Digraf Cayley

Misalkan G suatu grup berhingga dan S suatu himpunan bagian dari G yang memban-gun G. Suatu himpunan dari persamaan yang dipenuhi oleh generator yaitu secara lengkap menentukan tabel operasi biner dari G dinamakan himpunan relasi penentu.

Contoh, D4 dibangun oleh S = {ρ, τ} dengan relasi penentu ρ4 = τ² = ρ0 dan ρτ = τρ−1. Grup kuoternion Q8 = {±1, ±i, ±j, ±ij} dibangun oleh S = {i, j} dengan relasi penentu i4 =1, i2 = j²dan ij = −ji.

Diberikan suatu himpunan S yang membangun suatu grup berhingga G. Dikon-struksi suatu graf berarah atau digraf Cayley dari G yang berkaitan dengan S sebagai berikut:

(2) Masing-masing elemen dari S disajikan oleh garis berarah.

(3) Bila c ∈ S disajikan oleh garis berarah →, maka untuk a, b ∈ G, a• → •b mempunyai arti ac = b di G.

(4) Bila c ∈ S dengan c−1=c, maka tanda panah dihapus dari garis yang menyajikan c.

b b b b b [0]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5

Digraf Cayley dari Z₅dengan S = {[1]5} dan → representasi dari [1]5.

b b b b b b (1 3 2) (1 2 3) ρ0 (1 3) (2 3) (1 2)

Digraf Cayley dari grup simetri S3 dengan

S = {(1 2), (1 2 3)} dan → representasi dari (1 2 3), sedangkan − representasi dari (1 2). Perhatikan bahwa dari gambar diagram terlihat bahwa grup simetri S3tidak komutatif.

Latihan

Latihan 3.4.15 Tunjukkan bahwa digraf Cayley dari suatu grup harus memenuhi empat kondisi berikut:

(1) Untuk setiap pasangan titik x dan y ada suatu lintasan yaitu suatu barisan garis terhubung yang mulai dari x berakhir pada y.

(2) Setidaknya ada satu garis dari suatu titik x ke suatu titik y.

(3) Pada masing-masing titik x ada tepat satu garis dari masing-masing jenis garis yang dimulai dari x dan ada tepat satu garis dari masing-masing macam garis yang berakhir pada x.

(4) Bila dua lintasan berbeda dimulai dari suatu titik x dan keduanya berakhir pada titik y, maka dua lintasan yang sama dimulai dari sebarang titik z akan berakhir pada titik yang sama yaitu w.

•

X

Latihan 3.4.16 Konstruksi digraf Cayley dari grup G dan himpunan pembangun S berikut:

(1) G = Z6, S = {[1]6}.

Automorpisma.. 139 (3) G = S3, S = {(1 2), (2 3)}. (4) G = D4, S = {ρ, τ}. (5) G = A4, S = {(1 2 3), (1 2)(3 4)}.

•

X b b b b b b b b b b b

Gambar 3.2: Digraf Cayley

Latihan 3.4.17 Identifikasi grup dan himpunan pembangun dan relasi penentu yang merepresentasikan digraf Cayley diberikan oleh Gambar3.2.

•

X

3.5 Automorpisma

Telah dikaji isomorpisma diantara satu grup dan grup lainnya. Pada bagian ini ditinjau isomorpisma diantara suatu grup dan grup itu sendiri. Suatu hal yang akan dibahas bahwa himpunan isomorpisma ini membentuk suatu grup dalam suatu cara yang wajar.

Contoh 3.5.1 Misalkan akan ditentukan semua isomorpisma yang mungkin dari φ : Z₆→ Z6. Sebagaimana telah diketahui Z6adalah siklik dan [1]6adalah suatu generator dari Z6, yaitu Z6 = h[1]6i. Maka menurut Proposisi3.2.6 didapat, bila φ adalah suatu isomorpisma dari G ke G′, maka |φ(a)| = |a| untuk semua a ∈ G. Jadi |φ([1]6)| = |[1]6| = 6. Dengan demikian φ([1]6) haruslah suatu generator dari Z6, maka dari itu φ([1]6) = [1]₆ atau φ([1]₆) = [5]₆. Juga, sekali φ([1]₆) diketahui, maka φ secara lengkap dapat ditentukan; sebab φ([2]6) = 2φ([1]6), φ([3]6) = 3φ([1]6) dan seterusnya. Jadi, ada tepat dua isomorpisma. Misalkan φ0 adalah pemetaan identitas, yaitu

φ0([n]6) = [n]6, _{∀[n]6 ∈ Z6} dan φ1adalah isomorpisma yang diberikan oleh

Sekarang, tinjau himpunan {φ0, φ} dengan operasi komposisi fungsi, didapat φ0◦φ0 = φ0 dan φ0 _{◦ φ1} = φ1 ◦ φ0 = φ1. Lalu bagaimana komposisi φ1 ◦ φ1? Untuk menjawab pertanyaan ini cukup ditentukan nilai dari [1]6 terhadap φ1_{◦ φ1} sebagai berikut:

φ1◦ φ1([1]6) = φ1(φ1([1]6)) = φ1([5]6) = 5[5]6 =[25]6=[1]6 = φ0([1]6).

Jadi, φ_1◦φ1 = φ0. Dengan demikian himpunan {φ0, φ1} terhadap operasi biner komposisi fungsi adalah grup siklik berorder 2.

•

Definisi 3.5.1 Misalkan G adalah suatu grup. Suatu isomorpisma φ : G → G dinamakan

automorpismadari G dan himpunan dari semua automorpisma dari G dinotasikan oleh Aut(G).

•

X

Telah ditunjukkan dalam Contoh 3.5.1 bahwa himpunan Aut(G) adalah suatu grup. Teorema berikut dibuktikan bahwa automorpisma dari suatu grup selalu membentuk suatu grup.

Teorema 3.5.1 Misalkan G adalah suatu grup. Maka Aut(G) membentuk suatu grup terhadap operasi komposisi fungsi.

BuktiSifat tertutup, misalkan φ1, φ2 _{∈ Aut(G) dan tinjau φ1}◦ φ2. Dalam Teorema1.1.1 telah ditunjukkan bahwa komposisi dari fungsi satu menghasilkan fungsi satu-satu dan komposisi dari fungsi pada menghasilkan fungsi pada. Jadi komposisi φ1_{◦ φ2} adalah satu-satu pada dengan demikian untuk menunjukkan φ1_{◦ φ2 ∈ Aut(G) tinggal} menunjukkan φ1_{◦ φ2} adalah homomorpisma. Tetapi hal ini telah ditunjukkan dalam Proposisi3.2.5. Sifat assosiatif juga telah ditunjukkan dalam Teorema1.1.1bahwa kom-posisi dari fungsi adalah asosiatif. Sifat identitas, misalkan φ0 fungsi identitas pada

G, yaitu φ0(a) = a, ∀a ∈ G. Juga dalam Proposisi 3.2.5 telah ditunjukkan bahwa, pemetaan identitas adalah suatu isomorpisma grup pada G. Jadi φ_{0 ∈ Aut(G) dan} memenuhi φ ◦ φ0 = φ = φ0◦ φ, ∀φ ∈ Aut(G). Sifat invers, untuk φ ∈ Aut(G), maka menurut Teorema 1.1.3φ−1 : G → G dijamin ada dan satu-satu pada yang memenuhi φ◦ φ−1 = φ0 = φ⁻¹◦ φ. Tinggal menunjukkan bahwa φ−1adalah suatu homomorpisma. Misalkan a, b ∈ G dan c = φ−1(a), d = φ−1(b). Didapat φ(c) = a, φ(d) = b. Karena φ ho-momorpisma, maka φ(cd) = φ(c)φ(d) = ab. Hal ini berakibat φ−1(ab) = cd = φ−1(a)φ−1(b). Hal ini menunjukkan bahwa φ−1 adalah suatu homomorpisma sebagaimana yang di-inginkan. Dengan demikian lengkap sudah bukti.

•

X

Contoh 3.5.2 Akan ditentukan Aut(Z8). Karena Z8 siklik dengan generator [1]8, maka bila φ sebarang automorpisma haruslah |φ([1]8)| = |[1]8| = 8 dan φ([1]8) juga suatu gener-ator dari Z8. Yaitu φ([1]8) = [1]8atau φ([1]8) = [3]8atau φ([1]8) = [5]8atau φ([1]8) = [7]8. Tetapi, karena sekali nilai φ([1]8) ditentukan, maka φ secara lengkap dapat ditentukan. Sebab secara umum φ([n]8) = nφ([1]8) dan pemetaan ini adalah isomorpisma. Jadi ter-dapat tepat empat automorpisma. Yaitu pemetaan identitas φ1([n]8) = [n]8, _∀[n]8 ∈ Z8,

Automorpisma.. 141 pemetaan φ3([n]8) = 3[n]8, _∀[n]8 ∈ Z8, pemetaan φ5([n]8) = 5[n]8, _{∀[n]8 ∈ Z8} dan pemetaan φ7([n]8) = 7[n]8, _∀[n]8 ∈ Z8. Dalam hal ini, didapat

φ3◦ φ5([n]8) = φ3(φ5([n]8)) = φ3(5[n]8) = 15[n]8 =7[n]8.

Jadi φ3_{◦ φ5} = φ7 ∈ Aut(Z8). Secara umum, didapat bahwa bila i j ≡ k mod 8, maka φi◦ φj = φk ∈ Aut(Z8). Dari apa yang dibahas ini, pemetaan T(φi) = i memberikan suatu isomorpisma diantara Aut(Z8) dengan grup perkalian U(8).

•

Contoh yang baru saja dibahas dapat digeneralisasi untuk sebarang grup siklik G seba-gaimana ditunjukkan dalam teorema berikut.

Teorema 3.5.2 Diberikan grup siklik G dengan order n. Maka Aut(G)  U(n).

Bukti Didefinisikan suatu pemetaan T : Aut(G) → U(n) sebagai berikut. Misalkan

G = hai dimana |a| = n. Tinjau φ ∈ Aut(G), maka untuk sebarang g ∈ G didapat g = ai

untuk beberapa bilangan bulat i dengan 0 ≤ i < n dan φ(g) = φ(ai) = φ(a)i. Terlihat bahwa sekali nilai φ ditetapkan maka φ secara lengkap dapat ditentukan. Sehingga didapat |φ(a)| = |a| = n. Terlihat bahwa φ(a) adalah suatu generator dari G. Maka dari itu menurut Kesimpulan2.3.4φ(a) = a^runtuk berapa r dimana fpb(n, r) = 1 selanjutnya gunakan Teorema 2.3.1 didapat ar = as bila dan hanya bila s ≡ r mod n. Jadi ada suatu s ∈ {q | fpb(n, q) = 1, 0 ≤ q < n} = U(n) yang memenuhi φ(a) = as. Dari yang telah dibahas, dapat ditentukan T(φ) = s, ∀φ ∈ Aut(G), dimana φ(a) = s dan s ∈ U(n). Berikutnya ditunjukkan bahwa T suatu homomorpisma. Bila φ, ψ ∈ Aut(G) dengan φ(a) = asdan ψ(a) = atdimana s, t ∈ U(n), maka didapat

ψ◦ φ(a) = ψ(φ(a)) = ψ(a^s) = ast =a^u, dimana u ≡ st mod n. Jadi

T(ψ ◦ φ) = u = st mod n = ts mod n = T(ψ)T(φ). Pemetaan T adalah satu-satu, sebab bila T(φ) = T(ψ), maka

φ(a) = a^T(φ) =a^T(ψ) = ψ(a),

jadi φ = ψ. Juga, pemetaan T adalah pada, sebab diberikan sebarang s ∈ U(n), maka

as adalah suatu generator dari G, dengan menggunakan Lemma 3.2.1 dapat dipilih pemetaan φ yang memenuhi φ(ai) = ais = (ai)s adalah suatu isomorpisma. Dari sini didapat T(φ) = s.

•

X

Untuk suatu grup siklik G telah diketahui apa bentuk dari Aut(G). Untuk grup komu-tatif taksiklik situasinya lebik kompleks. Untuk grup takkomukomu-tatif, proposisi berikut menunjukkan bagaimana mengkonstruksi berbagai contoh automorpisma.

Proposisi 3.5.1 Misalkan G adalah suatu grup, g ∈ G dan Tg : G → G pemetaan yang didefinisikan oleh Tg(x) = gxg−1, ∀x ∈ G. Maka Tg∈ Aut(G).

BuktiPemetaan Tg adalah homomorpisma, sebab untuk semua x, y ∈ G didapat

Tg(xy) = g(xy)g−1 =(gxg−1)(gyg−1) = Tg(x)Tg(y).

Pemetaan Tgadalah satu-satu, sebab diberikan sebarang x ∈ ker(φ) didapat

Tg(x) = gxg−1 =e,

maka x = g−1eg = g⁻¹g = e. Jadi ker(φ) = {e}. Dengan demikian Tgsatu-satu. Selanjutnya diberikan sebarang y ∈ G, pilih x = g−1yg ∈ G didapat Tg(x) = gxg−1 = gg−1ygg−1 = y. Jadi Tgadalah pada.

•

X

Definisi 3.5.2 Misalkan G adalah suatu grup dan g ∈ G. Maka automorpisma Tg yang didefinisikan oleh T_g(x) = gxg−1, ∀x ∈ G dinamakan suatu inner automorpisma. Him-punan semua inner automorpisma dinotasikan oleh Inn(G).

•

X

Proposisi 3.5.2 Misalkan G adalah suatu grup. Maka Inn(G) adalah suatu subgrup dari Aut(G).

Bukti Inner automorpisma Te adalah elemen identitas, sebab untuk sebarang x ∈ G didapat Te(x) = exe−1 = x. Diberikan sebarang Tg, Th ∈ Inn(G) dan sebarang x ∈ G didapat

T_g◦ Th(x) = T_g(T_h(x)) = T_g(hxh−1) = (gh)x(h−1g⁻¹) = (gh)x(gh)−1=T_gh(x). Jadi Tg◦ Th =Tgh ∈ Inn(G). Diberikan sebarang Tg ∈ Inn(G), maka

T_g−1 ◦ Tg(x) = T_g−1(Tg(x)) = T_g−1(gxg−1) = g−1gxg⁻¹g = x

dan

Tg◦ Tg−1 =Tg(T_g−1(x)) = Tg(g−1xg) = gg−1xgg⁻¹=x.

Jadi T_g−1 ◦ Tg =Te=Tg◦ Tg−1. Dengan demikian T_g−1 adalah invers dari Tg.

•

X

Contoh 3.5.3 Akan ditentukan Inn(D4). Perhatikan bahwa bila g ∈ Z(D4) dimana Z(D4) adalah senter dari D4, maka Tgadalah identitas, sebab

Tg(x) = gxg−1 = gg⁻¹x = ex = x, untuk semua x ∈ D4.

Sebagaimana telah diketahui, senter Z(D4) = {ρ0, ρ2}. Bila g sebarang elemen di D4, didapat T_gρ2 =Tg◦ Tρ2 =Tg(sebab T_ρ2 adalah identitas). Dapat dihitung

T_ρ(ρi τ) = ρ(ρⁱτ)ρ⁻¹ = ρρⁱ(τρ−1) = ρρi(ρτ) = ρi+2 τ T_τ(ρi τ) = τ(ρⁱτ)τ⁻¹ = τρⁱ = ρ⁻ⁱτ T_ρτ(ρi τ) = ρτ(ρⁱτ)τ⁻¹ρ⁻¹ = ρτρⁱ⁻¹ = ρ⁻ⁱ⁺²τ = Tρ(ρ−iτ) = Tρ(T_τ(ρi τ)) = Tρ◦ Tτ(ρi τ).

Automorpisma.. 143 Bila pemetaan identitas dinotasikan oleh T0, maka T0, Tρ, Tτ, Tρτ adalah inner automor-pisma dari D4. Perlu diperhatikan bahwa

D4/Z(D4) = {Z(D4), ρZ(D4), τZ(D4), ρτZ(D4)}.

Terlihat ada keterkaitan diantara inner automorpisma dari D₄dengan koset dari senter

Z(D4). Kenyataannya keterkaitan ini adalah suatu isomorpisma.

•

Hubungan diantara Inn(G) dan Z(G) yang baru saja dibahas dalam contoh sebelumnya berlaku secara umum untuk sebarang grup.

Teorema 3.5.3 Untuk sebarang grup G, maka Inn(G)  G/Z(G) dimana Z(G) adalah senter dari G.

BuktiMisalkan χ : G → Inn(G) adalah pemetaan didefinisikan oleh χ(g) = Tg ∈ Inn(G) untuk semua g ∈ G. Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama, cukup ditunjukkan bahwa χ adalah homomorpisma pada dan ker(χ) = Z(G). Pemetaan χ sebagaimana telah dibahas dalam Proposisi 3.5.2adalah homomorpisma, sebab untuk sebarang g, h ∈ G didapat

χ(gh) = Tgh =Tg◦ Th= χ(g)χ(h).

Lagipula, χ adalah pada sebab χ ∈ Inn(G). Akhirnya, g ∈ ker(χ) bila dan hanya bila χ(g) = Tg adalah pemetaan identitas. Kondisi ini ekivalen dengan gxg−1 = x atau

xg = gxuntuk semua x ∈ G. Jadi g ∈ ker(χ) bila dan hanya bila g komutatif dengan

setiap elemen x ∈ G, hal ini berarti bahwa g ∈ Z(G).

•

X

Latihan

Latihan 3.5.1 Misalkan φ1, φ3, φ5, φ7adalah automorpisma dari Z8sebagaimana dalam Contoh3.5.2. Tunjukkan bahwa bila i j = k mod 8, maka φi◦ φj = φk.

•

X

Latihan 3.5.2 Dengan notasi sebagaimana diberikan dalam Latihan 3.5.1, tunjukkan bahwa pemetaan T : Aut(G) → U(8) didefinisikan oleh T(φi) = i adalah suatu isomor-pisma.

•

X

Latihan 3.5.3 Misalkan G = hai adalah suatu grup siklik berorder 10. Uraikan secara langsung elemen-elemen dari Aut(G).

•

X

Latihan 3.5.4 Misalkan G adalah suatu grup komutatif. Tunjukkan bahwa pemetaan φ : G→ G didefinisikan oleh φ(x) = x−1untuk semua x ∈ G adalah suatu automorpisma dari G.

•

X

Latihan 3.5.6 Tunjukkan bahwa pemetaan φ : S3 _{→ S3} didefinisikan oleh φ(x) = x−1 untuk semua x ∈ S3bukan suatu automorpisma.

•

X

Latihan 3.5.7 Misalkan G adalah suatu grup, H ⊳ G dan φ ∈ Aut(G). Tunjukkan bahwa φ(H) ⊳ G.

•

X

Latihan 3.5.8 Untuk sebarang grup G, tunjukkan bahwa Inn(G) ⊳ Aut(G).

•

X

Latihan 3.5.9 Tunjukkan bahwa Inn(S3)  S3.

•

X

Latihan 3.5.10 Untuk sebarang p prima, tunjukkan bahwa Aut(Zp)  Zp−1.

•

X

Latihan 3.5.11 Misalkan Q8 grup kuoternion. Tunjukkan bahwa Inn(Q8)  V grup-4 Klein. (Petunjuk: tentukan dulu Z(Q8)).

•

X

Latihan 3.5.12 Tunjukkan bahwa Inn(D4)  V grup-4 Klein.

•

X

Latihan 3.5.13 Tunjukkan bahwa |Aut(D4)| ≤ 8.

•

X

Latihan 3.5.14 Bila V adalah grup-4 Klein, maka tunjukkan bahwa Aut(V)  Gl(2, Z2).

•

X

Latihan 3.5.15 Tunjukkan bahwa Aut(D4)  D4.

•

X

Latihan 3.5.16 Tunjukkan bahwa Aut(Q8)  S4.

•

X

Latihan 3.5.17 Tunjukkan bahwa Aut(S3)  S3.

•

X

Latihan 3.5.18 Untuk suatu grup G, suatu subgrup H dari G dinamakan suatu subgrup

karakteristikdari G bila untuk semua φ ∈ Aut(G) didapat φ(H) = H.

1. Tunjukkan bahwa bila H adalah suatu subgrup karakteristik dari G, maka H ⊳ G. 2. Tunjukkan bahwa bila H hanyalah subgrup dari G berorder n, maka H adalah

subgrup karakteristik dari G.

3. Misalkan G adalah suatu grup, H suatu subgrup normal dari G dan K suatu subgrup karakteristik dari H. Tunjukkan bahwa K adalah subgrup normal dari G. 4. Misalkan G adalah suatu grup, H adalah suatu subgrup karakteristik dari G dan

K adalah suatu subgrup karakteristik dari H. Tunjukkan bahwa K adalah suatu subgrup karakteristik dari G.

•

X

Bab

4