Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan yang menghubungkan fungsi tidak diketahui (variabel bergantung) dari dua atau lebih variabel terhadap turunan parsial dengan mengacu pada variabel tersebut. Variabel tidak bergantung yang paling sering dijumpai adalah posisi dan waktu.

3.1 Persamaan Diferensial Parsial Secara Umum

Kebanyakan PDP pada gejala fisis merupakan orde kedua dan linear. Untuk mendapat kesan terhadap bentuk umumnya, berikut diperkenalkan beberapa bentuk PDP dalam sistem fisis. Persamaan gelombang,

∇2𝑢 =_𝑐¹₂^𝜕_𝜕𝑡^2𝑢₂ (𝟑. 𝟏)

Mendeskripsikan fungsi posisi dan waktu perpindahan dari titik kesetimbangan 𝑢(𝐫, 𝑡), dari tali atau membran bergetar, gas atau cairan. Persamaannya juga muncul pada elektromagnetik, dimana 𝑢 dapat merupaan medan listrik atau medan magnet dalam gelombang elektromagnetik atau arus maupun tegangan sepanjang garis transmisi. Nilai 𝑐 merupakan kecepatan rambat gelombang. Persamaan difusi,

𝜅∇2𝑢 = ^𝜕𝑢_{𝜕𝑡 (𝟑. 𝟐)}

Mendeskripsikan temperature 𝑢 pada suatu wilayah tanpa mengandung sumber panas. Persamaan ini juga berlaku untuk difsui kimia dengan konsentrasi 𝑢(𝐫, 𝑡). Konstanta 𝜅 disebut difusifitas. Persamaannya jeas terlihat terdiri dari tiga variabel spasial berorde dua dan satu variabel waktu berorde satu.

Persamaan Laplace,

𝜅∇2𝑢 = 0 (𝟑. 𝟑)

Didapatkan dengan pada kondisi 𝜕𝑢/𝜕𝑡 = 0 pada persamaan difusi, dan mendeskripsikan, misalnya, distribusi temperature steady-state pada sebuah padatan dimana tidak ada sumber panas. Persamaan Laplace juga dapat digunakan dalam mendeskripsikan potensial gravitasi pada wilayah tidak ada benda atau potensial listrik pada wilayah tidak adanya muatan. Lebih jauh, aplikasinya dapat diterapkan pada fluida tidak tertekan dengan tidak ada sumber.

Persamaan Poisson,

juga mendeskripsikan situasi fisis sama dengan persamaan Laplace, namun pada wilayah mengandung benda, muatan, atau sumber panas atau cairan. Fungsi 𝜌(𝐫) disebut rapat sumber dan pada aplikasi fisis biasanya mengandung konstanta fisis. Misalnya, jika 𝑢 adalah potensial listrik pada suatu daerah dalam ruang, dimana 𝜌 adalah rapat muatan listrik, maka ∇2𝑢 = −𝜌(𝐫)/𝜖₀, dengan 𝜖₀ permitivitas ruang hampa.

Persamaan Schrodinger,

−_{2𝑚 ∇}^ℏ2 2𝑢 + 𝑉(𝐫)𝑢 = 𝑖ℏ^𝜕𝑢_{𝜕𝑡 (𝟑. 𝟓)}

Mendeskripsikan fungsi mekanika kuantum 𝑢(𝐫, 𝑡) dari partikel non-relaivistik bermassa 𝑚, ℏ adalah konstanta Planck dibagi 2𝜋. Seperti persamaan difusi, bentuknya juga berorde dua dalam tiga variabel spasial dan berorde satu dalam waktu.

3.2 Separasi Variabel

Misalkan kita mencari solusi 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) untuk persamaan diferensial parsial dalam kordinat Kartesian. Bentuk awalnya dapat dimisalkan dalam bentuk

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦)𝑍(𝑧)𝑇(𝑡) (𝟑. 𝟔)

Solusi dengan bentuk seperti ini dikatakan terpisah dengan variabel 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝑡, dan mencari solusinya disebot motode separasi variabel.

Untuk persamaan diferensial parsial secara umum, kelihatannya sulit mendapatkan solusi terpisah. Namun untuk beberapa persamaan umum dan persamaan fisis, memiliki solusi dengan bentuk ini. Untuk menjabarkan lebih jauh, dapat ditinjau persamaan gelombang dalam tiga dimensi

∇2𝑢(𝐫) =_𝑐¹₂^𝜕2_𝜕𝑡^𝑢(𝐫)₂ (𝟑. 𝟕) yang dalam kordinat Kartesian

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+^𝜕_𝜕𝑦^2𝑢₂ +^𝜕_𝜕𝑧^2𝑢₂ =_𝑐¹₂^𝜕_𝜕𝑡^2𝑢₂ (𝟑. 𝟖) dengan substitusi persamaan (3.6) didapatkan

𝑑2𝑋

𝑑𝑥2𝑌𝑍𝑇 + 𝑋^𝑑_𝑑𝑦^2𝑌₂𝑍𝑇 + 𝑋𝑌_𝑑𝑧^𝑑2𝑍₂𝑇 =_𝑐¹₂ 𝑋𝑌𝑍^𝑑_𝑑𝑡^2𝑇₂ (𝟑. 𝟗) dan lebih mudah dilihat dengan notasi

𝑋′′𝑌𝑍𝑇 + 𝑋𝑌′′𝑍𝑇 + 𝑋𝑌𝑍′′𝑇 =_𝑐¹₂𝑋𝑌𝑍𝑇′′ (𝟑. 𝟏𝟎)

𝑋′′ 𝑋 + 𝑌′′ 𝑌 + 𝑍′′ 𝑍 = 1 𝑐2 𝑇′′ 𝑇 (𝟑. 𝟏𝟏)

Bentuk ini merupakan dasar dari metoda separasi variabel. Bagian pertama hanya bergantung pada 𝑥, bagian kedua pada 𝑦, bagian ketiga pada 𝑧, serta bagian sisi kanan persamaan hanya bergantung pada 𝑡. Persamaan (3.7) dapat dipenuhi untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝑡 jika setiap bagian tidak bergantung terhadap variabel bebas namun haruslah sebuah konstanta.

Untuk mengilustrasikan pemisalan, dipilih −𝑙2, −𝑚2, −𝑛2 _{untuk tiga konstanta pertama.}

Konstanta yang berhubungan dengan sisi sebelah kanan persamaan haruslah memenuhi −𝜇2 = −(𝑙2+ 𝑚2+ 𝑛2). Penjabaran ini kemudian membuat persamaan (3.7) dapat dituliskan dalam empat persamaan diferensial biasa

𝑋′′ 𝑋 = −𝑙^2, 𝑌′′ 𝑌 = −𝑚^2, 𝑍′′ 𝑍 = −𝑛^2, 1 𝑐2 𝑇′′ 𝑇 = −𝜇^{2 (𝟑. 𝟏𝟐)}

Penyederhanaan ini merupakan alat untuk mengasumsikan sebuah solusi terpisah, PDP memiliki turunan terhadap empat variabel bebas dalam satu persamaan, telah direduksi menjadi empat PDB terpisah. Persamaannya dihubungkan dengan empat parameter konstan yang memenuhi ungkapan aljabar. Konstanta ini disebut juga konstanta separasi.

Solusi umum dari persamaan (3.8) kemudian dapat langsung dideduksi 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒𝑖𝑙𝑥+ 𝐵𝑒−𝑖𝑙𝑥

𝑌(𝑦) = 𝐶𝑒𝑖𝑚𝑦 + 𝐷𝑒−𝑖𝑚𝑦 (𝟑. 𝟏𝟑) 𝑍(𝑧) = 𝐸𝑒𝑖𝑛𝑧+ 𝐹𝑒−𝑖𝑛𝑧

𝑇(𝑡) = 𝐺𝑒𝑖𝑐𝜇𝑡+ 𝐻𝑒−𝑖𝑐𝜇𝑡

dengan 𝐴, 𝐵, … , 𝐻 adalah konstanta, diperoleh dengan menggunakan syarat batas dari suatu solusi. Bentuk alternatif solusinya dapat pula dituliskan

𝑋(𝑥) = 𝐴′cos 𝑙𝑥 + 𝐵′sin 𝑙𝑥

𝑌(𝑦) = 𝐶′cos 𝑚𝑦 + 𝐷′sin 𝑚𝑦 (𝟑. 𝟏𝟒) 𝑍(𝑧) = 𝐸′cos 𝑛𝑧 + 𝐹′sin 𝑛𝑧

𝑇(𝑡) = 𝐺′cos(𝑐𝜇𝑡) + 𝐻′sin(𝑐𝜇𝑡)

dimana 𝐴′, 𝐵′, … , 𝐻′ merupakan konstanta lain. Pemilihan bentuk dalam merepresentasikan solusi bergantung pada permasalahannya.

Sebagai gambaran, dengan memasukkan syarat batas misalnya, didapatkan solusi 𝑋(𝑥) = 𝑒𝑖𝑙𝑥 𝑌(𝑦) = 𝑒𝑖𝑚𝑦

𝑍(𝑧) = 𝑒𝑖𝑛𝑧 𝑇(𝑡) = 𝑒−𝑖𝑐𝜇𝑡

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒𝑖𝑙𝑥𝑒𝑖𝑚𝑦𝑒𝑖𝑛𝑦𝑒−𝑖𝑐𝜇𝑡

= 𝑒𝑖(𝑙𝑥+𝑚𝑦+𝑛𝑦−𝑐𝜇𝑡)

Dalam notasi konvensional teori gelombang, 𝑙, 𝑚, 𝑛 adalah komponen dari vektor gelombang 𝐤, dimana besarnya 𝑘 = 2𝜋/𝜆, dengan 𝜆 panjang gelombang. Adapun 𝑐𝜇 adalah frekuensi sudut 𝜔 dari gelombang. Sehingga, persamaannya dapat dituliskan

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑒𝑖(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧−𝜔𝑡) = 𝑒𝑖(𝐤∙𝐫−𝜔𝑡)

Metode separasi variabel ini dapat diaplikasikan untuk banyak PDP yang muncul pada fenomena fisis.

3.2 Superposisi Solusi Terpisah

Saat persamaan diferesial parsial berbentuk linear (seperti persamaan Laplace, Schrodinger, difusi dan gelombang), solusi matematis dapat dibentuk dari prinsip superposisi untuk nilai berbeda setiap konstanta separasi. Mengambil dua variabel misalnya

𝑢_𝜆𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑋_𝜆1(𝑥)𝑌_𝜆1(𝑦)

merupakan solusi PDP dengan memberikan konstanta separasi variabel 𝜆₁, maka hasil superposisi 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎₁𝑋_𝜆1(𝑥)𝑌_𝜆1(𝑦) + 𝑎₂𝑋_𝜆2(𝑥)𝑌_𝜆2(𝑦) + ⋯

= ∑ 𝑎_𝑖𝑋_𝜆𝑖(𝑥)𝑌_𝜆𝑖(𝑦)

𝑖

(𝟑. 𝟏𝟓)

juga merupakan solusi untuk setiap konstanta 𝑎_𝑖, dengan 𝜆_𝑖 adalah nilai yang memenuhi konstanta separasi 𝜆, diberikan oleh syarat batas. Nilai dari superposisi merupakan hasil dari syarat batas, katakanlah 𝑢(𝑥, 𝑦) memiliki bentuk tertentu 𝑓(𝑥) pada 𝑦 = 0, dapat ditemukan dengan memilih konstanta 𝑎𝑖 ^{sedemikian rupa}

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎_𝑖𝑋_𝜆𝑖(𝑥)𝑌_𝜆𝑖(0)

𝑖

Secara umum, hal ini akan memungkinkan fungsi 𝑋_𝜆𝑖(𝑥) membentuk kumpulan fungsi, seperti halnya fungsi sinusoidal pada deret Fourier.

Untuk menggambarkan penggunaan prinsip superposisi pada penyelesaian PDP, misalkan sebuah logam segi empat semi-takberhingga berada apada daerah 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞ dan 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏 pada bidang-𝑥𝑦. Temperatur pada ujung jauh dari logam dan kedua sisi lainnya adalah 0°C.

Gambar 3.1 Semi-takberhingga plat logam dengan setiap sisi bertemperatur tetap

Saat temperatur dari logam di 𝑥 = 0 juga tetap dan diberikan oleh 𝑓(𝑦), distribusi temperatur keadaan tunak 𝑢(𝑥, 𝑦) dari logam dapat dicari dengan menggunakan persamaan difusi

𝜅 (^𝜕_𝜕𝑥^2𝑢₂+^𝜕_𝜕𝑦^2𝑢₂) =^𝜕𝑢_𝜕𝑡

Namun karena kondisinya tunak, 𝜕𝑢/𝜕𝑡 = 0, membuat persamaannya direduksi menjadi persamaan Laplace

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+^𝜕_𝜕𝑦^2𝑢₂ = 0

Menggunakan asumsi 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦), solusinya dapat dipenuhi oleh persamaan 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒𝑖𝑙𝑥+ 𝐵𝑒−𝑖𝑙𝑥, 𝑌(𝑦) = 𝐶𝑒𝑖𝑚𝑦+ 𝐷𝑒−𝑖𝑚𝑦

atau

𝑋(𝑥) = 𝐴′cos 𝑙𝑥 + 𝐵′sin 𝑙𝑥 , 𝑌(𝑦) = 𝐶′cos 𝑚𝑦 + 𝐷′sin 𝑚𝑦

Pada kasus ini, persamaan haruslah memenuhi syarat batas 𝑢(𝑥, 0) = 0 = 𝑢(𝑥, 𝑏) dan terlihat solusi sinusoidal pada bagian 𝑦 cukup sesuai. Lebih jauh, karena syarat lain 𝑢(∞, 𝑦) = 0 maka solusi dari bagian 𝑥 dapat dipilih dalam bentuk eksponensial. Solusi terpisah dari kasus ini kemudian dapat dituliskan

𝑢(𝑥, 𝑦) = (𝐴𝑒𝜆𝑥+ 𝐵−𝜆𝑥)(𝐶 cos 𝜆𝑦 + 𝐷 sin 𝜆𝑦)

Dengan menyesuaikan dengan syarat batas 𝑢(∞, 𝑦) = 0 mengharuskan 𝐴 = 0 jika diambil 𝜆 > 0. Selanjutnya, karena 𝑢(𝑥, 0) = 0 mengharuskan 𝐶 = 0. Dengan menyerap konstanta 𝐷 ke 𝐵, menyisakan

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐵𝑒−𝜆𝑥sin 𝜆𝑦

Namun dengan kondisi lain, 𝑢(𝑥, 𝑏) = 0, mengharuskan 𝜆 = 𝑛𝜋/𝑏, dengan 𝑛 bilangan bulat positif. Hal ini membuat terdapat 𝑛 buah solusi dari persamaan.

Menggunakan prinsip superposisi, solusi umum untuk memenuhi syarat batas dapat dituliskan 𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝐵_𝑛𝑒^{−𝑛𝜋𝑥}𝑏 sin^𝑛𝜋𝑦_𝑏

∞ 𝑛=1

(𝟑. 𝟏𝟔)

untuk suatu konstanta 𝐵_𝑛. Bilangan bulat 𝑛 negatif tidak disertakan karena akan membuat solusinya divergen saat 𝑥 → ∞. Syarat batas tersisa adalah 𝑢(0, 𝑦) = 𝑓(𝑦), dan mengharuskan konstanta 𝐵_𝑛 memenuhi

𝑓(𝑦) = ∑ 𝐵_𝑛sin^𝑛𝜋𝑦_𝑏

∞ 𝑛=1

Bentuk ini tidak lain adalah ekspansi deret Fourier untuk bagian sinus, sehingga konstanta 𝐵_𝑛 dapat ditelusuri dengan 𝐵_𝑛 =²_𝑏∫ 𝑓(𝑦)^𝑏 0 sin (^𝑛𝜋𝑦_{𝑏 ) 𝑑𝑦} dengan 𝑓(𝑦) = 𝑢₀, maka 𝐵_𝑛 = ²_𝑏∫ 𝑢0 𝑏 0 sin (^𝑛𝜋𝑦_{𝑏 ) 𝑑𝑦} =²_{𝑏 [−𝑢0𝑛𝜋 cos (}^{𝑏 𝑛𝜋𝑦}_{𝑏 )]}^𝑏₀ = −^2𝑢_𝑛𝜋⁰[cos 𝑛𝜋 − 1] = −^2𝑢_𝑛𝜋⁰[(−1)𝑛− 1] = {^4𝑢_{𝑛𝜋 𝑛 ganjil}⁰ 0 𝑛 genap Dengan substitusi pada (3.12), didapatkan solusi akhirakhir

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ ^4𝑢_{𝑛𝜋 𝑒}^{0 −(𝑛𝜋𝑥}𝑏 )sin (^𝑛𝜋𝑦_{𝑏 )}

𝑛 ganjil

3.3 Separasi Variabel pada Kordinat Polar

Dalam banyak sistem fisis pada dua dan tiga dimensi secara alami diekspresikan dalam bentuk koordinat polar, dimana banyak keuntungan dapat diambil dari bentuk simetrinya. Hal tersebut menjadi alasan untuk menelaah separasi variabel pada koordinat bidang polar, silinder, dan bola.

Banyak PDP mengandung operator ∇2_{, seperti di persamaan gelombang, persamaan difusi,}

persamaan Schrodinger dan persamaan Poisson. Pada pembahasan kalkulus vektor, bentuk operator ∇2 _{untuk koordinat bidang polar, silinder dan bola secara berurut diberikan oleh}

∇2=¹_{𝜌𝜕𝜌 (𝜌}^𝜕 _{𝜕𝜌) +}^𝜕 _𝜌¹_2𝜕𝜙^𝜕2₂ (𝟑. 𝟏𝟕) ∇2=¹_{𝜌𝜕𝜌 (𝜌}^𝜕 _{𝜕𝜌) +}^𝜕 _𝜌¹_2𝜕𝜙^𝜕2₂ +_𝜕𝑧^𝜕2₂ (𝟑. 𝟏𝟖) ∇2=_𝑟¹_{2𝜕𝑟 (𝑟}^𝜕 2 𝜕 𝜕𝑟) + 1 𝑟2sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃) + 1 𝑟2sin2𝜃 𝜕2 𝜕𝜙2 (𝟑. 𝟏𝟗) Persamaan paling sederhana dengan ∇2 _{adalah persamaan Laplace,}

∇2𝑢(𝒓) = 0 (𝟑. 𝟐𝟎)

Dari penjabaran persamaan ini dapat diperoleh penjabaran untuk bentuk persamaan lain yang lebih kompleks.

3.3.1 Persamaan Laplace di Bidang Polar

Misalkan untuk mecari solusi (𝟑. 𝟐𝟎) pada lingakaran 𝜌 = 𝑎. Pencarian solusi akan mengarah pada variabel 𝜌 dan 𝜙 dengan mengakomodasi syarat batas di 𝜌 = 𝑎.

Menuliskan 𝑢(𝜌, 𝜃) = 𝑃(𝜌)Φ(𝜙) dan menggunakan (𝟑. 𝟏𝟕) diperoleh Φ 𝜌 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝜌) + 𝑃 𝜌2 𝜕2Φ 𝜕𝜙2 = 0 mengalikan dengan 1/𝑃Φ dan 𝜌2_,

𝜌 𝑃 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝜌) + 1 Φ 𝜕2Φ 𝜕𝜙2 = 0 membuat persamaannya dapat dipisah menjadi dua bentuk PDB

𝜌 𝑃 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝜌) = 𝑛^{2 (𝟑. 𝟐𝟏)} 1 Φ 𝜕2Φ 𝜕𝜙2 = −𝑛2 (𝟑. 𝟐𝟐)

dengan 𝑛2 _{adalah konstanta pemisah. Secara umum nilai} 𝑛 ini adalah suatu bilangan (bisa dalam bentuk kompleks).

Pertama, untuk 𝑛 ≠ 0, persamaan (𝟑. 𝟐𝟐) memiliki bentuk umum Φ(𝜙) = 𝐴𝑒𝑖𝑛𝜙+ 𝐵𝑒−𝑖𝑛𝜙 (𝟑. 𝟐𝟑) Sementara persamaan (𝟑. 𝟐𝟏) berbentuk persamaan homogeny

𝜌2𝑃′′+ 𝜌𝑃′− 𝑛2𝑃 = 0

yang dapat diselesaikan dengan menggunakan deret pangkat 𝜌, atau dapat juga dengan substitusi 𝜌 = 𝑒𝑡 _{untuk mendapatkan}

𝑃(𝜌) = 𝐶𝜌𝑛+ 𝐷𝜌−𝑛 (𝟑. 𝟐𝟒)

Substitusi ulang (𝟑. 𝟐𝟑) dari persamaan azimuthal (𝟑. 𝟐𝟐), dapat dilihat bahwa jika 𝚽, dan kemudian 𝑢, memilliki nilai tunggal dan tidaklah berubah ketika 𝜙 meningkat 2𝜋 maka 𝑛 haruslah bilangan bulat. Secara matematis, nilai lain dari 𝑛 memungkinkan, namun ini tidaklah mendeskripsikan situasi fisis yang ril. Dari hasil ini, diperoleh solusidari persamaan Laplace dua dimensi

𝑢(𝜌, 𝜙) = (𝐴 cos 𝑛𝜙 + 𝐵 sin 𝑛𝜙)(𝐶𝜌𝑛 + 𝐷𝜌−𝑛) dengan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 adalah suatu konstanta dan 𝑛 adalah bilangan bulat. Ketika 𝑛 = 0 solusi (𝟑. 𝟐𝟏) dan (𝟑. 𝟐𝟐)adalah

Φ(𝜙) = 𝐴𝜙 + 𝐵 𝑃(𝜌) = 𝐶 ln 𝜌 + 𝐷

Namun, agar 𝑢 = 𝑃Φ bernilai tunggal, kita perlukan 𝐴 = 0, sehingga solusi untuk 𝑛 = 0 adalah 𝑢(𝜌, 𝜙) = 𝐶 ln 𝜌 + 𝐷 .

Melakukan superposisi terhadap solusi untuk nilai 𝑛 berbeda-beda, solusi umum persamaan Laplace pada bidang polar adalah

𝑢(𝜌, 𝜙) = (𝐶₀ln 𝜌 + 𝐷₀) + ∑(𝐴_𝑛cos 𝑛𝜙 + 𝐵_𝑛sin 𝑛𝜙)(𝐶_𝑛𝜌𝑛+ 𝐷_𝑛𝜌−𝑛)

∞ 𝑛=1

(𝟑. 𝟐𝟓) untuk 𝑛 bentuknya bilangan bulat. Nilai 𝑛 negatif telah lingkupi oleh nilai 𝑛 positif. Karena ln 𝜌 singular di 𝜌 = 0, saat menyelesaikan persamaan Laplace pada daerah dengan titik awal, 𝐶₀ haruslah nol.

3.3.2 Persamaan Laplace pada Silinder

Dalam koordinat silinder, persamaan Laplace secara umum berbentuk 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝜌) + 1 𝜌2 𝜕2𝑢 𝜕𝜙2+^𝜕_𝜕𝑧^2𝑢₂ = 0. (𝟑. 𝟐𝟔) Seperti sebelumnya, solusinya dapat dimisalkan

𝑢(𝜌, 𝜙, 𝑧) = 𝑃(𝜌)Φ(𝜙)𝑍(𝑧)

dimana saat disubstitusi ke (𝟑. 𝟐𝟔) dan melakukan pembagian terhadap 𝑢 = 𝑃Φ𝑍 memberikan 1 𝑃𝜌 𝑑 𝑑𝜌 (𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝜌) + 1 Φ𝜌2 𝑑2Φ 𝑑𝜙2 +_𝑍^1𝑑_𝑑𝑧^2𝑍₂ = 0 .

Bagian terakhir hanya bergantung terhadap 𝑧, sementara bagian pertama dan kedua secara berurut bergantung pada 𝜌 dan 𝜙. Mengambil konstanta separasi 𝑘2_{, diperoleh}

1 𝑍 𝑑2𝑍 𝑑𝑧2 = 𝑘2, 1 𝑃𝜌 𝑑 𝑑𝜌 (𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝜌) + 1 Φ𝜌2 𝑑2Φ 𝑑𝜙2 + 𝑘2 = 0 . Persamaan pertama memiliki solusi

𝑍(𝑧) = 𝐸𝑒−𝑘𝑧+ 𝐹𝑒𝑘𝑧. Mengalikan persamaan kedua dengan 𝜌2_{, diperoleh}

𝜌 𝑃 𝑑 𝑑𝜌 (𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝜌) + 1 Φ 𝑑2Φ 𝑑𝜙2 + 𝑘2𝜌2 = 0,

dengan bagian keduanya hanya bergantung pada Φ sementara bagian lain bergantung pada 𝜌. Mengambil konsanta separasi 𝑚2_{, didapatkan}

1 Φ

𝑑2Φ

𝑑𝜙2 = −𝑚2, (𝟑. 𝟐𝟕)

Persamaan pada sudut azimuth 𝜙 memiliki solusi yang tidak asing lagi Φ(𝜙) = 𝐶 cos 𝑚𝜙 + 𝐷 sin 𝑚𝜙

Sama halnya pada dua dimensi, sifat nilai tunggal dari 𝑢 membuat 𝑚 haruslah suatu bilangan bulat. Namun saat 𝑚 = 0, solusinya memberikan

Φ(𝜙) = 𝐶𝜙 + 𝐷 .

Bentuk ini sesuai untuk sebuah solusi dengan simetri aksial (𝐶 = 0) atau sebuah nilai banyak, seperti potensial skalar magnet diasosiasikan dengan arus 𝐼.

Terakhir, persamaan dengan 𝜌, (𝟑. 𝟐𝟖), bisa ditransformasikan ke dalam persamaan Bessel berorde 𝑚 dengan menuliskan 𝜇 = 𝑘𝜌. Hal ini memberikan solusi

𝑃(𝜌) = 𝐴𝐽𝑚(𝑘𝜌) + 𝐵𝑌𝑚(𝑘𝜌) .

Dari pembahasan persamaan Bessel, 𝑌_𝑚(𝑘𝜌) singular pada 𝜌 = 0, sehingga saat mencari solusi persamaan Laplace pada koordinat silinder dalam suatu daerah dengan 𝜌 = 0, nila 𝐵 = 0.

Solusi separasi variabel keseluruhan untuk persamaan Laplace ∇2𝑢 = 0 pada silinder dapat dituliskan

𝑢(𝜌, 𝜙, 𝑧) = [𝐴𝐽_𝑚(𝑘𝜌) + 𝐵𝐽_𝑚(𝑘𝜌)][𝐶 cos 𝑚𝜙 + 𝐷 sin 𝑚𝜙][𝐸𝑒−𝑘𝑧 + 𝐹𝑒𝑘𝑧]. (𝟑. 𝟐𝟗) Prinsip superposisi dapat diterapkan untuk membangun solusi lebih umum dengan menambahkannya bersama dengan solusi (𝟑. 𝟐𝟗) untuk nilai memungkinkan dari konstanta separasi 𝑘 dan 𝑚.

3.3.3 Persamaan Laplace pada Bola

Dalam koordinat bola, persamaan Laplace, ∇2= 0, memiliki bentuk 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟² 𝜕𝑢 𝜕𝑟) + 1 𝑟2sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕𝑢 𝜕𝜃) + 1 𝑟2sin2𝜃 𝜕2𝑢 𝜕𝜙2 = 0 (𝟑. 𝟑𝟎) yang merupakan persamaan dengan aplikasi luas dalam fisika.

Sulusinya dimisalkan

𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃)Φ(𝜙) .

Substitusi ke persamaan (𝟑. 𝟑𝟎) dan dibagi dengan 𝑢 = 𝑅ΘΦ, kemudian mengalikannya dengan 𝑟2_{, diperoleh} 1 𝑅 𝑑 𝑑𝑟 (𝑟² 𝜕𝑅 𝜕𝑟) + 1 Θ sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕Θ 𝜕𝜃) + 1 Φ sin2𝜃 𝜕2Φ 𝜕𝜙2 = 0 . (𝟑. 𝟑𝟏)

Bagian pertama bergantung hanya pada 𝑟, sementara bagian kedua dan ketiga, secara berurutan, bergantung pada 𝜃 dan 𝜙. Sehingga persamaan (𝟑. 𝟑𝟏)akan ekuivalen dengan dua persamaan

1 𝑅 𝑑 𝑑𝑟 (𝑟² 𝜕𝑅 𝜕𝑟) = 𝜆 , (𝟑. 𝟑𝟐) 1 Θ sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕Θ 𝜕𝜃) + 1 Φ sin2𝜃 𝜕2Φ 𝜕𝜙2 = −𝜆 . (𝟑. 𝟑𝟑) Persamaan (𝟑. 𝟑𝟐) merupakan persamaan homogen,

𝑟2𝑑2𝑅

𝑑𝑟2 + 2𝑟^𝑑𝑅_{𝑑𝑟 − 𝜆𝑅 = 0 ,}

yang dapat direduksi dengan substitusi 𝑟 = 𝑒𝑡 _(menuliskan 𝑅(𝑡) = 𝑆(𝑡)) menghasilkan 𝑑2𝑆

𝑑𝑡2 +^𝑑𝑆_{𝑑𝑡 − 𝜆𝑆 = 0 .} Persamaan ini memberikan persamaan

𝑆(𝑡) = 𝐴𝑒𝜆₁𝑡+ 𝐵𝑒𝜆₂𝑡 , serta solusi untuk persamaan radial

𝑅(𝑟) = 𝐴𝑟𝜆₁ + 𝐵𝑟𝜆₂ ,

dengan 𝜆₁+ 𝜆₂ = −1 dan 𝜆₁𝜆₂ = −𝜆. Dapat pula diambil 𝜆₁ dan 𝜆₂ sebagai 𝑙 dan −(𝑙 + 1), memberikan 𝜆 bentuk 𝑙(𝑙 + 1).

Sampai disini, telah diperoleh informasi dari solusi faktor pertama dari keseluruhan solusi, dimana bentuknya

𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [𝐴𝑟𝑙 + 𝐵𝑟−(𝑙+1)]Θ(𝜃)Φ(𝜙) , (𝟑. 𝟑𝟒) dengan Θ dan Φ harus sesuai dengan (𝟑. 𝟑𝟑)dengan 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1), sehingga

1 Θ sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕Θ 𝜕𝜃) + 1 Φ sin2𝜃 𝜕2Φ 𝜕𝜙2 = −𝑙(𝑙 + 1) . Kalikan dengan sin2𝜃 serta melakukan pengurutan ulang diperoleh

[^{sin 𝜃}_{Θ 𝑑𝜃 (sin 𝜃}^{𝑑 𝜕Θ}_{𝜕𝜃) + 𝑙}(𝑙 + 1) sin2𝜃] +_Φ^{1 𝜕}_𝜕𝜙^2Φ₂ = 0 . (𝟑. 𝟑𝟓)

Mengambil konstanta pemisah 𝑚2_{, persamaan dalam sudut azimut} 𝜙 memiliki solusi yang sama untuk solusi dalam bentuk silinder, yaitu

Φ(𝜙) = 𝐶 cos 𝑚𝜃 + 𝐷 sin 𝑚𝜃 .

Ketunggalan nilai dari 𝑢 membuat nilai 𝑚 haruslah bilangan bulat. Untuk 𝑚 = 0, didapatkan Φ(𝜙) = 𝐶𝜙 + 𝐷.

sin 𝜃 Θ 𝑑 𝑑𝜃 (sin 𝜃 𝑑Θ 𝑑𝜃 ) + 𝑙(𝑙 + 1) sin2𝜃 = 𝑚2 . (𝟑. 𝟑𝟔)

Perubahan variabel bebas dari 𝜃 menjadi 𝜇 = cos 𝜃, sin 𝜃 = (1 − 𝜇2)1/2 _{membuat persamaan ini}

tereduksi ke bentuk khusus. Memberikan

𝜇 = cos 𝜃 , ^𝑑𝜇_{𝑑𝜃 = − sin 𝜃 , 𝑑𝜃 = −}^𝑑 (1 − 𝜇2)1/2 𝑑 𝑑𝜇 , persamaan untuk 𝑀(𝜇) ≡ Θ(𝜃) dapat dituliskan

𝑑

𝑑𝜇 [(1 − 𝜇2)^𝑑𝑀

𝑑𝜇 ] +[𝑙(𝑙 + 1) −_{1 − 𝜇}^𝑚2 ₂] 𝑀 = 0 . (𝟑. 𝟑𝟔)

Persamaan khusus ini disebut persamaan Legendre asosiasi. Saat 𝑚 = 0, persamaan ini tereduksi menjadi persamaan Legendre dan memiliki solusi

𝑀(𝜇) = 𝐸𝑃_𝑙(𝜇) + 𝐹𝑄_𝑙(𝜇) . (𝟑. 𝟑𝟕)

Solusinya diberikan oleh fungsi Legendre asosiasi 𝑃_𝑙𝑚(𝜇) dan 𝑄_𝑙𝑚(𝜇), dimana 𝑃_𝑙𝑚(𝜇) = (1 − 𝜇2)|𝑚|/2 𝑑|𝑚|

𝑑𝜇|𝑚|𝑃_𝑙𝑚 , (𝟑. 𝟑𝟖) demikian juga untuk 𝑄_𝑙𝑚_{. Dari hasil ini kemudian diperoleh}

𝑀(𝜇) = 𝐸𝑃_𝑙𝑚+ 𝐹𝑄_𝑙𝑚 (𝟑. 𝟑𝟗)

dengan 𝑚 haruslah bilangan bulat, 0 ≤ |𝑚| ≤ 𝑙. Perlu dicatat, jika solusi untuk persamaan Laplace terbatas saat 𝜇 = cos 𝜃 = ±1 (misalnya pada sumbu polar dimana 𝜃 = 0, 𝜋), mengharuskan konstanta 𝐹 = 0 pada (𝟑. 𝟑𝟕) dan (𝟑. 𝟑𝟗) karena 𝑄_𝑙𝑚 _{divergen pada} ±1.

Dari penjabaran tersebut, solusi dari setiap tiga PDB yang terdiri dari 𝑅, Θ dan Φ telah didapatkan. Solusi total dari persamaan Laplace dengan separasi variabel pada koordinat bola kemudian memiliki bentuk

𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = (𝐴𝑟𝑙 + 𝐵𝑟−(𝑙+1))(𝐶 cos 𝑚𝜙 + 𝐷𝜙)[𝐸𝑃_𝑙𝑚(cos 𝜃) + 𝐹𝑄_𝑙𝑚(cos 𝜃)], (𝟑. 𝟒𝟎) ketiga faktor di dalam kurung dihubungkan hanya dengan parameter 𝑙 dan 𝑚, 0 ≤ |𝑚| ≤ 𝑙. Sama seperti sebelumnya, solusi lebih umum dapat dilakukan dengan melakukan superposisi solusi ini untuk nilai yang memenuhi konstanta separas 𝑙 dan 𝑚.

4. FUNGSI KOMPLEKS