Homomorpisma Grup
Proposisi 3.4.1 Misalkan H suatu subgrup normal dari suatu grup G. Maka
(1) Order dari suatu elemen aH dalam G/H adalah bilangan positip terkecil k yang memenuhi ak ∈ H.
(2) Bila G berhingga, maka |G/H| = |G|/|H|.
(3) Bila G grup komutatif, maka G/H komutatif.
(4) Bila G siklik, maka G/H siklik.
Bukti
(1) Misalkan aH ∈ G/H. Karena H adalah elemen netral di G/H order dari elemen aH adalah bilangan positip terkecil k yang memenuhi (aH)k = H, tetapi (aH)k = akH. Hal ini berakibat akH = Hbila dan hanya bila ak ∈ H
(2) Dengan menggunakan Teorema Lagrange 3.1.4 didapat |G| = |H| [G : H], tetapi |G/H| = [G : H]. Sehingga didapat
|G| = |H| [G : H] = |H| |G/H|. Jadi |G/H| = |G|/|H|.
(3) Misalkan G komutatif dan aH, bH ∈ G/H, didapat
aH bH =(ab)H = (ba)H = bH aH.
Terlihat bahwa G/H komutatif.
(4) Misalkan G siklik dan hai, dibuat pemetaan φ : G → G/H diberikan oleh φ(x) =
xH, ∀x ∈ G. Pemetaan φ adalah homomorpisma. Sebab, diberikan sebarang
x, y∈ G, maka x = ai, y = aj untuk beberapa i, j ∈ Z. Didapat
φ(xy) = φ(aiaj) = φ(ai+j) = ai+jH = (ai)(aj)H = aiH ajH = xH yH.
Selanjutnya, diberikan sebarang zH ∈ G/H, maka z = an untuk beberapa n ∈ Z, didapat φ(an) = anH = (aH)n. Tetapi zH = anH. Jadi zH = (aH)n ∈ haHi. Dengan demikian G/H ⊆ haHi. Jelas bahwa haHi ⊆ G/H sebab haHi adalah subgrup dari
G/H. Jadi G/H =haHi. Dengan demikian G/H adalah siklik.
•
XKebalikan proposisi bagian (3) dan (4) yang baru saja dibahas tidak benar sebagaimana diberikan pada contoh berikut.
Contoh 3.4.6 Diberikan subgrup A3 dalam S3. Indeks [S3 : A2] = 2. Jadi grup kuasi
S3/A3 mempunyai order 2, maka dari itu S3/A3 Z2. Sebagaimana telah diketahui Z2 komutatif dan siklik, sedangkan S3tidak komutatif dan tidak siklik.
•
Misalkan φ : Z → Z7 adalah homomorpisma dimana φ(n) = [n]7, ∀n ∈ Z. Maka ker(φ) = 7Z. Dikonstruksi grup kuasi Z/7Z sebagaimana dalam Contoh 3.4.1, dida-pat Z/7Z Z7. Diinginkan memahami lebih baik informasi isomorpisma ini melalui hubungan diantara suatu homomorpisma, image dan kernelnya serta grup kuasi.
Bila φ : G → G′ sebarang pemetaan, maka untuk sebarang himpunan bagian X ⊆ G image dari X oleh φ dinotasikan sebagai φ(X), yaitu
φ(X) ={x′ ∈ G′| x′ = φ(x), untuk beberapa x ∈ X}.
Sejalan dengan ini, untuk sebarang himpunan bagian Y ⊆ G′ preimage dari Y dino-tasikan sebagai φ−1(Y) diberikan oleh
φ−1(Y) = {x ∈ G | φ(x) ∈ Y}.
Contoh 3.4.7 Dipilih 17 ∈ Z dan gunakan homomorpisma φ : Z→ Z7, φ(n) = [n]7, ∀n ∈ Z. Dihitung φ−1sebagai berikut:
φ(17) = [17]7 =[3]7dan φ−1(φ(17)) = [3]7+7Z.
Himpunan [3]7+7Z adalah koset dari kernel dari φ, yaitu 7Z dimana [17]7berada pada [17]7+7Z = [3]7+7Z. Hubungan ini berlaku untuk elemen yang lain di Z. Catatan, khususnya bahwa φ−1(φ(0)) = 7Z = ker(φ).
•
Grup Kuasi.. 131
Proposisi 3.4.2 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dengan ker(φ) = K. Maka untuk sebarang g ∈ G didapat φ−1(φ(g)) = gK.
BuktiPilih y ∈ G′yang memenuhi
φ−1(y) = {x ∈ G | φ(x) = y}.
Hal ini berakibat bahwa untuk sebarang g ∈ G, maka x ∈ φ−1(φ(g)) bila dan hanya bila φ(x) = φ(g). Kondisi ini ekivalen dengan φ(g)−1φ(x) = e′, dimana e′ adalah elemen netral dari G′. Karena φ(g)−1φ(x) = φ(g−1x). Hal ini berakibat bahwa x ∈ φ−1(φ(g)) bila dan hanya bila φ(g−1x) = e′, dengan kata lain bila dan hanya bila g−1x ∈ ker(φ) = K. Kondisi ini ekivalen dengan x ∈ gK. Didapat φ−1(φ(g)) ⊆ gK dan gK ⊆ φ−1(φ(g)). Jadi φ−1(φ(g)) = gK
•
XKesimpulan 3.4.1 Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′. Maka φ−1(φ(e)) = ker(φ).
BuktiHal ini adalah akibat langsung dari Proposisi3.4.2, karena eK = K.
•
XDefinisi 3.4.2 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma. Image φ(G) ={φ(x) | x ∈ G}
sebagaimana telah diketahui adalah subgrup dari G′dan sama dengan G′bila φ pemetaan pada. Dalam hal ini G′ dinamakan suatu Image Homomorpik dari G.
•
XTeorema berikut menunjukkan bahwa ada suatu korespondensi diantara subgrup dan image homomorpik dari suatu grup.
Teorema 3.4.2 (Teorema Isomorpisma Pertama) Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′
dengan ker(φ) = K. Maka
G/K φ(G).
Bukti Dikonstruksi suatu pemetaan χ : G/K → φ(G) sebagai berikut. Diberikan se-barang elemen gK ∈ G/K, maka gK adalah suatu koset dari K dalam G untuk beberapa
g ∈ G. Juga, sebarang elemen dari y ∈ φ(G) memenuhi y = φ(g) untuk beberapa
g ∈ G. Dengan demikian cara yang wajar untuk mendefinisikan suatu pemetaan yang dikonstruksi adalah
χ(gK) = φ(g), ∀gK ∈ G/K.
Perlu diselidiki bahwa pemetaan ini terdefinisi secara baik, dengan kata lain bila g1K = g2K, maka haruslah φ(g1) = φ(g2). Untuk melihat hal ini, bila g1K = g2K, maka g−1
2 g1 ∈ K. Hal ini berakibat
φ(g2)−1φ(g1) = φ(g−1
didapat φ(g1) = φ(g2). Selanjutnya diberikan sebarang g1K, g2K∈ G/K. Maka χ(g1K g2K) = χ(g1g2K) = φ(g1g2) = φ(g1)φ(g2) = χ(g1K)χ(g2K).
Terlihat bahwa χ adalah suatu homomorpisma. Berikutnya, diberikan sebarang elemen
g1K, g2K ∈ G/K dan misalkan χ(g1K) = χ(g2K). Karena χ(g1K) = φ(g1) dan χ(g2K) = φ(g2), didapat φ(g1) = φ(g2). Jadi, dengan menggunakan Proposisi3.4.2didapat
g1K = φ−1(φ(g1)) = φ−1(φ(g2)) = g2K
Hal ini menunjukkan bahwa χ satu-satu. Akhirnya, diberikan sebarang y ∈ φ(G) dapat dipilih x ∈ G yang memenuhi y = φ(x). Karena χ(xK) = φ(x), maka y = χ(xK). Hal ini menunjukkan bahwa χ adalah pada.
•
XContoh 3.4.8 Tentukan apa bentuk dari grup kuasi R/Z? Untuk menjawab pertanyaan ini konstruksi suatu pemetaan φ : R → S1diberikan oleh φ(x) = cos 2πx + i sin 2πx, ∀x ∈ Rdimana S′ grup diberikan dalam Contoh2.1.15. Pemetaan φ adalah homomorpisma sebab, diberikan sebarang x, y ∈ R didapat
φ(x + y) = cos(2π(x + y)) + i sin(2π(x + y)) = cos(2πx + 2πy) + i sin(2πx + 2πy) = (cos 2πx + i sin 2πx)(cos 2πy + i sin 2πy) = φ(x)φ(y).
Pemetaan φ adalah pada sebab diberikan sebarang (cos 2πx+i sin 2πx) ∈ S1dapat dipilih
x∈ R yang memenuhi φ(x) = cos 2πx + i sin 2πx, jadi φ(R) = S1. Kernel dari φ adalah ker(φ) = {x ∈ R | cos 2πx + i sin 2πx = 1} = {x = n ∈ Z} = Z.
Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat R/Z S1.
•
Implikasi dari Teorema Isomorpisma Pertama adalah manifold. Misalnya, diinginkan mendapatkan semua homomorpisma yang mungkin dari suatu grup G ke grup G′yang berbeda dengan G. Tinjau subgrup normal K dari G dan tentukan dari masing-masing homomorpisma apakah G/K isomorpik dengan suatu subgrup dari G′.
Contoh 3.4.9 Misalkan ditentukan untuk mendapatkan semua homomorpisma taktri-vial yang mungkin dari φ : S3 → Z4. Kondisi bahwa φ taktrivial berarti bahwa di-inginkan ker(φ) = K suatu subgrup sejati dari S3. Subgrup normal sejati dari S3 hanya {e} dan A3. Tetapi K = {e} suatu hal yang takmungkin, sebab S3/K = S3dan fakta bahwa
S3/K φ(S3) berakibat |φ(S3)| = 6. Hal ini suatu yang mustahil, karena φ(S3) ⊆ Z4. Jadi
yang mungkin hanya K = A3. Dalam kasus ini, φ(S3) S3/A3 adalah grup berorder 2. Grup Z4adalah siklik, mempunyai subgrup tunggal berorder 2, yaitu h[2]4i = {[0]4, [2]4}. Dengan demikian pemetaan φ diberikan oleh
φ(σ) = [0]4, bila σ ∈ A3 [2]4, bila σ < A3 adalah suatu homomorpisma.
•
Grup Kuasi.. 133
Contoh 3.4.10 Misalkan dicari semua homomorpisma taktrivial yang mungkin dari pemetaan φ : S3 → Z3. Argumentasi dari contoh sebelumnya menunjukkan bahwa kemungkinan suatu subgrup dari Z3 adalah φ(S3) dengan order 2. Tetapi Z3 tidak mempunyai subgrup yang berorder 2. Jadi tidak akan mungkin bisa dikonstruksi suatu homomorpisma dari S3ke Z3.
•
Contoh terakhir memberikan gambaran bagaimana dalam kasus grup berhingga bisa didapat bahwa akibat memanfaatkan teorema isomorpisma pertama; diberikan dua grup yang berbeda tidak akan mungkin bisa dikonstruksi suatu homomorpisma grup.
Proposisi 3.4.3 Misalkan G dan G′adalah grup berhingg a dan φ : G → G′adalah suatu homomorpisma. Maka |φ(G)| membagi |G| dan |G′|.
Bukti Himpunan φ(G) adalah subgrup dari G′, dengan menggunakan teorema La-grange didapat |φ(G)| membagi |G′|. Dari teorema isomorpisma pertama didapat |φ(G)| = |G/ ker(φ)|, tetapi |G/ ker(φ)| = |G|/| ker(φ)|. Jadi |φ(G)| = |G|/| ker(φ)| atau |G| = |φ(G)| | ker(φ)|. Dengan demikian |φ(G)| membagi |G|.
•
XDiberikan suatu grup G dan suatu homomorpisma φ : G → G′, maka K = ker(φ) adalah subgrup normal dari G. Teorema berikut membahas hal yang sebaliknya juga benar.
Teorema 3.4.3 Diberikan suatu grup G dan suatu subgrup normal K dari G, ada suatu homomorpisma pada π : G → G/K dimana ker(π) = K. Pemetaan π dinamakan natural homomorpisma.
Bukti Dikonstruksi π sebagai berikut: untuk setiap g ∈ G berlaku π(g) = gK ∈ G/K. Karena K ⊳ G. Sebagaimana telah diketahui G/K adalah grup dengan operasi g1K g2K = g1g2K. Maka π adalah suatu homomorpisma, sebab
π(g1g2) = g1g2K = (g1K)(g2K) = π(g1)π(g2), ∀g1, g2∈ G.
Dalam grup G/K elemen netral adalah K. Sehingga didapat x ∈ ker(π) bila dan hanya bila π(x) = K dan karena π(x) = xK, didapat x ∈ ker(π) bila dan hanya bila xK = K. Hal ini ekivalen dengan x ∈ K. Jadi ker(π) = K. Pemetaan π adalah pada, sebab setiap elemen dari G/K mempunyai bentuk gK untuk beberapa g ∈ G.
•
XTeorema terakhir yang baru saja dibahas memfaktorkan sebarang homomorpisma dalam dua langkah. Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′dengan ker(φ) = K, misalkan π : G → G/K adalah homomorpisma dari Teorema 3.4.3 dan χ : G/K → G′ adalah homomorpisma dalam bukti dari Teorema 3.4.2. Maka karena untuk sebarang g ∈ G didapat χ(π(g)) = χ(gK) = φ(g), maka φ = χ◦π atau diagram diberikan oleh Gambar3.1 adalah komutatif. Pada akhir bagian ini dibahas teorema Cauchy khusus hanya untuk grup komutatif. Teorema Cauchy yang umum menyatakan bila G suatu grup G mem-punyai order berhingga dan p adalah bilangan prima yang membagi order G, maka G mempunyai suatu elemen berorder p. Teorema ini dibahas pada bab yang lainnya.
G G/K φ χ G′ π
Gambar 3.1: Diagram Komutatif
Teorema 3.4.4 (Teorema Cauchy untuk grup komutatif) Diberikan G suatu grup
