= .
Contoh Soal 51. Dengan menggunkan Dalil Chebyshev, tentukan dan tafsirkan selang
± 2
Untuk contoh soal 50.
JAWAB. Karena contoh 50 merupakan percobaan binom dengan n = 15 dan p = 0.4,
maka menurut Dalil 1 kita memperoleh
= (15)(0.4) = 6 = (15)(0.4)(0.6) = 3.6. Dengan mengambil akar dari 3.6, kita memperoleh = 1.897. Sehingga selang yang ditanyakan adalah 6 ± (2)(1.897), atau dari 2.206 sampai 9.794. Dalil Chebyshev mengatakan bahwa banyaknya yang sembuh diantara 15 pasien tersebut akan berada antara 2.206 dan 9.794 dengan peluang sekurang-kurangnya ¾.
1.3 Distribusi Poisson
Percobaan Poisson memiliki cirri-ciri berikut :
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. 3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu
yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.
DEFINISI Distribusi Poisson. Distribusi peluang bagi peubah random Poisson
X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah
terjadi selam selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan = 2.71828 …
Contoh Soal 60. Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju selama musimdingin
di suatu kota di bagian timur AS adalah 4. Berapa peluang bahwa sekolah-sekolah di kota ini akan ditutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin?
JAWAB. Dengan menggunakan distribusi poisson dengan x = 6 dan = 4 kita peroleh
(6; 4) =
!= ∑ ( ; 4) − ∑ ( ; 4)
= 0.8893 − 0.7851 = 0.1042 DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi debgab variable acak kontinu. Distribusi
normal sering pula disebut distribusi gauss.
Jika variable acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :
( ) =
√(N3)
dengan : π = nilai konstanta yang bila ditulis hingga 4 desimal π = 3,1416. e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183. μ = parameter, ternyata merupakan rata − rata untuk distribusi. σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi.
dan nilai x mempunyai batas −∞ < < ∞ maka dikatakan bahwa variable acak X berdistribusi normal.
Sifat-sifat penting distribusi normal :
1. Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar x. 2. Bentuknya simetrik terhadap =
3. Mempunyai satu modus, jika kurva unimodal, tercapai pada
=
,4. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari = + 3 ke kanan dan = − 3 ke kiri.
5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
Untuk tiap pasang ; sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya untuk kurvanya saja yang berlainan. Jika makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).
Hubungan antara rumus N3 dengan rumus ∫ ( ) = 1 (sifat 5). Jadi :
√2 −1 2 − 2
= 1
(N4)
Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni ( < < ), digunakan rumus N4, sehingga :
( < < ) = ∫ √2 −1 2 − 2 (N5)
Distribusi normal standar ialah distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1. Fungsi densitasnya berbentuk :
( ) =
√ ⁄ (N6)untuk z dalam daerah −∞ < < ∞ .
Mengubah distribusi normal umum dalam rumus N3 menjadi distribusi normal baku dalam rumus N6 dapat ditempuh dengan menggunakan transformasi :
=
Perubahan grafiknya dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Gambar grafik
Bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari dengan cara berikut : 1. Hitung z sehingga dua decimal.
2. Gsmbsrksn kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada gambar di atas.
3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertical hingga memotong kurva.
4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak di titik nol.
5. Dalam daftar, Daftar F, Lampiran, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hingga hanya satu decimal dan decimal keduanya dicari pada baris paling atas. 6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka
didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).
Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap
= 0
, maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku : Akan dicari luas daerah :
1. Antara z = 0 dan z = 2,15.
Gunakan Daftar F, dalam Lampiran. Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842. Luas daerah yang dicari, lihat daerah yang diarsir, = 0,4842.
Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari luas dua kali, lalu dijumlahkan. Mengikuti cara di 1) untuk z = 1,82 dan cara di 2) untuk z = -1,50, masing-masing didapat 0,4656 dan 0,4332. Jumlahnya = luas yang dicari = 0,4332 + 0,4656 = 0,8988.
3. Dari z = 1,96 ke kiri.
Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750. Luas = 0,5 + 0,4750 = 0,9750.
Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya, jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z didapat 6. Harga z = 2,46.
Contoh :
1. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdisribusi normal, maka tentukan ada :
a. Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram?
b. Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram, jika semuanya 10.000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya yang lebih kecil atau sama dengan 4.000 jika semuanya ada 10.000 bayi?
d. Berapa bayi yang beratnya 4.250 gram jika semuanya ada 5.000 bayi?
Jawab :
Dengan X = berat bayi dalam gram, = 3.750 gram, = 325 gram, maka : a. Dengan transformasi rumus N7 untuk X = 4.500 :
Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31. Luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. Jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gram.
b. Dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat :
= . . = −0,77 = 2,31.
Luas daerah yanh perlu = daerah yang diarsir = 0.2794 + 0,4896 = 0,7690. Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram diperkirakan ada (0,7690)(10.000) = 7.690.
c. Bertanya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4.000,5 gram.
= . , . = 0,77.
Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram = 0,5 + 0,2794 = 0,7794.
d. Berat 4,250 gram berarti berat antara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram. Jadi untuk X = 4.249,5, dan X = 4.250,5 didapat :
= . , . = 1,53. = . , . = 1,54.
Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012. Banyak bayi = (0,0012)(5.000) = 6.
Antara distribusi binom dan distribusi normal terdapat hubungan tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku :
a) N cukup besar,
b) = ( ) = peluang peristiwa A terjadi, tidak terlalu dekat kepada nol,
maka distribusi binom dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata
=
dan simpangan baku= (1 − ).
Untuk pembakuan, agar daftar distribusi normal baku yang dapat dipakai, maka digunakan transformasi :
=
( )(N8)
dengan X = variable acak diskrit yang menyatakan terjadinya peristiwa A. 7. Distribusi Student
Fungsi densitasnya adalah : ( ) =
1 + − 1 ⁄
berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi −∞ < < ∞ dan K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.
Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.
Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti dalam rumus N9, maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk = (n - 1) .
Bentuk grafiknya seperti grafik distribusi normal baku, simetrik terhadap t = 0, sehingga sepintas lalu hamper tak ada bedanya. Untuk harga-harga n yang besar, biasanya ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku seperti dalam rumus N6.
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun seperti dapat ditemukan dalam lampiran, Daftar G. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling kiri, kolom dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas berisikan nilai peluang.
Untuk penggunaan Daftar G, perhatikan gambar di samping. Gambar ini merupakan
grafik distribusi t dengan dk = dimana = ( − 1). Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh . Harga inilah yang dicari dari daftar untuk pasangan dan p yang diberikan.
Contoh :
1. Untuk n = 13, jadi dk = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,78.
Ini didapat (lihat Daftar G dalam lampiran) dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan menurun dari 0,95.
2. Gambar grafik
Untuk n = 16, tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95. Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kanan dan luas ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05. Kedua ujung ini sama luas, jadi luas ujung kanan, mulai dari t ke kanan = 0,025. Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yang dipakai untuk daftar.
Dengan = 15 (lihat Daftar G, dalam Lampiran) kita maju ke kanan dan dari p = 0,975 kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi antara t = -2,13 dan t = 2.13 luas yang diarsir = 0,95.
8. Distribusi Chi Kuadrat
Distribusi Chi Kuadrat merupakan distribusi dengan variable acak kontinu. Simbolnya adalah .
Persamaan distribusi chi kuadrat adalah :
( ) = .
⁄ ⁄Grafik distribusi umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan. Kemiringan ini makin berkurang jika derajat kebebasan makin besar.
Untuk perhitungan, daftar distribusi dapat dilihat dalam Lampiran, Daftar H Gambar grafik
Gambar di atas memperlihatkan grafik distribusi secara umum dengan dk =
.
Daftar H berisikan harga-harga untuk pasangan dk dan peluang p yang besarnya tertentu. Peluang p terdapat pada baris paling atas dan dk ada pada kolom paling kiri.
Luas daerah yang diarsir sama dengan peluang p, yaitu luas dari ke sebelah kiri.
Contoh :
Gambar grafik
Gambar di atas adalah grafik distribusi dengan dk = 9.
a) Jika luas daerah yang diarsir sebelah kanan = 0.05, maka = 16,9. Ini didapat dari dk = 9 dan p = 0.95.
b) Jika luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0.025, maka = 2,70. Didapat dari dk = 9 dan p = 0.025.
Distribusi F ini juga mempunyai variable acak yang kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan :
( ) = . ⁄ ( )
1 + ⁄ ( )
(N11)
dengan variable acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada dan sedemikian sehingga luas di bawah kurva sama dengan
satu, = pembilang dan = penyebut.
Jadi distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif. Daftar distribusi F telah disediakan seperti dapat ditemukan dalam Lampiran, Daftar I. daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan dan
. Peluang inisama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = ada pada baris paling atas dan dk = pada kolom paling kiri.
Untuk tiap dk = , daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0.05 dan yang bawah untuk p = 0.01.
Contoh : Untuk pasangan derajat kebebasan = 24 dan = 8, ditulis juga ( , ) = (24,8), maka untuk p = 0,05 didapat F = 3,12 sedangkan untuk p = 0,01 didapat F = 5,28 (lihat Daftar I, Lampiran). Ini didapat dengan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawah untuk p = 0,01. Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = ( , ) adalah ( , ).
Demikian untuk contoh didapat : , (24,8) = 3,12. Dan , (24,8) = 5,28.
Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95..
Untuk itu digunakan hubungan :
(1 − )( , ) = 1
( , )
(N12)
Dalam rumus di atas perhatikan antara p dan (1 - p) dan pertukaran antara derajat kebebasan ( , ) menjadi ( , ).
Contoh : Telah didapat , (24,8) = 3,12 Maka , (8,24) = , = 0,321. .
SOAL LATIHAN
1. Suatu kiriman 7 pesawat televise mengandung 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli secara random 3 dari ketujuh televise tersebut. Bila X menyatakan benyaknya televise yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut, tentukan nikaitengah X.
2. Dalam suatu permainan judi, petaruh menerima $3 bila ia berhasil mengambil kartu jack atau queen dan $5 bila ia berhasil mengambil kartu king atau ace. Bila ia mengambil kartu yang lain, ia kalah. Berapa taruhan yang harus dibayarnya agar permainan itu dapat dipandang jujur?
3. Diketahui sebuah peubah random X memiliki distribusi peluang sebagai berikut :
x -3 6 9
P(X = x) 1/6
½
1/34. Dari sekeranjang buah yang berisi 3 jeruk, 2 apel, dan 3 pisang, diambil suatu contoh random 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya apel yang terambil, hitunglah E(X2Y – 2XY).
5. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul bil;a sebuah dadu hijau dilemparkan. Hitung ragam peubah random
a). 2X – Y b). X + 3Y – 5.
6. Misalkan peluangnya seseorang akan mempercayai suatu cerita mengenai hidup setelah mati adalah 0.8. berapa peluang bahwa
a. Orang keenam yang mendengar cerita itu adalah yang keempat yang mempercayainya?
b. Orang ketiga yang mendengar cerita itu adalah yang pertama yang mempercayainya?
7. Sebuah restoran menyediakan salad yang rata-rata mengandung secara rata-rata 5 macam sayuran. Hitunglah peluang bahwa salad yang disediakan mengandung lebih daripada 5 macam sayuran
a. Pada suatu hari tertentu
b. Pada 3 di antara 4 hari berikutnya
c. Pertama kali dalam bulan April pada tanggal 5 April.
8. Misalkan bahwa secara rata-rata 1 di antara 1000 orang membuat kesalahan angka dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil secara random dan diperiksa, berapa peluang ada 6,7 atau 8 formulir yang mengandung kesalahan?
BAB. IX