II LANDASAN TEOR
3.4 Titik Tetap Endemik
3.6.1 Dinamika Populasi untuk
Proses penggambarannya dengan menggunakan Mathematica 7 yang dievaluasi ketika ditetapkan h = 0.0000421 per hari yang sesuai dengan harapan hidup yang sesungguhnya dari 65 tahun untuk manusia, dan
V = 1/30, yang sesuai dengan harapan hidup dari 30 hari untuk nyamuk Anopheles. Nilai- nilai = 1/20 per hari dan = 1/14 per hari, sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang manusia yang terinfeksi dengan P. falciparum
dan P.vivax untuk meninggalkan kelas
terinfeksi dan menjadi rentan kembali, yaitu 20 hari untuk P. falciparum dan 14 hari untuk P .
vivax. Nilai-nilai = 1/365 per hari, =
1/(2*365) per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang yang terinfeksi P.vivax untuk meninggalkan kelas dorman, yaitu 1 tahun untuk memasuki kelas yang terinfeksi , dan 2 tahun untuk memasuki kelas rentan. Nilai =1/(3*365) per hari sesuai dengan 3 tahun bagi orang-orang yang terinfeksi dengan P.vivax
akan kehilangan sistem imun. Nilai-nilai = 1 / 30 per hari, = 1 / 25 per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang-orang yang terinfeksi P.falciparum dan P.vivax untuk pulih, yakni 30 hari untuk P.falciparum dan 25 hari untuk P.vivax, α = 0.65. Untuk mendapatkan titik tetap pada keadaan bebas penyakit yang stabil lokal, kita menetapkan masing-masing , , , sama dengan 0.025, 0.024, 0.03 dan 0.02.
Untuk nilai dilakukan analisis untuk tiga kondisi yang berbeda dengan
mengubah nilai (laju kematian vektor) dan α (rasio dorman manusia yang terinfeksi) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 2 Simulasi terhadap Ro < 1. μv . 0.65 0.003784437 . 0.65 0.000105122 0.033 0.00065 0.00378044 a. . Kondisi . dipenuhi
ketika = 0.033 dan α = 0.65. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,
Gambar 2 Dinamika populasi , . , dan terhadap waktu t.
Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan
mengubah nilai parameter dan .
Gambar 3 Dinamika populasi sh terhadap
waktu t. = 0.025 = 0.024 = 0.045 = 0.056 = 0.060 = 0.075 sh ih dh iv 8
0 10 20 30 40 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Waktu 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu b. . Kondisi . dipenuhi
ketika rasio jumlah manusia yang terinfeksi virus tetap dengan α = 0.65 dan laju kematian murni pada vektor dinaikkan menjadi . sehingga diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,
Gambar 4 Dinamika populasi , . , dan terhadap waktu t.
Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan
mengubah nilai parameter dan .
Gambar 5 Dinamika populasi sh terhadap
waktu t. c. .
Kondisi . dipenuhi ketika rasio jumlah manusia yang terinfeksi virus diturunkan menjadi α = 0.00065 dan laju kematian murni pada vektor tetap . sehingga diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,
Gambar 6 Dinamika populasi , . , dan terhadap waktu t.
Pada Gambar 2, Gambar 4 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa kurva Sh stabil naik menuju
satu, namun pada kurva Ih stabil turun menuju
ke nol. Hal ini berarti bahwa banyaknya manusia yang terinfeksi akan mengurangi banyaknya manusia yang rentan karena total populasi dianggap konstan. Penurunan pada kurva mengakibatkan penurunan pada kurva
Ih, hal ini dikarenakan semakin sedikit jumlah
nyamuk yang terinfeksi sehingga jumlah manusia yang terinfeksi pun semakin sedikit. Pada kurva Dh dapat kita lihat awalnya
mengalami sedikit kenaikan dan kemudian stabil turun menuju kepunahan. Hal ini berarti semakin sedikit jumlah nyamuk yang terinfeksi sehingga jumlah manusia yang dorman pun semakin sedikit. Pada Gambar 2, Gambar 4 dan Gambar 6 dilakukan simulasi dengan mengubah nilai parameter dan . Jika nilai
semakin besar maka jumlah manusia yang rentan akan semakin besar dan jika nilai
semakin kecil maka akan terjadi penurunan pada jumlah manusia rentan. Jika nilai semakin besar maka jumlah manusia rentan akan semakin kecil.
Gambar 3 dan Gambar 5 menunjukkan hubungan populasi Sh terhadap waktu t. Ketiga
kurva di atas dibandingkan berdasarkan nilai ′ dan ′ yang berbeda yaitu ′ = 0.025 dan
′ = 0.024, ′ = 0.045 dan ′ = 0.056, ′ =
0.060 dan ′ = 0.075. Dari kurva di atas dapat dilihat bahwa manusia yang rentan mengalami terus penaikan yang tajam menuju satu yang artinya menuju kestabilan. Semakin besar nilai
′ dan ′, kurva akan mengalami penaikan
yang datar, artinya laju manusia yang rentan = 0.025 = 0.024 = 0.045 = 0.056 = 0.060 = 0.075 sh ih dh iv sh ih dh iv 9
0 50 100 150 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu ketika ′ = 0.045 dan ′ = 0.056 lebih kecil
dari laju manusia rentan ketika ′ = 0.025 dan
′ = 0.024 dan laju manusia rentan ketika ′ =
0.060 dan ′ = 0.075 lebih kecil dari laju manusia rentan ketika ′ = 0.025, ′ = 0.024 dan ′ = 0.045, ′ = 0.056. Ini berarti bahwa ketika laju penularan Plasmodium falciparum
dan Plasmodium vivax dari nyamuk ke tubuh
manusia meningkat ′ dan ′ mengakibatkan banyaknya manusia yang rentan menurun.
3.6.2 Dinamika Populasi untuk
Proses penggambarannya dengan menggunakan Mathematica 7 yang dievaluasi ketika ditetapkan h = 0.0000421 per hari yang sesuai dengan harapan hidup yang sesungguhnya dari 65 tahun untuk manusia, dan
V = 1/120, yang sesuai dengan harapan hidup dari 30 hari untuk nyamuk Anopheles. Nilai- nilai = 1/20 per hari dan = 1/14 per hari, sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang manusia yang terinfeksi dengan P. falciparum
dan P.vivax untuk meninggalkan kelas
terinfeksi dan menjadi rentan kembali, yaitu 20 hari untuk P. falciparum dan 14 hari untuk P .
vivax. Nilai-nilai = 1/365 per hari, =
1/(2*365) per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang yang terinfeksi P.vivax untuk meninggalkan kelas dorman, yaitu 1 tahun untuk memasuki kelas yang terinfeksi , dan 2 tahun untuk memasuki kelas rentan. Nilai =1/(3*365) per hari sesuai dengan 3 tahun bagi orang-orang yang terinfeksi dengan P.vivax
akan kehilangan sistem imun. Nilai-nilai = 1 / 30 per hari, = 1 / 25 per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang-orang yang terinfeksi P.falciparum dan P.vivax untuk pulih, yakni 30 hari untuk P.falciparum dan 25 hari untuk P.vivax, α = 0.70. Untuk mendapatkan titik tetap pada keadaan endemik yang stabil lokal, kita menetapkan masing- masing , , , sama dengan 0.14, 0.1, 0.15 dan 0.1.
Untuk nilai dilakukan analisis untuk tiga kondisi yang berbeda dengan mengubah nilai (laju kematian vektor) dan α (rasio dorman manusia yang terinfeksi) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 3 Simulasi terhadap Ro >1. μv
. 0.70 1.448298
. 075 5.93191
0.0084 0.9999 1.4837
a. .
Kondisi . dipenuhi ketika = 0.0084 dan α = 0.70. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,
Gambar 7 Dinamika populasi , . , dan terhadap waktu t.
Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan
mengubah nilai parameter dan .
Gambar 8 Dinamika populasi sh terhadap
waktu t. = 0.14 = 0.1 = 0.25 = 0.22 = 0.56 = 0.44 sh ih dh iv 10
0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 0 5 10 15 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 0 50 100 150 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu b. .
Kondisi . dipenuhi ketika = 0.0042 dan α = 0.70. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,
Gambar 9 Dinamika populasi , . , dan terhadap waktu t.
Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi Sh terhadap waktu t dengan
mengubah nilai parameter dan .
Gambar 10 Dinamika populasi sh terhadap
waktu t. c. .
Kondisi . dipenuhi ketika = 0.0084 dan α = 0.9999. Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini,
Gambar 11 Dinamika populasi , . , dan terhadap waktu t.
Gambar 7, Gambar 9 dan Gambar 11 menunjukkan hubungan antara Sh, Ih, Dh, dan
terhadap waktu t. Kurva Sh terus menurun
menjauhi satu dan kurva Ih dan Dh naik
menjauhi nol serta kurva terus naik mendekati satu dan turun kembali namun bertahan pada titik kesetimbangannya, ini menunjukkan bahwa kurva Sh, Ih, Dh, dan
menjauhi , , , yang menandakan bahwa titik tetap tanpa penyakit tidak stabil pada sedangkan titik tetap endemik menjadi stabil di mana keempat kurva dapat dilihat menuju kestabilan titik tetap . Ini menunjukkan kondisi ketika penyakit dapat bertahan pada populasi.
Gambar 8 dan Gambar 10 merupakan dinamika populasi Sh terhadap waktu t. Ketiga
kurva tersebut dibandingkan berdasarkan nilai nilai ′ dan ′ yang berbeda yaitu ′
. dan ′ . , ′ . dan ′ 0,22,
. dan ′ . Semakin besar nilai , kurva terlihat semakin signifikan ke bawah sebelum kemudian menuju kestabilan . Laju manusia yang rentan ketika
′ . dan ′ . lebih kecil dari laju
manusia rentan ketika ′ . dan ′ . dan laju manusia rentan ketika . dan
′ . lebih kecil dari laju manusia rentan
ketika ′ . dan ′ . dan ′ . dan ′ . . Ini berarti bahwa semakin besar laju penularan Plasmodium falciparum
dan Plasmodium vivax dari nyamuk ke tubuh
manusia dan maka laju manusia yang rentan semakin kecil.
Berikut akan dibandingkan ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 5% dengan ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 50%. Ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi = 0.14 = 0.1 = 0.25 = 0.22 = 0.56 = 0.44 sh ih dh iv sh ih dh iv 11
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu 5% dari total populasi nyamuk .
maka populasi manusia yang rentan adalah 100% dari total populasi manusia , sehingga kondisi awal lainnya dan
. Ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 50% dari total populasi nyamuk
. maka populasi manusia yang rentan adalah 100% dari total populasi manusia
sehingga kondisi awal yang lainnya
dan .
Berikut akan dibandingkan dinamika populasi dan pengaruhnya terhadap populasi manusia ketika populasi awal vektor yang terinfeksi 5% dan 50% dari total populasi vektor untuk R0 < 1 dan R0 > 1.
Pada Gambar 12 dan Gambar 13 dapat dilihat bahwa kurva nyamuk yang terinfeksi 5% lebih curam dibandingkan 50%. Hal ini dikarenakan nyamuk yang terinfeksi 50% lebih banyak menginfeksi manusia dibandingkan 5%. Sehingga pada kurva infeksi 50% garis kurva manusia rentan lebih datar dibanding pada kurva infeksi 5% yang cenderung lebih tajam kenaikannya. Dengan kata lain banyaknya nyamuk yang terinfeksi mempengaruhi jumlah manusia yang terinfeksi atau tertular. Semakin
banyak nyamuk yang terinfeksi semakin banyak pula manusia yang terinfeksi.
Berbeda halnya pada Gambar 14 dan Gambar 15 dapat dilihat bahwa kurva nyamuk yang terinfeksi 50% lebih curam dibandingkan 5%. Peningkatan banyaknya manusia yang terinfeksi lebih cepat terjadi pada nyamuk yang terinfeksi 50%. Hal ini dikarenakan nyamuk yang terinfeksi 50% lebih banyak menginfeksi manusia dibandingkan 5%. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Waktu sh ih dh iv sh ih dh iv sh ih dh iv sh ih dh iv
Gambar 12 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 5% terhadap waktu t
untuk R0 < 1.
Gambar 13 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 50% terhadap waktu t
untuk R0 < 1.
Gambar 14 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 5% terhadap waktu t
untuk R0 > 1.
Gambar 15 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 50% terhadap waktu t
untuk R0 > 1.
IV SIMPULAN
Dalam tulisan ini telah dipelajari model matematika dari penularan penyakit malaria untuk Plasmodium falciparum dan Plasmodium
vivax . Dari model tersebut dihasilkan dua titik
tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.
Terdapat dua titik kesetimbangan tetap yaitu titik bebas penyakit (E0) dan titik endemik (E1). Kestabilan E0 dan E1 ditentukan oleh rumusan yang disebut bilangan reproduksi dasar (R0). Titik E0 adalah stabil ketika R0 kurang dari satu. Sebaliknya jika R0 lebih besar dari satu, titik E1 adalah stabil.
Dari grafik bidang solusi dapat dilihat bahwa ketika nilai laju penularan virus dari tubuh nyamuk ke tubuh manusia diperbesar mengakibatkan laju manusia rentan semakin kecil. Semakin banyak nyamuk yang terinfeksi semakin sedikit manusia yang rentan. Ketika laju kematian nyamuk semakin besar maka jumlah populasi manusia rentan akan semakin besar, demikian sebaliknya jika laju kematian
nyamuk semakin kecil maka populasi manusia rentan akan semakin kecil.
Banyaknya populasi awal nyamuk yang terkena virus sangat berpengaruh ke dalam populasi manusia, khususnya manusia rentan. Semakin banyak populasi awal nyamuk yang terkena virus maka populasi manusia rentan akan semakin cepat berkurang, demikian sebaliknya.
Dalam karya tulis ini, dinamika populasi manusia dan vektor digambarkan dalam beberapa contoh ilustratif dengan banyaknya vektor yang terinfeksi sebesar 5% dan 50%. Diperoleh hasil bahwa untuk , populasi vektor yang dengan terinfeksi 5% mencapai kestabilan lebih cepat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Untuk
, terjadi situasi yang berkebalikan. Dalam penelitian ini juga ditunjukkan bahwa interaksi antara manusia yang rentan dengan manusia terinfeksi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi manusia.
