapatkan hasil pada 2.6 dan 2.7. Yk= N 2−1 ∑ n=0 ynω_N^kn, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.6) Z_k= N 2−1 ∑ n=0 znω_N^kn, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.7)

Ketika persamaan 2.6 dan 2.7 diselesaikan secara rekursif maka akan didapatkan bahwa setengah suku awal adalah sama seperti yang ditunjukkan pada 2.8.

Xk = Yk+ ω_N^kZk, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.8) Dengan menggunakan ω N 2+k N = −ωk N dan ω N 2 N 2 = 1, maka sisa setengah suku akhir adalah sesuai persamaan pada 2.9.

X_k+N

2 = Yk− ωk

NZk, k = 0, 1, 2, . . . , N /2− 1. (2.9) Proses komputasi dari persamaan 2.8 dan 2.9 merupakan operasi yang disebut dengan operasi kupu-kupu Cooley Tukey [6].

2.4.7 Roots of Unity

Roots of unity adalah n bilangan kompleks yang memenuhi zⁿ= 1. Untuk Transformasi Fourier X_k = ∑_N−1

n=0 x_ne−i2πkn/N_{, ω} N ≡ e−i2π/N_{sehingga Xk=}∑_N−1

n=0 xnω_N^kndengan ωN merupakan N^th roots of unity. Pencarian e−i2π/N _{juga dapat diselesaikan dengan}

ω_N^N = 1 ω_N^{N +k} = ωk N ω_N^{N /2}=−1 ω_N^{N /2+k}=−ωk N

Gambar 2.2 Properti Roots of Unity pada FFT

sin(−2π/N) [2]. Roots of unity ini menjadi pilihan titik-titik yang dijadikan dasar pada evaluasi polinomial [2].

Beberapa properti penting dari pemilihan titik pada FFT didasari oleh roots of unity adalah seperti pada Gambar 2.2.

2.4.8 Konvolusi

Konvolusi secara umum merupakan operasi matematika yang menerima suatu fungsi f (x) dan g(x) untuk menghasilkan fungsi ketiga yang fungsi ketiga ini merupakan integral dari perkalian titik dari kedua fungsi dengan fungsi f (x) akan digeser di atas fungsi g(x) dan dinyatakan dengan f ∗ g [2]. Secara diskrit, konvolusi dapat dinyatakan sebagai persamaan 2.10.

c[k] =

n+k

∑

n=0

a[k]b[k− n] (2.10)

Konvolusi pada domain waktu ekuivalen dengan perkalian dikawasan frekuensi dan konvolusi pada domain frekuensi ekuivalen dengan perkalian pada domain waktu [Bracewell, 1965].

2.4.9 Polinomial

Polinomial merupakan pernyataan matematika yang menyatakan jumlahan dari beberapa perkalian dari sebuah variabel konstan dengan koefisiennya [3]. Secara umum polinomial dinyatakan seperti persamaan 2.11. fN(x) = N ∑ i=0 aixⁱ (2.11)

Pangkat tertinggi dari variabel x dari fungsi f (x) disebut dengan orde atau derajat dari polinomial. Sebuah polinomial f (x) dengan orde a dan g(x) dengan orde b jika dilakukan perkalian maka akan menghasilkan h(x) dengan orde a + b.

2.4.10 Optimasi FFT untuk Komputasi Bilangan Real Optimasi pada FFT untuk bilangan real adalah dengan memanfaatkan bagian bilangan imajiner dari FFT. Dua perhitungan dapat dijadikan satu proses FFT dengan cara menyisipkan fungsi kedua kedalam bagian imajiner fungsi pertama. Setelah dilakukan komputasi FFT, selanjutnya adalah ekstraksi hasil, dikarenakan pada tahap ini hasil dari FFT kedua fungsi tersebut bercampur. Optimasi ini memberikan kenaikan peforma untuk komputasi yang membutuhkan banyak perhitungan FFT sekaligus, terutama dalam perkalian polinomial dengan koeifisien dari polinomial berupa bilangan real tanpa imajiner [5].

2.4.11 Representasi Titik Polinomial

Suatu polinomial f (x) dapat direpresentasikan sebagai suatu himpunan pasangan (x, y) dengan y = f (x) untuk suatu x merupakan suatu bilangan sembarang. Pada representasi titik, polinomial dapat dikembalikan kebentuk representasi koefisien

dengan cara melakukan interpolasi terhadap titik-titik pasangan (x, y) pada suatu himpunan titik f (x).

Untuk suatu polinomial dengan representasi koefisien dapat diubah kedalam representasi titiknya dengan cara melakukan Transformasi Fourier dari f (x). Transformasi Fourier akan menghasilkan suatu himpunan hasil pasangan (x, y = f (x)) dengan x merupakan roots of unity.

f (x) = {(x0, y0), (x1, y1), (xi, yi), . . . , (x_N, y_N)} dengan i = 0, 1, 2, . . . , N dan x_i = ω_Nⁱ dan ωⁱ_N merupakan bilangan roots of unity ke-i dari N^throots of unity.

Hasil dari representasi titik Transformasi Fourier dapat dikembalikan kedalam representasi koefisiennya dengan cara melakukan Inversi Transformasi Fourier [2].

2.4.12 Perkalian Polinomial dengan FFT

Perkalian polinomial A_N(x) dengan B_N(x) dengan FFT dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini :

1. Preproses Melakukan penambahan nilai 0 pada polinomial A_N(x) apabila polinomial tidak memiliki orde hasil pangkat dua.

2. Preproses Melakukan penambahan nilai 0 pada polinomial B_N(x) apabila polinomial tidak memiliki orde hasil pangkat dua.

3. Evaluasi FFT Melakukan evaluasi FFT dari polinomial A_N(x) dengan FFT pada 2N + 1 roots of unity.

4. Evaluasi FFT Melakukan evaluasi FFT dari polinomial B_N(x) dengan FFT pada 2N + 1 roots of unity.

5. Perkalian Titik Melakukan perkalian titik dari C_N(x) = AN(x)BN(x) pada 2N + 1 titik.

Gambar 2.3 Ilustrasi Perkalian dengan FFT pada Polinomial

6. Inversi FFT Melakukan interpolasi titik dari CN(x) pada 2N + 1 titik untuk mendapatkan polinomial dalam representasi koefisien kembali.

Ilustrasi 2.3 merupakan gambaran dari bagaimana FFT dapat melakukan perkalian polinomial yang sebelumnya memiliki kompleksitas O(N2) menjadi O(N log N) dengan membawa polinomial ke representasi titiknya untuk dilakukan perkalian titik [2].

2.5 Strategi Penyelesaian Permasalahan BLCATS

Pada subbab ini akan dipaparkan mengenai strategi penyelesaian masalah klasik pada daring SPOJ dengan kode BLCATS. Secara singkat, strategi penyelesaian masalah dari BLCATS terbagi menjadi tujuh bagian besar yaitu :

1. Pendefinisian transformasi dari masalah dan pengkodean konfigurasi.

2. Perumusan transformasi.

4. Analisis struktur Matriks Toeplitz dalam matriks transformasi.

5. Konvolusi pada perkalian matriks transformasi. 6. Pemangkatan dan perkalian akhir matriks transformasi. Sebagai contoh, pada subbab ini akan digunakan contoh untuk melakukan pencarian konfigurasi akhir untuk barisan kucing sepanjang N = 5, putaran komunikasi sebanyak K = 4, dan konfigurasi warna dari kucing pada barisan adalah {GRGRG}.

Titik utama dari tugas akhir ini adalah cara memodelkan dan melakukan komputasi dari perkalian matriks transformasi yang ukuran dari matriks ini besarnya mencapai 50000 × 50000 agar dapat dilakukan dengan cepat.

2.5.1 Pendefinisan Transformasi dari Masalah dan Pengkodean Konfigurasi

Pada permasalahan klasik SPOJ 24730 Magical Colorful Cats (Hard), jawaban akhir merupakan konfigurasi dari kucing yang dikodekan dalam {R, G, W } setelah mengalami komunikasi sebanyak K putaran komunikasi. Komunikasi dari kucing didefinisikan dengan persamaan 2.1.

Untuk dapat dilakukan perhitungan, warna dari kucing akan dikodekan dengan angka dengan R = 0, G = 1, dan W = 2. Tabel 2.3 adalah tabel konfigurasi warna dari contoh permasalahan setelah dilakukan pengkodean.

Apabila transformasi dinyatakan dengan fungsi f (x, y) = ax + by dengan x = V_i dan y = V_{(i+1) mod N}, maka hasil dari f (x, y) berada pada rentang{0, 1, 2}. Tabel 2.4 merupakan daftar kemungkinan dari semua konfigurasi x dan y terhadap hasil f (x, y) dengan 0≤ x, y ≤ 2.

Tabel 2.3 Pengkodean Warna untuk Barisan Kucing⟨GRGRG⟩ Posisi Warna 1 1 (G) 2 0 (R) 3 1 (G) 4 0 (R) 5 1 (G)

Tabel 2.4 Hasil Transformasi untuk Semua Kemungkinan x dan y untuk f (x, y) x y f (x, y) 0 0 0 0 1 2 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 2 0 1 2 1 0 2 2 2

Mengambil sampel pada Tabel 2.4 pada saat nilai x = 0 dan y = 1 akan didapatkan hasil pada persamaan 2.12 dan 2.13, untuk sampel saat nilai x = 1 dan y = 0 akan didapatkan hasil seperti pada persamaan 2.14 dan 2.15.

0a + 1b≡ 2 (mod 3) (2.12)

1a + 0b≡ 2 (mod 3) (2.14)

a≡ 2 (mod 3) (2.15)

Dari persamaan 2.13 dan 2.15 didapatkan bahwa f (x, y) dapat dinyatakan dengan rumus pada 2.16.

f (x, y) = (2x + 2y) mod 3 (2.16) 2.5.2 Perumusan Transformasi

Sebagai pendahuluan, untuk N = 2 dengan konfigurasi awal ⃗

V₂ = ⟨V0, V₁⟩, warna akhir dari setiap anggota dari ⃗V₂ adalah V0 = V1 = 2(2V0+ 2V1) + 2(2V0+ 2V1) mod 3. Hal ini terjadi karena kucing mengalami transformasi sebanyak dua kali yaitu saat V₀ bertransformasi dengan V₁ dan saat V₁ bertransformasi dengan V0. Transformasi dari kedua kucing tersebut dapat dirumuskan dengan persamaan di bawah ini.

V0 = V1= (2V0+ 2V1) mod 3 (2.17) Setelah kucing V₀ dan V₁ berubah warna menjadi (2V₀ + 2V₁) mod 3 maka selanjutnya kucing V₁ akan bertransformasi dengan V0 kembali. Transformasi antara V1 dan V0 dinyatakan dengan persamaan 2.18 dan dengan menyerdehanakan persamaan maka didapatkan seperti pada persamaan 2.19 dan 2.20.

V1= V0 = (8V0+ 8V1) mod 3 (2.19)

V₁= V₀ = (2V₀+ 2V₁) mod 3 (2.20) Matriks transformasi M t_N merupakan matriks transformasi untuk N kucing, oleh sebab itu jika hasil dari persamaan 2.20 diubah menjadi vektor kolom penyusun matriks, didapatkan M t₂ seperti pada persamaan 2.21. M t₂ = [ 2 2 2 2 ] (2.21) Pencarian konfigurasi warna akhir dari barisan melingkar kucing sepanjang dua dengan konfigurasi awal disimbolkan dengan ⃗V₂ untuk satu putaran didapatkan dengan perhitungan 2.22.

⃗ V′

2 = ⃗V₂M t₂ (2.22)

Apabila transformasi terjadi sebanyak K kali putaran, maka konfigurasi akhirnya didapat dengan cara memangkatkan matriks transformasi sebanyak K kali seperti yang ditunjukkan 2.23.

⃗ V′

2 = ⃗V2M t^K₂ (2.23)

Matriks transformasi yang ditemukan dalam permasalahan untuk N = 2 tidak dapat digunakan untuk sembarang nilai N . Matriks transformasi untuk suatu barisan melingkar kucing sepanjang N bersifat unik.

2.5.2.1 Contoh Transformasi untuk N = 3 dengan Konfigurasi Awal adalah ⃗V₃=⟨V0, V₁, V₂⟩

Transformasi antara V0 dengan V1 didapat dari hasil pada kasus sebelumnya yang ditunjukkan pada persamaan 2.17 sehingga tidak diperlukan perhitungan ulang. Jika pada kasus pencarian matriks transformasi untuk N = 2 transformasi berhenti pada V1 lalu V1

akan bertransformasi dengan V0, maka untuk N = 3 transformasi akan berlanjut ke V₂. Transformasi antara V₁ dan V₂ ditunjukkan pada persamaan 2.24 dan 2.25.

V₁ = V₂= (2V₁+ 2V₂) mod 3 (2.24)

V1= V2 = (2(2V0+ 2V1) + 2V2) mod 3 (2.25) Perlu diketahui, karena V₁ sebelumnya telah bertransformasi dengan V₀ maka nilai V₁ sudah berubah menjadi (2V₀ + 2V₁) mod 3.

V1 = V2 = (4V0+ 4V1+ 2V2) mod 3 (2.26)

V₁ = V₂ = (1V₀+ 1V₁+ 2V₂) mod 3 (2.27) Langkah terakhir dari transformasi adalah transformasi antara kucing terakhir dengan kucing pada posisi pertama yaitu transformasi antara VN−1 dengan V0. Nilai pada V0 sebelumnya sudah berubah menjadi (2V₀ + 2V₁) mod 3 dan nilai V₂ telah berubah menjadi (1V0 + 1V1 + 2V2) mod 3 maka nilai dari V0

ini.

V₂ = V₀ = (2(1V₀+ 1V₁+ 2V₂) + 2(2V₀+ 2V₁)) mod 3 (2.28)

V2 = V0= (6V0+ 6V1+ 4V2) mod 3 (2.29)

V₂ = V₀= (0V₀+ 0V₁+ 1V₂) mod 3 (2.30) Jika kita kumpulkan semua persamaannya dari 2.24 hingga 2.30 maka didapatkan rumus untuk masing-masing V_i dengan 0 ≤ i < N ditunjukkan di bawah ini.

V₀ = (0V₀+ 0V₁+ 1V₂) mod 3 (2.31)

V1 = (1V0+ 1V1+ 2V2) mod 3 (2.32)

V₂ = (0V₀+ 0V₁+ 1V₂) mod 3 (2.33) Jika persamaan pada 2.31, 2.32, dan 2.33 dijadikan vektor kolom penyusun matriks transformasi, maka didapatkan matriks M t3pada 2.34. M t₃ =  ⁰₀ ¹₁ ⁰₀ 1 2 1   _(2.34)

Sama seperti saat jumlah N = 2, konfigurasi akhir dari barisan kucing melingkar dengan konfigurasi awal ⃗V₃ setelah mengalami

K putaran dapat dinyatakan dengan persamaan 2.35. ⃗

V′

3 = ⃗V₃M t^K₃ (2.35)

Untuk mencari matriks transformasi pada barisan kucing sepanjang N dapat dilakukan dengan cara seperti yang sudah dijelaskan di atas. Pencarian persamaan ini kurang aplikatif dalam komputer sehingga perlu cara lain untuk mencari matriks transformasi ini dengan cara yang lebih efisien agar dapat dibangkitkan oleh program secara otomatis.

2.5.2.2 Contoh Pencarian Konfigurasi Akhir untuk N = 5 dengan Konfigurasi Awal Kucing V5 =⟨G, R, G, R, G⟩ Setelah K = 4 Putaran.

Perlu diketahui, persamaan V₀ bertransformasi dengan V₁ sama dengan persamaan 2.27 dan untuk V1 bertransformasi dengan V2

sama dengan persamaan 2.33. Persamaan untuk transformasi kucing V₂ dengan V₃ ditunjukkan pada persamaan di bawah ini.

V2 = V3= (2V2+ 2V3) mod 3 (2.36)

V₂ = V₃= (2(1V₀+ 1V₁+ 2V₂) + 2V₃) mod 3 (2.37)

V2 = V3 = (2V 0 + 2V1+ 1V2+ 2V3) mod 3 (2.38) Persamaan untuk transformasi kucing V3 dengan V4 ditunjukkan pada persamaan berikut.

V3= V4 = (2(2V 0 + 2V1+ 1V2+ 2V3) + 2V4) mod 3 (2.40)

V₃ = V₄= (1V 0 + 1V₁+ 2V₂+ 1V₃+ 2V₄) mod 3 (2.41) Persamaan untuk transformasi terakhir yaitu kucing V4 dengan V0

ditunjukkan pada persamaan di bawah ini.

V₄= V₀ = (2V₄+ 2V₀) mod 3 (2.42)

V4= V0 = (2(1V 0+1V1+2V2+1V3+2V4)+2(2V0+2V1)) mod 3 (2.43)

V4= V0 = (0V0+ 0V1+ 1V2+ 2V3+ 1V4) mod 3 (2.44) Jika dilihat pada persamaan 2.30, 2.38, 2.41, dan 2.44, rumus untuk mencari masing-masing Vi dengan 0 ≤ i < N adalah sebagai berikut.

V0 = (0V0+ 0V1+ 1V2+ 2V3+ 1V4) mod 3 (2.45)

V₁ = (1V₀+ 1V₁+ 2V₂) mod 3 (2.46)

V2= (2V 0 + 2V1+ 1V2+ 2V3) mod 3 (2.47)

V4= (0V0+ 0V1+ 1V2+ 2V3+ 1V4) mod 3 (2.49) Persamaan 2.45 hingga 2.49 diubah menjadi vektor kolom penyusun matriks transformasi M t₅ sehingga didapatkan matriks seperti pada persamaan 2.50.

M t5 =       0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0 0 2 1       ^(2.50)

Perhitungan pencarian konfigurasi akhir ditunjukkan di bawah ini. ⃗ V′ 5 = ⃗V₅M t^K₅ mod 3 (2.51) ⃗ V′ 5 =[ 1 0 1 0 1]       0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0 0 2 1       4 mod 3 (2.52) ⃗ V′ 5 =[ 1 0 1 0 1]       2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1       ^{mod 3 (2.53)} ⃗ V′ 5 =[ 2 2 2 1 2] (2.54)

Dengan mengkodekan bentuk angka menjadi bentuk kode warna kembali maka didapatkan hasil akhir seperti pada persamaan 2.55. ⃗ V′ 5 =[ W W W G W] (2.55) Hasil dari 2.49 merupakan konfigurasi akhir dari ⃗V5 =⟨GRGRG⟩ setelah mengalami transformasi sebanyak empat kali putaran. Pada tahap ini, perlu diketahui bahwa permasalahan sudah dapat diselesaikan tetapi komputasi pemangkatan matriks ini tergolong berat jika dengan batasan permasalahan yaitu N = 50000 dan K = 10⁹. Diperlukan adanya cara lain untuk melakukan komputasi matriks ini.

2.5.3 Pembangkitan Matriks Transformasi

Jika transformasi V_i adalah transformasi setelah mengalami komunikasi dari tetangganya yaitu V_i−1 ^{dan V}i+1 untuk 0 < i < N − 1 dapat dinyatakan sebagai transformasi bagian tengah yang disimbolkan dengan V mid_i dan transformasi V_N−1

dengan V₀ dinyatakan sebagai transformasi bagian akhir yang disimbolkan V endN maka matriks transformasi M tN dapat disusun dari kumpulan vektor kolom yang ditunjukkan pada persamaan 2.56.

M t_N = [V end_N, V mid₁, V mid₂, V mid_i, . . . , V mid_N−2^{, V end}N] (2.56) Dengan menyatakan V midi = (2V midi−1 + 2Vi+1) mod 3 dengan V mid₀ = 2V₀ + 2V₁ untuk i = 1, 2, . . . , N − 1 maka

dapat dilakukan generalisasi seperti pada persamaan 2.57.

V midi= (2ⁱ⁺¹V0+ 2ⁱ⁺¹V1+

i

∑

j=1

2ⁱ−j+1_V

j+1) mod 3 (2.57)

Hasil modulo tiga dari persamaan 2.57 dapat dicari melalui fakta di bawah ini.

2ⁱ≡ 2 (mod 3), i ∈ 2N + 1, i > 0 (2.58)

2ⁱ≡ 1 (mod 3), i ∈ 2N, i > 0 (2.59) Persamaan 2.57 dapat disederhanakan menjadi persamaan saat i bilangan ganjil dan i bilangan genap. Saat i merupakan bilangan ganjil dimisalkan dengan o maka V mid_omenjadi seperti pesamaan 2.60.

V mido= (1V0+1V1+(2V2+1V2+2V3+1V4+· · ·+2Vo+1)) mod 3 (2.60) Saat i merupakan bilangan genap dimisalkan dengan e maka V mid_e menjadi seperti pada persamaan 2.61.

V mide= (2V0+2V1+(1V2+2V2+1V3+2V4+· · ·+2Ve+1)) mod 3 (2.61) Dengan persamaan 2.60 dan 2.61 maka dilihat bahwa untuk i bilangan ganjil, koefisien dari V0dan V1memiliki nilai 1 dan untuk V2 hingga V_N−1 ^{nilai koefisien akan bergantian secara berseling}

memiliki nilai 2 dan untuk V₂ hingga V_N−1 ^{nilai koefisien akan}

bergantian secara berseling antara 1 dan 2.

Seperti yang dijelaskan sebelumnya, V end_N merupakan transformasi akhir yaitu transformasi dari VN−1 dengan V0

maka V endN memiliki rumus seperti yang ditunjukkan pada persamaan 2.62.

V end_N = (2V mid_N−2^{+ 4V}0+ 4V1) mod 3 (2.62) Dengan melihat V end_N membutuhkan perhitungan V mid_N−2

maka permasalahan dapat kita pecah menjadi permasalahan saat N merupakan bilangan ganjil dan saat N merupakan bilangan genap.

Untuk V endN dengan N merupakan bilangan genap dimisalkan dengan ne maka persamaan V endne menjadi seperti pada persamaan 2.63.

V end_ne= (5V₀+5V₁+(2V₂+1V₂+2V₃+1V₄+· · ·+1Vne−1^{)) mod 3}

(2.63) Untuk V endN dengan N merupakan bilangan ganjil yang dimisalkan dengan no maka persamaan V end_no menjadi seperti pada persamaan 2.64.

V end_no = (6V₀+6V₁+(1V₂+2V₂+1V₃+2V₄+· · ·+1Vno−1^{)) mod 3}

(2.64) Dengan menggunakan persamaan 2.65 dan 2.66 maka persamaan 2.63 menjadi 2.67 dan persamaan 2.64 menjadi 2.68.

6≡ 0 (mod 3) (2.66)

V end_ne= (2V₀+2V₁+(2V₂+1V₂+2V₃+1V₄+· · ·+1Vne−1^{)) mod 3}

(2.67)

V end_no= (0V₀+0V₁+(1V₂+2V₂+1V₃+2V₄+· · ·+1Vno−1^{)) mod 3}

(2.68) Dengan melihat persamaan 2.67 dan 2.68 dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk N merupakan bilangan genap, koefisien dari V₀dan V₁ memiliki nilai 2 dan untuk N merupakan bilangan ganjil, koefisien dari V₀ dan V₁ memiliki nilai 0. Koefisien dari V₂ hingga V_N−1

akan bergantian secara berseling antara 2 dan 1 untuk N bilangan genap dan berseling antara 1 dan 2 untuk N bilangan ganjil. Dengan mengaplikasikan penjelasan di atas maka untuk melakukan pembangkitan matriks transformasi sesuai contoh permasalahan dengan N = 5 adalah sebagai berikut :

1. Matriks transformasi yang ingin dibangkitkan adalah M t₅, karena dalam kasus ini N = 5.

2. M t₅dibangun oleh vektor-vektor kolom penyusunnya yaitu [V end₅, V mid₁, V mid₂, V mid₃, V end₅].

3. N bernilai ganjil sehingga V end5 = [0, 0, 1, 2, 1] dengan menggunakan persamaan pada 2.68.

4. Untuk nilai i ganjil pada V mid_i adalah V mid₁ = [1, 1, 2, 0, 0] dan V mid3 = [1, 1, 2, 1, 2] dengan menggunakan persamaan 2.60.

5. Untuk nilai i genap pada V mid_i adalah V mid₂ = [2, 2, 1, 2, 0] dengan menggunakan persamaan 2.61.

6. Dengan menggabungkan nilai V mid dan V end maka didapatkan matriks sesuai dengan 2.50. Sudah terbukti bahwa

cara pembangkitan dapat mencari matriks transformasi dengan benar.

Contoh matriks transformasi untuk N = 2 hingga N = 15 dapat dilihat pada lampiran B. Dengan menggunakan observasi akan terlihat pola dari matriks sesuai dengan penjelasan di atas.

2.5.4 Struktur Matriks Toeplitz dalam Matriks Transformasi

Matriks transformasi M tN merupakan matriks yang dibangun oleh vektor kolom dari persamaan V end dan V mid sesuai dengan persamaan 2.56. Dengan T_a,b merupakan elemen pada matriks M tN pada baris a kolom b dengan 0≤ a, b < N, maka koefisien V_j pada V mid_i dan V end_N untuk 0 ≤ j < N akan membangun nilai pada T_j,i. Dengan memasukkan persamaan 2.56 dan 2.57 pada vektor kolom matriks untuk kolom 1 . . . N − 1 maka didapatkan persamaan di bawah ini.

V mid_o= (1V₀+ 1V₁+ o+1 ∑ j=2 T_j−1,o−1^Vj) mod 3 (2.69) V mide= (2V0+ 2V1+ e+1 ∑ j=2 Tj−1,e−1Vj) mod 3 (2.70)

Persamaan 2.70 adalah persamaan V mid dengan e merupakan simbol saat i bernilai genap sedangkan 2.69 adalah persamaan V_mid dengan o merupakan simbol saat i bernilai ganjil. V mid_e merupakan kombinasi linear dari vektor kolom ke e pada matriks M tN dengan e = 2, 4, 6, 8, . . . dan V mido merupakan kombinasi linear dari vektor kolom ke o pada matriks M t_N dengan o = 1, 3, 5, 7, . . . . Kolom terakhir pada matriks M t_N dibangun oleh vektor kolom V endN maka jika V endN kita masukkan pada

matriks akan menjadi persamaan 2.71 dan 2.72. V endno = (0V0+ 0V1+ no+1∑ j=2 Tj−1,no−1Vj) mod 3 (2.71) V end_ne= (2V₀+ 2V₁+ ne+1∑ j=2 T_j−1,ne−1^Vj) mod 3 (2.72) Pada persamaan 2.69 hingga 2.72 didapatkan kesimpulan bahwa M tN untuk N bernilai ganjil dan N bernilai genap memiliki pola