Fungsi Kompleks

Suatu fungsi 𝑓(𝑧) dikatakan fungsi variabel kompleks 𝑧 jika setiap nilai 𝑧 pada suatu daerah tertentu di 𝑅 (pada diagram Argand) memiliki satu atau lebih nilai 𝑓(𝑧). Fungsi 𝑓(𝑧) dapat berupa fungsi yang terdiri dari bagian ril dan bagian imajiner, dimana secara umum merupakan fungsi 𝑥 dan 𝑦.

𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) (𝟒. 𝟏)

Fungsi 𝑓(𝑧) dengan nilai tunggal pada domain 𝑅 dapat didiferensialkan pada titik 𝑧 saat turunannya

𝑓′(𝑧) = lim_Δz→0[^{𝑓(𝑧 + Δz) − 𝑓(𝑧)}

Δ𝑧 ] (𝟒. 𝟐)

ada dan unik. Hal ini berarti nilainya tidak bergantung pada arah di diagram Argand dimana Δ𝑧 menuju nol.

Perhatikan fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑥2− 𝑦2+ 𝑖2𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 = 𝑧2_{. Dengan mencoba persamaan} (𝟒. 𝟐), 𝑓′(𝑧) = lim_Δ𝑧→0[(𝑧 + Δ𝑧)2− 𝑧2

Δ𝑧 ^]

= lim_Δ𝑧→0[^{Δ𝑧(2𝑧 + Δ𝑧)}_Δ𝑧 ] 𝑓′(𝑧) = 2𝑧

terlihat bahwa 𝑓(𝑧) = 𝑧2 _{terdiferensiasi untuk semua} 𝑧 berhingga.

Sebuah fungsi dengan nilai tunggal dan dapat didiferensialkan pada semua titik di domain 𝑅 dikatakan analitik di 𝑅. Suatu fungsi juga dapat memiliki satu atau lebih titik yang tidak analitik meski titik lain pada domain 𝑅 analitik. Titik yang tidak analitik ini disebut juga singularitas dari 𝑓(𝑧).

4.2 Hubungan Cauchy-Rieman

Jika suatu limit

𝐿 = lim_Δ𝑧→0[^{𝑓(𝑧 + Δ𝑧) − 𝑓(𝑧)}

Δz ] (𝟒. 𝟑)

terdefinisi dan unik, dapat didiferensialkan, maka setiap dua cara spesifik untuk Δ𝑧 → 0 haruslah menghasilkan limit yang sama. Secara khusus, bergerak paralel terhadap sumbu ril dan bergerak paralel terhadap sumbu imajiner haruslah menghasilkan hal tersebut.

Saat memisalkan 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) dan Δ𝑧 = Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦, maka 𝑓(𝑧 + Δ𝑧) = 𝑢(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) dan dengan menerapkan limit pada persamaan (𝟒. 𝟑),

𝐿 = lim_{Δ𝑥,Δ𝑦→0}[^{𝑢(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)}

Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦 ^]

Jika Δ𝑧 hanya terdiri dari bagian ril, maka Δ𝑦 = 0, didapatkan 𝐿 =^𝜕𝑢_{𝜕𝑥 + 𝑖}^𝜕𝑣_{𝜕𝑥 (𝟒. 𝟒)}

dan jika Δ𝑧 hanya terdiri dari bagian imajiner, maka Δ𝑥 = 0, didapatkan 𝐿 =^𝜕𝑣_{𝜕𝑦 − 𝑖}^𝜕𝑢_{𝜕𝑦 (𝟒. 𝟓)}

Agar 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik 𝑧, persamaan (𝟒. 𝟒)dan (𝟒. 𝟓) harus identik, maka 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 dan 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 (𝟒. 𝟔) Kedua kesamaan ini dikenal dengan hubungan Cauchy-Riemann.

Hubungan ini dapat digunakan dala menentukan keanalitikan suatu fungsi. Dari persamaan di atas untuk 𝑓(𝑧) = 𝑥2− 𝑦2+ 𝑖2𝑥𝑦, 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 2𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 dan 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = −2𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥

Terlihat bahwa jika suatu fungsi 𝑓(𝑧) analitik, maka fungsi tersebut haruslah memenuhi hubungan Cauchy-Riemann.

Hasil penting lain dari hubungan Cauchy-Riemann adalah saat mendiferensialkan hubungan ini dengan suatu variabel bebas.

𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑦) = 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥) = − 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦) 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥) = − 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦) = − 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥) = − 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑦)

dimana 𝑢 dan 𝑣 secara terpusah adalah solusi dai persamaan Laplace pada dua dimensi 𝜕2𝑢

Sebelum lebih jauh, untuk suatu titik dimana 𝑓(𝑧) tidak analitik pada diagram Argand, titik tersebut disebut sebagai titik singular fungsi kompleks 𝑓(𝑧). Saat 𝑓(𝑧) analitik disemua rentang domain namun terdapat titik singular hanya di 𝑧 = 𝑧₀, maka 𝑧₀ disebut titik singular terisolasi.

4.3 Integral Kompleks

Proses integrasi untuk bilangan ril sudah biasa dilakukan. Berkenaan dengan diperkenalkannya bilangan kompleks, tentu tinjauan integral bilangan kompleks menjadi perlu untuk diperbincangkan. Karena bidang-𝑧 terdiri dari dua dimensi, terdapat kebebasan lebih tinggi serta ambiguitas dengan integral bilangan kompleks. Jika fungsi 𝑓(𝑧) bernilai tunggal dan kontinu pada suatu daerah 𝑅 di bidang kompleks, maka dapat didefinisikan integral kompleks dari 𝑓(𝑧) antara dua titik 𝐴 dan 𝐵 sepanjang suatu kurva di 𝑅; nilainya akan bergantung pada lintasan yang diambil antara 𝐴 dan 𝐵. Namun untuk suatu lintasan, terdapat perbedaan tetapi memikul hubungan nilai integral satu dengan yang lain tidak bergantung pada lintasan mana yang dipilih.

Misalkan lintasan 𝐶 dideskripsikan oleh parameter ril kontinu 𝑡(𝛼 ≤ 𝑡 < 𝛽) yang memberi posisi 𝐶 sebelumnya dengan persamaan

𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡)

dengan 𝑡 = 𝛼 dan 𝑡 = 𝛽 bergantung pada titik 𝐴 dan 𝐵. Maka integral sepanjang lintasan 𝐶 dari fungsi kontinu 𝑓(𝑧) dituliskan

∫ 𝑓(𝑧)

𝐶 𝑑𝑧 (𝟒. 𝟕) dan secara eksplisit sebagai penjumlahan dari integral ril

∫ 𝑓(𝑧) 𝐶 𝑑𝑧 = ∫ (𝑢 + 𝑖𝑣)(𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦) 𝐶 = ∫ 𝑢 𝑑𝑥 𝐶 + 𝑖 ∫ 𝑢 𝑑𝑦 𝐶 + 𝑖 ∫ 𝑣 𝑑𝑥 𝐶 − ∫ 𝑣 𝑑𝑦 𝐶 = ∫ 𝑢^{𝛽 𝑑𝑥}_{𝑑𝑡 𝑑𝑡} 𝛼 − ∫ 𝑣^{𝛽 𝑑𝑦}_{𝑑𝑡 𝑑𝑡} 𝛼 + 𝑖 ∫ 𝑢^{𝛽 𝑑𝑦}_{𝑑𝑡 𝑑𝑡} 𝛼 + 𝑖 ∫ 𝑣^{𝛽 𝑑𝑥}_{𝑑𝑡 𝑑𝑡} 𝛼 (𝟒. 𝟖)

Sebagai penerapan, integral dari 𝑓(𝑧) = 𝑧−1 _{sepanjang lingkaran} |𝑧| = 𝑅, berawal dan berakhir di 𝑅, dengan lintasan 𝐶1 ^{memiliki parameter}

𝑧(𝑡) = 𝑅 cos 𝑡 + 𝑖𝑅 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 sehingga 𝑓(𝑧) memiliki persamaan

𝑓(𝑧) =_{𝑥 + 𝑖𝑦 =}¹ _𝑥^{𝑥 − 𝑖𝑦}_{2+ 𝑦2} yang dapat diperoleh bagian ril dan imajinernya sebagai

𝑢 =_{𝑥2+ 𝑦}^𝑥 ₂ = ^{𝑅 cos 𝑡}_𝑅2 dan 𝑣 = −_{𝑥2+ 𝑦}^𝑦 ₂= −^{𝑅 sin 𝑡}_𝑅2 Menggunakan persamaan (𝟒. 𝟖)maka

∫ ¹ 𝑧 𝐶! 𝑑𝑧 = ∫^{2𝜋cos 𝑡}_𝑅 (−𝑅 sin 𝑡)𝑑𝑡 0 − ∫ (−^{2𝜋 sin 𝑡}_{𝑅 )}(𝑅 cos 𝑡)𝑑𝑡 0 + 𝑖 ∫ (^{2𝜋 cos 𝑡}_{𝑅 )}(𝑅 cos 𝑡)𝑑𝑡 0 + 𝑖 ∫ (−^{𝛽 sin 𝑡}_{𝑅 )}(𝑅 sin 𝑡)𝑑𝑡 𝛼 = 0 − 0 + 𝑖𝜋 + 𝑖𝜋 = 2𝜋𝑖

Hal yang penting dari hasil ini adalah nilainya tidak bergantung terhadap 𝑅.

4.4 Teorema Cauchy

Untuk 𝑓(𝑧) sebuah fungsi analitik dan 𝑓′(𝑧) kontinu pada setiap titik dalam suatu kontur tertutup 𝐶, maka teorema Cauchy menyatakan

∮ 𝑓(𝑧)

𝐶 𝑑𝑧 = 0 (𝟒. 𝟗)

Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Green yang tidak lain adalah bentuk dua dimensi dari teorema divergen. Teoremanya mengatakan, jika 𝑝 dan 𝑞 adalah dua fungsi dengan diferensial pertama kontinu dalam suatu kontur tertutup 𝐶 pada bidang-𝑥𝑦, maka

∬ (^𝜕𝑝_{𝜕𝑥 +}^𝜕𝑞_{𝜕𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦}

𝑅 = ∮ (𝑝 𝑑𝑦 − 𝑞 𝑑𝑥)

𝐶

Sehingga, untuk 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 dan 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦, 𝐼 = ∮ 𝑓(𝑧) 𝐶 𝑑𝑧 = ∮ (𝑢 𝑑𝑥 − 𝑣 𝑑𝑦) 𝐶 + 𝑖 ∮ (𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑑𝑦) 𝐶 memberikan 𝐼 = ∬ (^{𝜕(−𝑣)}_{𝜕𝑥 +}^{𝜕(−𝑢)}_{𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦} 𝑅 + ∬ (^𝜕(𝑢)_{𝜕𝑥 +}^{𝜕(−𝑣)}_{𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦} 𝑅

Karena 𝑓(𝑧) analitik, maka hubungan Cauchy-Riemann terpenuhi, berlaku persamaan (𝟒. 𝟔) sehingga 𝐼 = 0. Teorema Cauchy terbukti.

Aplikasi penting teorema Cauchy adalah membuktikan bahwa pada kasus tertentu, kontur tertutup 𝐶 dapat dideformasi menjadi kontur tertutup lain 𝛾 sedemikian rupa, sehingga integral dari fungsi 𝑓(𝑧) di sekitar setiap kontur memiliki nilai yang sama.

∮ 𝑓(𝑧)

𝐶 𝑑𝑧 = ∮ 𝑓(𝑧)

𝛾 𝑑𝑧 (𝟒. 𝟏𝟎)

Perhatikan dua kontur tertutup 𝐶 dan 𝛾 pada gambar 3.9 dengan kontur 𝛾 berada seluruhnya pada kontur 𝐶. Dua garis paralel 𝐶₁ dan 𝐶₂ menghubungkan 𝛾 dan 𝐶. Terbentuk kontur baru, katakanlah Γ, terdiri dari 𝐶, 𝐶₁, 𝛾 dan 𝐶₂.

Gambar 4.2 Dua kontur, 𝐶 dan 𝛾 berada pada bidang Argand

Dalam luasan yang dilingkupi Γ, fungsi 𝑓(𝑧) analitik, sehingga berlaku teorema Cauchy, ∫ 𝑓(𝑧)_Γ 𝑑𝑧 = 0 . Sekarang, bagian 𝐶₁ dan 𝐶₂ melingkar pada arah berlawanan, dan batas dimana keduanya saling berdekatan, kontribusi dari luasan Γ akan habis, sehingga menyisakan

∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧

𝐶 + ∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧

𝛾 = 0

Didapatkan esensi integral sekitar 𝛾 berlawanan dengan integral sekitar 𝐶, sehingga dengan memutar balik arah melingkar 𝛾, diperoleh persamaan (𝟒. 𝟏𝟎).

4.5 Integral Cauchy

Ketika fungsi 𝑓(𝑧) analitik dalam sebuah kontur tertutup 𝐶 dan 𝑧₀ suatu titik di dalam kontur tertutup tersebut, maka

𝑓(𝑧₀) =_2𝜋𝑖¹ ∮_{𝑧 − 𝑧}^𝑓(𝑧)

0𝑑𝑧

Persamaan (𝟒. 𝟏𝟏) menyatakan bahwa nilai dari fungsi analitik dimanapun di dalam kontur tertutup secara unik ditentukan oleh nilainya pada kontur dan penyajian spesifik persamaan ini dapat diberikan untuk titik interior.

Pembuktian persamaan ini dilakukan dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏𝟎) dan mengambil 𝛾 sebagai lingkaran dengan titik pusat di 𝑧 = 𝑧₀, dengan jari-jari cukup kecil 𝜌 sehingga semuanya berada dalam 𝐶. Karena 𝑓(𝑧) analitik di dalam 𝐶, nilai integrasi 𝑓(𝑧)/(𝑧 − 𝑧₀) analitik pada ruang antara 𝐶 dan 𝛾. Maka dari persamaan (𝟒. 𝟏𝟎), integral sekitar 𝛾 memiliki nilai sama dengan integral sekitar 𝐶.

Kemudian digunakan fakta bahwa titik 𝑧 pada 𝛾 diberikan oleh 𝑧 = 𝑧0+ 𝜌 exp(𝑖𝜃) sementara 𝑑𝑧 = 𝑖𝜌 exp 𝑖𝜃 𝑑𝜃. Maka nilai integral sekitar 𝛾

𝐼 = ∮ _{𝑧 − 𝑧}^𝑓(𝑧)

0𝑑𝑧

𝛾 = ∫^{2𝜋𝑓(𝑧0}_{𝜌 exp 𝑖𝜃}^{+ 𝜌 exp 𝑖𝜃)}𝑖𝜌 exp 𝑖𝜃 𝑑𝜃

0

= 𝑖 ∫ 𝑓(𝑧^2𝜋 ₀+ 𝜌 exp 𝑖𝜃)𝑑𝜃

0

Jika jari-jari dari lingkaran 𝛾 menyusut menuju nol, 𝜌 → 0, maka 𝐼 = 2𝜋𝑖𝑓(𝑧₀), yang membuktikan persamaan (𝟒. 𝟏𝟏).

Hal menarik didapatkan ketika menelusuri perolehan 𝑓′(𝑧₀), dengan menggunakan persamaan dasar turunan 𝑓′(𝑧₀) = lim_ℎ→0^{𝑓(𝑧0+ ℎ) − 𝑓(𝑧}_ℎ ⁰⁾ = lim_ℎ→0[ ¹ 2𝜋𝑖^∮ 𝑓(𝑧) ℎ ( 1 𝑧 − 𝑧0− ℎ − 1 𝑧 − 𝑧0) 𝑑𝑧 𝐶 ] = lim_ℎ→0[_2𝜋𝑖¹ ∮_𝐶(𝑧 − 𝑧₀− ℎ)(𝑧 − 𝑧^𝑓(𝑧) ₀) 𝑑𝑧^] dengan ℎ → 0, maka diperoleh

𝑓′(𝑧₀) =_2𝜋𝑖¹ ∮ (𝑧 − 𝑧^𝑓(𝑧)₀)2𝑑𝑧

𝐶 (𝟒. 𝟏𝟐)

atau secara umum,

𝑓𝑛(𝑧₀) =_2𝜋𝑖^𝑛! ∮ (𝑧 − 𝑧^𝑓(𝑧)₀)𝑛+1𝑑𝑧

𝐶 (𝟒. 𝟏𝟑)

4.6 Deret Taylor dan Laurent

Jika 𝑓(𝑧) analitik di dalam lingkaran 𝐶 dengan jari-jari 𝑅 dengan titik pusat 𝑧 = 𝑧₀, dan 𝑧 berada di dalam 𝐶, maka

𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎_𝑛

∞ 𝑛=0

(𝑧 − 𝑧₀)𝑛 (𝟑. 𝟏𝟒)

dimana 𝑎_𝑛 diberikan oleh 𝑓𝑛(𝑧₀)/𝑛!. Ekspansi Taylor berlaku di dalam daerah analitik dan untuk setiap 𝑧0 ^{memiliki nilai unik.}

Pembuktian persamaan tersebut dapat dimulai dengan persamaan Cauchy 𝑓(𝑧) =_2𝜋𝑖¹ ∮_𝐶(ξ − z) 𝑑𝜉^𝑓(𝜉)

dengan 𝜉 berada di 𝐶. Faktor (𝜉 − 𝑧)−1 _{dapat diekspansi sebagai deret geometri dengan}

(𝑧 − 𝑧₀)/(𝜉 − 𝑧₀), 1 𝜉 − 𝑧 = 1 𝜉 − 𝑧₀^{∑ (} 𝑧 − 𝑧₀ 𝜉 − 𝑧₀⁾ ∞ 𝑛=0 𝑛 sehingga 𝑓(𝑧) =_2𝜋𝑖¹ ∮_{𝜉 − 𝑧}^𝑓(𝜉) 0∑ (^{𝑧 − 𝑧}_{𝜉 − 𝑧}⁰ 0) ∞ 𝑛=0 𝑛 𝑑𝜉 𝐶 =_{2𝜋𝑖 ∑}¹ (𝑧 − 𝑧₀)𝑛 ∞ 𝑛=0 ∮(𝜉 − 𝑧^𝑓(𝜉)₀)𝑛+1𝑑𝜉 𝐶 =_{2𝜋𝑖 ∑}¹ (𝑧 − 𝑧₀)𝑛 ∞ 𝑛=0 2𝜋𝑖 𝑓𝑛(𝑧₀) 𝑛! ^{(𝟑. 𝟏𝟓)}

menyederhanakan persamaan dengan menghilangkan faktor 2𝜋𝑖 diperolehlah (𝟑. 𝟏𝟒) dengan 𝑎𝑛 = 𝑓𝑛(𝑧₀)/𝑛!.

Jika 𝑓(𝑧) memiliki singularitas di dalam 𝐶 pada titik 𝑧 = 𝑧₀, maka fungsi tersebut tidak dapat diekspansi dengaan teorema Taylor. Namun dengan memisalkan 𝑓(𝑧) memiliki kutub dengan orde 𝑝 pada 𝑧 = 𝑧₀ namun analitik di titik lain dan di dalam 𝐶. Maka fungsi 𝑔(𝑧) = (𝑧 − 𝑧₀)𝑝𝑓(𝑧) analitik pada 𝑧 = 𝑧0 ^{dan dapat di ekspansi sebagai deret Taylor disekitar} 𝑧 = 𝑧0

𝑔(𝑧) = ∑ 𝑏_𝑛(𝑧 − 𝑧₀)𝑛 ∞

𝑛=0

, (𝟑. 𝟏𝟔)

sehingga untuk semua 𝑧 di dalam 𝐶, 𝑓(𝑧) akan memiliki deret pangkat dengan bentuk 𝑓(𝑧) =(𝑧 − 𝑧^𝑎−𝑝₀)𝑝+ ⋯ +_{𝑧 − 𝑧}^𝑎−1

0+ 𝑎₀+ 𝑎₁(𝑧 − 𝑧₀) + 𝑎₂(𝑧 − 𝑧₀)2+ ⋯ (𝟑. 𝟏𝟕) dengan 𝑎_−𝑝 ≠ 0. Deret tersebut adalah perluasan dari deret Taylor yang lebih dikenal dengan deret Laurent. Dengan membandingkan koefisien persamaan (𝟑. 𝟏𝟔)dan(𝟑. 𝟏𝟕), dapat dilihat bahwa

𝑎_𝑛 = 𝑏_𝑛+𝑝. Koefisien 𝑏_𝑛 pada ekspansi Taylor 𝑔(𝑧), dengan memanfaatkan persamaan (𝟑. 𝟏𝟑), diberikan oleh 𝑏_𝑛 = ^𝑔𝑛(𝑧₀) 𝑛! = 1 2𝜋𝑖^∮ 𝑔(𝑧) (𝑧 − 𝑧₀)𝑛+1𝑑𝑧 dan koefisien 𝑎_𝑛 𝑎_𝑛 = _2𝜋𝑖¹ ∮(𝑧 − 𝑧^𝑔(𝑧)₀)𝑛+1+𝑝𝑑𝑧 =_2𝜋𝑖¹ ∮(𝑧 − 𝑧^𝑓(𝑧)₀)𝑛+1𝑑𝑧 dimana berlaku baik untuk 𝑛 positif atau negatif.

Bagian pada deret Laurent untuk 𝑛 ≥ 0 disebut bagian analitik, sementara bagian lain, terdiri dari pangkat invers dari 𝑧 − 𝑧0^{, disebut bagian prinsipil. Tergantung sifat alami dari titik} 𝑧 = 𝑧0^{, bagian}

prinsipil dapat mengandung takberhingga bagian, sehingga 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛

+∞ 𝑛=−∞

(𝟒. 𝟏𝟕)

Pada kasus ini, bagian prinsipil konvergen hanya saat |(𝑧 − 𝑧₀)−1| kurang dari suatu konstan, misalnya diluar suatu lingkaran dengan pusat 𝑧₀. Namun, bagian analitik akan konvergen di dalam suatu lingkaran juga berpusat 𝑧₀. Jika lingkaran pada bagian analitik ini jari-jarinya lebih besar maka deret Laurent akan konvergen di daerah 𝑅 antara dua lingkaran, selain itu deretnya tidak konvergen.

Jika 𝑓(𝑧) tidak analitik di 𝑧 = 𝑧₀, maka dua kasus muncul

(i) Dapat dicari bilangan bulat 𝑝 dimana 𝑎_−𝑝 ≠ 0 tapi 𝑎_{−𝑝−𝑘} = 0 untuk semua 𝑘 > 0. (ii) Tidak mungkin menemukan nilai lebih rendah dari −𝑝.

Gambar 4.3 Bagian konvergen 𝑅 untuk deret Laurent dari 𝑓(𝑧) pada sekitar 𝑧 = 𝑧₀ dengan 𝑓(𝑧) memiliki singularitas

Pada kasus (i), 𝑓(𝑧) diperoleh dari (𝟑. 𝟏𝟕) dan medeskripsikan terdapat kutub berderajat 𝑝 pada 𝑧 = 𝑧₀; nilai 𝑎₋₁ disebut sebagai residu dari 𝑓(𝑧) pada kutub 𝑧 = 𝑧₀.

Sementara kasus (ii), saat pangkat menurun negatif dari (𝑧 − 𝑧₀) tidak habis, 𝑓(𝑧) dikatakan memiliki singularitas esensial.

Misalnya, mencari deret Laurent pada pada titik singlaritas 𝑧 = 0 dan 𝑧 = 2 pada fungsi berikut 𝑓(𝑧) =_{𝑧(𝑧 − 2)}¹ ₃ .

Untuk deret Laurent di 𝑧 = 0, faktor dalam kurung pada pembagi diubah kebentuk (1 − 𝛼𝑧), dengan 𝛼 konstan, sehingga

𝑓(𝑧) = − ¹

8𝑧 (1 − 𝑧2)³

= −_{8𝑧 [1 +}¹ (−3) (−^𝑧_{2) +}(−3)(−4) (−^𝑧₂₎²+ (−3)(−4)(−5) (−^𝑧₂₎³… ] = −_{8𝑧 −}¹ _{16 −}^{3 3𝑧}_{16 −}^5𝑧_{32 − ⋯ .}²

Karena pangkat paling kecil dari 𝑧 adalah −1, titik 𝑧 = 0 merupakan kutub dengan orde 1. Residu dari 𝑓(𝑧) pada 𝑧 = 0 adalah koefisien dari 𝑧−1 _{pada ekspansi Laurent di titik tersebut dan memiliki}

nilai, seperti dapat dilihat, −1/8.

Untuk 𝑧 = 2, dengan memisalkan 𝑧 = 2 + 𝜉, maka 𝑓(𝑧) =(2 + 𝜉)𝜉¹ 3 = ¹

2𝜉3(1 + 𝜉2)

=_2𝜉¹₃[1 − (^𝜉_{2) + (}^𝜉₂₎²− (₂₎^{𝜉 3}+ ⋯ ] =_2𝜉¹₃−_4𝜉¹₂+_{8𝜉 −}¹ _{16 + ⋯}¹

=_{2(𝑧 − 2)}¹ ₃−_{4(𝑧 − 2)}¹ ₂+_{8(𝑧 − 2) −}¹ _{16 + ⋯ .}¹

Terlihat bahwa di titik 𝑧 = 2 kutubnya berorde 3 dan residu dari 𝑓(𝑧), koefisien dari (𝑧 − 2)−1_,

adalah 1/8.

Untuk 𝑓(𝑧) dengan kutub berorde 𝑚 pada 𝑧 = 𝑧₀, dengan deret Laurent

𝑓(𝑧) =(𝑧 − 𝑧^𝑎−𝑚₀)𝑚+ ⋯ +(𝑧 − 𝑧^𝑎−1₀) + 𝑎0+ 𝑎1(𝑧 − 𝑧₀) + 𝑎₂(𝑧 − 𝑧₀) + ⋯ mengalikan kedua ruas dengan (𝑧 − 𝑧₀)𝑚_,

Melakukan diferensial 𝑚 − 1 kali, 𝑑𝑚−1 𝑑𝑧𝑚−1[(𝑧 − 𝑧₀)𝑚𝑓(𝑧)] = (𝑚 − 1)! 𝑎₋₁ + ∑ 𝑏_𝑛(𝑧 − 𝑧₀)𝑛 ∞ 𝑛=1 ,

untuk suatu koefisien 𝑏_𝑛. Pada limit 𝑧 → 𝑧₀, bagian dalam sigma akan habis, dan setelah melakukan beberapa penyusunan ulang didapatkan bentuk

𝑅(𝑧0) = 𝑎−1= lim_𝑧→𝑧0{(𝑚 − 1)!¹ 𝑑𝑚−1

𝑑𝑧𝑚−1[(𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑓(𝑧)] } , (𝟒. 𝟏𝟖) dimana bentuk tersebut adalah nilai residu dari 𝑓(𝑧) di titik 𝑧 = 𝑧₀.

Untuk 𝑓(𝑧) dengan kutub sederhana di 𝑧 = 𝑧₀, kutub berorde 1, maka residunya dengan mudah dapat diperoleh dengan

𝑅(𝑧₀) = lim_𝑧→𝑧

0[(𝑧 − 𝑧₀)𝑓(𝑧)] . (𝟒. 𝟏𝟗)

Jika disamping memiliki kutub sederhana di 𝑧 = 𝑧₀ dan 𝑓(𝑧) juga berbentuk 𝑔(𝑧)/ℎ(𝑧) dengan 𝑔(𝑧) analitik dan tidak nol di 𝑧₀ dan ℎ(𝑧₀) = 0, maka (𝟒. 𝟏𝟗) menjadi

𝑅(𝑧₀) = lim_𝑧→𝑧 0 (𝑧 − 𝑧0)𝑔(𝑧) ℎ(𝑧) ^{= 𝑔(𝑧0}) lim_𝑧−𝑧 0 (𝑧 − 𝑧0) ℎ(𝑧) = 𝑔(𝑧0) lim_{𝑧→𝑧0ℎ′(𝑧}¹ 0) 𝑅(𝑧₀) =_ℎ^𝑔(𝑧_′(𝑧⁰⁾ 0) (𝟒. 𝟐𝟎)

dimana digunakan dalil l’Hopital pada pendekatan limitnya.

4.7 Teorema Residu

Dari teorema Cauchy telah diketahui bahwa nilai integral sekitar kontur tertutup 𝐶 nol jika fungsi yang diintegralkan analitik di dalam kontur. Saat fungsi tidak analitik di dalam 𝐶, maka perlu dilakukan kajian lebih jauh.

Misalkan 𝑓(𝑧) berkutub 𝑚 di 𝑧 = 𝑧₀, sehingga dapat diekspansi dengan deret Laurent disekitar 𝑧₀ 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛

∞ 𝑛=−𝑚

. (𝟒. 𝟐𝟏)

Untuk integral 𝐼 dari 𝑓(𝑧) disekitar kontur tertutup 𝐶 yang mencakup 𝑧 = 𝑧₀, namun tidak titik singular lain. Menggunakan teorema Cauchy, integral ini memiliki nilai sama untuk integral disekitar lingkaran 𝛾 dengan radius 𝜌 berpusat di 𝑧 = 𝑧₀, karena 𝑓(𝑧) analitik di daerah antara 𝐶 dan 𝛾. Pada lingkaran diperoleh 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜌𝑒𝑖𝜃_, 𝑑𝑧 = 𝑖𝜌𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃, sehingga

𝐼 = ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 𝛾 = ∑ 𝑎_𝑛∮ (𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑑𝑧 ∞ 𝑛=−𝑚 = ∑ 𝑎_𝑛∫ 𝑖𝜌^2𝜋 𝑛+1𝑒[𝑖(𝑛+1)𝜃]𝑑𝜃 0 ∞ 𝑛=−𝑚 . Untuk setiap bagian dengan 𝑛 ≠ −1, didapatkan

∫ 𝑖𝜌^2𝜋 𝑛+1𝑒[𝑖(𝑛+1)𝜃]𝑑𝜃

0 = [^{𝑖𝜌𝑛+1}_{𝑖(𝑛 + 1)}^{𝑒[𝑖(𝑛+1)𝜃]}]

0 2𝜋

= 0 , namun untuk bagian 𝑛 = −1 didapatkan

∫ 𝑖𝑑𝜃^2𝜋

0 = 2𝜋𝑖 .

Sehingga dapat dilihat hanya bagian (𝑧 − 𝑧0)−1 _{berkontribusi pada nilai integral sekitar} 𝛾, begitupun 𝐶, dan 𝐼 kemudian dapat dituliskan

𝐼 = ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧

𝐶 = 2𝜋𝑖𝑎₋₁ . (𝟒. 𝟐𝟐)

Dari hasil ini didapatkan bahwa integral disekitar kontur tertutup dengan mengandung satu kutub berorde 𝑚, singularitas esensial, nilainya adalah 2𝜋𝑖 dikalikan residu dari 𝑓(𝑧) pada 𝑧 = 𝑧₀. Untuk kasus dimana 𝑓(𝑧) di dalam dan pada sebuah kontur tertutup 𝐶 dan analitik, kecuali untuk kutub dengan nilai berhingga, di dalam 𝐶, teorema residu memberikan

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧

𝐶 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅_𝑗

𝑗

, (𝟒. 𝟐𝟑)

dengan ∑ 𝑅_{𝑗 𝑗} adalah penjumlahan residu dari 𝑓(𝑧) pada masing-masing kutub di dalam 𝐶.

Metode pembuktiannya dapat memperhatikan gambar 4.4. Pada (a) menunjukkan kontur 𝐶 dari persamaan (𝟒. 𝟐𝟑) dan (b) menunjukkan kontur 𝐶′ _{dengan nilai yang sama untuk integralnya,}

karena 𝑓 analitik di 𝐶 dan 𝐶′_{. Kontribusi dari integral untuk} 𝐶′ _{dari segitiga yang menghubungkan}

ketiga titik adalah nol, karena 𝑓 juga analitik di dalam 𝐶′_{. Sehingga nilai keseluruhan integral}

diberikan oleh lingkarannya, sesuai (𝟒. 𝟐𝟐), setiap kontribusi ini adalah 2𝜋𝑖 dikalikan dengan residu pada kutub yang dicakup. Kesemua lingkaran berputar pada arah positif jika 𝐶 berputar dan teorema residu berlaku. Secara formal, teorema residu Cauchy pada (𝟒. 𝟗) adalah kasus spesial dari (𝟒. 𝟐𝟑) untuk kontur 𝐶 tidak mengandung kutub.

4.8 Integrasi Kontur untuk Integral Tentu

Ada beberapa bentuk fungsi untuk penerapan integrasi kontur. Salah satunya adalah integrasi fungsi sinusoidal dengan bentuk

∫ 𝐹(cos 𝜃 , sin 𝜃)𝑑𝜃^2𝜋

0 .

Integral tersebut dapat diubah menjadi integral kontur dengan melakkan substitusi 𝑧 = 𝑒𝑖𝜃_{, dimana}

kemudian

cos 𝜃 =¹₂(𝑧 + 𝑧−1), sin 𝜃 = −¹_{2 𝑖}(𝑧 − 𝑧−1), 𝑑𝜃 = −𝑖𝑧−1𝑑𝜃 (𝟒. 𝟐𝟒) Sebagi latihan, untuk

𝐼 = ∫^2𝜋_{5 + 4 cos 𝜃}^𝑑𝜃

0 ,

dengan substitusi 𝑧𝑒𝑖𝜃_, 𝜃 akan memiliki batas 0 sampai 2𝜋, membentuk kurva tertutup berbentuk lingkaran berjari-jari 1. Melakukan substitusi nilai cos 𝜃 dan 𝑑𝜃 dari (𝟒. 𝟐𝟒),

𝐼 = ∮_{5 + 2(𝑧 + 𝑧}^{−𝑖𝑧−1𝑑𝑧}₋₁₎ =¹_𝑖∮ ^𝑑𝑧 5𝑧 + 2𝑧2+ 2⁼ 1 𝑖 ^∮ 𝑑𝑧 (2𝑧 + 1)(𝑧 + 2) ^.

Terlihat fungsinya memiliki kutub di 𝑧 = −1/2 dan 𝑧 = −2. Namun, hanya titik 𝑧 = −1/2 yang berada pada cakupan kurva tertutup. Residu dari fungsi di 𝑧 = −1/2, dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏𝟗), didapatkan 𝑅(−1/2) = lim 𝑧→−12[(𝑧 + 1/2) (2𝑧 + 1)(𝑧 + 2)]¹ = lim_{𝑧→−1/2} (𝑧 + 1/2) 2(𝑧 + 1/2)(𝑧 + 2) = 1 2 (− 12 + 2) ⁼ 1 3 . Dari teorema residu, (𝟒. 𝟐𝟐), didapatkan

𝐼 =¹_{𝑖 2𝜋𝑖𝑅}(−1/2) =^2𝜋₃ nilai integral awal yang diinginkan.