Fungsi Monoton dan Fungsi Invers

Teorema Perluasan Kontinu

Pasal 5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers

Ingat kembali bahwa jika A⊆

R

, maka fungsi f : A →

R

dikatakan naik pada A jika untuk setiap x1,x2∈A dengan x1 ≤ x2 berlaku f(x1) ≤ f(x2). Fungsi f dikatakan

naik secara murni pada A jika untuk setiap x1,x2∈A dengan x1 < x2 berlaku f(x1) <

f(x₂). Demikian juga, g : A →

R

dikatakan turun pada A jika untuk setiap x₁,x₂∈A dengan x1≥ x2 berlaku g(x1) ≥g(x2). Fungsi g dikatakan turun secara murni pada A jika untuk setiap x1,x2∈A dengan x1 > x2 berlaku g(x1) > g(x2).

Jika suatu fungsi naik atau turun pada A, maka kita katakan fungsi tersebut monoton pada A. Jika f fungsi naimk murni ayau turun murni pada A, kita katakan

bahwa f monoton murni pada A.

Kita perhatikan bahwa jika f : A →

R

naik pada A maka g = -f turun pada A;

demikian juga jika ϕ : A →

R

turun pada A, maka ψ = -ϕ naik pada A.

Dalam pasal ini, kita akan bekerja dengan fungsi-fungsi monoton yang dide-finisikan pada suatu interval I⊆

R

. Kita akan mendiskusikan fungsi-fungsi naik secara eksplisit, tetapi itu jelas bahwa terdapat persesuaian hasil untuk fungsi-fungsi turun. Hasil-hasil ini dapat diperoleh secara langsung dari hasil-hasil untuk fungsi-fungsi naik atau dibuktikan dengan argumen yang serupa.

Fungsi monoton tidak perlu kontinu. Sebagai cintoh, jika f(x) = 0 untuk

x∈[0,1] dan f(x) = 1 untuk x∈(1,2], maka f merupakan fungsi naik pada [0,1], tetapi

tidak kontinu pada x = 1. Akan tetapi, hasil berikut ini menunjukkan bahwa suatu fungsi monoton selalu mempunyai limit-limit sepihak baik limit pihak-kiri maupun pihak-kanan (lihat Definisi 4.3.1) dalam

R

pada setiap titik yang bukan titik ujung dari domainnya.

5.5.1 Teorema Misalkan I⊆

R

suatu interval dan f : I →

R

naik pada I.

An-daikan bahwa c∈I bukan titik ujung dari I. Maka

(i) f c x^lim→ − ^{= sup{f(x) : x}∈I, x < c} (ii) f c x^lim→ + ^{= inf{f(x) : x}∈I, x > c}

Bukti. Pertama-tama kita perhatikan jika x∈I dan x < c, maka f(x) ≤f(c). Dari

sini himpunan {f(x) : x∈I, x < c}, yang mana tidak kosong karena c bukan titik ujung

dari I, terbatas diatas oleh f(c). Jadi ini menunjukkan bahwa supremumnya ada; kita

simbol dengan L. Jika ε > 0 diberikan, maka L - ε bukan suatu batas atas dari him-punan ini. Dari sini, terdapat y_ε ∈I, y_ε < c sedemikian sehingga L - ε < f(y_ε) ≤ L.

Karena f fungsi naik, kita simpulkan bahwa jika δ(ε) = c - y_ε dan jika 0 < c – y < δ(ε), maka ), maka y_ε < y < c dengan demikian

L - ε < f(y_ε) ≤f(y) ≤L

Oleh karena itu f(y) - L < ε bila 0 < c – y < δ(ε). Karena ε > 0 sebarang, kita kata-kan bahwa (i) berlaku.

Pembuktian bagian (ii) dilakukan dengan cara serupa.

Hasil berikut memberikan kriteria untuk kekontinuan dari fungsi naik f pada

suatu titik c yang bukan titik ujung interval pada mana f didefinisikan.

5.5.2 Akibat Misalkan I⊆

R

suatu interval dan f : I →

R

naik pada I.

An-daikan bahwa c∈I bukan titik ujung dari I. Maka pernyataan-pernyataan berikut ini

ekuivalen.

(a) f kontinu pada c.

(b) f

c

x^lim→ − ^{= f(c) =} x^lim→c+^f

(c) sup{f(x) : x∈I, x < c} = f(c) = inf{f(x) : x∈I, x > c}

Pembuktiannya mudah, tinggal mengikuti Teorema 5.5.1 dan 4.3.3. Kita ting-galkan detailnya untuk pembaca.

Misalkan I suatu interval dan f : I →

R

suatu fungsi naik. Jika a titik ujung

kiri dari I, maka merupakan suatu latihan untuk menunjukkan bahwa f kontinu pada a

jika dan hanya jika

f(a) = inf{f(x) : x∈I, a < x}

atau jika hanya jika f

a

x^lim→ + ^{. Syarat yang serupa diterapkan pada suatu titik ujung} kanan dari I, dan untuk fungsi-fungsi turun.

GAMBAR 5.5.1 Lompatan dari f pada c

Jika f : I →

R

fungsi naik pada I dan jika c bukan suatu titik ujung dari I, kita

definisikan lompatan dari f pada c sebagai jf(c) = f

c

x^lim→ + ^- x^lim→c−^{f . (Lihat Gambar} 5.5.1.) Mengikuti Teorema 5.5.1 bahwa

jf(c) = inf{f(x) : x∈I, x > c} - sup{f(x) : x∈I, x < c}

untuk suatu fungsi naik. Jika titik ujung kiri a dari I masuk dalam I, kita

mendefinisi-kan lompatan dari f pada a menjadi jf(a) = f

a

x^lim→ + ^{- f(a). Jika titik ujung kanan b} dari I masuk dalam I, kita mendefinisikan lompatan dari f pada b menjadi j_f(b) =

f(b) - f

b x^lim→ − ^.

5.5.3 Teorema Misalkan I⊆

R

suatu interval dan f : I →

R

naik pada I. Jika c∈I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika jf(c) = 0

Bukti. Jika c bukan suatu titik ujung, ini secara mudah mengikuti Akibat

{

j_f(c)

f

c

x^lim→ + ^{, yang mana ekuivalen dengan jf(c) = 0. Cara serupa juga dapat diperoleh} un-tuk kasus c∈I titik ujung kanan dari I.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa bisa terdapat paling banyak sejumlah terhitung titik-titik dimana fungsi monoton diskontinu.

5.5.4 Teorema Misalkan I⊆

R

suatu interval dan f : I →

R

fungsi monoton pada I. Maka himpunan titik-titik D⊆I dimana f diskontinu adalah himpunan

terhi-tung.

Bukti. Kita akan menganggap bahwa f fungsi naik pada I. Mengikuti Teorema

5.5.3 bahwa D = {x∈I : j_f(x) ≠ 0}. Kita akan memandang kasus bahwa I = [a,b] suatu

interval tertutup dan terbatas, ditinggalkan kasus lain sebagai latihan bagi pembaca. Pertama-tama kita perhatikan bahwa karena f fungsi naik, maka j_f(c) ≥ 0 untuk semua c∈I. Selain itu, jika a ≤ x1 < … < xn≤b, maka (mengapa?) kita mempunyai

f(a) ≤f(a) + jf(x1) < … < jf(xn) ≤f(b),

yang mana berarti bahwa

j_f(x₁) < … < j_f(x_n) ≤f(b) – f(a).

(Lihat Gambar 5.5.2.) Akibatnya bisa terdapat paling banyak k buah titik dalam I =

[a,b] dimana j_f(x) ≥ (f(b) – f(a))/k. Kita simpulkan bahwa terdapat paling banyak satu

titik x∈I dimana jf(x) ≥ f(b) – f(a); terdapat baling banyak dua titik dalam I dimana jf(x) ≥ (f(b) – f(a))/2; terdapat baling banyak tiga titik dalam I dimana jf(x) ≥ (f(b) – f(a))/3; dan seterusnya. Oleh karena itu terdapat paling banyak sejuemlah terhitung

titik-titik x dimana jf(x) > 0. Akan tetapi karena setiap titik dalam D mesti masuk dalam himpunan ini, kita simpulkan bahwa D himpunan terhitung.

Teorema 5.5.4 beberapa aplikasi yang berguna. Sebagai contoh, diperlihatkan dalam Latihan 5.2.12 bahwa jika h :

R

→

R

memenuhi identitas

dan jika h kontinu pada satu titik x0, maka h kontinu pada setiap titik dalam

R

. Ini berarti bahwa jika h merupakan fungsi monotan yang memenuhi (*), maka h mesti

kontinu pada

R

.

GAMBAR 5.5.2 jf(x1) + … + jf(xn) ≤ f(b) – f(a)

Fungsi-fungsi Invers

Sekarang kita akan memandang keberadaan invers suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval I⊆

R

. Kita ingat kembali (lihat Pasal 1.2) bahwa suatu fungsi f : I →

R

mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f injektif ( = satu-satu); yaitu x,y∈I

dan x ≠ y mengakibatkan bahwa f(x) ≠ f(y). Kita perhatikan bahwa suatu fungsi

monoton murni adalah injektif dan dengan demikian mempunyai invers. Dalam teo-rema berikut, kita menunjukkan bahwa jika f : I →

R

fungsi kontinu monoton murni,

maka f mempunyai suatu fungsi invers g pada J = f(I) yang juga fungsi kontinu

monoton murni pada J. Khususnya, jika f fungsi naik murni maka demikian juga

den-{

{

{

{

f(b) - f(a) f(a) f(b) j_f(x₄) j_f(x₃) j_f(x₂) j_f(x₁) x₄ x₃ x₂ x_{1 b} a

5.5.5 Teorema Invers Kontinu Misalkan I⊆

R

suatu interval dan f : I→

R

monoton murni dan kontinu pada I. Maka fungsi g invers dari f adalaj fungsi

monoton murni dan kontinu pada J = f(I).

GAMBAR 5.5.3 g(y) ≠ x untuk y∈J

Bukti. Kita pandang kasus f fungsi naik murni, meninggalkan kasus bahwa f fungsi turun murni untuk pembaca.

Karena f kontinu dan I suatu interval, maka menurut Teorema Pengawetan

In-terval 5.3.10, J = f(I) suatu interval. Selain itu, karena f naik murni pada I, maka f

fungsi injektif pada I; oleh karena itu fungsi g : J →

R

invers dari f ada. Kita claim

bahwa g naik murni. Memang, jika y₁ < y₂, maka y₁ = f(x₁) dan y₂ = f(x₂) untuk suatu x₁, x₂∈I. Kita mesti mempunyai x₁ < x₂; untuk hal lain x₁≥ x₂, mengakibatkan y₁ =

f(x1) ≥ f(x2) = y2, bertentangan dengan hipotesis bahwa y1 < y2. Oleh karena itu kita mempunyai

g(y1) = x1 < x2 = g(x2).

Karena y1 dan y2 sebarang unsur dalam J dengan y1 < y2, kita simpulkan bahwa g naik

murni pada J.

{

j_g(c) c o

.

g(c) x J

Tinggal menunjukkan bahwa g kontinu pada J. Akan tetapi, ini merupakan

konsekuensi dati fakta bahwa g(J) = I suatu interval. Memang, jika g diskontinu pada

suatu titik c∈J, maka lompatan dari g pada c tidak nol dengan demikian g

c

x^lim→ − ^< x^lim→c+^g

Jika kita memilih sebarang x ≠ g(c) yang memenuhi g

c

x^lim→ − ^{< x <} x^lim→c+^{g, maka x} mempunyai sifat bahwa x ≠g(y) untuk sebarang y∈J. (Lihat Gambar 5.5.3.) Dari sini

x∉I, yang mana kontradikdi dengan fakta bahwa I suatu interval. Oleh karena itu kita

menyimpulkan bahwa g kontinu pada J.