Dimensi Partisi Graf Lintasan Comb Graf Lingkaran

BAB III METODE PENELITIAN 21

4.1.2 Dimensi Partisi Graf Lintasan Comb Graf Lingkaran

Graf hasil operasi comb antara graf lintasan P_n dengan graf lingkaran C_m dihasilkan dari menduplikat graf lingkaranC_m sebanyaknsimpul di graf lingtasan P_n dengan meletakkan salah satu simpul ujung graf lingkaran C_m pada setiap simpul graf lintasan P_n, maka dapat dikatakan bahwa graf P_n ⊲ C_m merupakan graf yang terdiri darin kali graf LingkaranC_m. GrafP_n⊲ C_mmemiliki himpunan simpul V(P_n ⊲ C_m) = {yi,j|1 ≤ j ≤ m1 ≤ i ≤ n} dan himpunan sisi E(P_n⊲ C_m) = {y_i,1y_i+1,1|1 ≤ i ≤ n −1} ∪ {y_i,jy_i,j+1|1 ≤ j ≤ m−1,1 ≤ i ≤ n} ∪ {y_i,my_i,1|1 ≤ i ≤ n}. Graf P_n⊲ C_m memiliki nm buah simpul dan mn+n−1buah sisi. GrafP_n⊲ C_m ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3: Graf Hasil OperasiP_n⊲ C_m

m, n ∈ Z+. Jikam = 2 maka lingkaranC₂ merupakan graf lunar atau graf yang memiliki sisi ganda sehingga C₂ bukan graf sederhana dan jika n = 1maka graf hasil operasicombP₁⊲ C_m isomorfik dengan lingkaranC_m, sedemikian sehingga order lingkaran C_m dan lintasan P_n masing-masing m ≥ 3 dan n ≥ 2. Dalam menentukan dimensi partisi suatu grafP_n⊲ C_m, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari grafP_n ⊲ Cm. Dimensi partisi mensyaratkan partisi pembeda Π harus mempunyai kardinalitas yang minimum.

Teorema 4.3. Misalkan P_n adalah graf lintasan order n dan C_m adalah graf lingkaran order m. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 2, dimensi partisi graf hasil operasi combP_n⊲ C_m adalah sebagai berikut:

pd(P_n⊲ C_m) =           

3, jikamgenap dann ∈ {2,3} mgasal dann= 2

4, jikamgenap dann ≥4

mgasal dann≥3

Bukti: Misalkan grafP_n⊲ C_mmemiliki himpunan simpulV(P_n⊲ C_m) = {yi,j|1≤ j ≤ m1 ≤ i ≤ n} dan himpunan sisi E(P_n ⊲ C_m) = {yi,1y_i+1,1|1 ≤ i ≤ n−

1} ∪ {y_i,jy_i,j+1|1 ≤ j ≤ m−1,1 ≤ i ≤ n} ∪ {y_i,my_i,1|1 ≤ i ≤ n}. Jadi, kita akan menunjukkan bahwa dimensi partisi graf C_m ⊲ P_n adalah 3 untuk m genap dann ∈ {2,3}ataumgasal dann = 2dan dimensi partisi graf C_m ⊲ P_n adalah4

untukm genap dann ≥ 4ataum gasal dann ≥ 3. Untuk menunjukkan dimensi partisi grafP_n⊲ C_m denganmn buah simpul, maka untuk masing-masing nilaim dibagi menjadi dua kasus yaitu kasus pertama untuk m genap, sedangkan kasus kedua untukmgasal.

Gambar 4.4: (a) Partisi PembedaP₃⊲ C₆ (b) Partisi PembedaP₂⊲ C₆

Dimensi partisi grafPn⊲ Cmdenganmnbuah simpul adalah3untukmgenap dan n∈ {2,3}, dikarenakan untukm= 4dann ∈ {2,3}membentuk suatu pola. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diperoleh bentuk umum dari grafP_n⊲ C_m untukm genap dann ∈ {2,3}, sehingga dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi grafP_n⊲C_m adalah3dengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan.

Batas bawah dari dimensi partisi graf P_n ⊲ C_m dapat merujuk pada Teorema 2.3 (i) menyatakan bahwa pd(G) = 2jika dan hanya jika grafGisomorfik dengan lintasanP_n. Graf hasil operasicomb P_n⊲ C_m tidak isomorfik dengan lintasanP_n, maka dapat dipastikan batas bawah dari dimensi partisi grafP_n⊲ C_madalahpd(P_n⊲ C_m) ≥ 3. Selanjutnya, Untuk menentukan batas atas dimensi partisipd(P_n⊲ C_m)

dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembedaΠpada grafP_n⊲ C_mdapat dilihat pada Gambar 4.4. MisalkanΠadalah suatu partisi pembeda dariV(P_n⊲ C_m)

denganΠ ={S₁, S₂, S₃}sedemikian sehingga: S₁ ={y_1,2},S₂ ={y_2,2}danS₃ =

{y1,1, y_2,1, y_1,j, y₂,j|3 ≤ j ≤ m} akan ditunjukkan bahwa semua simpul di graf P_n⊲ C_m mempunyai representasi yang berbeda terhadapΠ. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari graf P_n ⊲ C_m untuk m genap dan n= 2, sebagai berikut: r(y_1,1|Π) = (1,2,0) r(y_2,1|Π) = (2,1,0) r(y_1,2|Π) = (0,3,1) r(y₁,j|Π) = (j−2, j+ 1,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y₁,j|Π) = (−j+m+ 2,−j+m+ 3,0); jika⌊m 2⌋+ 2 ≤j ≤m r(y_2,2|Π) = (3,0,1) r(y₂,j|Π) = (j+ 1, j−2,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y₂,j|Π) = (−j+m+ 3,−j+m+ 2,0); jika⌊m 2⌋+ 2 ≤j ≤m.

Representasi setiap simpul-simpul dari graf P_n ⊲ C_m untuk m genap dann = 3, sebagai berikut: r(y_1,1|Π) = (1,3,0) r(y_2,1|Π) = (1,2,0) r(y_3,1|Π) = (2,1,0) r(y_1,2|Π) = (0,4,1) r(y₁,j|Π) = (j−2, j+ 2,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y₁,j|Π) = (−j+m+ 2,−j+m+ 4,0); jika⌊m 2⌋+ 2≤j ≤m r(y_2,2Π) = (0,3,1) r(y₂,j|Π) = (j−2, j+ 1,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y₂,j|Π) = (−j+m+2,−j+m+3,0); jika⌊m 2⌋+2≤j ≤m.r(y_3,2|Π) = (3,0,1) r(y₃,j|Π) = (j+ 1, j −2,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y₃,j|Π) = (−j+m+ 3,−j+m+ 2,0); jika⌊m 2⌋+ 2≤j ≤m.

Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari grafP_n⊲ C_mmempunyai representasi yang berbeda. Jadi,Π ={S1, S₂, S₃}merupakan partisi pembeda dari graf P_n⊲ Cm. Jadi, kardinalitas dari partisi pembeda Π adalah|Π| = 3untuk m genap dann ∈ {2,3}. Namun,Πbelum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat ditentukan batas atas dimensi partisi dari grafP_n⊲C_msehingga dapat ditulispd(P_n⊲ C_m)≤3.

Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi partisi 3 ≤ pd(P_n ⊲ C_m) ≤ 3. Jadi dimensi partisi pd(P_n ⊲ C_m) = 3 untuk m genap dan n ∈ {2,3}.

Kasus 2: Untukmgasal dann= 2.

Dimensi partisi grafP_n⊲ C_m denganmnbuah simpul adalah3untukmgasal dan n = 2, dikarenakan untuk m = 3 dan n = 2 membentuk suatu pola. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diperoleh bentuk umum dari graf P_n ⊲ C_m untuk mgasal dann = 2, sehingga dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi grafPn⊲ Cm adalah3dengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan.

Batas bawah dari dimensi partisi graf P_n⊲ C_m dapat merujuk pada Teorema 2.3 (i) menyatakan bahwa pd(G) = 2 jika dan hanya jika graf G isomorfik dengan lintasan P_n. Graf hasil operasi comb P_n ⊲ C_m tidak isomorfik dengan lintasanP_n, maka dapat dipastikan batas bawah dari dimensi partisi graf P_n⊲ C_m adalah pd(P_n ⊲ C_m) ≥ 3. Selanjutnya, Untuk menentukan batas atas dimensi partisi pd(P_n ⊲ C_m) dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembeda Π

dengan Π = {S1, S₂, S₃} sedemikian sehingga: S₁ = {y1,2}, S₂ = {y2,2} dan S₃ = {y₁,1, y_2,1, y_1,j, y_2,j|3 ≤ j ≤ m} akan ditunjukkan bahwa semua simpul di graf P_n ⊲ C_m mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari graf P_n ⊲ C_m untuk m gasal dann = 2, sebagai berikut:

r(y_1,1|Π) = (1,2,0) r(y_2,1|Π) = (2,1,0) r(y_1,2|Π) = (0,3,1) r(y₁,j|Π) = (j−2, j+ 1,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y_1,⌊m 2⌋+2|Π) = (⌊m 2⌋,⌊m 2⌋+ 2,0) r(y₁,j|Π) = (−j+ 2⌊m 2⌋+ 3,−j+ 2⌊m 2⌋+ 4,0); jika⌊m 2⌋+ 3≤j ≤m r(y_2,2|Π) = (3,0,1) r(y₂,j|Π) = (j+ 1, j−2,0); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y_2,⌊m 2⌋+2|Π) = (⌊^m₂⌋+ 2,⌊^m₂⌋,0) r(y₂,j|Π) = (−j+ 2⌊m 2⌋+ 4,−j+ 2⌊m 2⌋+ 3,0); jika⌊m 2⌋+ 3≤j ≤m.

Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari grafP_n⊲ C_mmempunyai representasi yang berbeda. Jadi,Π ={S₁, S₂, S₃}merupakan partisi pembeda dari grafP_n⊲ Cm. Jadi, kardinalitas dari partisi pembeda Π adalah |Π| = 3 untukm gasal dann = 2. Namun,Π belum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat ditentukan batas atas dimensi partisi dari graf P_n ⊲ C_m sehingga dapat ditulispd(P_n⊲ C_m)≤3.

Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi partisi 3 ≤ pd(P_n⊲ C_m)≤3. Jadi dimensi partisipd(P_n⊲ C_m) = 3untukmgasal dann = 2.

Kasus 3:Untukmgenap dann ≥4.

Dimensi partisi graf P_n ⊲ C_m dengan mn buah simpul adalah 3 untuk m genap dann ≥ 4, dikarenakan untuk m = 4 dann = 4 membentuk suatu pola. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diperoleh bentuk umum dari grafPn⊲ Cm untukm genap dann ≥ 4, sehingga dapat dibuktikan bahwa dimensi partisi grafP_n ⊲ C_m adalah4. Untuk menentukan batas atas dimensi partisipd(P_n⊲ C_m)dapat diperoleh dengan mengkonstruksi partisi pembeda Π pada graf P_n⊲ C_m dapat dilihat pada Gambar 4.5.

Misalkan Π adalah suatu partisi pembeda dari V(P_n ⊲ C_m) dengan Π =

{S₁, S₂, S₃, S₄}sedemikian sehingga: S₁ ={yi,2|1≤ i ≤ n}, S₂ = {yi,j|1≤ i ≤ n, 3 ≤ j ≤ m}, S₃ ={y_1,1}danS₄ = {y_i,1|2≤ i ≤ n}akan ditunjukkan bahwa semua simpul di grafP_n⊲ C_m mempunyai representasi yang berbeda terhadapΠ.

Gambar 4.5: Partisi PembedaP₅⊲ C₆Untukmgenap dann ≥4

Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari graf P_n ⊲ C_m untukmgenap dann≥4, sebagai berikut:

r(y_1,1|Π) = (1,1,0,1) r(y_i,1|Π) = (1,1, i−1,0); jika2≤i≤n r(y_1,2Π) = (0,1,1,2) r(y₁,j|Π) = (j−2,0, j−1, j); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y_1,⌊m 2⌋+2|Π) = (⌊m 2⌋,0,⌊m 2⌋ −1,⌊m 2⌋) r(y₁,j|Π) = (−j+2⌊m 2⌋+2,0,−j+2⌊m 2⌋+1,−j+2⌊m 2⌋+2); jika⌊m 2⌋+3≤j ≤m r(y_i,2|Π) = (0,1, i,1); jika2≤i≤n r(yi,j|Π) = (j−2,0, j+i−2, j−1); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1,2≤i≤n r(y_i,⌊m 2⌋+2|Π) = (⌊^m₂⌋,0,⌊^m₂⌋+i−2,⌊^m₂⌋ −1); jika2≤i≤n r(yi,j|Π) = (−j+2⌊m 2⌋+2,0,−j+2⌊m 2⌋+i,−j+2⌊m 2⌋+1); jika⌊m 2⌋+3≤j ≤m, 2≤i≤n.

Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari grafP_n⊲ C_mmempunyai representasi yang berbeda. Jadi,Π = {S1, S₂, S₃, S₄}merupakan partisi pembeda dari grafP_n⊲ C_m. Jadi, kardinalitas dari partisi pembedaΠadalah|Π|= 4untukm genap dann ≥4. Namun,Πbelum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat ditentukan batas atas dimensi partisi dari graf P_n⊲ C_m sehingga dapat ditulispd(P_n⊲ C_m)≤4.

Selanjutnya, Untuk menentukan batas bawah dari dimensi partisi dari graf P_n ⊲ C_m didapatkan dengan Lemma 2.2. Sekarang mempertimbangkan bahwa partisi pembeda dari grafP_n⊲ C_mmempunyai kardinalitas kurang dari4. Misalkan suatu partisi pembeda dariP_n⊲ C_m dengan|Π| = 3, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama. Untuk m genap dan n ≥ 4 terdiri darin buahcycledannmbuah simpul, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan repre-sentasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan grafP_n⊲ C_m dengan

m = 4dan n = 4, dapat dipilihΠ = {S1, S₂, S₃} denganS₁ = {y1,2, y_2,2, y_3,2}, S₂ = {y₄,2} dan S₃ = V(P_n⊲ C_m) −(S₁ ∪S₂), maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama, yaitu r(y_1,1|Π) = r(y_3,3|Π) = (1,4,0). Jadi, dapat diperoleh bahwa Π dengan kardinalitasΠ adalah 3 bukan merupakan partisi pembeda. Oleh sebab itu, batas bawah dari dimensi partisi graf P_n ⊲ C_m adalahpd(P_n⊲ C_m)≥4.

Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dari dimensi partisi graf P_n⊲ C_m adalah 4 ≤ pd(P_n ⊲ C_m) ≤ 4. Maka dimensi partisi dari graf P_n ⊲ C_m adalahpd(P_n⊲ C_m) = 4untukmgenap dann ≥4.

Kasus 4:Untukmgasal dann ≥3.

Misalkan Π adalah suatu partisi pembeda dari V(P_n ⊲ C_m) dengan Π =

{S₁, S₂, S₃, S₄} sedemikian sehingga: S₁ = {y_i,2|1 ≤ i ≤ n}, S₂ = {y_i,j|1 ≤ i ≤ n, 3 ≤ j ≤ m}, S₃ = {y_1,1} dan S₄ = {y_i,1|2 ≤ i ≤ n}, akan ditun-jukkan bahwa semua simpul di grafPn⊲ Cm mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Berikut ini merupakan hasil observasi pada graf P_n ⊲ C_m. Simpul-simpulx_i dengan1≤ i ≤n dany_i,j dengan1≤ i ≤n dan1 ≤ j ≤ m−1. Dari hasil observasi, didapat representasi setiap simpul-simpul dari grafP_n⊲ C_m untuk mgasal dann≥3, sebagai berikut:

r(y_1,1|Π) = (1,1,0,1) r(y_i,1|Π) = (1,1, i−1,0); jika2≤i≤n r(y_1,2|Π) = (0,1,1,2) r(y₁,j|Π) = (j−2,0, j−1, j); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1 r(y_1,⌊m 2⌋+2Π) = (⌊m 2⌋,0,⌊m 2⌋,⌊m 2⌋+ 1) r(y₁,j|Π) = (−j+2⌊^m₂⌋+3,0,−j+2⌊^m₂⌋+2,−j+2⌊^m₂⌋+3); jika⌊^m₂⌋+3≤j ≤m r(y_i,2Π) = (0,1, i,1); jika2≤i≤n r(y_i,j|Π) = (j−2,0, j+i−2, j−1); jika3≤j ≤ ⌊m 2⌋+ 1,2≤i≤n r(y_i,⌊m 2⌋+2Π) = (⌊m 2⌋,0,⌊m 2⌋+i−1,⌊m 2⌋); jika2≤i≤n r(y_i,j|Π) = (−j + 2⌊m 2⌋ + 3,0,−j + 2⌊m 2⌋ + i + 1,−j + 2⌊m 2⌋ + 2); jika ⌊m 2⌋+ 3 ≤j ≤m,2≤i≤n.

Terlihat dari hasil observasi di atas, semua simpul dari grafP_n⊲ C_mmempunyai representasi yang berbeda. JadiΠ = {S1, S₂, S₃, S₄} merupakan partisi pembeda dari grafP_n⊲ C_m. Jadi, kardinalitas dari partisi pembedaΠadalah|Π| = 4untuk m gasal dan n ≥ 3. Namun, Π belum tentu mempunyai kardinalitas minimum. Oleh sebab itu, dapat dikatakan sebagai batas atas dimensi partisi dari grafP_n⊲ C_m sehingga dapat ditulispd(P_n⊲ C_m)≤4.

Selanjutnya, Untuk menentukan batas bawah dari dimensi partisi dari grafP_n⊲ C_m didapatkan dengan Lemma 2.2. Sekarang mempertimbangkan bahwa partisi pembeda dari grafP_n⊲ C_m mempunyai kardinalitas kurang dari4. Misalkan suatu partisi pembeda dariP_n⊲ C_m dengan|Π|= 3, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama. Untukmgasal dann ≥3terdiri darinbuahcycle dannmbuah simpul, maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan grafP_n⊲C_mdenganm = 5dann = 3, dapat dipilihΠ = {S₁, S₂, S₃}denganS₁ = {y₁,2, y_2,2}, S₂ = {y₃,2} danS₃ =

V(P_n⊲ C_m)−(S₁∪S₂), maka terdapat sedikitnya dua simpul dengan representasi yang sama, yaitur(y_1,5|Π) = r(y_2,4|Π) = (2,4,0). Jadi, dapat diperoleh bahwaΠ

dengan kardinalitasΠadalah3bukan merupakan partisi pembeda. Oleh sebab itu, batas bawah dari dimensi partisi grafP_n⊲ C_madalahpd(P_n⊲ C_m)≥4.

Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dari dimensi partisi graf P_n ⊲ C_m adalah4 ≤ pd(P_n⊲ C_m) ≤ 4. Maka dimensi partisi dari grafP_n⊲ C_m adalahpd(P_n⊲ C_m) = 4untukmgasal dann≥3. ✷