Distribusi Probabilitas Harga Saham

Model Black-Scholes-Merton

7.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes

7.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham

Model yang digunakan untuk mengembangkan model BSM mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random  berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham  berdistribusi normal sebagai berikut

lnS



~NlnS



μ





T,σ



T

  (7.1)

Dimana

ST = harga saham pada waktu T S0 = harga saham pada waktu 0

µ = harapan keuntungan saham per tahun

σ

= volatilitas saham pertahun

Contoh7.1. Penghitungan mean and standard deviasi. Misalkan suatu saham mempunyai harga awal S0  = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga saham dalam 3 bulan ke depan.

Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan ke depan mengikuti

ln



~ln250.120.2_{2 0.25,0.2}

^ 

×0.25

Ln ST~N(3.244; 0.1).

Karena Ln ST berdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval 1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln STakan terletak antara 3.244 ± 1.96*0.1, atau

exp^{3.244-1.96*0.1}< ST< exp^{3.244+1.96*0.1} 21.073 < ST< 31.187.

Contoh 7.2Distribusi return. Misalkan suatu saham mempunyai harapan  pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan

standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian majemuk kontinu selama 4 tahun.

Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung mean = 1 ²

2

 _   = 0.12-0.2²/2 = 0.10, dan standard deviasi =

T    

= 0.2/√4 = 0.10.

7.1.2 Expected Value.

Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST ,

Sedangkan variansinya adalah

Var(ST)= S0² e^2μT (e^{σ^2*T} - 1)

dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian.

Contoh 7.3.Nilai harapan harga saham. Misalkan suatu saham sekarang  berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%.

Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.

Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut E(ST) = $25*e^0.2*0.5

= $27.63.

Hasil ini cocok dengan definisi dari µsebagai nilai harapan tingkat pengembalian.  Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan

Var(ST) = S0² e^2μT (e^{σ^2*T} - 1)

= 625*e^2*0.2*0.5*(e^0.2*0.2*0.5-1) = 63,58.

Contoh 7.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun. Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi

E(ST) = 20*e^0.2*1 = 24.43 dan

Var(ST) = 400* e^2*0.2*1 *(e^0.4*0.4*1-1) =103.54.

Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.

Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat  pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh

ST= S0e^xT Sehingga

x =







Dari persamaan (7.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS0 + (

μ

-

σ

2/2)T dan variansi

σ

2T, maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi normal dengan mean

E(X) =























=



[







]

=







Dan variansinya adalah

V(X) =























=





Sehingga dapat dituliskan

X

~N(μ

-

σ

2

/2,σ

2/T)

Jadi,tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal dengan mean

(μ

-

σ

2/2)dan standard deviasi

σ/√T

.

Selanjutnya, dapat dihitung persamaan : E (ST) = S0e^µT

Ln E (ST) = ln S0

+ μT

Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (ST), sehingga E [Ln (ST)-ln S0

] = μT,

atau E [Ln (ST/S0

)] = μT,

yang akan menuntun kita pada

E(R) = μ.

Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)]

<

μT

, yang menuntun pada E(x) <

μ

. (Seperti yang sudah ditunjukkan di atas, E(x) =

μ

-

σ

2/2).

Contoh 7.5. Misalkan suatu saham dengan nilai harapan pengembalian 17% per tahun dan volatilitas 20% per tahun. Distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat  pengembalian selama 3 tahun adalah normal, dengan mean (0.17 -0.2²/2) = 0.15

dan standard deviasi

0.2/√3 = 0.1155

 per tahun. Selanjutnya kita dapat melihat interval konfidensi 95% bahwa rata-rata return pertahun dalam 3 tahun mendatang

0.15

 – 

1.96*0.1155 <

μ

< 0.15 + 1.96*0.1155 -7.6% <

μ

< 37.6%

7.1.4. Volatilitas

Volatilitas suatu saham adalah suatu ukuran ketidakpastian dari return atau tingkat pengembalian dari suatu saham. Suatu saham biasanya mempunyai volatilitas antara 15% and 60%.Volatilitas suatu harga saham dapat didefinisikan sebagai standarddeviasi dari return saham dalam 1 tahun ketika return diekspresikan menggunakan pemajemukan kontinu.

Ketika nilai T cukup kecil, persamaan (1) menunjukkan bahwa

σ√T

secara aproksimasi sama dengan standard deviasi dari persentase perubahan harga saham  pada waktu T. Misalkan

σ

  = 0.3, atau 30%per tahun, dan harga saham sekarang adalah $50. Standard deviasi dari persentase perubahan harga saham dalam 1 minggu adalah 30 ×

1/√52 = 4.16%.

Standard-deviasi harga saham dalam 1 minggu dapat dihitung 50 ×0.0416 = $2.08.

Persamaan (7.1) menunjukkan bahwa ketidakpastian terhadap harga saham ke depan, yang diukur dengan standard deviasi-nya meningkat sebanding dengan akar kuadrat panjang waktu ke depan-nya. Sebagai contoh, standard deviasi harga saham dalam 4 minggu sama dengan 2 kali standard deviasi dalam 1 minggu.

7.1.5. Hari Perdagangan versus Hari Kalender

Hal lain yang penting adalah masalah waktu jatuh tempo, apakah waktu  jatuh tempo seharusnya diukur dalam hari kalender atau hari perdagangan ketika

mengestimasi volatilitas. Riset menunjukkan bahwa volatilitas membesar ketika  bursa dibuka untuk perdagangan dibandingkan ketika bursa ditutup. Sebagai

hasilnya, praktisi cenderung mengabaikan hari-hari ketika bursa ditutup pada waktu mengestimasi volatilitas dari data historis dan ketika menghitung umur opsi. Volatilitas pertahun dihitung dari volatilitas perhari perdagangan dengan menggunakan formula

Volatilitas per tahun = standard deviasi return harian/252.

Banyaknya hari perdagangan dalam 1 tahun biasanya diasumsikan 252 untuk saham. Waktu hidup opsi juga biasanya diukur menggunakan hari  perdagangan dibandingkan dengan hari kalender. Banyaknya hari perdagangan

dihitung sebagai T tahun, dimana

T = banyaknya hari perdagangan sampai waktu jatuh tempo/ 252. Cukup wajar mengasumsikan bahwa volatilitas dari suatu saham disebabkan oleh informasi baru yang sampai ke pasar. Informasi baru ini menyebabkan orang untuk merevisi pendapat atau pandangan tentang harga saham. Harga saham  berubah dan secara otomatis akan memunculkan angka volatilitas.

7.2 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Call

Model penentuan harga opsi yang paling terkenal dan banyak digunakan orang adalah model Black Scholes. Hasil perhitungan harga opsi beli model Black Scholes untuk tipe Eropa sama dengan tipe Amerika. Untuk alasan di atas, di sini akan diturunkan formula matematis harga opsi beli tipe Eropa dengan fungsi keuntungan opsi f T = (S T -K )⁺  = maks(S T -K ,0). Harga rasional premi opsi Black ScholesCBSadalah :

C

B

 



 Nd



 – Ke



Nd





  (7.2) dengan

   

T  r  T   K  S  d        /2 / ln ₀ ² 1   

   

_{d  T}  T  r  T   K  S  d                ₁ 2 0 2 2 / / ln   (7.3) dan

 

1 ²/ 2 2  x  y  N x e dy     





adalah nilai kumulatif distribusi normal standard. Pembuktian formula Black-Scholes secara matematik tidaklah mudah. Black-Scholes sendiri membuktikan formulanya dengan pendekatan PD parsial yang relatif panjang dan tidak mudah untuk dipahami. Pada materi kuliah ini, formula harga opsi model Black-Scholes di atas akan dibuktikan melalui  pendekatan statistika, dengan menggunakan distribusi variabel random lognormal

dan normal. Pendekatan ini relatif lebih sederhana dan mudah untuk dipahami. Fungsi densitas dari S T  yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai  berikut

















            0 , 0 0 , 2 1 ) ( 2 ln 2 1 T  T  S  T  T  S  S  e S  S   g  T         

Secara umum harga kontrak opsi dapat dituliskan dalam bentuk harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas resiko r.

C

B

e

−

E[maksS



K,0]

dimana S T adalah harga saham pada waktuT  dan E  menunjukkan nilai harapan. Di  bawah proses stokastik diasumsikan oleh Black-Scholes bahwa S T   berdistribusi lognormal. Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian geometrik ST = S0 exp [ (r-

0.5σ

2)T

+σW

T ] , di mana WT adalah proses brownian  berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T. Terlihat bahwa ST

merupakan fungsi eksponen dari WT, sehingga ST  berdistribusi lognormal. Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 +(r-

0.5σ

2

)T +σW

T  merupakan fungsi linear dari WT  sehingga ln ST  berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi dari ln ST

masing-masing

Deviasi standar dari ln

Deviasi standar dari ln S S T T  adalah adalah

σ√Tσ√T

. Dengan transformasi diperoleh. Dengan transformasi diperoleh

  √ √ −−

Z~N0;1Z~N0;1

   (7.4)(7.4) Dan diperoleh hubungan ln

Dan diperoleh hubungan lnS S T T = Z= Z

σ√Tσ√T

+m atau+m atauS S T T  = e = e^{Zσ√T+mZσ√T+m}..

Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut

integral sebagai berikut

[[mmaaxx(( ,, 00))]] (( )) (( ))   (   ( )) (( )) T T  _K  K  TT TT TT    T T TT TT TT TT     K  K K K   E  E S S K K S S K K g g S S dS dS  S S g g S S ddS S K K g g S S ddS  S               



  

Dari nilai maks(S

Dari nilai maks(STT-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai S-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai STT  yang lebih  yang lebih  besar

 besar dari dari K. K. Sedangkan Sedangkan untuk untuk nilai nilai SSTT  yang lebih kecil dari K, keuntungan  yang lebih kecil dari K, keuntungan opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.

opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.

Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II. Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II. Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (7.4) di atas. Batas bawah S

(7.4) di atas. Batas bawah STT= K menjadi= K menjadi

−−√ √ 

. Integralnya menjadi. Integralnya menjadi

∫∫SS

^ 

ggSS



dSdS





 _{}

∫∫ ee

^ √ √ ++

f f zzdzdz

√ √ 

Sekarang kita lihat

Sekarang kita lihat

ee

√ √ ++

f f zzee

√ √ ++

11√ √ 2π2πee

−,−,

 11√ √ 2π2πee

,−,−((−−√ √ ))^++++

ee

++

11√ √ 2π2πee

,−,−((−−√ √ ))^

SS



ee



fzσfzσ√ √ TT

   (7.5)(7.5) Selanjutnya diperoleh Selanjutnya diperoleh

∫∫SS

^ 

ggSS



dSdS







SS



ee

_{}

∫f(zσ∫f(zσ√ √ T)dz

^

T)dz

√ √ 

Misalkan

z-Misalkan z-

σ√T = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Denganσ√T = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Dengan

menggunakan sifat sifat distribusi normal

1-N(-menggunakan sifat sifat distribusi normal 1-N(-aa) = N() = N(aa), integral di atas menjadi), integral di atas menjadi

SS



ee



1N1N

−−√ √ −+−+



√ √ 



SS



ee



1N1Nlnln

^^

rT0.5σrT0.5σσσ√ √ TT 



TT

SS



ee



NNlnln

^^

rT0.5σrT0.5σσσ√ √ TT 



TT

SS



ee









   (7.6)(7.6) Untuk integral yang kedua II

Untuk integral yang kedua II

∫∫KgKgSS

^ 

dSdS





 K ∫ f  zzdzdz K ∫ f  

_{}^

√ √ 

KN

KNln ln KKmmσσ√ √ TT 

KN

KNlnln

^^

rT0.5σrT0.5σσσ√ √ TT 



TT

KNd

KNd





   (7.7)(7.7) dengan

dengand d 11dandan d d 22  seperti persamaan (7.3). Selanjutnya dengan memasukkan faktor  seperti persamaan (7.3). Selanjutnya dengan memasukkan faktor diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula harga opsi, diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula harga opsi, diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value dari harapan

dari harapan keuntungan opsi call seperti keuntungan opsi call seperti pada persamaan (7.2) pada persamaan (7.2) di atas.di atas.

CC

BB

_ee

_{−−}

ee_SS[[SS



ee

−−

NNddEE[[maksmaksSS



KNKNdd



K,0]]K,0



]]

Contoh7.6

Contoh7.6Sebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yangSebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yang ditawarkan di situs

ditawarkan di situs www.yahoo.financewww.yahoo.finance..  Pada tgl 26 nov 2009, harga saham  Pada tgl 26 nov 2009, harga saham  perusahaan

 perusahaan tersebut tersebut SS00 = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$. = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$. Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi menurut Black Scholes?

menurut Black Scholes?

Berikut diberikan informasi harga opsi Berikut diberikan informasi harga opsi

Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 20%, tingkat suku bunga Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 20%, tingkat suku bunga r r 

=0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut: =0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut:



    

1 1 lln n 1155,9,922 /1/122,5 ,5 00,0,000225 5 00,0,044 // 2 2 2222 // 336655 0 0,2 ,2 2222 // 336655 4.044507695 4.044507695 d  d  _ ^{  }   2 2 4.4.0404445050767695 95 00,, 2 2 2222 // 336565 3.984205426 3.984205426 d  d  _{  }  

 Nilai yang bersesuaian

 Nilai yang bersesuaian untuk distruntuk distribusi normal kumulatiibusi normal kumulatif dapat ditentukan f dapat ditentukan N(dN(d11) =) =

0.999973783

0.999973783, dan N(d, dan N(d22) ) == 0.9999661470.999966147. Selanjutnya harga opsi beli dapat. Selanjutnya harga opsi beli dapat dihitung dengan menggunakan rumus

dihitung dengan menggunakan rumus

C

CBSBS = = 15,92 15,92 x x 0.999973780.9999737833

 –  – 

 12.5 × e 12.5 × e^{-0.0025*22/365-0.0025*22/365} × 0.999966147 × 0.999966147 =

= 3.4218834743.421883474

Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes? harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes?

7.1.7 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Put

Dengan cara yang sama dapat diturunkan formula harga opsi jual model Black Scholes. Secara matematis harga opsi jual merupakan present value dari nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo dengan suku bunga bebas resiko r dan waktu jatuh tempo T tahun, atau dapat dituliskan dalam bentuk p = e

-rT  E[maks(K-ST,0)]. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut

E[maksKST,0]  ∫

_^ 









∫

_^ 





∫ 

_^ 









Pembuktian rumus harga opsi put di atas diberikan sebagai berikut. Dari nilai maks(K-ST,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih kecil dari K. Sedangkan untuk nilai ST  yang lebih besar dari K, nilai maksimalnya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol akan sama dengan nol. Penjabaran Secara matematisnya dapat dilihat sebagai berikut:

Untuk integral yang pertama

∫gS

_^ 

dS



Pr0<S



<Pr∞<lnS



<lnK

Pr∞<lnS_{∞<0.52TσW}



r0.5σ2TσW



<lnK



<lnln





Kita tahu bahwa (r-0.5σ ²

)T+σW

T ~ N((r-0.5σ ²

)T,σ

2T). Dengan transformasi variabel random diperoleh

Selanjutnya diperoleh

   

   

 

2 0 2 0 2 ln ln 0.5 Pr  ln / 0.5 Pr  .  K  T T 

 K S r T 

 g S dS Z 

T 

S K r T  

 Z 

T 

 N d 

            

 _{  } 

 

   

 

 

 _{ } 

 

    

 

 

 



Untuk Integral yang kedua dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (7.4) di atas. Batas atas ST = K menjadi

−√ 

. Integralnya menjadi

∫S

_^ 

gS



dS





^{}_−

∫ e

^√  √ +

f zdz

Dari persamaan (7.5) di atas diperoleh

e

√ +

f zS



e



fzσ√ T

Selanjutnya diperoleh

∫S

^ 

gS



dS







S



e

^{}_−

∫ f(zσ√ T)dz

^√ 

Misalkan z-

σ√T = y, dz = dy, batas atas z dikurangi σ√T. De

ngan menggunakan sifat sifat distribusi normal integral di atas menjadi

S



e



NlnKlnSσ√ T

^

^rT



σ



T^σ

^

Tσ√ TS



e



Nln

^^

rT0.5σσ√ T 



T

S



e









Diperoleh rumus harga opsi jual model Black Scholes sebagai berikut:

P

B

_e_

−_{−−}

E[maksS[_







,0]







]













Dapat diringkas, harga opsi call dan opsi put tipe Eropa model Black-Scholes, tanpa pembayaran dividen adalah sebagai berikut :

C = S0 N(d1)

 – 

 Ke^-rT N(d2) dan

P = Ke^-rT N(

 – 

d2)

 – 

 S0 N(

 – 

d1)

Contoh 7.7. Harga saham 6 bulan dari waktu ekspirasi suatu opsi adalah $42, dan harga kontrak opsi tersebut $40, suku bunga bebas resiko 10% per tahun, danvolatilitas 20% per tahun. Ini berarti S0 = 42, K = 40, r = 0.1,

σ

 = 0.2,T = 0.5,

d1 = (ln(42/40) + (0.1 + 0.22/2)0.5)/(0.2*sqrt(0.5)) = 0.7693 d2 = 0.7639-

)/(0.2*√0.5

) = 0.6278

Untuk opsi call tipe Eropa, harga opsinya adalah c = 4.76, sedangkan untuk opsi  put, harga opsinya adalahp = 0.81.

Contoh 7.8 Suatu perusahaan dengan 1 juta lembar saham seharga masing-masing $40 sedang mempertimbangkan mengeluarkan 200,000warrant yang memberikan pemegangnya hak untuk membeli 1 lembar saham dengan harga $60 dalam 5 tahun. Ingin diketahui biaya untuk hal ini. Tingkat suku bunga 3% per tahun, volatilitas 30% per tahun. Tidak ada deviden yang dibagikan. Dari  persamaan (13.20), harga dari opsi call tipe Eropa 5 tahun adalah $7.04. Pada

kasus ini, N = 1,000,000 dan M = 200,000, sehingga harga warrant adalah

1,000,000/(1,000,000 + 200,000)*7.04 = $5.87.

Biaya total dari warrant adalah 200,000 ×5.87 = $1.17 million. Assuming the market perceives no benefits from the warrant issue, we expect the stock price to decline by $1.17 to $38.83.

Soal Latihan

1. Opsi put tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K =$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi put tersebut di atas?

a. $1.88  b. $3.28 c. $9.07 d. $10.39

2. Opsi call tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K =$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi call tersebut di atas?

a. $1.88  b. $3.28 c. $9.06 d. $10.39

3. Suatu sekuritas dijual seharga $40. Suatu opsi call dengan harga kontrak $42, dengan waktu jatuh tempo 3 bulan dan suku bunga bebas resiko 3%,  berharga $2.49 Berapakah harga opsi put menurut put-call parity?

a. $1.89  b. $3.45

c. $4.18 d. $6.03

4. Saham ABC diperdagangkan seharga $60. Opsi call dan put nya dikeluarkan untuk waktu jatuh tempo 1 tahun dengan harga kontrak $60. Standard deviasi tahunannya 10% dan suku bunga majemuk kontinunya 5%. Harga opsi call dan put versi Black Scholes adalah

a. $6.21 dan $1.16  b. $4.09 dan $3.28 c. $4.09 dan $1.16 d. $6.21 dan $3.28

a. Opsi hanya dapat dijalankan pada waktu jatuh tempo  b. Suku bunga bebas resiko konstan

c. Return majemuk kontinu berdistribusi lognormal d. Saham pokok tidak menghasilkan aliran dana

DAFTAR PUSTAKA

Bower, dkk, 1997, Actuarial Mathematics 2^nd   edition, The Society of Actuaries, Schaumburg,Illinois.

David G Luenberger, 1998, Investment Science, Oxford University Press

John C Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, 2005.

Kellison, Stephen G., 1991, The Theory of Interest 2^nd   edition, Irwin McGraw-Hill.

Lin, X. Sheldon, Introductory Stochastic Analysis for Finance and Insurance, Willey Series in Probability and Statistics, Willey Interscience, 2006.

Shreve, Steven E, Stochastic Calculus for Finance II Continuous-Time Models, Springer Finance, 2004.