Dimensi Partisi Graf Lengkap Comb Graf Lintasan

BAB III METODE PENELITIAN 21

4.1.3 Dimensi Partisi Graf Lengkap Comb Graf Lintasan

Graf hasil operasi comb antara graf lengkap K_m dengan graf lintasan P_n dihasilkan dari menduplikat graf lintasan P_n sebanyak m simpul di graf lengkap K_mdengan meletakkan salah satu simpul ujung graf lintasanP_npada setiap simpul graf lengkapK_m, maka dapat dikatakan bahwa grafK_m⊲_δP_nmerupakan graf yang terdiri darimkali LintasanP_n.sehingga memiliki himpunan simpulV(K_m⊲_δP_n) =

{yj,i|1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n}dan himpunan sisiE(K_m ⊲_δ P_n) = {yj,1y_j+k,1|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ k ≤ m −j} ∪ {y_j,iy_j,i+1|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n − 1}. Graf K_m⊲_δP_nmemilikinmbuah simpul dan ^m2₂^−m+m(n−1)buah sisi. GrafK_m⊲_δP_n ditunjukkan pada Gambar 4.6 (a).

Pada subbab ini, akan dibahas dimensi partisi pada graf K_m ⊲_δ P_n dengan m, n ∈ Z⁺. Jika m = 2, graf K₂ isomorfik dengan graf lintasan P₂ dan jika n = 1 maka graf hasil operasi comb K_m ⊲_δ P₁ isomorfik dengan graf lengkap K_m sedemikian sehingga order dari graf lengkapK_mdan graf lintasanP_n masing-masing adalah m ≥ 3 dan n ≥ 2. Dalam menentukan dimensi partisi suatu graf K_m ⊲_δ P_n, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf K_m ⊲_δ P_n. Dimensi partisi mensyaratkan semua himpunan simpul elemenΠharus mempunyai kardinalitas yang minimum.

Gambar 4.6: (a) Graf Hasil OperasiK_m⊲_δP_n, (b) Konstruksi Partisi Pembeda Graf K₆⊲_δP₄

Teorema 4.4. Misalkan K_m adalah graf lengkap order m dan P_n adalah graf lintasan order n dengan simpul pelekatan dari P_n yang berderajat satu. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 2, dimensi partisi graf hasil operasi comb K_m ⊲_δ P_n adalah pd(K_m⊲_δP_n) =m.

Bukti: Misalkan grafK_m⊲_δP_nmemiliki himpunan simpulV(K_m⊲_δP_n) = {yj,i|1≤ j ≤m, 1≤i≤n}dan himpunan sisiE(K_m⊲_δP_n) = {yj,1y_j+k,1|1≤j ≤m,1≤ k ≤ m −j} ∪ {y_j,iy_j,i+1|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n −1}. Dimensi partisi graf K_m ⊲_δP_ndenganmnbuah simpul adalahmuntukm≥ 3dann ≥2, dikarenakan untukm = 4 dan n = 2 membentuk suatu pola. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diperoleh bentuk umum dari grafK_m⊲_δP_nuntukm ≥3dann ≥2, sehingga dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi grafK_m⊲_δP_nadalahmdengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan.

Untuk menentukan batas atas dimensi partisi pd(K_m ⊲_δ P_n) dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembedaΠpada graf K_m⊲_δP_n dapat dilihat pada Gambar 4.6 (b). Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 2. Ambil partisi pembeda Π =

{S1, S₂, S₃, ..., Sm}sedemikian sehinggaS_j = {yj,i|1 ≤ j ≤m,1≤ i ≤ n}akan ditunjukkan bahwa semua simpul di grafK_m ⊲_δ P_n mempunyai representasi yang berbeda terhadapΠ. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari grafK_m⊲_δP_nuntukm ≥3dann ≥2, sebagai berikut:

r(yj,i|Π) = (i, ..., i | {z } j−1 ,0, i, ..., i | {z } m−j );jika1≤j ≤m,1≤i≤n

representasi yang berbeda. Jadi Π = {S1, S₂, S₃, ..., Sm} merupakan partisi pembeda dari graf K_m ⊲_δ Pn. Sehingga |Π| = m. Berdasarkan uraian di atas, diperoleh bahwa Π merupakan partisi pembeda dengan kardinalitas Π adalah m. Namun, Π belum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat dikatakan batas atas dimensi partisi dari grafK_m⊲_δP_nadalahpd(K_m⊲_δP_n)≤m. Selanjutnya, untuk menentukan batas bawah dimensi partisi dari graf P_n ⊲_δ C_m didapatkan dengan Lemma 2.2. Sekarang mempertimbangkan bahwa partisi pembeda dari grafK_m⊲_δP_n memiliki kardinalitas kurang darim. Misalkan suatu partisi pembeda dariK_m ⊲_δP_ndengan|Π| =m−1maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama. Untukm ≥ 3dan n ≥ 2 terdiri dari nm buah simpul, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan grafK_m ⊲_δP_ndenganm ≥ 3dann ≥2, dapat dipilih Π = {S₁, S₂, S₃, ..., S_m−1}denganS_j = {yj,i|1 ≤ j ≤ m−1,1 ≤ i ≤ n} dan S_m−1 = {ym,i|1 ≤ i ≤ n}, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama, yaitur(ym,i|Π) = r(y_m−1,i|Π) = (1, ...,1

| {z } m−2

,0). Jadi

Πdengan|Π|=m−1bukan merupakan partisi pembeda.

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh bahwa Π dengan kardinalitas Π sama dengan m − 1 bukan merupakan suatu partisi pembeda. Oleh sebab itu, dapat dikatakan batas bawah dimensi partisi dari grafK_m⊲_δP_nadalahpd(K_m⊲_δP_n)≥m. Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi partisi m ≤ pd(K_m⊲_δP_n)≤m. Jadi dimensi partisi dari grafK_m⊲_δP_nadalahpd(K_m⊲_δP_n) =

muntukm ≥3dann ≥2. ✷

Sekarang, akan membahas dimensi partisi pada grafK_m⊲_∆P_ndenganm, n∈ Z+ dan salah satu simpulv ∈ P_n yang dilekatkan ke setiap simpul u ∈ K_m dan simpul v mempunyai derajat sama dengan dua. Jika m = 2, graf K₂ isomorfik dengan graf lintasanP₂ dan jikan = 2 grafP₂ merupakan graf lintasan dan setiap simpulnya tidak berderajat dua sedemikian sehingga order dari graf lengkap K_m dan graf lintasan P_n masing-masing adalah m ≥ 3 dan n ≥ 3. Graf K_m ⊲_∆ P_n ditunjukkan pada Gambar 4.7 (a). Dalam menentukan dimensi partisi suatu graf K_m ⊲_∆ Pn, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf K_m ⊲_∆ Pn. Dimensi partisi mensyaratkan partisi pembedaΠharus mempunyai kardinalitas yang minimum.

Gambar 4.7: (a) Graf Hasil OperasiK_m⊲_∆P_n, (b) Konstruksi Partisi Pembeda Graf K₆⊲_∆P₆

lintasan order n dengan simpul pelekatan dari P_n yang berderajat dua. Untuk m ≥3dann ≥ 3, dimensi partisi dari sebuah graf hasil operasi combK_m ⊲_∆P_n adalahpd(K_m⊲_∆P_n) = m.

Bukti:Misalkan graf K_m ⊲_∆ P_n memiliki himpunan simpul V(K_m ⊲_∆ P_n) =

{yj,k|1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ p,2 ≤ p ≤ ⌈n

2⌉} ∪ {yj,l|1 ≤ j ≤ m, 2 ≤ l ≤ n− p+ 1,2 ≤ p ≤ ⌈n

2⌉} dan himpunan sisi E(K_m ⊲_∆P_n) = {yj,1y_j+r,1|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ r ≤ m −j} ∪ {yj,ky_j,k+1|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ k ≤ p−1,2 ≤ p ≤ ⌈n

2⌉}∪ {yj,ly_j,l+1|1≤j ≤m,2≤l ≤n−p,2≤p≤ ⌈n

2⌉}∪{yj,1y_j,2|1≤j ≤m}. Dimensi partisi grafK_m⊲_∆P_ndenganmnbuah simpul adalahmuntukm≥3dan n≥3, dikarenakan untukm = 4dann = 3membentuk suatu pola. Tanpa mengu-rangi keumuman, dapat diperoleh bentuk umum dari grafK_m ⊲_∆P_nuntukm ≥ 3

dann≥3, sehingga dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi grafK_m⊲_∆P_nadalah mdengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan.

Untuk menentukan batas atas dimensi partisi pd(K_m ⊲_∆ P_n) dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembedaΠpada grafK_m⊲_∆P_ndapat dilihat pada Gambar 4.7 (b). Ambil partisi pembeda Π = {S₁, S₂, S₃, ..., Sm} sedemikian sehinggaS_j = {y_j,k|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ k ≤ p,2 ≤ p ≤ ⌈n

2⌉}, S_j+1 = {y_j,l|1 ≤ j ≤ m − 1,2 ≤ l ≤ n −p + 1,2 ≤ p ≤ ⌈n

2⌉} dan S₁ = {ym,l|2 ≤ l ≤ n−p+ 1,2≤p≤ ⌈n

2⌉}akan ditunjukkan bahwa semua simpul di grafK_m⊲_∆P_n mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Penulisan representasi setiap simpul dapat dinyatakan dalam bentuk lebih umum yang bergantung pada nilain dan m. Dalam kasus ini, dapat dinyatakan dalam beberapa parameter yaitu nilai k, lyang bergantung pada nilaipdan jua nilaip bergantung pada nilain. Sebagai

ilustrasi, jika diambil nilain = 6maka nilai2≤p ≤ ⌈6

2⌉= 3. Nilaikbergantung pada nilai p sedemikian sehingga jika p = 2 maka 2 ≤ k ≤ 2 atau k ∈ {2} dan untukp= 3maka2 ≤ k ≤ 3atauk ∈ {2,3}. Nilail bergantung pada nilaip sedemikian sehingga jikap= 2maka2≤l≤6−2+1 = 5ataul∈ {2,3,4,5}dan untukp= 3 maka2 ≤ l ≤ 6−3 + 1 = 4ataul ∈ {2,3,4}. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari graf K_m ⊲_∆ P_n untuk m ≥ 3 dan n ≥3, sebagai berikut: r(yj,k|Π) = (k, ..., k | {z } j−1 ,0, k, ..., k | {z } m−j ); jika1≤j ≤m, 1≤k ≤p,2≤p≤ ⌈n 2⌉ r(yj,l|Π) = (l, ..., l | {z } j−1 , l−1,0, l, ..., l | {z } m−j−1 ); jika1≤j ≤m, 2≤l ≤n−p+1,2≤p≤ ⌈n 2⌉ r(ym,l|Π) = (0, l, ..., l | {z } m−2 , l−1); jika2≤l≤n−p+ 1,2≤p≤ ⌈ⁿ₂⌉

Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari graf K_m ⊲_∆ P_n mempunyai representasi yang berbeda. Jadi Π = {S1, S₂, S₃, ..., Sm} merupakan partisi pembeda dari graf K_m ⊲_∆P_n. Sehingga |Π| = m. Berdasarkan uraian di atas, diperoleh bahwaΠmerupakan partisi pembeda dengan kardinalitasΠ adalah m. Namun,Πbelum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat dikatakan batas atas dimensi partisi dari grafK_m⊲_∆P_nadalahpd(K_m⊲_∆P_n)≤m. Selanjutnya, untuk menentukan batas bawah dimensi partisi dari grafP_n⊲_∆C_m dapat mempertimbangkan bahwa partisi pembeda dari graf K_m ⊲_∆ P_n memiliki kardinalitas kurang dari m. Misalkan suatu partisi pembeda dari graf K_m ⊲_∆ P_n adalah m − 1 maka akan terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi koordinat yang sama. Untukm ≥ 3dann ≥ 3terdiri darinmbuah simpul, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan graf K_m ⊲_∆ P_n dengan m ≥ 3 dan n ≥ 3, dapat dipilih

Π = {S₁, S₂, S₃, ..., S_m−1}dengan S_j = {yj,k|1 ≤ j ≤ m −1,1 ≤ k ≤ p,2 ≤ p ≤ ⌈ⁿ₂⌉}, S_j+1 = {yj,l|1 ≤ j ≤ m −2,2 ≤ l ≤ n −p+ 1,2 ≤ p ≤ ⌈ⁿ₂⌉}, S_m−1 ={y_m−1,l|2≤l≤n−p+1,2≤p≤ ⌈n 2⌉}∪{y_m,k|1≤k ≤p,2≤p≤ ⌈n 2⌉} dan S₁ = {ym,l|2 ≤ l ≤ n − p + 1,2 ≤ p ≤ ⌈n

2⌉}, maka dapat kita pilih sebarang simpuly_m−1,1, y_m,1 ∈ S_m−1 dan simpuly_m−1,1, y_m,1 memiliki jarak yang sama terhadap kelas partisiS₁, S₂, ..., S_m−2misalkand(y_m,1, S₁) = d(y_m−1,1, S₁) = 1, d(y_m,1, S₂) = d(y_m−1,1, S₂) = 1, ..., d(y_m,1, S_m−2) = d(y_m−1,1, S_m−2) = 1

sehingga terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama, yaitu r(y_m,1|Π) = r(y_m−1,1|Π) = (1, ...,1

| {z } m−2

,0) dikarenakan simpul y_m,1 dan y_m−1,1 terdapat dalam kelas partisi yang sama. Berdasarkan Lemma 2.2, simpuly_m,1 dan

Gambar 4.8: Graf Hasil OperasiP_n⊲ K_m

y_m−1,1 harus berada pada kelas partisi berbeda. Jadi,Πdengan|Π|=m−1bukan merupakan partisi pembeda.

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh bahwa Π dengan kardinalitas Π sama dengan m − 1 bukan merupakan suatu partisi pembeda. Oleh sebab itu, dapat dikatakan batas bawah dimensi partisi dari grafK_m⊲_∆P_nadalahpd(K_m⊲_∆P_n)≥ m. Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi partisi m ≤ pd(K_m ⊲_∆ P_n) ≤ m. Jadi dimensi partisi dari graf K_m ⊲_∆ P_n adalah pd(K_m⊲_∆P_n) = muntukm≥3dann≥3. ✷