II LANDASAN TEOR
2.6 Kestabilan Titik tetap Diberikan SPD sebarang
, . (2.8)
Tentukan titik tetap yang memenuhi
f . Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu :λidimana i = 1,2,…,n yang diperoleh dari
persamaan karakteristik (2.5).
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku :
1. Stabil, jika :
a. Re( λi ) < 0 untuk setiap i, atau
b. Terdapat Re ( λj ) = 0 untuk
sebarang j dan Re(λi ) < 0 untuk
setiap i ≠ j.
2. Tak Stabil, jika terdapat paling
sedikit satu i dimana Re(λi ) > 0.
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif (λiλj <
0 untuk i dan j sembarang).
(Tu 1994) 2.7 Kondisi Routh Hurwitz
Misalkan a1, a2,…, ak bilangan-bilangan real, aj
= 0 jika j > k. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik
p(λ) = λk +a1λk-1 +…+ ak-2 λ2 + ak-1 λ1 + ak = 0
mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks i x i, untuk setiap i = 1,2,…,k, determinan dari matriks i x i,
M = … … … … adalah positif.
Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k, k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k = 2, 3, 4),
k = 2; a1 > 0, a2 > 0,
k = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3,
k = 4; a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a32+a12a4.
Untuk kasus k = 3 dan k = 4, kondisi Routh-
Hurwitz disajikan pada teorema 1 dan 2 berikut.
Teorema 1
Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
p( λ) = λ3 +A λ2 + Bλ + C = 0 (2.9) adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0 dan AB > C.
Teorema 2
Misalkan A,B,C dan D bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
p( λ) = λ4 +A λ3 + Bλ2 + Cλ+ D = 0 (2.10) adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0, D > 0dan ABC > C2 +A2 D.
(Tu 1994) 2.8 Bilangan reproduksi Dasar ( R0)
Bilangan Reproduksi Dasar ditulis R0 adalah
nilai harapan dari kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi/menular. Kondisi yang timbul adalah :
1. Jika R0 < 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu individu baru dan penyakit tidak akan berkembang.
2. Jika R0 > 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu baru, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah.
(Deriessche dan Watmough 2005 ) 3
µv A r r μv μh μh μh r r r r Nh r r μh
III PEMBAHASAN
3.1 Perumusan ModelModel yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model SIDRS (Susceptible
Infected Dormant Removed Susceptible) dari
penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Dalam model ini terdapat tiga populasi yang berbeda yaitu rentan S(t), terinfeksi I(t), dan sembuh R(t).S(t) digunakan untuk mewakili jumlah orang yang belum terinfeksi oleh penyakit pada waktu t, atau mereka yang rentan terhadap penyakit. I(t) menunjukkan jumlah individu yang telah terinfeksi oleh penyakit dan mampu menyebarkan penyakit kepada mereka yang masuk dalam kategori rentan. R(t) digunakan untuk menunjukkan banyaknya orang-orang yang telah terinfeksi dan kemudian pulih dari penyakit.
Secara skematik, diagram alur model SIDRS pada penularan penyakit malaria dalam suatu populasi ditunjukkan pada diagram kompartemen di bawah (Gambar 1). Misalkan jumlah populasi pada waktu t dinyatakan dengan N = Nh(t). Populasi ini dibagi menjadi
empat kelas yaitu populasi rentan S = (t),
populasi terinfeksi I = (t), populasi yang dorman D = (t) dan populasi yang sembuh R = (t). Total populasi dinyatakan dengan Nh =
+ + + . Individu yang lahir
digolongkan ke kelas rentan ( ) dengan laju
kelahiran sebesar C. Individu yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju kematian sebesar , atau masuk ke kelas terinfeksi ( ) karena terjangkit plasmodium
falciparum ( ′) dan plasmodium vivax ( ′).
Laju penularan individu dari kelas rentan ( ) ke kelas Dorman ( ) karena terjangkit
plasmodium vivax namun tidak terlihat gejala
sebesar . Selanjutnya individu yang berada di kelas terinfeksi akan mati dengan laju kematian sebesar , atau sembuh dan masuk ke kelas rentan karena tidak adanya sistem kekebalan tubuh dengan laju atau sembuh dengan laju penyembuhan sebesar sehingga dimasukkan ke kelas sembuh ( ). Kemudian individu di kelas sembuh akan mati dengan laju kematian sebesar , atau menjadi rentan kembali karena sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga kembali masuk ke kelas rentan dengan laju hilangnya kekebalan tubuh sebesar . Individu yang berada pada kelas Dorman ( ) akan mengalami kematian dengan laju atau sewaktu-waktu dapat kehilangan kekebalan tubuh dan masuk ke kelas terinfeksi dengan laju r3 atau sembuh namun
kehilangan kekebalan tubuh dengan laju r4 dan
menjadi rentan kembali sehingga siap untuk terinfeksi.
Selain itu, pada diagram kompartemen di atas (Gambar 1) terdapat diagram alur yang
menjelaskan populasi vektor yang membawa virus malaria. Diagram ini akan menunjukkan 2 Gambar 1 Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia (yang dibagi dalam empat
kelas , ̃ , , dan ) dan populasi vektor (yang dibagi dalam dua kelas dan ̃ )
̃
kelas yang berbeda yakni kelas rentan S = (t) yakni ditujukan kepada populasi vektor yang masih steril dari virus malaria dan kelas infeksi
I = (t) yaitu ditujukan kepada vektor yang sudah terinfeksi oleh virus malaria. Total populasi vektor dinyatakan dengan NV = +
. Vektor yang lahir digolongkan ke dalam populasi rentan ( ) dengan laju kelahiran A. Vektor yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju μv , atau masuk ke kelas terinfeksi ( ) dengan laju
.
Selanjutnya vektor yang berada pada kelas terinfeksi akan mengalami kematian dengan laju μv. Laju perubahan populasi manusia atau vektor pada suatu kelas ialah jumlah manusia atau vektor yang masuk dalam kelas tersebut dikurangi dengan jumlah manusia atau vektor yang meninggalkan kelas tersebut. Penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan-persamaan berikut: Ih . . . ‐ . A . . di mana
µh adalah laju kematian populasi
µv adalah laju kematian vektor
adalah laju penularan P.falciparum dari nyamuk ke tubuh manusia
adalah laju penularan P.vivax dari nyamuk ke tubuh manusia
adalah laju penularan P.falciparum dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk
adalah laju penularan P.vivax dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk
adalah laju kelahiran populasi
Nh adalah total banyaknya populasi
α adalah rasio dorman manusia yang terinfeksi
adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.falciparum
adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.vivax
adalah tingkat dimana manusia tidak aktif namun akan kambuh kembali adalah laju pemulihan manusia yang dorman oleh P.vivax
adalah tingkat pemulihan manusia dan akan menjadi manusia yang rentan adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.falciparum
adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.vivax
(t) adalah banyaknya vektor rentan (t) adalah banyaknya vektor menular
Selanjutnya untuk mempermudah dalam menganalisis, normalkan atau sederhanakan persamaan (3.1)-(3.6) dengan mendefinisikan variabel baru:.
, , , ,
akhirnya diperoleh persamaan:
t (3.7) (3.8) (t) (3.9) (t) + (3.10) 5
dengan kondisi sh+ih+dh+rh=1 dan sv+iv=1, dan ,
,
Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk persamaan (3.7), (3.8), (3.9), dan (3.10) yang kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya. 3.2 Titik Tetap
Analisis titik tetap pada SPD sering digunakan untuk menentukan suatu solusi konstan. Titik tetap dari persamaan .
. akan diperoleh dengan menetapkan
sh(t) = 0, ih(t)= 0, dh(t) = 0 dan
iv(t) sehingga diperoleh persamaan-
persamaan di bawah ini:
(i) ) (ii) (iii) + (iv) Dengan menyelesaikan keempat persamaan di atas secara serentak akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik.
