Bab 1 Pendahuluan 1
2.4 Mekanika Statistik 12
2.4.2 Energi Potensial 13
Untuk sistem terisolasi dimana tidak ada energy yang menembus batas, sistem bersifat konservatif atau energi sistem konstan. Konservasi energi ini adalah salah satu cara untuk memeriksa kebenaran simulasi ensemble mikrokanonikal.
2.4.2 Energi Potensial
Persamaan berdasarkan fisika Kuantum menyatakan gerak tiap partikel di alam semesta ditentukan oleh potensial yang dibentuk oleh medan gaya dari partikel-partikel lain di sekitarnya. Energy potensial adalah jumlah dari semua energy potensial molekul-molekul dalam sistem.
(2.6)
Dengan adalah set posisi titik pusat massa atom atau molekul, , sedangkan energy total suatu sistem tersusun dari energy potensial dan juga energi kinetik sistem.
(2.7)
Untuk sistem terisolasi dimana tidak ada energy yang menembus batas, sistem bersifat konservatif atau energi sistem konstan. Konservasi energi ini adalah salah satu cara untuk memeriksa kebenaran simulasi ensemble mikrokanonikal.
2.4.3 Temperatur
Ditinjau menurut termodinamika statistik, temperature merupakan suatu skala dari energy kinetic molekul-molekul penyusunnya. Untuk tiga dimensi, hubungan antara energy kinetik terhadap temperatur dinyatakan oleh:
(2.8)
(2. 9)
Dimana K adalah energy kinetic total sistem, N adalah jumlah molekul sistem, adalah konstanta Boltzman dan T adalah temperature.
2.4.4 Tekanan
Tekanan didefenisikan sebagai gaya yang bekerja tegak lurus pada suatu satua luas, yang secara matematis dinyatakan dengan:
(2.10)
Dengan menggunakan Hukum Newton kedua:
(2.11)
Maka tekanan dapat dinyatakan sebagai suatu fluks momentum atau momentum yang menembus suatu satuan luas dalam suatu satuan waktu. Sedangkan menurut termodinamika statistik, tekanan seperti ini terdiri dari dua bagian yaitu:
1. Fluks momentum akibat molekul yang menembus suatu permukaan luas selama dt, dinotasikan dengan
(2.12)
2. Fluks momentum akibat gaya yang bekerja antara dua molekul yang berada pada sisi yang berbeda dari permukaan luas, dinotasikan dengan (
(2.13)
Maka tekanan total menurut termodinamika statistik adalah:
2.4.5 Distribusi kecepatan
Untuk memahami bagaimana distribusi kecepatan dalam suatu wadah pengamatan kotak kubus, dapat diandaikan saja apabila kotak pengamatannya diam, distribusi kecepatan itu akan simetris di sekitar kecepatan nol(jumlah molekul yang bergerak ke kanan akan sama banyaknya dengan jumlah molekul yang bergerak ke kiri), dan kita juga memperkirakan bahwa distribusinya akan sedemikian rupa sehingga peluang untuk menemukan sebuah molekul dengan kecepatan besar adalah sangat kecil sekali. Hal ini disebabkan molekul-molekul dalam materi dapat memiliki kecepatan yang berbeda-beda sehingga terbentuk suatu distribusi kecepatan. Secara statistik dapat diperoleh bahwa molekul-molekul akan paling banyak berada paa suatu kecepatan tertentu, dan akan semakin berkurang jumlah molekulnya dengan semakin jauh kecepatan ny dari suatu kecepatan tersebut. Salah satu penyebabnya adalah karena molekul-molekul dalam materi akan saling bertabrakan dan berinteraksi. Interaksi ini menyebabkan adanya pemerataan energy kinetic, karena molekul yang bergerak lebih cepat memberikan tambahan momentum pada molekul yang bergerak lebih lambat dan sebaliknya. Distribusi kecepatan yang terjadi berbentuk distribusi normal, dan dinamakan disribusi Maxwell-Boltzman. Distribusi Maxwell-Boltzman bergantung waktu suhu ini dirumuskan dengan:
(2.15)
2.4.6 Jalan bebas rata-rata
Diantara tumbukan-tumbukan yang berturutan, sebuah molekul dalam suatu gas akan bergerak dengan laju yang konstan sepanjang sebuah garis lurus. Jarak rata-rata diantara tumbukan-tumbukan yang berturutan seperti itu dinamakan dengan jalan bebas rata-rata (mean-free-path).
Gambar 2.5 Jalan bebas rata-rata molekul
Sebuah molekul yang berjalan melalui suatu gas, bertumbukan dengan molekul-molekul lain sepanjang jalan yang dilaluinya. Sudah tentu bahwa semua molekul lainnya bergerak dengan cara yang sama. Seandainya molekul-molekul adalah titik-titik, maka molekul tidak akan bertumbukan sama sekali dan jalan bebas rata-rata sama dengan tak berhingga. Akan tetapi, molekul-molekul bukanlah merupakan titik-titik dan karena itu terjadilah tumbukan-tumbukan. Jika molekul-molekul tersebut sangat banyak jumlahnya sehingga menempati seluruh ruangan yang tersedia bagi molekul-molekul tersebut, dan tidak ada lagi ruangan untuk gerakan translasi, maka jalan bebas rata-rata akan sama dengan nol. Jadi jalan bebas rata-rata dihubungkan kepada ukuran molekul dan banyaknya molekul persatuan volume. Jalan bebas rata-rata l adalah jarak rata-rata di antara tumbukan-tumbukan yang berturutan. Maka l merupakan jarak total vt yang ditempuh di dalam waktu t dibagi dengan banyaknya tumbukan yang terjadi di dalam waktu ini. secara matematis ditulis dengan:
(2.16)
2.4.7 Gerak Brown
Gerak Brown dinamai menurut ahli Botani Inggris Robert Brown yang pada tahun 1827 menemukan bahwa tepung sari yang tergantung di dalam air memperlihatkan gerak sebarang yang kontinu jika dilihat di bawah mikroskop. Mula-mula gerak ini dianggap sebagai suatu bentuk kehidupan, tetapi segera ditemukan bahwa partikel-partikel yang tidak bersifat organik sekalipun memiliki perilaku yang serupa. Tidak ada keterangan kuantitatif mengenai fenomena ini hingga dikembangkannya teori kinetik. Kemudian pada tahun 1905, Albert Einstein menegmbangkan teori Gerak
Brown Einstein menyebutkan bahwa harus ada pergerakan suatu gerak
partikel-partikel mikroskopik yang terbuka kepada pengamatan tanpa mengetahui bahwa pengamatan-pengamatan yang menyangkut gerak Brown ternyata telah lama dikenal.
Gambar 2.6 Sketsa Gerak Brown
Gambar di atas merupakan sketsa gambar yang ditemukan oleh V. Henry pada tahun 1908 dari pengamatan sinematografinya mengenai gerakan Brown. Henry menggunakan sebuah mikroskop dengan kamera gambar dengan kecepatan 20 kerangka/detik, dan setiap pembukaan sebesar 1/320 detik. Garis-garis yang
berliku-liku memperlihatkan keadaan dari lima partikel. Skala pada alas dibagi-bagi atas micrometer(micron = nilai 10-6
Awalnya partikel-partikel yang diamati adalah sangat besar dibandingkan dengan molekul-molekul fluida dan ditembaki secara terus-menerus pada semua sisi oleh molekul-molekul tersebut. Jika partikel cukup besar dan jumlahnya juga besar, maka banyaknya molekul yang sama akan menumbuk partikel-partikel pada semua sisi pada setiap saat.untuk partikel yang lebih kecil dengan jumlah lebih kecil maka banyaknya molekul yang menumbuk berbagai sisi partikel pada setiap saat, semata-mata hanyalah merupakan kemungkinan, mungkin tidak sama, yakni akan terjadi fluktuasi.maka partikel pada setiap saat mengalami gaya yang tak seimbang yang menyebabkan partikel tersebut bergerak dengan berbagai cara dengan sangat tidak teratur.
)
2.5 Model Interaksi Antarmolekul 2.5.1 Potensial Lennard Jones
Energi intermolekuler yang juga disebut dengan energi potensial didefenisikan sebagai perbedaan antara energi molekul dan juga penjumlahan energi kompleks molekul yang terpisah. Pada pemisahan tak terhingga, energy intermolekul adalah nol, dan ketika kedua molekul saling mendekati satu sama lain, energi intermolekul mulai menjadi negative dan mulai mencapai keadaan keseimbangan jika mempunyai energy intermolekul terendah. Jika dua molekul ini saling mendekat maka energi intermolekulnya tidak lagi menjadi negative tetapi menjadi positif kembali (tolak-menolak). Untuk satu pasangan molekul, potensial intermolekul adalah suatu fungsi orientasi relative terhadap jarak antara kedua pusat massa molekul.
Model interaksi antarmolekul yang diperlukan adalah hukum gaya antarmolekul, yang ekivalen dengan fungsi energy potensial antarmolekul. Pemilihan energi fungsi energi potensial harus dilakukan sebelum melakukan simulasi. Pemilihan model interaksi antarmolekul sangant menentukan kebenaran simulasi dari sudut pandang fisika. Karena berada dalam skala atomik, interaksi secara prinsip harus diturunkan secara kuantum, dimana perilaku prinsip ketidakpastian Heisenberg. Namun kita dapat melakukan pendekatan mekanika klasik dimana atom dan molekul dianggap sebagai suatu titik pusat massa. Model interaksi itu harus memenuhi dua kriteria. Pertama, molekul-molekul harus mampu menahan tekanan pasangan molekul
yang saling berinteraksi. Ini berarti ada gaya tolak-menolak antarmolekul. Kedua, molekul-molekul tersebut harus saling mengikat, atau adanya gaya tarik-menarik. Pada suatu jarak tertentu, kedua
gaya tersebut saling meniadakan sehingga gaya resultannya sama dengan nol.
Untuk N jumlah atom dalam suatu simulasi maka fungsi energy potensial adalah dimana adalah set posisi titik pusat massa atom atau molekul, dimana . Salah satu model energy potensial antara dua molekul yang dikembangkan adalah Potensial Lennard Jones. Model ini dianggap paling sederhana, namun memiliki ketelitian yang baik untuk simulasi. Model potensial ini dirumuskan dengan:
(2.17)
Dengan n dan m merupakan bilangan bulat positif yang dipilih,dimana n > m, i dan j
adalah indeks dari molekul, atau jarak antara molekul i dan j,
sedangkan adalah parameter jarak, dan adalah parameter yang menyatakan kekuatan interaksi. Pilihan yang umum untuk m dan n adalah m=6 dan n=12.
Sehingga persamaan (2.17) menjadi
(2.18)
2.5.2 Gaya Antarmolekul
Gaya-gaya di antara molekul-molekul adalah berasal dari gaya elektromagnet. Molekul-molekuli ini netral secara listrik dengan pengertian bahwa muatan negatif dari elektron-elektron adalah sama besarnya dan berlawanan tandanya dengan muatan inti-inti. Bila dua molekul saling mendekati, maka muatan pada masing-masing molekul akan terganggu dan berpindah sedikit dari kedudukan yang biasa sedemikian rupa sehingga jarak rata-rata diantara muatan yang berlawanan di dalam kedua-dua molekul tersebut adalah sedikit lebih kecil daripada jarak rata-rata diantara muatan yang sejenis. Maka, sebuah gaya tarik-menarik antarmolekul akan dihasilkan. Ini hanya terjadi bila molekul-molekul sangat dekat terhadap satu sama lain, sehingga gaya-gaya ini hanya beraksi pada jarak-jarak pendek (short range forces). Jika molekul-molekul tersebut sangat dekat terhadap satu sama lain sehingga muatan-muatannya yang sebelah luar mulai tumpang tindih (overlap), maka gaya antarmolekul tersebut menjadi gaya tolak menolak.
Gaya merupakan negatif dari gradien potensial. Jika dianggap molekul kira-kira berbentuk simetri bola, maka kita dapat menjelaskan gaya-gaya antarmolekul secara grafik dengan menggambarkan tenaga potensial bersama dari dua molekul,U, sebagai fungsi dari jarak r di antara titik pusat molekul-molekul tersebut. Gaya F
yang beraksi pada setiap molekul dihubungkan dengan tenaga potensial U oleh:
(2.19)
Untuk potensial Lennard Jones, besar gaya adalah:
(2.20)
Gaya positif adalah gaya tolak menolak dan gaya negatif adalah gaya tarik-menarik. Model Lennard jones ini menggambarkan adanya gaya tolak-menolak dengan suku
yang mndominasi pada jarak dekat dan gaya tarik menarik dengan suku yang mendominasi pada jarak jauh.
Gambar 2.8 Grafik Gradient Potensial Lennard Jones
Dari persamaan (2.29), maka dapat diturunkan untuk masing-masing sumbu:
Maka diperoleh:
BAB III
ANALISIS DAN PERANCANGAN SIMULASI DINAMIKA MOLEKUL
3.1 Analisis Masalah
Dalam suatu material zat padat terdiri dari susunan atom-atom. Susunan ini terdiri atas dua susunan yaitu amorf dan Kristal. Pada amorf akan ditemukan susunan atom yang tidak teratur dan jangkauan yang pendek, sedangkan pada struktur Kristal susunan atomnya teratur dalam suatu jangkaun tertentu.Untuk lebih memudahkan pengertian, maka dapat dikatakan bahwa atom-atom dalam kristal suatu zat padat tersusun secara teratur dan susunan atom-atom tersebut menentukan struktur kristal dari logam. Susunan dari atom-atom tersebut disebut cell unit.Dalam hal ini, cell unit adalah sebuah kubus dengan atom-atom menempati kedelapan dari sudut kubus dan atom lainnya berada pada pusat masing-masing dari keenam bidang kubus.