Dimensi Partisi Graf Lintasan Comb Graf Lintasan

BAB III METODE PENELITIAN 21

4.1.7 Dimensi Partisi Graf Lintasan Comb Graf Lintasan

Graf hasil operasi comb antara graf lintasan P_n dengan graf lintasan P_m dihasilkan dari menduplikat graf lintasan P_m sebanyak n simpul di graf lintasan P_ndengan meletakkan salah satu simpul ujung graf lintasanP_mpada setiap simpul graf lintasanP_n, maka dapat dikatakan bahwa grafP_n⊲_δP_m merupakan graf yang terdiri darinkali graf lintasanP_myang memiliki himpunan simpulV(P_n⊲_δP_m) =

{y_i,j|1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n}dan himpunan sisi E(P_n⊲_δP_m) = {y_i,1y_i+1,1|1 ≤ i≤n−1} ∪ {y_i,jy_i,j+1|1≤i≤n,1≤j ≤m−1}. GrafP_n⊲_δP_m memilikinm buah simpul dannm−1buah sisi. GrafP_n⊲_δP_m ditunjukkan pada Gambar 4.13 (a).

Pada subbab ini, akan dibahas dimensi partisi pada grafP_n⊲_δP_mdenganm, n∈ Z⁺. Jika n = 1, grafP₁ adalah graf trivial maka graf hasil operasicombP₁ ⊲_δ P_m isomorfik dengan lintasan P_m dan jika m = 1, graf P₁ adalah graf trivial maka graf hasil operasicombP_n⊲_δP₁isomorfik dengan lintasanP_nsedemikian sehingga order lintasan P_n dan lintasan P_m masing masing n ≥ 2 dan m ≥ 2. Dalam menentukan dimensi partisi suatu grafP_n⊲_δP_m, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari grafP_n⊲_δP_m. Dimensi partisi mensyaratkan semua himpunan simpul elemenΠharus mempunyai kardinalitas yang minimum.

Teorema 4.9. Diberikan dua graf terhubung P_n dan P_m dengan masing-masing ordernyan dan m dengann ≥ 2 danm ≥ 2dengan simpul pelekatan dari graf lintasanP_mberderajat satu, maka dimensi partisi graf hasil operasi combP_n⊲_δP_m adalah

pd(P_n⊲_δP_m) =

(

2, jikan = 2 3, jikan ≥3

Bukti: Misalkan grafP_n⊲_δP_mmemiliki himpunan simpulV(P_n⊲_δP_m) = {yi,j|1≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} dan himpunan sisi E(P_n ⊲_δ P_m) = {yi,1y_i+1,1|1 ≤ i ≤ n−1} ∪ {y_i,jy_i,j+1|1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m−1}. Untuk menunjukkan dimensi partisi grafP_n⊲_δP_m denganmnbuah simpul, maka untuk masing-masing nilain dibagi menjadi dua kasus yaitu kasus pertama untukn= 2, sedangkan kasus kedua untukn ≥3.

Kasus 1: Untukn = 2danm≥2

Untuk n = 2 dan m ≥ 2, graf P₂ ⊲_δ P_m memiliki himpunan simpul V(P_n ⊲_δ P_m) = {y_1,1, y_1,2} ∪ {y_i,j|1 ≤ i ≤ 2,2 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E(P_n ⊲_δ P_m) = {y_1,1y_1,2} ∪ {y_i,jy_i,j+1|2≤j ≤m−1}, maka simpul-simpuly_1,mdany_2,m berderajat satu dan simpulu∈V(P₂⊲_δP_m)− {y1,m, y₂,m}berderajat dua sehingga grafP₂⊲_δP_misomorfik dengan graf lintasanP_2m.

Berdasarkan Teorema 2.3 (i) menyatakan bahwa dimensi partisi graf lintasan pd(P₂m) = 2. Dikarenakan grafP₂⊲δPmisomorfik dengan grafP₂m maka dimensi partisi dari grafP₂ ⊲_δP_m adalahpd(P₂⊲_δP_m) = 2untukm ≥2.

Kasus 2: Untukn ≥3danm ≥2

Dimensi partisi grafP_n⊲_δP_m denganmnbuah simpul adalah3untukm ≥ 2dan n ≥3, dikarenakan untukm = 4dann = 3membentuk suatu pola sehingga dapat diperoleh bentuk umum dari graf P_n⊲_δP_m untuk m ≥ 2 dann ≥ 3, maka dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi grafP_n⊲_δP_madalah3dengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan. Untuk menentukan batas atas dimensi partisipd(P_n⊲_δP_m)

dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembedaΠpada grafP_n⊲_δP_mdapat dilihat pada Gambar 4.13 (b).

Misalkan Π adalah suatu partisi pembeda dari V(P_n ⊲_δ P_m) dengan Π =

{S1, S₂, S₃} sedemikian sehingga: S₁ = {y1,m}, S₂ = {y1,j|1 ≤ j ≤ m−1} ∪ {yn,j|1≤j ≤m−1} ∪ {yi,j|2≤i≤n−1,1≤j ≤m}danS₃ ={yn,m}, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di graf P_n⊲_δ P_m mempunyai representasi yang berbeda terhadapΠ. Berikut ini akan dilakukan observasi pada grafP_n⊲_δP_mdengan simpul-simpuly_i,j dengan1≤i≤ndan1≤j ≤m. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari graf P_n ⊲_δ P_m untuk n ≥ 3 dan m ≥ 2, sebagai berikut:

r(y_i,1|Π) = (m+i−2,0, m+n−i−1); jika1≤i≤n r(y₁,m|Π) = (0,1,2m+n−3)

r(yn,m|Π) = (2m+n−3,1,0)

r(y_n,j|Π) = (m+n+j−3,0, m−j); jika2≤j ≤m−1

r(y_i,j|Π) = (m+j+i−3,0, m+n+j−i−2); jika2≤i≤n−1,2≤j ≤m Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari grafP_n⊲_δP_mmempunyai representasi yang berbeda. JadiΠ = {S₁, S₂, S₃}merupakan partisi pembeda dari grafP_n⊲_δP_m. Sehingga|Π|= 3.

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh bahwa Π merupakan partisi pembeda dengan kardinalitasΠ sama dengan 3. Namun, Π belum tentu mempunyai kardi-nalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat dikatakan sebagai batas atas dimensi partisi dari grafP_n⊲_δP_msehingga dapat ditulispd(P_n⊲_δP_m)≤3.

Batas bawah dari dimensi partisi graf P_n ⊲_δ P_m dapat merujuk pada Teorema 2.3 (i) menyatakan bahwa pd(G) = 2jika dan hanya jika grafGisomorfik dengan lintasan P_n. Untuk n ≥ 3 dan m ≥ 3 graf hasil operasi comb P_n ⊲_δ P_m tidak isomorfik dengan lintasanP_n, maka dapat dipastikan bahwa batas bawah dimensi partisi dari grafP_n⊲_δPm, yaitupd(P_n ⊲_δ P_m) ≥ 3. Dengan demikian, batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari grafP_n⊲_δP_madalah3≤ pd(P_n⊲_δP_m)≤ 3. Jadi, dimensi partisi dari grafP_n⊲_δP_m yaitupd(P_n⊲_δP_m) = 3 untukn ≥ 3dan

m≥2. ✷

Sekarang, akan membahas dimensi partisi pada graf P_n⊲_∆P_m denganm, n ∈ Z⁺ dan salah satu simpul v ∈ P_m yang dilekatkan ke setiap simpul u ∈ P_n dan simpul v mempunyai derajat sama dengan dua. Jika n = 2, graf P₂ merupakan lintsan dan setiap simpul di P₂ tidak berderajat dua dan jika m = 2, graf P₂ merupakan lintsan dan setiap simpul di P₂ tidak berderajat dua, sedemikian sehingga order lintsan P_n dan lintasan P_m masing-masing m ≥ 3 dan n ≥ 3. Graf P_n ⊲_∆ P_m ditunjukkan pada Gambar 4.14 (a). Dalam menentukan dimensi partisi suatu grafP_n⊲_∆P_m, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf P_n ⊲_∆ P_m. Dimensi partisi mensyaratkan partisi pembedaΠharus mempunyai kardinalitas yang minimum.

Teorema 4.10. Misalkan P_n adalah graf lintasan order n dan P_m adalah graf lintasan order m dengan simpul pelekatan dari P_m yang berderajat dua. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 3, dimensi partisi graf hasil operasi comb P_n ⊲_∆ P_m adalah pd(P_n⊲_∆P_m) = 3.

Bukti: Misalkan graf P_n ⊲_∆ P_m memiliki himpunan simpul V(P_n ⊲_∆ P_m) =

{y_i,k|1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ p,2 ≤ p ≤ ⌈m

2⌉} ∪ {yi,l|1 ≤ i ≤ n, 2 ≤ l ≤ m−p+ 1,2≤ p≤ ⌈m

Gambar 4.14: (a) Graf Hasil Operasi P_n ⊲_∆Pm, (b) Konstruksi Partisi Pembeda P₆⊲_∆P₇

n−1} ∪ {y_i,ky_i,k+1|1 ≤ i ≤ n,1 ≤ k ≤ p−1,2 ≤ p ≤ ⌈m

2⌉} ∪ {y_i,ly_j,l+1|1≤ i ≤n,2 ≤l ≤ m−p,2≤ p≤ ⌈m

2⌉} ∪ {yi,1y_i,2|1 ≤i ≤n}. Dimensi partisi graf P_n⊲_∆P_m denganmnbuah simpul adalah3untukm ≥ 3dann ≥3, dikarenakan untuk m = 3 dann = 3 membentuk suatu pola. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diperoleh bentuk umum dari graf P_n⊲_∆Pm, maka dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi graf P_n⊲_∆ P_m adalah m dengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan.

Batas bawah dari dimensi partisi graf P_n ⊲_∆P_m dapat merujuk pada Teorema 2.3 (i) menyatakan bahwa pd(G) = 2jika dan hanya jika grafGisomorfik dengan lintasan Pn. Untuk n ≥ 3 dan m ≥ 3 graf hasil operasi comb P_n ⊲_∆ P_m tidak isomorfik dengan lintasanPn, maka dapat dipastikan bahwa batas bawah dimensi partisi dari grafP_n⊲_∆P_m, yaitupd(P_n⊲_∆P_m)≥3. Selanjutnya, untuk menentukan batas atas dimensi partisi pd(P_n ⊲_∆ P_m) dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembedaΠpada grafP_n⊲_∆P_m dapat dilihat pada Gambar 4.14 (b). Ambil partisi pembedaΠ ={S₁, S₂, S₃}sedemikian sehinggaS_i ={y₁,k|1≤k ≤ p,2≤ p ≤ ⌈^m₂⌉} ∪ {yi,k|2 ≤ i ≤ n,2 ≤ k ≤ p,2 ≤ p ≤ ⌈^m₂⌉}, S₂ = {y_i,1|2 ≤ i ≤ n} ∪ {yi,l|2 ≤ i ≤ n,2 ≤ l ≤ m−p+ 1,2 ≤ p≤ ⌈m

2⌉}danS₃ ={yi,l|2 ≤ l ≤ m−p+ 1,2≤p≤ ⌈m

2⌉}akan ditunjukkan bahwa semua simpul di grafP_n⊲_∆P_m mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Penulisan representasi setiap simpul dapat dinyatakan dalam bentuk lebih umum yang bergantung pada nilai n dan m. Dalam kasus ini, dapat dinyatakan dalam beberapa parameter yaitu nilai k, l yang bergantung pada nilaip dan jua nilaipbergantung pada nilain. Sebagai ilustrasi, jika diambil nilain = 6maka nilai2≤p ≤ ⌈⁶₂⌉= 3. Nilaikbergantung

pada nilai p sedemikian sehingga jika p = 2 maka 2 ≤ k ≤ 2 atau k ∈ {2} dan untukp = 3maka2≤ k ≤3atauk ∈ {2,3}. Nilailbergantung pada nilaip sedemikian sehingga jikap= 2maka2≤l ≤6−2+1 = 5ataul ∈ {2,3,4,5}dan untukp = 3maka2≤ l ≤ 6−3 + 1 = 4ataul ∈ {2,3,4}. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari graf P_n ⊲_∆ P_m untuk m ≥ 3 dan n≥3, sebagai berikut: r(y₁,k|Π) = (0, k, k); jika1≤k≤p,2≤p≤ ⌈m 2⌉ r(y_i,k|Π) = (0, k−1, i+k−1); jika2≤i≤n, 2≤k≤p,2≤p≤ ⌈m 2⌉ r(yi,l|Π) = (l,0, i+l−1); jika2≤i≤n, 2≤l≤m−p+ 1,2≤p≤ ⌈m 2⌉ r(y_i,1|Π) = (1,0, i); jika2≤i≤n r(y₁,l|Π) = (l−1, l,0); jika2≤l ≤m−p+ 1,2≤p≤ ⌈m 2⌉

Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari grafP_n⊲_∆P_mmempunyai representasi yang berbeda. JadiΠ = {S1, S₂, S₃}merupakan partisi pembeda dari grafP_n⊲_∆P_m. Sehingga |Π| = 3. Berdasarkan uraian di atas, diperoleh bahwa

Π merupakan partisi pembeda dengan kardinalitas Π adalah3. Namun, Π belum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat dikatakan batas atas dimensi partisi dari grafP_n⊲_∆P_m adalah pd(P_n⊲_∆P_m) ≤ 3. Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi partisi3 ≤ pd(P_n⊲_∆P_m) ≤ 3. Jadi dimensi partisi dari graf P_n ⊲_∆ P_m adalah pd(P_n⊲_∆ P_m) = 3 untukm ≥ 3 dan

n≥3. ✷