Nilai Mutlak

BILANGAN REAL Dalam bab ini kita akan membahas sifat-sifat esensial dari sistem bilangan

2.3. Nilai Mutlak

c c c c c c 1 2 1 2 2 2 2 ^{1 2} + + + ≤^... + + + n ^... n n / ≤ c1 + c2 + ... + cn

20. Asumsikan eksistensi akar dipenuhi, tunjukkan bahwa bila c > 1, maka c^1/m < c^1/n jika dan hanya jika m > n.

Dari sifat trikotomi 2.2.1(ii), dijamin bahwa bila a ∈R dan a ≠ 0, maka tepat satu dari bilangan a atau -a positif. Nilai mutlak dari a ≠ 0 didefinisikan sebagai bi-langan yang positif dari keduanya. Nilai mutlak dari 0 didefinisikan 0.

2.3.1 Definisi. Bila a ∈ R, nilai mutlak a, dituliskan dengan a, didefinisikan den-gan a a a a a a = −      , bila > 0 0 , bila = 0 , bila < 0

Sebagai contoh 3 = 3 dan −2 = 2. Dari definisi ini kita akan melihat bahwa a ≥ 0, untuk semua a ∈ R. Juga a = a bila a ≥ 0, dan a = -a bila a < 0.

2.3.2 Teorema. (a). a = 0 jika dan hanya jika a = 0

(b). -a = a, untuk semua a ∈ R. (c). ab = ab, untuk semua a,b ∈ R.

(d). Bila c ≥ 0, maka a ≤ c jika dan hanya jika -c ≤ a ≤ c. (e). - a ≤ a ≤ a untuk semua a ∈ R.

Bukti :

(a). Bila a = 0, maka a = 0. Juga bila a ≠ 0, maka -a ≠ 0, jadi a ≠ 0. Jadi bila a = 0, maka a = 0.

(b). Bila a = 0, maka 0 = 0 = 0. Bila a > 0, maka -a < 0 sehingga a = a = -(-a) = -a. Bila a < 0, maka -a > 0, sehinga a = -a = -a.

(c). Bila a,b keduanya 0, maka ab dan ab sama dengan 0. Bila a > 0 dan b > 0, maka ab > 0, sehingga ab = ab = ab. Bila a > 0 dan b < 0, maka ab < 0, se-hingga ab = -ab = a(-b) = ab. Secara sama untuk dua kasus yang lain.

(d). Misalkan a ≤ c. Maka kita mempunyai a ≤ c dan -a ≤ c. (Mengapa?) Karena ke-taksamaan terakhir ekivalen dengan a ≥ -c, maka kita mempunyai -c ≤ a ≤ c. Se-balik-nya, bila -c ≤ a ≤ c, maka kita mempunyai a ≤ c dan -a ≤ c. (Mengapa?), se-hingga a ≤ c.

Ketaksamaan berikut akan sering kita gunakan.

2.3.3. Ketaksamaan Segitiga. Untuk sebarang a,b di R, kita mempunyai

a+ ≤b a + b Bukti :

Dari 2.3.2(e), kita mempunyai -a ≤ a ≤ a dan -b ≤ b ≤ b. Kemudian dengan menambahkan dan menggunaka 2.2.6(b), kita peroleh

( )

− a + b ≤ + ≤a b a + b

Dari sini, kita mempunyai a+ ≤b a + b dengan menggunakan 2.3.2(d).

Terdapat banyak variasi penggunaan Ketaksamaan Segitiga. Berikut ini dua di antaranya.

2.3.4 Teorema Akibat. Untuk sebarang a,b di R, kita mempunyai (a). a − b ≤ −a b

(b). a− ≤b a + b Bukti :

(a). Kita tuliskan a = a - b + b dan gunakan Ketaksamaan Segitiga untuk memperoleh

a = − + ≤ − +a b b a b b.

Sekarang kita kurangi dengan b untuk memperoleh a − ≤ −b a b. Secara sama, dari b = − + ≤ − +b a a b a a dan 2.3.2(b), kita peroleh − −a b= − −b a

≤ a − b. Bila kedua ketaksamaan ini kita kombinasikan, dengan menggunakan 2.3.2(d), kita memperoleh ketaksamaan di (a).

(b). Tukar b pada Ketaksamaan Segitiga dengan -b untuk memperoleh a−b ≤ a+-b Karena − =b b [menurut 2.3.2(b)] kita dapatkan ketaksamaan (b).

Aplikasi langsung induksi matematika memperluas Ketaksamaan Segitiga un-tuk sejumlah hingga bilangan real.

2.3.5 Teorema Akibat. Untuk sebarang a₁, a₂,...,a_n∈ R, kita mempunyai

Contoh-contoh berikut mengilustrasikan bagaimana sifat-sifat nilai mutlak terdahulu dapat digunakan.

2.3.6 Contoh-contoh.

(a). Tentukan himpunan A dari bilangan real x yang memenuhi 2x+ <3 6

Dari 2.3.2(d), kita lihat bahwa x ∈ A jika dan hanya jika -6 < 2x + 3 < 6, yang dipenuhi jika dan hanya jika -9 < 2x < 3. Dengan membagi dua, kita peroleh

A = {x ∈ R  -9/2 < x < 3/2}.

(b). Tentukan himpunan B = {x ∈ R  x 1− < x}.

Caranya dengan memperhatikan setiap kasus bila tanda mutlak dihilangkan. Di sini kita perhatikan kasus-kasus (i). x ≥ 1, (ii). 0 ≤ x < 1, (iii). x < 0. (Mengapa kita hanya memperhatikan ketiga kasus di atas?). Pada kasus (i) ketaksamaan kita men-jadi x - 1 < x, yang dipenuhi oleh semua bilangan real x. Akibatnya semua x ≥ 1 ter-muat di B. Pada kasus (ii), ketaksamaan kita menjadi -(x - 1) < x, yang menghasilkan pembahasan lebih lanjut, yaitu x > 1/2. Jadi, kasus (ii) menyajikan semua x dengan 1/2 < x < 1 termuat di B. Pada kasus (iii), ketaksamaan menjadi -(x - 1) < -x, yang ekivalen dengan 1 < 0. Karena 1 < 0 selalu salah, maka tiodak ada x yang memenuhi ketaksaman kita pada kasus (iii). Dengan mengkombinasikan ketiga kasus ini diperoleh bahwa

B = {x ∈ R x > 1/2}.

(c). Misalkan f fungsi yang didefinisikan dengan f (x) ^{2x 3x 1} 2x 1

2

= ^{− +}

− ^{untuk 2 ≤ x ≤}

3. Tentukan konstanta M sehingga f (x) ≤ M untuk semua x yang memenuhi 2 ≤ x ≤

3.

Kita akan perhatikan secara terpisah pembilang dan penyebut dari

f(x) ^{2x 3x 1}

2x 1

2

= ^{− +}

Dari ketaksamaan segitiga, kita peroleh 2x² −3x 1+ ≤2 x² +3 x +1

≤ ⋅ + ⋅ +2 3² 3 3 1 =28, karena x ≤3 untuk semua x yang kita bicarakan. Juga, 2x 1− ≥2 x −1 ≥ ⋅ −2 2 1=3, karena x ≥2 untuk semua x yang kita bicarakan. (Mengapa?) Karena itu, untuk 2 ≤ x ≤ 3 kita memperoleh bahwa f (x) ²⁸

3

≤ . Dari sini kita dapat menetapkan M = 28/3. (Catatan bahwa kita meneukan sebuah kon-stanta yang demikian, M; sebenarnya semua bilangan M ≥ 28/3 juga memenuhi

f (x) ≤M. Juga dimungkinkan bahwa 28/3 bukan pilihan terkecil untuk M). Garis Bilangan Real

Interpretasi geometri yang umum dan mudah untuk sistem bilangan real adalah garis bilangan. Pada interpretasi ini, nilai mutlak a dari unsur a di R diang-gap seba-

gai jarak dari a ke pusat 0. Lebih umum lagi, jarak antara unsur a dan b di R adalah

a−b.

Kita akan memerlukan bahasa yang tepat untuk membahas gagasan suatu bi-langan real “dekat” ke yang lain. Bila diberikan bilangan real a, maka bilangan real x

dikatakan “dekat” dengan a seharusnya diartikan bahwa jarak antara keduanya x−a

“kecil”. Untuk membahas gagasan ini, kita akan menggunakan kata lingkungan, yang

sebentar lagi akan kita definisikan.

2.3.7 Definisi. Misalkan a ∈ R dan ε > 0. Maka lingkungan-ε dari a adalah himpunan

V_ε(a) = {x ∈ R  x−a < ε}.

Untuk a ∈ R, pernyataan x termuat di V_ε(a) ekivalen dengan pernyataan

-ε < x - a < ε⇔a - ε < x < a + ε

2.3.8 Teorema. Misalkan a ∈ R. Bila x termuat dalam lingkungan V_ε(a) untuk setiap ε > 0, maka x = a.

Bila x memenuhi x−a < ε untuk setiap ε > 0, maka dari 2.2.9 diperoleh bahwa x−a = 0, dan dari sini x = a.

2.3.9. Contoh-contoh.

(a). Misalkan U = {x  0 < x < 1}. Bila a ∈ U, misalkan ε bilangan terkecil dari a atau

1 - a. Maka V_ε(a) termuat di U. Jadi setiap unsur di U mempunyai lingkungan-ε yang termuat di U.

(b). Bila I = {x : 0 ≤ x ≤ 1}, maka untuk sebarang ε > 0, lingkungan-ε V_ε(0) memuat titik di luar I, sehingga V_ε(0) tidak termuat dalam I. Sebagai contoh, bilangan x_ε = -ε/2 unsur di V_ε(0) tetapi bukan unsur di I.

(c). Bila x−a < ε dan y− <b ε, maka Ketaksamaan Segitiga mengakibatkan bahwa

(

x+ − +y

) (

a b

)

=

(

x− + −a

) (

y b

)

= x− + − <a y b 2 .ε

Jadi bila x,y secara berturut-turut termuat di lingkungan -ε dari a,b maka x + y

ter-muat di lingkungan -2ε dari (a + b) (tetapi tidak perlu lingkungan -ε dari (a + b)).

Latihan 2.3.

1. Misalkan a ∈ R. tunjukkan bahwa

(a). a = a² (b). a² = a²

2. Bila a,b ∈ R. dan b ≠ 0, tunjukkan bahwa a b/ = a / b .

3. Bila a,b ∈ R, tunjukkan bahwa a+ =b a + b .jika dan hanya jika ab > 0.

4. Bila x,y,z ∈ R, x ≤ z, tunjukan bahwa x < y < z jika dan hanya jika x−y + y− = −z x z Interpretasikan secara geometris.

5. Tentukan x ∈ R, yang memenuhi pertaksamaan berikut : (a). 4x− ≤3 13; (b). x2 − ≤1 3; (c). x 1− > +x 1; (d). x + + <x 1 2.

7. Bila a < x < b dan a < y < b, tunjukkan bahwa x− < −y b a . Interpretasikan

se-cara geometris.

8. Tentukan dan sketsa himpunan pasangan berurut (a,b) di R×R yang memenuhi

(a x = y ; (b). x + y =1;

(c xy =2; (d). x − y =2.

9. Tentukan dan sketsa himpunan berurut (x,y) yang memenuhi

(a). x ≤ y; (b). x + y ≤1;

(c). xy ≤ 2; (d). x − y ≥ 2.

10. Misalkan ε > 0 dan δ > 0, a ∈R. Tunjukkan bahwa V_ε(a) ∩ V_δ(a) dan V_ε(a) ∪

V_δ(a) adalah lingkungan-γ dari a untuk suatu γ.

11. Tunjukkan bahwa bila a,b ∈R, dan a ≠ b, maka terdapat lingkungan-ε U dari a

dan lingkungan-γ V dari b, sehingga U∩V = ∅.

2.4. Sifat Kelengkapan R

Sejauh ini pada bab ini kita telah membahas sifat aljabar dan sifat urutan sis-tem bilangan real. Pada bagian ini kita akan membahas satu sifat lagi dari R yang ser-ing disebut dengan “sifat kelengkapan”. Sistem bilangan rasional Q memenuhi sifat aljabar 2.1.1 dan sifat ururtan 2.2.1, tetapi seperti kita lihat 2 tidak dapat

direpre-sentasikan sebagai bilangan rasional, karena itu 2 tidak termuat di Q. Observasi ini menunjukan perlunya sifat tambahan untuk bilangan real. Sifat tambahan ini, yaitu sifat kelengkapan, sangat esensial untuk R.

Ada beberapa versi sifat kelengkapan. Di sini kita pilih metode yang paling efisien dengan mengasumsikan bahwa himpunan tak kosong di R mempunyai supre-mum.