Bab 1 Pendahuluan 1
2.4 Mekanika Statistik 12
3.1.4 Posisi dan kecepatan setelah interaksi
3.1.4 Posisi dan Kecepatan Setelah Interaksi
Molekul dapat dianggap sebagai partikel yang bergerak bebas sedemikian rupa sehingga sangatlah sulit untuk diketahui besaran fisisnya satu per satu.para fisikawan hanya dapat meramalkan keadaan rata-ratanya. Partikel-partikel tersebut saling bertabrakan dengan pergerakannya sehingga didefenisikanlah sebuah jalan bebas rata-rata(mean free path) sebagai jarak tempuh rata-rata partikel sebelum bertabrakan. Nilai rata-rata dari jumlah tabrakan yang rata-rata dialami oleh sebuah partikel persatuan waktu biasa disebut sebagai frekwensi tabrakan, f.
Suatu simulasi dinamika molekul lainnya untuk melakukan simulasi terhadap partikel gas dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan Boltzman. Algoritma ini sebagiamana halnya untuk dinamika molekuler lainnya, menyatakan keadaan sistem partikel dalam posisi dan kecepatan {r,v}. Evolusi dari sistem dilakukan dengan integrasi melalui beda waktu(time step) yang biasanya dalam orde rata-rata waktu tabrakan antarpartikel. Pada setiap langkah integrasi partikel pada awalnya dianggap bergerak tanpa tabrakan sehingga setiap partikel mempunyai posisi:
(3.19)
Setelah itu partikel akan bertabrakan dengan partikel lainnya sehingga kecepatannya akan dikembalikan ke kecepatan semula. Semua pasangan partikel (i,j) dalam sebuah sel memiliki kemungkinan untuk bertabrakan. Kebolehjadian ini berbanding langsung dengan kelajuan relatifnya.
Apabila pasangan yang brtabrakan telah dipilih, maka kecepatan mereka perlu dievaluasi. Kekekalan momentum memberikan petunjuk bahwa kecepatan pusat massa tidak berubah karena tabrakan, sehingga:
Hukum kekekalan energy juga memberikan petunjuk bahwa kecepatan relative tidak berubah karena tabrakan, sehingga:
(3.21)
Kecepatan setelah tabrakan dihitung sebagai berikut:
(3.22)
Jumlah tabrakan yang terjadi dalam satu sel selama selang waktu adalah:
(3.23)
Dimana adalah volume sel. Tetapi, dengan menerapkan acceptance-rejection, maka:
(3.24)
Sehingga jumlah partikel yang akan bertabrakan adalah:
(3.25)
3.2 Perancangan Diagram alir (flowchart)
Proses perancangan program bantu dalam laporan tugas akhir ini dirancang melalui tahapan-tahapan sebagai berikut:
1. Perancangan diagram alir dan algoritma penentuan persamaan distribusi awal dan akhir kecepatan partikel, kecepatan relatif interaksi partikel, potensial lennard jones, dan gaya interaksi antarmolekul.
2. Pembuatan program lengkap berdasarkan rancangan diagram alir dan algoritma dengan menggunakan program matlab 6.1
Dalam merancang suatu program yang terstruktur dan terkendali dengan baik, terlebih dahulu perlu dilakukan perancangan diagram alir (flowchart) serta algoritma program sehingga dapat memperjelas langkah-langkah dalam membuat program secara utuh. Rancangan diagram alir program bantu dapat dilihat sebagai berikut:
start
Input nilai:
Jumlah partikel, Konstanta Boltzman, massa atom, diameter atom, suhu, densitas, panjang kotak simulasi
Hitung laju partikel
Hasil
Laju partikel dan Jumlah partikel (histogram)
Input Jumlah selang waktu
Pause (1)
Hitung distribusi akhir Laju partikel
Hasil
End
N
Y
start
Input nilai:
Jumlah partikel, Konstanta Boltzman, massa atom, diameter atom, suhu, densitas, panjang kotak simulasi
Hitung laju awal partikel dan kecepatan dinding
Memberi nilai pada posisi R1, R2= bilangan random
Hasil
Hitung kecepatan gerak molekul random
end
start
Input nilai: Kerapatan, Tetapan lennard jones
Hasil Gunakan rumus Potensial lennard jones End K=0 3 > k Inc(k) N Y
start
Input nilai: Kerapatan, Tetapan lennard jones
Hasil Gunakan rumus Gaya interaksi antarmolekul End K=0
3
>
k
Inc(k) N YBAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Kecepatan Partikel
Terjadinya distribusi kecepatan disebabkan molekul-molekul dalam materi memiliki kecepatan yang berbeda-beda. Gambar di bawah ini memperlihatkan keadaan molekul pada keadaan awal dan pada keadaan setelah beberapa time step yang berbeda. Simulasi dilakukan untuk jumlah partikel 256 dan 512. Setiap satu molekul dirancang agar molekul memiliki effnumber , artinya satu molekul mewakili ribuan atom dengan tujuan untuk mempermudah penghitungan selama kalkulasi. Effnumber diperoleh dari persamaan:
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom >>
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:10
>>
Gambar 4.2 Distribusi akhir kecepatan molekul pada time step 10
masukkan jumlah molekul: 256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:50
>>
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:100
>>
Gambar 4.4 Distribusi akhir kecepatan molekul pada time step 100
masukkan jumlah molekul:256
setiap molekul mewakili 104874 atom jumlah selang waktu:500
>>
masukkan jumlah molekul:512
setiap partikel mewakili 52437 atom
Gambar 4.6 distribusi awal kecepatan partikel
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:10
>>
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:100
>>
Gambar 4.8 Distribusi akhir kecepatan molekul pada time step 100
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:100
>>
masukkan jumlah molekul:512
setiap molekul mewakili 52437 atom jumlah selang waktu:1000
>>
Gambar 4.10 Distribusi akhir molekul ada timestep 1000
Berdasarkan gambar-gambar di atas dapat dilihat bagaimana partikel-partikel terdistribusi dalam berbagai selang waktu. Laju akar rata-rata kuadrat (root-mean square speed) merupakan laju molekul efektif yang stabil. Pada gambar terdapat kondisi awal dimana seua molekul yang terlibat memiliki distribusi laju Vx yang sama. Tetapi kondisi ini tidak akan bertahan terus untuk waktu yang lama karena laju partikel akan berubah dengan adanya tumbukan-tumbukan.
Banyaknya molekul yang mempunyai laju (misal v1 dan v2) menyamai luas di bawah kurva garis v1 dan v2. Jumlah molekul dalam sebuah interval ∆V yang diberikan akan semakin besar jika laju bertambah besar sampai ke suatu titik maksimum dan kemudian secara asymptotic menuju nol, sedangkan jangkauan kelajuannya menjadi lebih besar sehingga distribusi tersebut akan semakin melebar seperti yang tampak pada gambar. Hal ini dapat terjadi jika V≤Vrms. Simulasi
dilakukan untuk jumlah partikel 256 dimana setiap partikel memiliki 104874 atom pada time step yang berbeda. Penjelasan yang sama juga diperoleh untuk jumlah partikel 512 dimana setiap partikel mewakili 52437 atom pada time step yang berbeda.
4.2 Jalan bebas rata-rata molekul
Tumbukan-tumbukan berurutan yang dialami oleh molekul-molekul akan bergerak dengan laju konstan sepanjang garis lurus. Simulasi dilakukan dengan kotak simulasi dimana memiliki volume sebesar 1 kubik-mikron. Dengan volume yang sangat kecil ini, maka sudah dapat dipastikan bahwa julah atom sangat banyak sekali (dapat mencapai orde 106 bahkan lebih) sehingga proses komputasi satu per satu partikel akan memakan waktu yang sangat lama. Oleh karena itu, pada program dirancang agar partikel memiliki effnumber , artinya satu partikel mewakili ribuan atom, juga merupakan kumpulan molekul sehingga posisinya akan merupakan posisi rata-rata. Demikian pula kecepatannya, yaitu kecepatan rata-rata kumpulan molekul tersebut. Kecepatan awal partikel menurut sumbu y dan sumbu z ditetapkan nol dan kecepatan menurut sumbu x adalah ± vinit. Lebar sel Lc dalam orde jalan bebas rata-rata, sehingga sel dapat dianggap homogen. Selang waktu τ = a.Lc/<v>, dimana nilai a dipilih < 1 ( misalnya a=0.2). dengan demikian setiap partikel rata-rata menghabiskan beberapa selang waktu dalam kotak simulasi.
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 2 satu molekul simulasi=1.34238e+007 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4
kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det >>
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 4 satu molekul simulasi=6.71192e+006 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4 kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det
>>
Gambar 4.12 Jalan bebas rata-rata untuk 4 molekul
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 6 satu molekul simulasi=4.47461e+006 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4
kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det >>
masukkan jumlah molekul yang akan disimulasi: 8 satu molekul simulasi=3.35596e+006 atom
lebar sistem adalah 15.9784 dari jalan bebas rata2/n masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: 0.4 kecepatan dinding -3.89352 dan 3.89352 m/det
>>
Gambar 4.14 Jalan bebas rata-rata untuk 8 molekul
Gambar di atas mendemonstrasikan gerakan kontinu dari molekul-molekul yang bergerak ke segala arah dengan berbagai laju. Jika molekul-molekul adalah sangat banyak sehingga menempati seluruh ruangan yang tersedia bagi molekul-molekul tersebut, dan tidak ada lagi ruangan untuk gerakan translasi, maka jalan bebas rata-rata akan sama dengan nol. Karena partikel-partikel yang terlibat sangat banyak jumlahnya, maka banyaknya molekul yang sama akan menumbuk partikel-partikel pada semua sisi pada setiap saat. Untuk partikel-partikel yang lebih kecil dan jumlah molekulnya lebih kecil maka banyaknya molekul yang menumbuk hanyalah merupakan kemungkinan, mungkin tidak sama sehingga akan terjadi fluktuasi. Garis-garis yang berliku-liku memperlihatkan kedudukan dari masing-masing partikel yang terlibat.
4.3 Potensial Lennard Jones
Untuk mendapatkan grafik potensial dari persamaan potensial Lennard Jones (persamaan 2-18), diinput nilai-nilai sebagai berikut:
, ,
Dimana adalah jarak antara molekul i dan j , adalah= parameter jarak, dan adalah parameter yang menyatakan kekuatan interaksi
Gambar 4.15 Grafik pemotongan potensial dan Gaya --- Potensial Lennard Jones --- Gaya
Gambar 4.16 Grafik Potensial Lennard jones
Grafik di atas menggambarkan tenaga potensial U dan gaya F sebagai fungsi dari jarak di antara titik-titik pusat molekul. Gaya F yang bekerja pada setiap molekul dihubungkan dengan tenaga potensial oleh
Bila dua molekul saling mendekati, maka muatan masing-masing molekul akan terganggu dan berpindah sedikit demi sedikit dari kedudukannya sehingga jarak rata-rata antara muatan yang berlawanan adalah sedikit lebih kecil dari jarak rata-rata-rata-rata antara muatan sejenis sehingga akan dihasilkan gaya tarik menarik.Jika molekul-molekul tersebut sangat dekat terhadap satu sama lain hingga muatan-muatannya saling tumpang tindih (overlap), maka akan terjadi gaya tolak menolak.
Ciri khas dari potensial lennard jones ini adalah adanya fungsi batas (cut off function) yang membatasi jumlah atom yang terlibat dalam perhitungan potensial yang bekerja
pada molekul. Dengan adanya fungsi batas ini, atom-atom yang jauh dari atom molekul tersebut, lebih jauh dari suatu jarak tertentu, dapat diabaikan sehingga mengurangi jumlah perhitungan. Walaupun hal ini mengurangi ketelitian, tetapi pada kenyataannya kontribusi atom pada suatu potensial berbanding terbalik secara eksponensial dengan jaraknya sehingga metode ini dapat diterima.
4.4 Gaya Antarmolekul
Gaya merupakan negatif dari gradient potensial. Untuk mendapatkan persamaan potensial dapat diperoleh dari
Sama seperti pada potensial Lennard Jones, diinput nilai-nilai sebagai berikut: , ,
Dimana adalah jarak antara molekul i dan j , adalah= parameter jarak, dan adalah parameter yang menyatakan kekuatan interaksi
Grafik di atas menggambarkan suatu nilai gaya F yang khas. Di sini kita dapat membayangkan sebuah molekul yang dibuat tetap di O. Maka molekul yang lainnya akan ditolak dari O bila lereng (slope) dari F adalah negative dan akan ditarik ke O
bila lereng tersebut adalah positif . Pada ro tidak ada gaya yang beraksi pada molekul-molekul tersebut sehingga besarnya tenaga potensial pada keadaan ini adalah nol. Terdapat suatu “titik balik”(turning point) dari gerakan tersebut dimana terjadi pemisahan titik pusat dari dua buah molekul pada titik balik tersebut yang merupakan jarak pendekatan yang paling pendek ketika terjadi tumbukan. Akibat adanya perbedaan ukuran muatan dan juga penyusun muatan dalam dapat mengakibatkan gaya-gaya antarmolekul akan berubah dari satu molekul ke molekul yang lain.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Pada distribusi laju partikel (hasil sub-bab 4.1), apabila interval laju ∆ V
pada suatu titik mencapai maksimum, maka kecepatannya kemudian akan berkurang secara asympotik menuju nol.
2. Jalan bebas rata-rata dihubungkan kepada ukuran molekul dan banyaknya molekul persatuan volume yang bertabrakan satu dengan lainnya sehingga membentuk lintasan acak/random (hasil sub-bab 4.2)
3. Jarak pisah antar atom dalam molekul Rij memiliki nilai tertentu yaitu , nilai yang lebih jauh dari nilai tersebut dapat diabaikan sehingga mengurangi jumlah perhitungan dan ketelitian, namun grafik menunjukkan bahwa kontribusi atom pada potensial berbanding terbalik secara eksponensial terhadap jarak sehingga metode ini dapat diterima. 4. Dengan menggunakan persamaan potensial lennard jones (hasil sub-bab
4.3), tidak perlu mengkalkulasi gerakan seluruh atom (ribuan atau jutaan atom), karena hanya dengan melibatkan ratusan atom saja kita sudah dapat mengamati bagaimana dunia atomik berinteraksi.
5.2 Saran
1. Dilakukan modifikasi simulasi agar dapat melihat pengaruh parameter lainnya seperti suhu dan tekanan.
2. Penyempurnaan pada program pendukung untuk menampilkan hasil yang lebih sempurna
DAFTAR PUSTAKA
Haile, J.M.1992. Molecular Dynamics Simulation: Elementary Methods, John Wiley& Sons, Inc.
Huang, Kerson.1987. Statistical Mechanics. John Wiley & Sons, Inc.
Witoelar, Aree. 2002. Perancangan dan Analisa Simulasi Dinamika Molekul
Ensemble Mikrokanonikal dan Kanonikal dengan Potensial Lennard Jones,
Tugas Akhir. Institut Teknologi Bandung
S, Budi Sutedjo. 2004. Algoritma dan Teknik Pemrograman. Edisi ketiga.Yogyakarta: Penerbit Andi.
Etter, M Delores.2003. Pengantar matlab 6. PT INDEKS Kelompok. Jakarta: GRAMEDIA.
Reif, F.1965. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill Publishing Company
Suarga. 2007. Fisika Komputasi, Solusi Problematika Fisika denganMatlab, edisi pertama. Yogyakarta: Penerbit Andi.
Hedman, Fredrik. 2006. Algorithms for Molecular Dynamics Simulations, advancing
the Computational Horizon. Stocholm University.
Perangin-angin, Kasiman. 2006. Pengenalan Matlab. Yogyakarta: Penerbit Andi. Fahmi, Mahuddin. 1999. Perancangan Perangkat Lunak Simulasi Dinamika Molekul
dengan model Potensial Lennard Jones. Tugas Akhir.
Halliday, David. 1998. Fisika. Jilid 1. Edisi ketiga. Jakarta: Penerbit Erlangga Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern. Cetakan I. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia(UI-Press).
LAMPIRAN
List program 1 histogram distribusi kecepatan awal partikel
%list program gerak molekul-distribusi kecepatan %inisialisasi variabel
rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel:'); boltz=1.3806e-23; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon diam=3.66e-10; %diameter atom argon T=273; %suhu kelvin
density=1.78; %rapat massa atom argon L=1e-6; %panjang kotak 1 mikron eff_num=density/mass*L^3/npart;
fprintf('setiap partikel mewakili %g atom\n',ceil(eff_num)); v_init=sqrt(3*boltz*T/mass); x=L*rand(npart,1); v=zeros(npart,3); v(:,1)=v_init*(1-2*floor(2*rand(npart,1))); ncell=15; tau=0.2*(L/ncell)/v_init; vrmax=3*v_init*ones(ncell,1); selxtra=zeros(ncell,1); coeff=0.5*eff_num*pi*diam^2*tau/(L^3/ncell); vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
vbin=50:100:1050; %histogram distribusi kecepatan awal hist(vmag,vbin);title('distribusi awal kecepatan'); xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel'); end
List program 2 histogram distribusi kecepatan partikel pada berbagai time step %dsmc01-algoritma DSMC untuk simulasi kecepatan partikel %inisialisasi variabel
rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel:'); boltz=1.3806e-23; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon diam=3.66e-10; %diameter atom argon
T=273; %suhu kelvin
density=1.78; %rapat massa atom argon
L=1e-6; %panjang kotak 1 mikron
eff_num=density/mass*L^3/npart;
fprintf('setiap partikel mewakili %g atom\n',ceil(eff_num)); v_init=sqrt(3*boltz*T/mass); x=L*rand(npart,1); v=zeros(npart,3); v(:,1)=v_init*(1-2*floor(2*rand(npart,1))); ncell=15; tau=0.2*(L/ncell)/v_init; vrmax=3*v_init*ones(ncell,1); selxtra=zeros(ncell,1); coeff=0.5*eff_num*pi*diam^2*tau/(L^3/ncell); vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
vbin=50:100:1050; %histogram distribusi kecepatan awal hist(vmag,vbin);title('distribusi awal kecepatan'); xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel'); pause;
coltot=10%jumlah tabrakan
nstep=input('jumlah selang waktu:'); for istep=1:nstep
x(:)=x(:)+v(:,1); x=rem(x+L,L); %sortir partikel
%proses tabrakan partikel
[v,vrmax,selxtra,col]=colide(v,ncell,... vrmax,tau,selxtra,coeff);
coltot=coltot+col;
vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2); hist(vmag,vbin);
string=sprintf('sudah %g dari %g langkah; %tabrakan',... istep,nstep,coltot); title(string);xlabel('laju partikel') ylabel('jumlah partikel'); pause(1); end vmag=sqrt(v(:,1).^2+v(:,2).^2+v(:,3).^2);
string=sprintf('distribusi akhir,waktu=%g det',nstep*tau);
%distribusi akhir dari kecepatan partikel hist(vmag,vbin);title(string);
xlabel('laju partikel');ylabel('jumlah partikel') grid on
return end
List Program Jalan Bebas rata-rata (gerak random)
%Gerak random
%inisialisasi variabel rand('seed',1);
npart=input('masukkan jumlah partikel yang akan disimulasi: ');
T=273; %suhu awal
diam=3.66e-10; %diameter atom argon boltz=1.3806e-26; %tetapan boltzman mass=6.63e-26; %massa atom argon
density=1.78; %rapat massa atom argon L=1e-6; %panjang sistem
xwall=[0 L]; %posisi dinding volume=L^3;
eff_num=(density/mass)*volume/npart;
fprintf('satu partikel simulasi=%g atom\n',eff_num); mfp=1/(sqrt(2)*pi*diam^2*density/mass);
fprintf('lebar sistem adalah %g dari jalan bebas rata2/n ',L/mfp);
mpv=sqrt(2*boltz*T/mass); %kecepatan awal
vwall_m=input('masukkan kecepatan dinding sebagai bil.mach: ');
vwall=vwall_m*sqrt(5/3*boltz*T/mass)*[-1 1]; fprintf('kecepatan dinding %g dan %g
m/det\n',vwall(1),vwall(2));
x=L*rand(npart,1); %memberi nilai pada posisi
v=mpv*sqrt(-log(ones(npart,3)-rand(npart,3))).*sin(2*pi*rand(npart,3));
%v adalah kecepatan thermal dengan bilangan acak Gaussian v(:,2)=v(:,2)+vwall(1)+vwall(2)-vwall(1)*(x(:)/L);
plot(v,x);xlabel('posisi');
ylabel('jalan bebas rata-rata'); end
List Program Potensial Lennard Jones
%grafik fungsi y=4*lennard*den/den*2^1/6 lennard=0.625; den=1,78; x=den/den*2^1/6; k=0; for n=1:2:7 n10=10*n; x=linspace(-2,2,n10); y=4*lennard*(x.^12-x.^6); k=k+1; subplot(2,2,k) plot(x,y,'r')
title(['plot fungsi dengan banyak data n= ',num2str(n10)]) axis([-2,2,-.8,.8]); xlabel('R(A)'); ylabel('interaksi potensial LJ'); grid end